高斯小学奥数六年级上册含答案第09讲几何综合

高斯小学奥数六年级上册含答案第09讲几何综合

第九讲几何综合问题

这一讲我们学习几何综合题，题型是复杂而巧妙的.这种问题往

往需要我们有点武侠小说中〃借力打力〃的能力，不要硬碰硬，而是

借巧劲.比如已知一个面积为2的正方形，求边长为其两倍的正方形

的面积.把边长具体数值求出来，用边长的关系来计算面积的想法是

不可行的.而且事实上也是没必要的，我们可以把面积为2的正方形

边长设为a,它的两倍为2a,则

22a=，以2a为边长的正方形面积为2224428aaa?=?=?=.我

们再来看几个用类似想法解决的问题.

本讲知识点汇总：

、

巧用面积公式，利用图形面积之间的和差关系来求解图形面积.

1.圆与直角三角形中利用勾股定理.

2.同底三角形利用〃2?+公共底高的和〃求面积和，

〃2?《公共底高的差〃求面积差.

3.不去考虑每块图形的面积，而是将若干块图形放在一起，考虑

其面

积之间的和差关系.

辅助线与几何变换.

1.通过割、补，将图形的变为规则图形，以便于分析.

2.通过几何变换（翻转、对称）等，将图形变得易于求解.

—、

图形运动.

能够正确地画出简单几何图形（如圆等）在运动过程中所扫过区

域的

边界，并求解相关的长度和面积.

例1.

如图，阴影部分的面积是25平方厘米，求圆环的面积.（取

3.14）

「分析」阴影部分等于大等腰直角三角形减去小等腰直角三角形，

而圆环等于大圆减去小圆.那么阴影部分面积与圆环面积之间有什么

联系呢？

练习1、下图中阴影部分的面积是40平方厘米，求圆环的面

积.（TT取3.14）

B

A

例2.

如图，在长方形ABCD中，30AB二厘米，40BC二厘米，P为BC

上一点，PQ垂直于AC,PR垂直于BD.求PQ与PR的长度之和.

「分析」如果这道题只是要尝试出一个结果的话，我们只要让P

取特殊点，例如取成B点，所求的长度之和就是B点到AC边的距

离.但PQ与PR的长度之和是否是一个固定的值呢?

练习2、如图,在面积为72的正方形中,

P为CD边上一点，PQ与BD垂直，PR与AC垂直.求PQ与

例3.如图，P为长方形ABCD内的一点.三角形PAB的面积

为5,三角形PBC的面积为

13.请问：三角形PBD的面积是多少？

「分析」直接用面积公式或者比例关系来求三角形PBD面积，显

然不可行.那么还有什么方法可以用来求三角形PBD面积呢？

B

C

A

P

D

P

CA

Q

B

D

如图，一个六边形的6个内角都是120?,其连续四边的长依次是

1厘米、9厘米、9厘米、5厘米.求这个六边形的周长.

「分析」所给六边形各内角都是120。，这使我们联想到正六边

形.在求解与正六边形有关的题目时，最常用的方法有两种：一种是

〃割〃，一种是〃补〃.〃割〃是指把六边形分割干个边长或面积为1

的正三角形；〃补〃是指在正六边形中取出三条互不相邻的边来延长，

补成一个正三角形.这两种方法对本题适用吗？

练习4、一个六边形的6个内角都是120?,并有连续的三边长均

为6厘米.如

果这个六边形的周长是32厘米，那么该六边形最长的边有多长？

例5.

如图，在四边形ABCD中，30AB=,48AD=,14BC=,且

90ABDBDCz+z=?,90ADBDBCz+z=?.请问:四边形ABCD的

面积是多少？

「分析」本题的条件让人感觉很别扭，虽然90ABDBDC/+/=?,

但它们并不是紧挨着的；虽然90ADBDBCN+N=?，但它们也不是紧

挨着的.那究竟对这个图形做怎样的变换，才

B1

9

9

5

能让那些应该紧挨着的角真正挨在一起呢？

例6.如图，一块半径为2厘米的圆板，从位置①开始，依次沿线

段AB、BC、CD滚至U位置②.如果AB、BC、CD的长都是20厘米，

那么圆板扫过区域的面积是多少平方厘米？

（TT取3.14,答案保留两位小数.）

「分析」这道题关键是把想清楚圆板经过的区域是怎样的图形,

并画出对应的轨迹图.

中国古代的几何学

形的研究属于儿诃学的范畴.古代民族都具有形的简单概念，并往往以图画来表示，而

图形之所以成为数学对象，便是由工具的制作与测量的要求所促成的.规矩以作网方，中国

占代受禹泊水时即已有规、矩、准、绳等测量工具.《史记》“夏本纪”记载说:夏禹治水.

“左规矩，右准绳”.“规”是圆规，“矩”是直角尺，“准绳”则是确定铅垂方向的器械.这

些都说明了早期几何学的应用.从战国时代的著作《考工记》中也可以看到与手工业制作有

关的实用几何知识.

战国时期携子所写的《弟经》中，对一系列的几何概念进行抽象概括,作出了科学的定

义.《周牌算经》。刘徽的《海岛算经》则给出了用矩观测天地的-般方法与具体公式.在

《九章算术》及刘徽注解的《九章算术》中，除勾股定理外，还提出了若干一般原理以解决

多种问题.例如求任意多边形面积的出入相补原理:求多而体体积的刘徽原理;5世纪祖删

提出的用以求曲形体积特别是球的体积的“事势就同则积不容异”的鼠理，以内接正多边形

逼近圆周长的极限方法（割圆术）等.

作业

1.如果图1中的圆环面积为1

2.56,阴影部分的内外两侧都是正方形，那么阴影部

分的面积是多少？（n取3.14）

2.如图2,等腰三角形ABC中，5

ABAC

==，6

BC=.D为BC边上的一点，DE与AB垂直，DF与AC垂直，那

么DE与DF的和是多少？

3.如图3,P为长方形ABCD外的一点.三角形PAB的面积为5,

三角形

PBC的面积为30,三角形PCD的面积为24.那么三角形PAD

的面积是

多少；三角形PAC的面积是多少？

4.一个六边形的6个内角都是120?,并有四边长为5、6、5、5

厘米，如图4所示.现

在用一条线段把六边形分成两部分，则上、下两部分图形的面积

比是多少？

5.右图中有一个上下、左右都对称的〃十字型〃，其各边长度如

图所示（单

位：厘米），一个半径为1厘米的小圆沿其外周滚动一周，那么

小圆经过

区域的面积等于多少？（答案保留圆周率TT）

第九讲几何综合问题

E

图

2

图3

图

4

0~

4

例题：

例题1.答案：157平方厘米

详解：记大圆半径为R，小圆半径为r,那么圆环的面积为()

22nRr-,我们只要能够

求出22Rr-即可.阴影部分是两个等腰直角三角形的面积差，等

于()221

2

Rr-,所以

22

22550Rr-=?=.由此可得圆环面积等于503.14157?=.

例题2.答案：24厘米

详解：利用勾股定理可得50AC二厘米，所以25OBOC=二厘

米.长方形ABCD

的面积等于30401200?二平方厘米，所以△BOC的面积等于1

12003004

二平

方厘米.连接0P,观察aOPB与《PC,它们分别以0B和OC

为底,是一对等底三角形，而对应的高就是PR和PQ,因此面积和就

等于

()()()225212.5OBPROCPQPRPQPRPQ?+?-=?+-=?+,而

这个面积

和就是ABOC的面积，等于300,所以()12.5300PRPQ?十=，由

此可得

30012.524PRPQ+=”厘米.

例题3.答案：8

详解：图1阴影部分的面积是整个长方形的一半，而图2阴影部

分的面积也是整个长方形的一半.两个阴影部分有一块公共部分，那

就是AAPD.去掉这块公共部分之后，剩下的阴影部分仍然应该相等,

因止匕就有123sss=+.由题意，113S=,25S=，所以31358S

例题4.答案：42厘米

详解：为便于描述，将六边形剩余两条边的长度分别设为a厘米

和b厘米.如右图所示，将图形补成一个等边三角形，最上方的应该

是一个边长为9厘米的等边三角形，左下方则是一个边长为1厘米的

等边三角形，由此可得最大的等边三角形边长为19919+十二厘米.这

样19955a=-=,而19113ba=-=.六边形边长就等于

995151342+++++=厘米.

例题5.答案:936

详解：如图所示，我们可以将图形中的4BCD左右翻转一下，变

成了ABED,这样就和为90。的角就能拼到一起，构成完整的直角,例

如NABE与NADE就都是直角.接着连结AE,△ABE与aADE都是直

角三角形，AE是它们公共的斜边.根据勾股定理，2222ABBEAD

DE+=+,由此可得40BE=.这样就可以分别求解△ABE与^ADE这

两个直角三角形的面积,将其相加，

即可得总面积为30404814

93622

+=.

例题6.答案：228.07

详解：小圆滚动时所经过的区域如右图所示.接着我们分块求解

每一部分的面积.半圆FEQ、半圆JKL的面积之和是；长方

4TTCA

QB

D

P

R

O

C

D

CD

8

图1

图2

9

1

9599

lab

a

a

1

C

BE

形FGBQ、BHIP、ULM的面积之和是01816144192++?=;60°

的扇形BGH的面积

为218TI4TI63??=;PIMNO部分的面积为12TT+;所以总面积为

8TT234TT19212Tl204TT228.0733++++=+△.

练习：

1.答案：125.6平方厘米

简答：如右图所示，将图形从中间切开分为左、右两部分，每一

部分都和例题1一模一样.2.答案：6

简答：正方形面积等于〃对角线平方的一半〃，所以正方形对角

线的平方就等于722144?=,由此可得正方形ABCD的对角线AC等

于12,所以OC、0D长均为6.与

例题2类似,连结OP,然后利用《CD的面积等于72418y可

得18218266PQPROC+=?-=?-=.

3.答案：9;16

fRJTU

简答：如右侧左图所示，APAB与WDC是一对同底三角形(分

别以AB和CD为底)，他们的面积和等于〃2AB?小高的和〃.不难

看出它们〃高的和〃就等于AD,所以它们的面积和就等于长方形

ABCD面积的一半，由此可得长方形ABCD的面积为

()74222+?=.AD的面积等于AB、△PBC及WCD的面积之和

ABCD的面积，即7204229++-=.至于AC的面积,只要用

总面积减去AABC与aPCD的面积即可，等于720411416++--=.4.

答案：10厘米

简答：如图所示，将图形补成一个完整的正三角形，翼边长为

66618++=.记原六边形的最短边为a,最长边为b.那么18612a

b+=-=.而由于正六边形周长为32,所以2321814ab+==.由此

可得b为1221410?・二厘米.作业：

1.

答案：8

简答：圆环面积为：（）

22TT12.56Rr-=,所以224Rr-=z阴影部分面积等于

（）2228Rr-=.

2.

答案：4.8

简答：作BC边上的高，可得高为4（利用勾3股4弦5）.这样

三角形ABC的面积就等于