现代控制系统第十二版课后习题9章答案

第9章频域稳定性

基础练习题

E9.1某系统的开环传递法数为L（S）=G.（S）G（S）=.0+5二，81）绘制其伯德

图,并验证增益裕度和相角裕度分别约为26.2dB和17.5°o

【解析】传递函数G,.（S）G（S）的伯德图如图所示，其中

增益裕度和用角裕度分别为G.M.=26.2dB,

G('s，)G('s)，=-s--(-l--+--5--s)(l+s…/9+//8i)、

尸."=17.5°。

K(l+s/5)

E9.2某系统的开环传递函数为£（5）=G＜（3）G（S）=其中,AT-10.5

5(14-5/2)(1+5/10)o

验证系统幅频曲线与OdB线的穿越频率为5rad/s,相角裕度为40,。

10.5(1+5/5)

【解析】开环传递函数为G(s)G(s)=伯德图如图所示。当

5(1+.v/2)(l+5/IO)

3c=496rad/sec时相角裕度为P.M.=40.4,

BodeOdgram

Gm-radMC>,Pm-404deq(«496

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Frequency(radsec)

E9.3某集成电路可以用做反馈系统，以便调节电源的输出电压。该电路开环传递函数

的伯德图如图E9.3所示，试求其增益裕度和相角裕度。

【解析】在200kHz时相角裕度为只例.丈75,我们估计2MHz时相角为-180°,故增益裕

度为G.M.=25dBo

E9.4某系统的开环传递函数为G,、（s）G（s）=八、若希望闭环谐振峰值达到

*53°+?1。）

Mp®二3.0dB,而现有系统的谐振频率处在6〜9rad/s之间,谐振峰值仅为1.25dB。在6~15

rad/s的频率范围内绘制系统的尼科尔斯图，并证明为了达到所需要的谐振峰值，应该将系

统增益提高4.6dB,即提高到171。最后，计算调整后系统的谐振频率。

100

【解析】开环传递函数为伉（s）G（$）=尼科尔斯图如下图所示。当系统增益提

5(5+10)

高4.6dB时，M=3,谐振频率为"=ll「ad/sec0

Phaie（deg）

E9.5某集成CMOS电路的伯德图如图E9.5所示。

（a）试求出增益裕度和相角裕度。

(b)为了使相角裕度达到60,系统增益应该下降多少(dB)?

【解析】(a)G.M.a5dE,

(b)为了使相角裕度达到60°,系统增益应该下降10dB。

K(s+100)

E9.6某系统的开环传递函数为L(s)=(s)G(s)当K=500时，系统

s(s+10)(s+40)

是不稳定的。试验证，当增益减小为50时，谐振峰值为3.5dB,并找出此时的相角裕度.

/、50(s+l()0)

【解析】闭环传递函数为T(s):3<…，伯德图如下。Mpe=3dB,当

s+50s+450s+5()00

长=50时。.加.=40°。

E9.7某单位负反馈系统的开环传递函数为L(s)=G,(s)G(s)=试利用奈奎斯特图,

s~~5

确定使系统稳定的K的取值范围。

【解析】K=5时奈奎斯特图如下，曲线为一个直径为K/5的圆。当K〉5时，P=\,N=7,

故2='+P=-1+1=0,且当K〉5时系统稳定。

NyquistDogram

•

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E9.8某单位负反馈系统的传递函数为“s)=G,(s)G(s)=+s+2)

闭环频率响应如下图所示,带宽为纬=6rad/seco

10(l+0.4.v)

E9.ll某单位负反馈系统的开环传递函数为G,(s)G(s)

5(1+25)(1+0.24.V+0.0452)

(a)绘制伯德图。

(b)求出系统的增益裕度和相角裕度。

【解析】伯德图如下，系统稳定。

BodeOiagrtm

Gm-3.91dB(at3.74sec).Pm-144deg(a2.76rM'MC)

100

-

O

10',100

Frequency(radseci

E9.12考虑图9.1所示的闭环系统，其开环传递函数为G,(s)G(s)=————；——万其

S(T1S+1)(+11

中，r(=0.02S,r2—0.2So

(a)确定K的取值，便系统对斜坡输入厂(。=A/,f20的稳态误差为斜坡输入幅度A

的10%0

(b)绘制G'.(s)G(s)的伯德图，并求出系统的增益裕度和相角裕度。

(c)利用尼科尔斯图求出闭环系统的带宽,%,谐振峰值"p0和谐振频率®

【解析】取K=10来满足稳态误差为斜坡输入幅度的10%。伯德图和尼科尔斯图如下，

15()

E9.13某单位负反馈系统的开环传递函数为L(s)=Gc(s)G(s)=

s(s+5)

(a)利用尼科尔斯图，计算闭环频率响应的最大幅值。

(b)求出闭环系统的带宽和谐振频率。

(c)用频域指标估计系统单位阶跃响应的超调量。

【解析】(a)尼科尔斯图如下，Mpe=7.97dB。

18.65rad/sec,

谐振频率为?=11工9rad/seco

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Frequency(rad'sec)

丁*1-B/2

E9.16纯时延环节"'7的传递函数可以近似表示为*丁八其中,0＜。＜2/7。当

1+Is2

7=0.2,即时，分别绘制实际传递函数和近似传递函数的伯德图。

］一/◎10

【解析】近似传递函数为GO。)，"；①]0,幅值为Q(9)|==1,其等于

i+a/io

实际的时延幅度。相角近似为。=TanTM0+tanT(-3/10)=-2tanT©/10,实际相角

为。=一0.2口。相角图如图所示，&＜3rad/sec时近似值是准确的。

Actual&Approximatx)n

-120

10"101101

Frequency(rad'sec)

\K(s+2)

E9.17某单位负反馈系统的开环传递函数为L(s)=Gc(s)G(s)=$+；『+&

(a)绘制伯德图。

(b)确定增益K的合适取值，使系统的相角裕度达到30\并计算此时系统斜坡响应的稳

态误差。

【解析】系统的相角裕度达到30：,则相位角为。=—9O°+tanT@—tan-i3y=-15()°,

215-5

./、IK(4+41

解得@=47@6(汝------------------------=1,则K=10.82。伯德图如下。

0((2苏)-+(15-1)]2

80ddO«grarm

5=35545dB(M43301rad/secXPm=40deg.僮3.5147rad/sec)

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Frequency(rX/xd

R(s)=NS~时斜坡输入的稳态误差为e.=/■=弋-0.60A。

、/MK、10K

nr

E9.18在磁盘驱动器的执行机构中，常用防震支架来吸收频率为60HZ左右的震荡能量。若

减震控制系统的开环传递函数G,(S)G(S)的伯德图如图E9.18所示。

(a)估算闭环阶跃响应的超调量(%)«

(b)估算系统的闭环带宽。

(c)估算系统的调节时间(按2%准则)o

【解析】(a)在"=486%时有增益交叉，相角裕度为2M.=36.2°,故G、0.36。闭环

阶跃响应的超调量为P.O.=100"6/叱=30%。

(b)估算系统带宽为^^2万(600)。

44

⑹近似值与5=2万(48。)，则…嬴=(0.36)21(480)/，。

E9.19使用比例控制器G，(s)=K的单位负反馈系统的受控对象为6(5)=：^确定K

的取值,使系统的相角裕度达到50',并计算此时的增益裕度。

0Ai-Ob

e-1675e

【解析】K=16.75时传递函数为G(s)G(s)=K底而=：；10,伯德图如下。相角

裕度和增益裕度为P.M.=50.0,G.M.=2.72dB0

GE27233㈤Urt206l8xc).Pm»5080MU434dec)

E9.20在高速公路上，一位司机驾驶汽车跟在另外一辆汽车后面。若将司机也考虑在内，汽

车系统的简化模型可以用图E9.20的框图表示，该模型考虑了司机的反应时延下。不同的

司机具有不同的反应时延，假设一个司机的反应时延为1s,另一个为1.5So当前面一辆汽车

紧急刹车时，司机获得阶跃输入R(s)=-l/s,分别确定不同司机驾驶的车辆的时域输出响

应)«)(也就是汽车的动态刹车过程)。

司机

*Y(s)

R(s)

~2汽车速度

图E9.20汽车控制系统

【解析】两个司机驾驶的系统响应如图

当.带

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438

【解析】G(s)G叱(-2)(.0)，尼科尔斯侵如下。

「0

Phw(deg)

M磨)=1.6598(4.4dB),3r-2.4228rad/sec,%=4.5834rad/sec,,

E9.24某单位负反馈系统的开环传递函数为L(5)=G,(s)G(s)=-^―其中K=1/2,

7=1。图E9.24给出了Gr(/0)G(〃y)的极坐标图，用奈奎斯特稳定性判据判断闭环系统

的稳定性。

图E9.24G(S)G(S)=K/(-l+7S)的极坐标图

【解析】由奈奎斯特稳定性判据，有尸=1,乂=0即2=2+2=1,因此，系统在右半平

面有一个根。

117

E9.25某单位负反馈系统的开环传递函数为L(s)=G,(s)G(s)=八…试

s(l+0.05s)(1+0.1s)

估算系统的相角裕度和OdB线穿越频率。

【解析】伯德图如下。

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