数理金融初步-Ross-第三版-中文答案

《数理金融初步》Ross习题参考答案

答案主要来源为英文答案的翻译与国外几位教师的手写答案（两者均不完整），仅供参考.

目录

第I章概率论2

第2章正态随机变量6

第3章布朗运动与几何布朗运动8

第4章利率和现值分析11

第5聿合约的套利定价17

第6章套利定理21

第7章Black-Scholes25

第8章关于期权的其他结果31

第9章期望效用估值法35

第10章随机序关系40

第11章最优化模型42

第12章随机动态规划47

第13章奇异期权49

第14章非几何布朗运动模型50

第15章自回归模型和均值回复51

第1章概率论

a)P(全少4个错误)=1—Po—Pi—P2—P3=1-0.20-035-D.25-0.15=0.05.

b)P(至多2个错误)=p。+pi-p2=0.20+0.35+0.25=0.80.

1.2解：

记多云为C,阴天为其则

P(CU/?)=P(C)+P(R)-P(Cn/?)=0.40+0.30-0.20=0.50.

3解

4

8

巴又人均为女41m

6.

41

人均为男“=/1,5

普

备

£X=言

c）P（-位男士和一位女士=£

1.4解；

记会国际象棋为C,会打桥牌为3,则

a)P(CIB)==27次0

)1,)P(B)(58+27)/12085'

m_P(SB)_27/12C_27

b)(P(C)(35+27)/12062'

1.5解：注意：b）问由于翻译原因，容易理解为并列关系，但根据英文原文，应该理解为在没有发病的条件

下，求携带一个CF基因的条件概率.

a)-X-=—,

224

b)由于他有兄弟姐妹死于这种疾病，说明其父母各携带一个CF基因，则

P（携带•个CF基因C没有发病）

P（携带一个CF基因|没有发病）=

P（没有发病）

1.6解

P（都是AC花色不同）P（都是A;________________

P（都是AI花色不同）

P（花色不同）P（花色不同）

1.7证

P(AB")=P(A)-P(AB)=P(A)-P(A)P(B)=P(A)[1-P(B)\=P(A)P(0勺.

b)

P(/fff)=P(BA)=P(联)-P(AR)=P(附-P(A)P(的=P(&)[1—P(A)1=P(A")P(的.

2

1.8解：注意：由于翻译原因，“可以进行”指的是一定会进行:“以此类推”1；勺，即两局必结束*X不

是赢的局数，而是嬴的（钱）数.

记R为第，•次的结果为红，则

a）易知X=1,—3,则

F(X=i)=P(*+*E)=||+*x||=.

P(X=_3)=P团藏)=爵爵爵

所以P(X>0)=P(X=l)=酱.，、…、.261-10039

b)E(X)=lx——3X—=

L9蟀：

a)E(X)>E(K).

b)

•

9*一写3日

1.10解：

易知I,比赛总局数X=2,3,则

E(X)=2xQ)xlxl・3x[l-Q)xlxl]=|,

Var(X)=2x(；)xlxl*x[i-(；)xlxl]-(|

1.11证：

记”=E(X),则

Var(X)=E[(X-p)2]=E*-2"*+p‘)

=E(^)一2“E(X)+妒=£'第一2片+“2

=E(X2)-H2=E(X2)-[E(X)]2

1.12解:

a)E(X)=5000,Var(X)=0,a(X)=0.

b)

E(K)=0.3x25000+0.7xO=7500,

Var(K)=0.3x250002+0.7x0-75OO2=1.3125x10".

<7(r)=13125x10'.

3

1.13证:

a)

FX

.一•'=*修•)=：伊Xj)=：xa.

b)

IEX,取修)=§£Var(X，)=§x"S=令

Var(X)-Var斗

£(X,-_X)2=£(X?-2X,X=£X：_2X*X,+nX2

r=li=l/'=!

nn

=£X?-2XnX^=£x：

d)

豚-又I

E(s2)=q%F

士4郭项2)=土卜修)期)

一/一(nd+n/F-nx---叩=(y*

,,—1\n)

1.14证：

cov(x,r)=£([x-E(x)][r-£(y)])=E[XY-XE(Y)-YE(X/A-

E(X)E(Y)\

=E(XY)-E(Y)E(X)-E(X)E(Y)+E(X)E{Y}=E(XY)一E(X)E(Y)

1.15证：

a)

Cov(Xj)=E([X-E(X)\\Y-E(r)])=E{\Y-E(Y)\[X-E(X)\}=Cov(匕X).

b)

Cov(X,X)=E([X-E(X)][X-E(X)]}=E{\X-E(X)]2)=Var(X).

c)

Cov(cX/)=E([cX-E(cX)]\Y-E(Y)]}=E(cX-E(X)]|r-E(r)]}=cCov(X,V).

d)

Cov(cl)=E([c-E(c)][Y-E(r)]|=E(0)=0.

1.16解:

Cov(X,r)=Cov(cU+bV,eV+(IV)=Cov(“U,d/+JV)+Cov(即，cU+dV)

=Cov(aUfcU)+Cov(aU,卅+Cov(/?V,c(7)+Cov(bV,dV)=ac~Vbd

1.17解：

a)C0V(Xl+X2,X3+X4)=COV(Xi,X3)+COV(X„X,)+Cov(X2>X3)-Cov；X2,X,)=34-4+6+8=

21.

b)

Cov(X|+X2+X3H2+X3+Xj)=Cov(X|,X?)+Cov(X|;X；<)+Cov(XHX«)

+Cov(X2,X：)+Cov(X2,Xs)+Cov(X2,X()

+CoV(X3,X2)+CoV：X3,X3)+CoV03,X4)

=2+3+4+4+6+8+6+9+12=54

1.18解:

E(X\)=lx-----lx—=0,

Var(X,)=l2xl.(-1)11-0=1,

Cov(X,r)=Cov(X|,X|)=Var(Xi)=I,

'vvn3

记¥:匕中小”e、x,为第i时间段的变化量，且X.与)U相互独立(7—),易知：T

*Xj则不能•因为此时Cor(X.y)=孑粉

1.20证：

£/心)p(r=),)=££hMP(Y=J

yih(y)=h,

=££HY=y)ih(y)=hi

=办Lp(v=y)

•h(y)=hi

1.19

-£比尹仇(「)-妇

1.21解：

p(x=0=F(0-F(r)=F(i)-F(i-l).

5

第2章正态随机变量

2.1解：

a)P(Z<-0.66)=P(Z>0.66)=i~P(Z<0.66)=1一中(0.66)=1-0.7454=0.2546.

b)P(|Z|<1.64)=26(1.64)-1=2x0.9495-1=0.8990.

c)P(|Z|>2.20)=2P(Z>2.20)=2[l-4>(2.20)]=2(1-0.9861)=0.0278.

2.2解：

根据标准正态分布的对称性，易知x=2.

2.3证：

P(|Z|>x)=P(Z<一同+P(Z>x)=2P(Z<x)(x>0).

2.4解：

易知：E(Y)=a彻,Mar(K)=，则可得

因为a/0,所以。=2"，8=—1,此时Cov(X,r)=Z>Var(y)=-cr2.

2.5解：

利用3b准则,则

a)68%的值落在1个标准差的范围内，即127.7土19.2.

b)95%的值落在2个标准差的范围内，即127.7±2x19.2=127.7±38.4.

c)99.7%的值落在3个标准差的范围内,即127.7±3x19.2=127.7±57.6.

2.6解：

设两节电池的寿命分别为X|,X2,且均独立同分布于N(400,502),则

a)X|+X2~77(800,2x50%则

76O-8OOX…/‘2⑶

P(X|+X>760)=P[Z>-----)=5—7-x0.714一2…

250x/2)\5)

b)X2—Xi'N(0,2x

50?),则

P(X^Xi>25)=PZ>用=0.36⑶

c)X|-X2~N(0,2x50%则

6

P(|X|-x2|>25)=2P02—X[>25)aO7236.

7

2.7解：

100

记X为冲洗第，•张照片的时间，才=£为所以X~N(1800,100),则

f=l

a)

P(X>1710)=P(Z>171°~"=<Di9)%1.

b)

P(1690<X<1710)=Pr69°g§180()=<D(_9)-4)(-11)=<D(U)-中(9)%0.

2.8解：

30

记X,为第i位乘客的飞行距离，X=£*,历以六NQS0000W0K0D0?),则r-1

a)

b)25000\

2(2300卜备<2700())=26R60°6388.

2.9解：

记S,i单位时间后的股价，定义X,=率，即X,=概率为P(，=。±

2,—),

J侬曲必1___

所以所求为

尸(半〉1.3)=P(巾凡>1.3)=P(富垢民)In1.3),

由于

E1£lnX]=lOOOE(lnX)=1000(pln«+(l-p)lnj]幻1.3787,

\/=0/

(999\

QhiXj}=1000Var(lnXj)=I000(pln2«+(1-p)\n'd'[p]nu+(1-p)Inrf]2)asO.1206,

所以

f(芝>")=P目以"L3S(Z>心洁用7)a".0.9993.

2.10解:

700

记X,为第j个时间段股价的变化，x=£*九则

/=1

E(X)=700£(%,)=700(-039+0.41)=14.

Var(X)=700Var(X,)=700(0.39+0.41-0.022)=

所以

P(X>10)=P(Z>乂二二)aX(0.1691)=0.5671.

="Z>竺虬

25000

12000

第3章布朗运动与几何布朗运动

3.1证：

令y(r)=-X(r令r>0),则k(0)=-X(0)=0是一个常数:而

y(t+y)-y(y)=_x(f+y)+x(y)=_[x(f+>,)_X3)L

由于X(/+y)-X3)飞(归"2),所以y(f+y)-y(y)=-1X(/+y)-X(y)r/V(飞/,za2),所以-X(/)(/>0)是一个漂移参

数为一印方差参数为S的布朗运动.

3.2解：

a)E\X(2)I=£U(2)-X(0)+X(0)]=E[X(2)—X(0)+10]=10+E[X⑵-X(0)]=10+3x2=16.

b)Var|X(2)|=Var[X(2)—X(0)+X(0)]=Var[X⑵一X(0)+10]=Var[X(2)—X(0)J=2x9=18.

c)

P|X(2)>20]=FZ>-4)(0.9428)=中(-0.9428)=0.1729.

c)由于E[X(0.5)]=10+0.5x3=11.5,Var[X(0.5)]=0.5x9=4.5,则

i()_115\

P[X(OR)>10]=P7.>,0(07071)=076n2

3.3解：

a)£|X(1)|=10+E[X⑴-X(0)]=10+3x1=13.

b)由于2口一1=§克=籍*，所以Var[X(l)|=1x9x1=8.1.

c)p=四芸亚，在0.5时刻，经过了5次变化，所以不适合用正态分布近似.由于X(0)=10,所以5次变

化中Y增加的次数多于减少的次数，所以

P|X(0.5)>10|=(；)/+(：)PW—p)+(：)p3(i—p)S0.7773.

3.4解：

a)耶⑴>S(0)]=P[湍〉1]=小湍>o]=P(Z>端)=中(0.5)=0.6915.

b)P[S(2)>S(1)>5(0)1=P|S⑵)S⑴,S(I)>S(0)]=P[S(2)>5(1)]P[S(1)>S(0)|={P[S(1)>

5(0)]}2=0.6915?=o4781.

c)

P[S(3)<5(1)>S(0)|=P[S(3)<S(1),S(I)>S(0)|=P[S(3)<S⑴回S(1)>S(0)

0-0.2\

=4>(0.5)p[ln湍<0-4>(0.5)P(Z<

=0(0.5)0(0.7071)=0.5257Sx0.22

9

3.5解：

a)耶⑴>5(0)1=P[湍>1=尹卜湍>o=P(z>■=)=6(0.25)=0.5987.

b)P[S(2)>S(1)>5(0)1=P[S(2j>S(l),S(1)>5(0)]=P[S(2)>S⑴脾(1)>S(0)]=(P|S(1)>

5(0)]}2=0.59872=0.3584.

c)

P[S(3)<S(I)>S(0)]=P[S(3)VS(1),S(i)>S(0)]=P[S(3)<S(1)]P[S(1)>5(0)]

=中(0.25升[in湍<0=中(0.25>口<上鱼2

/2x0.42

=0(0.25)0(0.3536)=0.3821

3.6解：

E15(r)]=E[se(:]=sE[e-I=

£|52(r)|=切&U勺)]=$2£忙饮气=&2“中气

Var|S(/)]=-E2[5(r)]=?e2'¥(e<5-I).

3.7证：

根据教材有夕《

P(4'f)=6加々击(宗岸।小才)

所以当P>0时，

limP(7；,</)=e加々lim4)(=倪冲/"+1=1,—8,1Oy/t)18I(Jy/t)

当“<0时，

)=cWin】6(+lim4>f=le2"+0=eT

O\/t)I"10小J

所以

1,M>0

咐<8)=

/函。',P<0

当“V0时，

P($f>y)=P(T,<oo)=所以5从比率为-券的指数分布.

3.8解：

利用S(f)=sc此则

PS(v)9y)=PmaxX(v)>ln"

Imaxi（i»〃：鬲

二(广、(激土锣）

10

3.9解:

利用上一题结论，则

P'maxS(v)<1,2S(0))=P'maxX(v)<lnL2)

=J«%(隶)-;而)

=1-i.22x0J/(o-32)e>(lnl(；0-I)—,(“匕；。

学-1.22°/MXO.9411)—歆0.2744)

:0.3482

11

第4章利率和现值分析

4.1解：

a)遍=(1+61/2)2-1=10.25%.

b)r«,=(1+0.l/4)*-I%10.38%.

c)n.m-=e0J-I%10.52%.

4.2解：

设需要〃年钱变为两倍，则

舛"=2°〃=s-6.93.

0.1

4.3解：

设需要〃年钱变为四倍，则

(1+0.05)w=4今〃就28.41,

(1+0.04)”=4n〃Q35.35.

4.4解：

设需要〃年钱变为三倍，则

eg(l+r)w=3=>E2旗.

4.5解：注意：每月支付说明有60次投资.

设需要投资x元，则

x£(l+0.06/12)*=----------------------%1426.15.

4.6解：

计算现值：

一・000+吉擀+黑+尊十黑二3O.75W,

所以这不是•个值得的投资.

4.7解：

记这两个现金流的现值分别为SI而，则

202020_1510

1010152020

256>

20l+r(l+r)(l+r)3(l+r)*(l+r)(l+r)

Si

a)r-0.03,Si-82.71&-84.63,笫二个现金流更可取.

b)r=0.05,S|=7837,52=第二个现金流更可取.

10,S=69.01,S?=65.99,第一个现金流更可取.

12

4.8解：记现值为S,则

V5001OXKI

a)r=0.06,5=1706.04.

b)r=0.10.S=0.

c)尸=0.12,S=-736.01.

4.9解：

记有效利率为r,则

卜（击广

4200-10004=20=>r=0.15.

4.10解：

第一个现金流序列的现值为

910-亮=4顷2,

22+].2+1.22-七.2疽1.24

第二个现金流序列的现值为

789

9+I/I/TFT?*1.2f1.2539.616,

第三个现金流序列的现值为

11267812

C,_L1_____U__二:____________QoQna

1.21.2-1.231.2,1.2s

第四个现金流序列的现值为

111328716

9+1.21.2”1.231L2'一志=40.344'

因此，公司应在一年后购买新机器.

4.11.W：

这家公司可以在第1、2、3、4年的年初购买新机器，其对应的六年现金流如下（以1000美元为单位）：

•在第一年的年初购买新机器：22,7,8,9,10,-4

•在第二年的年初购买新机器：9.25.7.8,9,-9

-在第三年的年初购买新机器：9.II28,7.8,-14

-在第四年的年初购买新机器：9.II13.31,7,-19

对于年利率尸=0.10,第一个现金流序列的现值为

78910吉=46.08、

1.1LI2I.Is1.I4

其他现金流的现值可用同样的方法计算出.这四个现金流的现

值分别是

46.08,44.08,44.17.4

6.02,

因此，公司应在一年后购买新机器.

13

4.12解：

由于银行收取两个百分点的费用，这个贷款的实际费用为120000x0.98=117600.每月需要支付利息

120000x0.5%-600.所以该贷款的现金流为

记有效利率为厂，则

%。=颁£禺+蚩祟…。•孙

时间0123536

现金流117(500-600-600-600-120600

4.13解:

第一种还款方式的现值为16000美元，第二种还款方式的现值为

S=10000+10000cQ.

a)r=0.02,5=18187.31,第一种还款方式更可取.

b)r=0.05,5=16065.31.第一种还款方式更可取.

c),=0.10,5=13678.79.第二种还款方式更可取.

4.14解：现

金流为

时间00.514.55

现金流-10003030301030

现值为

-1*+£黑+黯=4。.94.

4.15解:

(1+哗存款金表示•年后的存款金额，如果最初存入L名义利率为5乳•年内复利”次，复合次数越多,

加i报攵

4.16解:

〃天后可得到的利息为

0Wr/9e6

A=1(X)(e-1),

a)n=30,A=0.49.

b)/?=60,A=0.99.

c)n=120,A=1.99.

4.17解:

10006*1+2000/+3000e

14

4.18解:

L05,L057-

4.19解：

20+>0+r>0.2.

1-f-rI+r

4.20解:

1500=1000cM,nt=6.7578.

4.21解：

Ae^+£旭-小+明=力。"£=

n=l11=0'_e

4.22证：

a)因为〃.二加“，当尸》0,“T0时，e汕〜汕+1,所以

D(l+h)==De-e"=D(t)Jx1)(0(\+rh)=D(t)+rhD(t).

b)由上一小问，得

m+七凤)。炳)a*>--<->=］加如)。的)=必).

hfc->oh方TO

c)由上一小问，得

叽八D(x)=>Ini)(/)=rz+Ini：=>I)(f)=De".

o(0)=A

4.23解：

利用命题4.2.1,令两个现金流分别为%（：”有加屿&双⑸,2,3）,所以前一个现金流更可r=l：

收.

4.24解:

a)100(1+r)2=110=>r=0.0438.

b)有r=(ET,P=0•5,所以印)=籍=+

0.0477.

0,p=0.5

4.25解：

1000

=449.33.

c().O8

4.26解:

7()40

100=—+7—7Tor=0.0728.

1+r(1+r)2

15

4.27懈注意：b)间由于翻译原因，所向缱同损率是否等于11%,而是是否大于11$.

a)不需要，每个周期的回报率超过10%当且仅当£吉>L

b)是，因为亮+吾+需=|00为24〉1。。.

4.28蜂

由于XI,X2~N(60,25),所以1.IX]+X2~N(126,55.25),则

户(各+各g)=Pg+XS2])=P(Z>

=0(0.6727)=0.7494.

4.29解：

找一1=1.942%.

rM

4.30证：

a)HITUm=c。<U,lim=4-oo,历以化r>l上必包解，nj址倚该解唯

I、取〃=3,q)=_l,ci=_3,C2=1,则P(-0.8)=9,P(0)=-3,P(1)=-；，显然此时P(r)不单调.

b)

4.31解:

z,,、10009008001200700----“八

PV(")=一面+E+E—?5”序=247.9。)。,

所以应该投资.

4.32证:

(1/e

因为/r(s)dj</尸⑴ds="(f),则JoJo

”(f)―/r(s)ds>Q=>>0,

所以币)也是f的非减函数.

433

证：有

P(ai)=exp=exp|arr(az)],p°(r)=cxp[-

arf(/)],

所以

P(at)>|P(f)]M—r(at)(「〃)一币)是f的非减函数.

4.34证：

a)

°、(一/*(5)ll|),*(7)=-,(f)cxp(-Q(g),r(0MD

P«)=exp-

16

b)

P(f)=expJnP(/)=-

4.35

解：

17

第5章合约的套利定价

5.1W：

a)性敦•顷.新TO=F

b)

5.2解：

.0Q.06x1/2-5=-

a)

5.性挡-5=-3.059.

b)

5.3解：

利用一价律，有

S=Kc-CX=S-Kel

5.4证：

若C>S,则通过同时卖出看涨期权和购买证券来实现套利.

5.5解：

由命题5.2.2,有S+P-C=KQ而P>0,所以Kc”>S-C.

5.6解：

由上一题，C>S-K"=30-28C-°O8/J=2.4628.

5.7解：

山练习5.4,有CVS,贝IJ

a)RS=而'，C’-2S正负皆有可能，该式不一定成立.

b)P-Kea=C-S<0'P<Ke"就该式一定成立.

5.8证：

P—K"+S=CNOnPNTS.

5.9证：

在时刻0,卖出一股股票S,卖出一个看跌期权P,买入一个看涨期权C,收入S+P-C：

在时刻f,若<A；卖出的看跌期权无用，看涨期权被执行，以执行价K买入股票：若S(f)>K,买入的看

涨期权无用，看跌期权被执行，以执行价K买入股票.

由于S+P_C>KeF,所以(S+P-C)e”_K>0,即总可以获得正的收益.

5.10证：

•在时刻0,买入一股股票5,买入一个看跌期权P,卖出一个看涨期权C,支出5+P—C：在时刻总是收

•向银行存入Kc”,支出Ke”,收入K.

所以S+P-C=Ke-".

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5.11解：

设P为看跌期权的价格，则

a）在时刻0,买入看跌期权P、证券s：在时刻，，由于K>si〉$2,所以卖出看跌期权K,所以回报是3

-S）矿.

b）K一（PS）e"0nP=Ke"—*s.

5.12解：

•在时刻0,买入看涨和看跌期权P,支出C,©；在时刻1,收入I.

一向银行存入e.,支出e",收入1.

所以C,+&=e-rt.

5.13解：

因为25=S+P—OKeF=20c-°J/4,所以套利策略为在时刻0.卖出征券S,卖出看跌期权P,买入看涨期

权在时刻f,收入K.回报为（S+P*-K=5.6329.

5.14解：

若这些期权均为欧式期权，令其价格分别为GP,则有

C,=C,Pa>P,

所以

S+P-C=Kcr-3+

5.15证：

若Kx・K2<Px-P2,即阳一&+打一月〉0,不妨假设R>3,在时刻0,卖出（Ki,R）,买入（&,3）,收入R■月:在

时刻f,若两者均执行，则支出任-&则阳-&+必-月>0,存在套利机会，产生矛盾，于是K-K>>Pi-P2.

5.16解：

设某一美式看跌期权I时刻的价格为8,另一个美式看跌期权$（$<,>时刻的价格为P4即证八八”若P）

<8,买入（Rj）,卖出（3,s）,若两者均执行，则此时收入支出相互抵消，获得初始收益外-固，于是存在套

利机会，产生矛盾，所以P,>A.

5.17解：

a）正确，因为C=5+P-Ke”关于I非减，同时该结论对美式看涨期权也成立.

b）错误，因为F=Se（「f”，若要关于f非减，需要，而题中未说明大小关系.

O错误,因为F=Ke-"+C-S关于1非增.

5.18解：

设欧式看涨期权的价格为C,欧式看跌期权的价格为P,则*=S/P—C