高中数学学案1：高中数学人教A版2019必修 第二册 向量的数量积

6.2.4向量的数量积

【学习目标】

素养目标学科素养

1.理解平面向量数量积的含义并会计算。（重点）

1.数学运算；

2.理解a在6上的投影向量的概念。（重点）

2.数学抽象；

3.理解平面向量夹角、模的定义，并会求向量的夹角和模。（难点）

3.逻辑推理。

4.掌握平面向量数量积的性质及其运算律，并会应用。

【自主学习】

—.两向量的夹角

1.定义：已知两个非零向量a,b,。是平面上的任意一点，作洒=a,OB=b,则N/如=〃（0

W“）叫做向量a与b的夹角.

注意：①当。=0时，向量a与8；

_JT„

②当。=万时，向量a与b,记作a_L8；

③当J=JT时，向量a与力_______.

注意：只有两个向量的起点重合时所对应的角才是两向量的夹角，如图所示，/C

N胡。不是向量冷与范的夹角.作位）=游，则N%〃才是向量方与益的夹角..?/-------

二.向量的数量积

已知两个向量a与b,我们把数量|a||引cos，叫做向量a与6的（或—）,

记作a•6,即a•b=a||引cos。（〃为a,6的夹角）.

规定：零向量与任一向量的数量积为.

注意：（1）“•”是数量积的运算符号，既不能省略不写，也不能写成“X”；

（2）数量积的结果为数量，不再是向量;

⑶向量数量积的正负由两个向量的夹角〃决定：当〃是锐角时，数量积为正；当〃是钝角时，

数量积为负；当。是直角时，数量积等于零.

三.投影向量

若与人方向相同的单位向量为e,a与，的夹角为，，则向量a在向量b上的投影向量为

a|cos0e.

当〃=0时，投影向量为；当时，投影向量为；当。=n时，投影向量

为.

四.向量数量积的性质

设a,8是非零向量，它们的夹角是，，e是与b方向相同的单位向量，则

（1）a,e=e,a=.

（2）aJ_Zx=>.

（3）当a与8同向时，a•b=；当a与b反向时，a*b=.特别地，a*a=或

i

=y]a>a.

⑷|a•b|W|a||b|.

a,•h

(5)cos0=,其中〃是非零向量a与力的夹角.

Ia\b

数量积的性质的应用：

性质(2)可用于解决与两个非零向量垂直有关的问题；

性质(3)表明：当两个向量相等时，这两个向量的数量积等于向量长度的平方，因此可用于求

向量的模；

性质⑷可以解决有关“向量不等式”的问题；

性质(5)的实质是平面向量数量积的逆用，可用于求两向量的夹角，也称为夹角公式.

五.向量数量积的运算律

已知向量a,b,c和实数儿，则

(1)交换律:；

(2)数乘结合律：；

(3)分配律：.

注意：(1)向量的数量积不满足消去律；若a,b,c均为非零向量，且a但得不到a

=b.

⑵(a•Z?),cWa•(b•c),因为a•b,b•c是数量积，是实数，不是向量，所以(a•6)•c

与向量c共线，a•(力・c)与向量a共线，因此，(a・力)•c=a•(。・c)在一般情况下不成立.

(3)推论:(a+b)2=a+2a,Z>+Z>2.

【小试牛刀】

思维辨析(对的打“v”，错的打“X”)

(1)两个向量的数量积仍然是向量.()

(2)若a•6=0,则a与b至少有一个为零向量.()

(3)若a•/>>(),则a与b的夹角为锐角.()

(4)若a•c=b•c(cWO),贝Ua=b.()

⑸对于任意向量a,都有()

(6)a,6共线b\.()

【经典例题】

题型一求平面向量的数量积

点拨：求向量的数量积时，需明确两个关键点：模和夹角.若相关向量是两个或两个以上向量

的线性运算，则需先利用向量数量积的运算律及多项式乘法的相关公式进行化简.

例1已知|a=5,|引=4,a与b的夹角为120°,试求：

⑴a,b；

(2)(a+8)•(a—6)；

(3)(2a-b)*(a+32>).

2

【跟踪训练】1如图，在口力5(力中，|宓|=4,|沏=3,ZDAB=QQ°,求:DC

(1)AB-反I；(2)AC-BD.

A-----------

题型二求向量的模

点拨：求模问题一般转化为求模的平方，灵活应用&・&=&2=上『或|司=4/

例2已知平面向量a与。的夹角为60°,a\=2,b\=l,则|a+26|=

【跟踪训练】2已知向量a与8的夹角为45°,且|a|=l,|2a+6|=MI5,则b=.

题型三求两向量的夹角

a.•h

点拨：求向量a与6夹角的关键是计算a及a\b\,利用cosS=~~下订，0G[0,n],

a\b\

求出J的值.

在个别含有IH，I引与a•力的等量关系中，常利用消元思想计算cos〃的值.

例3(1)已知|a|=6,力|=4,(a+2b)•(a-3b)=-72,则a与b的夹角为；

(2)已知非零向量a,6满足|a|=2|6,且(a—力„,则a与力的夹角为.

【跟踪训练】3已知单位向量e”62的夹角为才，求向量a=&+ez,8=ez—2©的夹角.

O

题型四利用向量垂直求参数

点拨：常用向量数量积的性质3_1g2・6=0解决向量垂直问题，应熟练掌握.

例4已知a=2,引=3,则当A为何值时，向量3a+2,与4a—b互相垂直?

3

【跟踪训练】4已知向量a与6的夹角是?，且|a|=l,b=2,若（小a+46）_La,则实数

O

4=.

【当堂达标】

1.下列命题正确的是()

A.\a*b\=a\b\B.a•a|+)|WO

C.a,6=0=ab=0D.(a+b)•c=a,c+b•c

2.在△45。中，AB-AC<0,则△/8。是（C）

A.锐角三角形B.直角三角形

C.钝角三角形D.等边三角形

3.已知平面向量a,8满足a•（a+6）=3且a=2,b\=\,则向量a与6的夹角为（）

JT

A-T

4.已知向量a与8的夹角为120°,且|a|=4,|力=2,则|a+6|=,|3a—48=____.

5.已知|a|=3,|b|=5,a,b=—12,且e是与力方向相同的单位向量，则a在人上的投影向

量为.

6.已知向量a,6的夹角为60°,且a\=2,\b\=\,若c=2a—b,d=a+2b,求：

⑴c・d；⑵|c+2H.

【课堂小结】

L两向量a与8的数量积是一个实数，不是一个向量，其值可以为正（当aNO,

4

JIJIJI

时），也可以为负（当于V“时），还可以为（当或或于时）.

3乙aWO"WO,乙OW08=06=06=乙

2.两非零向量a,b,&_!_%"•6=0,求向量模时要灵活运用公式Ia|

a•b

3.求两个非零向量a,力的夹角，或其余弦值一般采用夹角公式cosJ=G7E，根据题中条

件分别求出㈤，力|和a确定，时要注意。e[0,n].

【参考答案】

【自主学习】

一.同向垂直反向

二.非零数量积内积0

三.aeQ-ae

四.|a|cos0a,Z>=0|a\b\—\a\ba

五.a,b=b*a(4a)•b=4(a•8)=a•(t>)(a+b)•c=a,c+b,c

【小试牛刀】

⑴X(2)X(3)X(4)X(5)V(6)X

【经典例题】

例1解⑴a\\b\cosl20°=5X4X(―；)=-40.

(2)(a+b)•(a—Z>)=a—a•b+a,2>—£>'=a'—Z>'=Iab2=25—16=9.

(3)(2a-A)•(a+3b)=2，+6a・b~a•Z>-3Z>2=2|a|2+5a•Z>-3|/>|2=2X25-5X10-3X16

=-48.

【跟踪训练】1解（1）因为晒质的夹角为60°,所以葩与方的夹角为120°,

所以葩•而=|荔||应|•cos120°=4*3*（一；）=-6.

（2）因为范三丽就BD=AD-AB,所以范•诙=（油+沏•（矗一疵=疯一宓=9-16=一

7.

例22小解：|a+26|=g（a+2b）,8+44=#|a|°+41a|引cos60°+4|引?

=^j4+4X2Xlx1+4=2^3.

【跟踪训练】2/解：因为12a+引=亚，所以（2a+6）2=10,所以4，+4a•8+斤=10,

又因为向量a与6的夹角为45°且|a|=l,所以4XF+4X1*|引X^+|引=口

整理得|2m|-6=0,解得|引=隹或|引=一3小（舍去）.

、JIJI

例3⑴彳⑵丁

OO

解析(1)设a与6的夹角为0,(a+26)•(a—3Z?)=a,a—3a•b+2b•a—6b•b

5

=|a\~—a*b—6\b\1=\a\~^\a\b\cos。-61引'=6'—6X4Xcos〃-6X4'=-72,

所以24cos，=36+72-96=12,所以cos又因为夕w[。，兀],所以

乙0

(2)设a与b的夹角为0,由(a—b)_Lb,得(a—b)・b=0,所以a9b=b~,所以cos0=-

又因为㈤=2|引，所以cos.又因为〃e[0,所以。=?.

乙b4a

【跟踪训练】3解：•••2,当为单位向量且夹角为？，

兀1

ei•e=1X1Xcos-=7.

2o乙

I3

■:a*b=M+e》•(e?-2©)=­2—©•a+l=-2—g+l=­

2JT2n

又・・・夕£[0,冗],，。==-,・・・a与力的夹角为up

oo

例4解：因为3a+2。与尬一6互相垂直，

所以(3a+26)•(旅-6)=0,所以34a?+(24-3)a•6-2斤=0.

3

因为所以a•6=0,又|a|=2,b=3,所以124—18=0,k—~

【跟踪训练】4f解析：根据题意得a-b=a\•\bcos?=1,因为(小a+

o

所以(ma+儿b),a=y[3^+Aa,b=y[3+A=0,所以儿=—十.

【当堂达标】

1.D解析：选项D是分配律，正确，A、B、C不正确.

—►―►—►—►

2.C解析：•・•加•47=|力血〃Clcos水0,「.cos水0,，力是钝角，则是钝角三角形.

3.C解析：选C.因为a•(a+6)=/+a•6=4+2cos〈a,b}=3,所以cos〈26〉

9n

又因为〈a,b)G[0,n],所以{a,b)=—.