高中数学第三讲 椭 圆

第三讲椭圆

©夯基础考点练透

22

1.［2021八省市新高考适应性考试］椭圆上+峥1(m>0)的焦点为FF上顶点为A,若则m=()

mz+lmz3b21

A.1B.V2C.V3D.2

2.［2021广东深圳模拟］己知动点M在以R,F?为焦点的椭圆x2+^=l上,动点N在以M为圆心，|MR|为半径的圆上，

则INF2I的最大值为()

A.2B.4C.8D.16

22

3.［2020安徽省示范高中名校联考1已知椭圆C：a+/l(a>b>0),K,F2分别为其左、右焦点，旧七|=2位,B为短轴的

一个端点,△BFQ(0为坐标原点)的面积为夕，则椭圆的长轴长为()

A.4B.8C.二豆D.1+^3

4.［2020福建省三明市模拟］已知P是椭圆3+9=1上一点,F„&分别为椭圆的左、右焦点，且6腿=60°,则

△FFFz面积为()

A.3V3B.2V3C.V3D.y

22

5.［多选题］己知P是椭圆E:—+匕=1(m>0)上任意一点,M,N是椭圆上关于坐标原点对称的两点,且直线PM,PN的斜率

4m

分别为kbklkhWO),若k"+|k2|的最小值为1,则下列结论正确的是()

A,椭圆E的方程为-+y2=l

B.椭圆E的离心率为之

C.曲线y=log3X4经过E的一个焦点

D.直线2x-y-2=0与E有两个公共点

6.［2019全国卷HI,5分］设FbL为椭圆C:g+g=l的两个焦点,M为C上一点且在第一象限.若aMF岛为等腰三角

3620

形,则M的坐标为.

7.［2020洛阳市第一次联考］已知椭圆6:马+白1回为>0)与双曲线C2:^-g=l(a2>0,b2>0)有相同的焦点R,F?,点P

是曲线G与G的一个公共点,e1,ez分别是G和C2的离心率,若PF,±PF2;则4呼+冬的最小值为.

8.［2020惠州市二调］已知椭圆弓+*1(a>b>0)的短轴长为2,上顶点为A,左顶点为B,左、右焦点分别是R,邑,且

△F,AB的面积为守，点P为椭圆上的任意一点,则短+击的取值范围是_______.

2PRPF2>

9.［2021贵阳市四校第二次联考］在平面直角坐标系中，椭圆C：W+《=l(a>b>0)的焦距为2,且过点

(1)求椭圆C的方程;

⑵过椭圆C左焦点E的直线1(不与坐标轴垂直)与椭圆C交于A,B两点,若点H(-1,0)满足|HA|=|HB|,求|AB|.

22

10.[2020陕西省百校第一次联考]已知椭圆2+3=1(a>b>0)的左焦点为F,椭圆上一动点M到点F的最远距离和最近

a2b2

距离分别为百+1和W-1.

(1)求椭圆的方程；

(2)设A,B分别为椭圆的左、右顶点,过点F且斜率为k的直线与椭圆交于C,D两点,若前•DB+AD-CF=10,求k

的值.

圈提能力考法实战

11.[2021黑龙江大庆调研]已知椭圆C:马+*1(a>b>0),过原点的直线交椭圆于A,B两点，以AB为直径的圆过右焦

a2b2

点F,若/FAB=a,aC*，具则此椭圆离心率的取值范围是()

A.[^,V3-1]B.噂争

C.(0,争D.呼,1)

22

12.[2021四川遂宁模拟]已知椭圆T:^+^=l(a>b>0)的长半轴长为2,且过点M(0,1).若过点M引两条互相垂直的直

线L,L,P为椭圆上任意一点,记点P到的距离分别为d>,d2>则Jdg+e的最大值为()

A.2B.—C.5D.-

33

13.[2020四川五校联考]设椭圆C:。券l(a>b>0)的左、右焦点分别为件,F*离心率为会以FE为直径的圆与椭圆

a2b23

C在第一象限的交点为P,则直线PR的斜率为()

A.iB.iC.—D.—

3232

22

14.[2020江西南昌模拟]已知FFz为椭圆C:巳+9=1(a>b>0)的左、右焦点,过原点0且倾斜角为30°的直线1与椭

l(a2b2

圆C的一个交点为A,若人^口出,5幽”2=2,则椭圆(；的方程为()

A.W匕1B,^l

6284

C.E+匕1。兰+匕1

822016

15.[2020广东七校联考]已知椭圆C的方程为捺翳1(a>b>0),焦距为2c,直线1:y邛x与椭圆C相交于A,B两点，

若|AB|=2c,则椭圆C的离心率为.

16.[2020四省八校联考]设点P是椭圆上的动点,F为椭圆C的右焦点,定点A(2,1),则|PA|+|P四的取值

84

范围是

17.［2020山东枣庄模拟］［递进型］已知椭圆C：W+*1（a>b>0）的左、右焦点分别为F„直线gx-y+4通=0过点F,

且与C在第二象限的交点为P,若/P0F尸60°（0为坐标原点），则丛的坐标为,C的离心率为.

18.［2021河北六校第一次联考］已知P（夜,旧）是椭圆C：W+［=1（a>b〉0）上一点，以点P及椭圆的左、右焦点FbF2

为顶点的三角形的面积为2H.

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）过庄作斜率存在且互相垂直的直线L,k,M是L与C两交点的中点,N是k与C两交点的中点,求△MNFz面积的

最大

因创新预测

19.［2021广西北海市高三一模］［数学与物理综合］2020年3月9日，我国在西昌卫星发射中心用长征三号运载火

箭,成功发射北斗系统第54颗导航卫星，第54颗导航卫星的运行轨道是以地心为一个焦点的椭圆.设地球半径为R,

若其近地点、远地点离地面的距离大约分别是2R,|R,则第54颗导航卫星运行轨道（椭圆）的离心率是)

A.|B***

20.［多选题］历史上，许多人研究过圆锥的截口曲线.如图9-3-1,在此圆锥中，圆锥的母线与轴的夹角为30°,现有

一截面与圆锥的一条母线垂直,与轴的交点0到圆锥顶点M的距离为1,下列关于所得截口曲线的命题中说法正确的

是)

A.该曲线为椭圆

B.点0为该曲线上任意两点之间的线段中最长的线段的三等分点

C.该曲线上任意两点间的距离中最长的距离为1

D.该曲线上任意两点间的距离中最短的距离为这

答案

第三讲椭圆

国1夯基础•考点练透

图D9-3-3

1.C如图D9-3-3所示，由题意可得AAFFz为等边三角形，所以NAFQ=J阳|=从&|=石滔4工所以

sinNAF20=sin：二^―,解得m=V3,故选C.

z

3\AF2\vm4-l

2.B由椭圆的方程可得焦点在y轴上，长半轴长a=2.由题意可得|阳|W|F?M|+|MN|=|FZM|+|MFj,当N,M,F2三点共

线且M在线段冲2上时，|阳I取得最大值,而此时|NF2|=|F2M|+|MN|=|F2M|+1MFj=2a=4,所以|NFz|的最大值为4,故选

B.

22

3.B由题意可知c=V2,SABF10=ibc=yb=V7,解得b=V14,所以a^b+c=4,所以椭圆的长轴长为2a=8,故选B.

4.A解法一由椭圆标准方程，得a=5,b=3,所以C=A必/=4.设|PFj=ti,|PF2kt2,由椭圆的定义可得ti+t2=10

①.在△FFFz中，NFPF2=60°,根据余弦定理可得|PF『+|PF2|2-2|PF"•|PF21cos60°=|FEI?=(2c)?=64,整理可得

ti+t2-tit2=64②.把①两边平方得小+诒+2坟2=100③.由③-②可得1心=12,所以SA&PF2gtit2sinNFiPF2=3g.故

选A.

解法二由椭圆焦点三角形的面积公式，得S^PFZ=b2ta?9tan*=3倔故选A.

5.ACD设P(xo,yo),M(xi,y】)，xoW±xi,yOW土yi,则N(-xb-yi),~+—1,1,所以y广小-r就，无二小-

4m4m4

平，kk哈烹•驾之心鬻于是IkJ+1kzl>2y/\kr•k2\=2y/^2\=2|=标,依题意得标=1,解得m=l,

故E的方程为。+y?=l,A正确.椭圆E的离心率为容B错误.椭圆E的焦点为(士亚0),曲线y=log：,x-；经过焦点

422

(V3,0),C正确.直线2x-y-2=0过点0,0),且点(1,0)在E内,故直线2x-y-2=0与E有两个公共点,D正确.故选

ACD.

6.(3,V15)不妨令R,F?分别为椭圆C的左、右焦点,根据题意可知a=6,c=V5不至岸4.因为△MFE为等腰三角形，

仔+j

3620一3

所以易知|FM|=2c=8,所以|F2M|=2a-8=4.设M(x,y),则<=(刀+4)?+/=64,得二层所以M的坐标

>0,

为⑶V15).

7.；设点P在双曲线的右支上,F2为两曲线的右焦点，由椭圆及双曲线的定义可得1+/功：2卬解得

2[PF1\-\PF2\=2a2，

I!or11Zai?设尸FZ|=2C,因为PF」P&,所以(ai+a2)z+(a「a2)2=4c2,整理得忧+堵=2c；两边同时除以c2,得

嵩+嵩=2.所以4e#e打(4/+唠(城+会片(5+管+第若X(5+2X2)=|,当且仅当誓告,且会+看=2时取“=”，即当

e尸当金¥时取“=”，故4苗+e/的最小值为*

8.[1,4]由已知得2b=2,故b=l,...aZ-cJbJl®.VAF.AB的面积为争，...?a-c)b=9,...a-c=2-6@.由

①②联立解得,a=2,c=8.由椭圆的定义知|PFj+|PF/=2a=4,...★+圭=唱+常」6广疏,，又

PFiPF2PF】PF2\PFr(4PF1\)-PF11+4PF1

2-WWIPF,|^2+V3,A1^-|PFF+41PF,|W4,；.1+<4,即的取值范围是[1,4].

PF1PF2PF±r/*2

9.(1)由题意得2c=2,EPc=l,所以a2=b2+c2=b2+l,

将(1,争代入含若1=1，可得高+a=1，

即2b2+b2+l=2b2(b2+l),整理得(2b?+l)(41)=0,

解得b2=W(舍去)或b'j则齐2,

y.20

所以椭圆C的方程为三+六1.

(2)由题意得FKT,0),设直线1的方程为y=k(x+l)(kW0),

222

A(x„y,),B(x2)y2),联立椭圆C与直线1的方程，可得x+2k(x+l)=2,整理得(21+1)(+41^+21<2-2=0,

则A=16k-4(2k2+l)(2k-2)=8(k2+l)>0,

且X'+xz=-若彳XM噗舒•设AB的中点为M(xo,y。)，则、°=第妇-秦y»=k(xo+1)^^.

因为点H(q,0)满足|HA=|HB|,

所以心=—,即您7,解得k=±1,

k2k.1Tk

2k2+1十3

rn.i,4k242k2-2A

则3X2二一赤丁万XIX26F0，

2=

所以IABIR以+1•J(%1+%2)~4X1X2V2X；二竽.

10.(1)由题意知，a+c=J5+l,a-c=A后T.

又a2=b"+c\所以可得b=V2,c=l,a=V3,

所以椭圆的方程为9+?1.

⑵由(1)可知F(-l,0),则直线CD的方程为y=k(x+l),

(y=k(.x+l),

叫"=1,

132

消去y得(2+3©x2+6k2x+3k2-6=0.

△=36k,-4(2+3k2)(3k-6)=48k2+48>0.

XX1+x2=-X|X2=

设C(xi,yi),D(2,y2),贝U^^7>|^7-

又A(S0),B(V3,0),

所以X?•'DB+AD•CB

=(xi+V3,yi)•(V3-X2,-y2)+(X2+V3,y2)•(V3-xb-yi)

=6-2xiX2-2yiy2

=6-2xiX2-2k2(Xi+l)(X2+I)

=6-(2+2k“)X1X2-2k2(X1+X2)-2k“

=10,

解得k=±粤.

目提能力•考法实战

11.B设椭圆的另一个焦点为F',连接AF',BF,BF',如图D9-3-4所示,则四边形AFBF'是矩形,所以

|AB|=|FF，|=2C,|FA|=2C•cosa,|FB|=2c•sina,由椭圆的定义可知，|FA|+|AF'|二|FA|+|FB|=2a,即2c•cos

a+2c•sina=2a,所以离心率e二二-―——二万—一因为ae1高所以

asma+cosaV2sm(a+-)123

4

£[pV2sin(a+?£[y,V2],所以[当争.故选B.

12.B由题意可得a=2,b=l,所以椭圆的方程为。+y2=i.设p(x,y),

①若直线L,12中的一条直线的斜率不存在,则另一条直线的斜率为0,不妨设直线L的方程为x=0,则k的方程为

y=l.

则嫌+啰=x?+(l-y)2,因为P在椭圆上,所以xM-4y2,

所以我+避=5-3丫2-2丫=5-3(丫+1)，3，丫£[-1,1],

所以当y=T时,出+超有最大值学所以宿铺的最大值为竽.②当直线L,k的斜率都存在，且不为0时,设直线

1I的方程为y=kx+l,即kx-y+l=0,

则L的方程为y=-^x+l,即x+ky-k=0.

所以舟哙产

x2+y2-2y+l

=4-4y2+y2-2y+l

=5-3y-2y,

由①可得同F的最大值为竽•故选B.

13.B解法一由题意可知，|FR|=2c,又由当得c考a,所以IFF214a.因为点P是以FR为直径的圆与椭圆

2

C在第一象限的交点，故PF」PFz且|PFj>|PF2］，所以|PF』2+|PF2|2=EF2『.又|PFJ+|PFz|=2a,所以|PFJ-PF2|=1a,

L

所以IPK|事，IPF2I=1a,所以直线PR的斜率七居=tan/PFFL：f:.故选B.

331步尸1I2

解法二因为，故可设a=3,c=S，贝!Jb=2,SapF/zUb^tan卫詈建b'an45°~|PFi|•IPF/=4.因为点P在第一

象限，所以IPFJ>|PF?|,又|PFJ+1PF/I=2a=6,故|PFJ=4,|PF21=2,所以直线PF,的斜率kp&=tanZPF,F2=^-=i故选

B.

222

14.A因为点A在椭圆上，所以IAFJ+1AF21=2a,把该等式两边同时平方,得|AF||+1AF2|+21AF,|AF21-4a.又

所以IAK「+1AR」=4c2,则21AF|||AF|=4a2-4cMb2,即IAH||AFzI=2b；所以S△*Fz=；lAFi||AF|=b=2.因为

AFI±AF2,22

△AFFz是直角三角形，NRAFz=90°,且0为FE的中点,所以|0人鸟1同=。.不妨设点A在第一象限,则

NA0F2=30。，所以A（苧c,：c）,所以S/MAFZIFF21•氐苫。'2,即c"=4,故aJb'+c'G,所以椭圆C的方程为卷+/=1,

故选A.

15.苧设直线1与椭圆C在第一象限内的交点为A⑶,y）,则yi=^xb由|AB|=2c,可知|OA|=J*+尤=c（0为坐标

原点），即卜+（华x】）2=c,解得xi哼c,所以A的坐标为（笠,ic）,把点A的坐标代入椭圆方程得学二等1,

又a2=b2+c2,e=^,整理得8e4-18e2+9=0,即（4e2-3）（2e-3）=0,又0<e<l,所以e=y.

图D9-3-5

16.[4V2-V17,4V2+V17]如图D9-3-5,设F'是椭圆的左焦点,连接AF',PF'，则F'(-2,0),

|AF|=V42+12=V17.

V|PF|+|PF'=2a=4或，

IPA|+1PF|=IPAI+2a-|PF'W2a+1AF'|=4夜+g,

|PA|+|PF|=|PA|+2a-|PF'|=2a-(|PF'|TPA|)22aTAF'|=4&-g.

,IPAI+1PF的取值范围是[4企-VIN4V2+V17].

17.(4,0)V3-1因为直线6x-y+4b=0过左焦点Fi,所以®的坐标为(-4,0),Fz的坐标为(4,0).因为直线百x-

y+4V3=0的斜率为四,所以NORP=60°,又NP0E=60°,所以△FQP是等边三角形,过点P作PDLFR,垂足为D,则

D为FQ的中点，所以|DP|=|FDtan60°=2倔所以P点的坐标为(-2,2g),所以

2

2a=|PF,|+|PF2|=4+J6+(26)之=4+4百,所以e=^=—^==V3-1.

N2a4+4V3

18.⑴由点P(夜，苗)在椭圆上,可得胃+总=1,

a2b2

整理得2b2+3aJa2b2①.

由S/XPF抵=1x2c义次=2/，解得c=2,

,2

所以1方+不=44,代入①式整理得b-b-12=0)

解得b2=4,a=8.

所以椭圆C的标准方程为

(2)由⑴可得F2(2,0),所以设直线li：x=my+2(m#0),

x=my+2,

产,