2025年湖北省随州市曾都区八角楼教联体多校联考中考数学一模试卷

第1页（共1页）2025年湖北省随州市曾都区八角楼教联体多校联考中考数学一模试卷一、选择题（共10题，每题3分，共30分，在每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1．（3分）的倒数是（）A．2025 B．﹣2025 C． D．2．（3分）2022年2月第24届冬季奥林匹克运动会在我国北京成功举办，以下是参选的冬奥会会徽设计的部分图形，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A． B． C． D．3．（3分）如图所示的几何体，其俯视图是（）A． B． C． D．4．（3分）下列计算正确的是（）A．a3+a2＝a5 B．a3÷a2＝a C．3a3•2a2＝6a6 D．（a﹣2）2＝a2﹣45．（3分）一个不透明袋子中装有除颜色外均相同的5个小球，其中3个红球，2个黄球，下列事件是不可能事件的是（）A．摸出3个黄球 B．摸出3个红球 C．摸出2个黄球，1个红球 D．摸出2个红球，1个黄球6．（3分）如图，将一副三角尺按图中所示位置摆放，点F在AC上，∠ABC＝60°，∠EFD＝90°，AB∥DE，则∠AFD的度数是（）A．15° B．30° C．45° D．60°7．（3分）小明参加了一场2000米的跑步比赛，他以4米/秒的速度跑了一段路程后，又以3米/秒的速度跑完了剩下的路程，设小明以4米/秒的速度跑了x米，则列方程为（）A．4x＝3（x+10） B． C． D．8．（3分）如图，C，D是⊙O上直径AB两侧的两点，设∠ABC＝25°（）A．85° B．75° C．70° D．65°9．（3分）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点C与原点O重合，点A在反比例函数的图象上（﹣4，3），则k的值为（）A．﹣32 B．﹣24 C．20 D．3210．（3分）表中所列x，y的7对值是二次函数y＝ax2+bx+c图象上的点所对应的坐标，其中x1＜x2＜x3＜x4＜x5＜x6＜x7．x…x1x2x3x4x5x6x7…y…7m14k14m7…根据表中提供的信息，有以下四个判断：①a＜0；②7＜m＜14；③当时；④b2≥4a（c﹣k）；其中判断正确的有（）个．A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题（共5题，每题3分，共15分）11．（3分）代数式有意义时，x应满足的条件是．12．（3分）请写出一个常数c的值，使得关于x的方程x2+2x+c＝0有两个不相等的实数根，则c的值可以是．13．（3分）中国象棋文化历史久远．在图中所示的部分棋盘中，“馬”的位置在“﹣﹣﹣”（图中虚线）的下方，则“馬”随机移动一次，到达的位置在“﹣﹣﹣”上方的概率是．14．（3分）如图是可调躺椅示意图（数据如图），AE与BD的交点为C，且∠A，∠E保持不变．为了舒适，需调整∠D的大小，则图中∠D应（填“增加”或“减少”）度．15．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，E是BC的中点，连结AE，沿过点P的直线将矩形折叠，使点D落在AE上的点D′处，PD＝．三、解答题（共9题，共75分、解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16．（6分）计算：﹣12×﹣（）﹣1+|﹣3|+2cos60°．17．（6分）如图所示，在▱ABCD中，AE⊥BD，垂足分别为E，F，求证：BE＝DF．18．（6分）数学实践活动小组去测量眉山市某标志性建筑物的高CD．如图，在楼前平地A处测得楼顶C处的仰角为30°，沿AD方向前进60m到达B处，求此建筑物的高．（结果保留整数．参考数据：≈1.41，≈1.73）19．（8分）在孝感市关工委组织的“五好小公民”主题教育活动中，我市蓝天学校组织全校学生参加了“红旗队飘，引我成长”知识竞赛，按从高分到低分将成绩分成A，B，C，D，E五类根据上面提供的信息解答下列问题：（1）D类所对应的圆心角是度，样本中成绩的中位数落在类中，并补全条形统计图；（2）若A类含有2名男生和2名女生，随机选择2名学生担任校园广播“孝心伴我行”节目主持人，请用列表法或画树状图法求恰好抽到1名男生和1名女生的概率．20．（8分）如图，反比例函数y＝的图象与一次函数y＝kx+b的图象交于A（2，5），B（n，1），一次函数y＝kx+b的图象与y轴交于点C．（1）求反比例函数的关系式与n的值；（2）根据图象直接写出不等式kx+b﹣＞0时x的取值范围；（3）若动点P在x轴上，求PA+PB的最小值．21．（8分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠ABC＝90°，作直线BE，使∠ABE＝∠C（1）求证：BE是⊙O的切线；（2）当AB＝16，BC＝12时，求DE的长．22．（10分）春节期间，全国各影院上映多部影片，某影院每天运营成本为2000元（单位：张）与售价x（单位：元/张）之间满足一次函数关系（30≤x≤80，且x是整数）电影票售价x（元/张）4050售出电影票数量y（张）164124（1）请求出y与x之间的函数关系式；（2）设该影院每天的利润（利润＝票房收入﹣运营成本）为w（单位：元），求w与x之间的函数关系式；（3）该影院将电影票售价x定为多少时，每天获利最大？最大利润是多少？23．（11分）如图，△ABC中，AB﹣AC，点D在射线AC上，连接BD，得到线段DE，连接BE（1）当点D在线段AC上时，①如图1，当α＝60°时，请直接写出线段CE与线段AD的数量关系是，∠DCE＝°；②如图2，当α＝90°时，求的值；（2）如图3，当α＝90°时，点D在AC的延长线上，若AD＝2CD，求的值．24．（12分）如图1，抛物线y＝ax2+bx+c交x轴于A，C两点，交y轴于点B，若点A的坐标为（﹣1，0），OB＝OC（m，8）为某个动点．（1）直接写出点B，C的坐标；（2）当点D在抛物线上且在对称轴右侧时，设直线AD的解析式为y＝kx+d，依据函数图象试求不等式ax2+（b﹣k）x+c﹣d＜0的解集；（3）如图2，过点D作x轴的垂线DE，交抛物线于点E，求n关于m的函数解析式．当n随m的增大而增大时，求m的取值范围．

2025年湖北省随州市曾都区八角楼教联体多校联考中考数学一模试卷参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）题号12345678910答案A．CDBAADDAC一、选择题（共10题，每题3分，共30分，在每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1．（3分）的倒数是（）A．2025 B．﹣2025 C． D．【分析】利用倒数的定义求解即可．【解答】解：的倒数是2025．故选：A．2．（3分）2022年2月第24届冬季奥林匹克运动会在我国北京成功举办，以下是参选的冬奥会会徽设计的部分图形，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A． B． C． D．【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义解答即可．【解答】解：根据轴对称图形和中心对称图形的定义可知，C选项既是轴对称图形，故选：C．3．（3分）如图所示的几何体，其俯视图是（）A． B． C． D．【分析】找到从上面看所得到的图形即可．【解答】解：从上面看到的图形如下：故选：D．4．（3分）下列计算正确的是（）A．a3+a2＝a5 B．a3÷a2＝a C．3a3•2a2＝6a6 D．（a﹣2）2＝a2﹣4【分析】根据同底数幂的除法运算法则，单项式乘单项式运算法则以及完全平方公式的展开即可正确求解．【解答】解：a3、a2不是同类项，因此不能用加法进行合并，根据同底数幂的除法运算法则a8÷a2＝a，故B项符合题意，根据单项式乘单项式的运算法则可得3a3•2a2＝8a5，故C项不符合题意，根据完全平方公式展开（a﹣2）6＝a2﹣4a+7，故D项不符合题意．故选：B．5．（3分）一个不透明袋子中装有除颜色外均相同的5个小球，其中3个红球，2个黄球，下列事件是不可能事件的是（）A．摸出3个黄球 B．摸出3个红球 C．摸出2个黄球，1个红球 D．摸出2个红球，1个黄球【分析】根据不可能事件的定义判断即可．【解答】解：A．只有2个黄球，为不可能事件；B．因为有3个红球，所以摸出5个红球，故本选项不合题意；C．因为有3个红球，所以摸出2个黄球，为可能事件；D．因为有4个红球，所以摸出2个红球，为可能事件；故选：A．6．（3分）如图，将一副三角尺按图中所示位置摆放，点F在AC上，∠ABC＝60°，∠EFD＝90°，AB∥DE，则∠AFD的度数是（）A．15° B．30° C．45° D．60°【分析】利用三角板的度数可得∠A＝30°，∠D＝45°，由平行线的性质定理可得∠1＝∠D＝45°，利用三角形外角的性质可得结果．【解答】解：如图，∵∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，∴∠A＝180°﹣∠ACB﹣∠ABC＝180°﹣90°﹣60°＝30°，∵∠EFD＝90°，∠DEF＝45°，∴∠D＝180°﹣∠EFD﹣∠DEF＝180°﹣90°﹣45°＝45°，∵AB∥DE，∴∠1＝∠D＝45°，∴∠AFD＝∠1﹣∠A＝45°﹣30°＝15°，故选：A．7．（3分）小明参加了一场2000米的跑步比赛，他以4米/秒的速度跑了一段路程后，又以3米/秒的速度跑完了剩下的路程，设小明以4米/秒的速度跑了x米，则列方程为（）A．4x＝3（x+10） B． C． D．【分析】根据“以4米/秒的速度跑了x米的时间+以3米/秒的速度跑了（2000﹣x）米的时间＝60×10秒”建立方程即可得．【解答】解：以4米/秒的速度跑了x米的时间+以3米/秒的速度跑了（2000﹣x）米的时间＝60×10秒可列方程：．故选：D．8．（3分）如图，C，D是⊙O上直径AB两侧的两点，设∠ABC＝25°（）A．85° B．75° C．70° D．65°【分析】连接OC，根据圆周角定理可得∠AOC的度数，再根据平角的性质可得∠BOC的度数，再根据圆周角定理即可求出∠BDC的度数．【解答】解：连接OC，如图，∵∠ABC＝25°，∴∠AOC＝2∠ABC＝2×25°＝50°，∴∠BOC＝180°﹣∠AOC＝180°﹣50°＝130°，∴．解法二：因为AB是直径，所以∠ACB＝90°所以∠BDC＝∠CAB＝90°﹣∠ABC＝65°．故选：D．9．（3分）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点C与原点O重合，点A在反比例函数的图象上（﹣4，3），则k的值为（）A．﹣32 B．﹣24 C．20 D．32【分析】过点D作x轴的垂线，垂足为F，由点D的坐标，利用勾股定理可求出OD的长，利用菱形的性质可得出AD的长，进而可得出点A的坐标，再利用反比例函数图象上点的坐标特征，即可求出反比例函数的关系式．【解答】解：过点D作x轴的垂线，垂足为F如图所示，∵点D的坐标为（﹣4，3），∴OF＝5，DF＝3，∴OD＝＝＝5，∵四边形ABCD为菱形，∴AD＝OD＝6，∴点A坐标为（﹣4，8）．∵点A在反比例函数y＝的图象上，∴k＝﹣2×8＝﹣32．故选：A．10．（3分）表中所列x，y的7对值是二次函数y＝ax2+bx+c图象上的点所对应的坐标，其中x1＜x2＜x3＜x4＜x5＜x6＜x7．x…x1x2x3x4x5x6x7…y…7m14k14m7…根据表中提供的信息，有以下四个判断：①a＜0；②7＜m＜14；③当时；④b2≥4a（c﹣k）；其中判断正确的有（）个．A．1 B．2 C．3 D．4【分析】依据题意，首先根据x1＜x2＜x3＜x4＜x5＜x6＜x7，其对应的函数值是先增大后减小，可得抛物线开口向下，所以a＜0；然后根据函数值是先增大后减小，可得7＜m＜14＜k；最后根据a＜0，可得二次函数有最大值，而且二次函数的最小值，所以b2≥4a（c﹣k），据此判断即可．【解答】解：∵x1＜x2＜x6＜x4＜x5＜x7＜x7，其对应的函数值是先增大后减小，∴抛物线开口向下，∴a＜0，①符合题意；∴5＜m＜14＜k，∴7＜m＜14，②符合题意；根据图表中的数据知，只有当x＝，抛物线的顶点坐标纵坐标不一定是k；∵≥k，∴4ac﹣b2≤4ak，∴b2≥6a（c﹣k），④符合题意．综上，可得判断正确的是：①②④．故选：C．二、填空题（共5题，每题3分，共15分）11．（3分）代数式有意义时，x应满足的条件是x＞8．【分析】直接利用分母不为零、二次根式的定义求出x的取值范围．【解答】解：代数式有意义时，x﹣6＞0，解得：x＞8．故答案为：x＞4．12．（3分）请写出一个常数c的值，使得关于x的方程x2+2x+c＝0有两个不相等的实数根，则c的值可以是0（答案不唯一）．．【分析】根据方程的系数结合根的判别式Δ＝b2﹣4ac＞0，即可得出关于c的不等式，解之即可求出c的值．【解答】解：a＝1，b＝﹣2．∵Δ＝b3﹣4ac＝（﹣2）5﹣4×1×c＞2，∴c＜1．故答案为：0（答案不唯一）．13．（3分）中国象棋文化历史久远．在图中所示的部分棋盘中，“馬”的位置在“﹣﹣﹣”（图中虚线）的下方，则“馬”随机移动一次，到达的位置在“﹣﹣﹣”上方的概率是．【分析】用“﹣﹣﹣”（图中虚线）的上方的黑点个数除以所有黑点的个数即可求得答案．【解答】解：观察“馬”移动一次能够到达的所有位置，即用“●”标记的有8处，位于“﹣﹣﹣”（图中虚线）的上方的有2处，所以“馬”随机移动一次，到达的位置在“﹣﹣﹣”上方的概率是＝，故答案为：．14．（3分）如图是可调躺椅示意图（数据如图），AE与BD的交点为C，且∠A，∠E保持不变．为了舒适，需调整∠D的大小，则图中∠D应减少（填“增加”或“减少”）10度．【分析】连接CF，并延长至点M，在△ABC中，利用三角形内角和定理，可得出∠ACB的度数，结合对顶角相等，可得出∠DCE的度数，利用三角形外角的性质，可得出∠DFM＝∠DCF+∠D，∠EFM＝∠ECF+∠E，二者相加后，可求出∠D的度数，再结合∠D的原度数，即可求出结论．【解答】解：连接CF，并延长至点M．在△ABC中，∠A＝50°，∴∠ACB＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣50°﹣60°＝70°，∴∠DCE＝∠ACB＝70°．∵∠DFM＝∠DCF+∠D，∠EFM＝∠ECF+∠E，∴∠EFD＝∠DCF+∠ECF+∠D+∠E＝∠DCE+∠D+∠E，即110°＝70°+∠D+30°，∴∠D＝10°，∴20°﹣10°＝10°，∴图中∠D应减少（填“增加”或“减少”）10度．故答案为：减少；10．15．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，E是BC的中点，连结AE，沿过点P的直线将矩形折叠，使点D落在AE上的点D′处，PD＝或．【分析】根据矩形的性质得到AD＝BC＝6，∠BAD＝∠D＝∠B＝90°，根据勾股定理得到AE＝＝＝5，设PD′＝PD＝x，则AP＝6﹣x，当△APD′是直角三角形时，①当∠AD′P＝90°时，②当∠APD′＝90°时，根据相似三角形的性质列出方程，解之即可得到结论．【解答】解：∵在矩形ABCD中，AB＝4，∴AD＝BC＝6，∠BAD＝∠D＝∠B＝90°，∵E是BC的中点，∴BE＝CE＝6，∴AE＝＝＝5，∵沿过点P的直线将矩形折叠，使点D落在AE上的点D′处，∴PD′＝PD，设PD′＝PD＝x，则AP＝6﹣x，当△APD′是直角三角形时，①当∠AD′P＝90°时，∴∠AD′P＝∠B＝90°，∵AD∥BC，∴∠PAD′＝∠AEB，∴△ABE∽△PD′A，∴＝，∴＝，∴x＝，∴PD＝；②当∠APD′＝90°时，∴∠APD′＝∠B＝90°，∵∠PAE＝∠AEB，∴△APD′∽△EBA，∴，∴＝，∴x＝，∴PD＝，综上所述，当△APD′是直角三角形时或，故答案为：或．三、解答题（共9题，共75分、解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16．（6分）计算：﹣12×﹣（）﹣1+|﹣3|+2cos60°．【分析】依次计算各式结果：＝3，（）﹣1＝2，|﹣3|＝3，cos60°＝．【解答】解：原式＝＝＝﹣1．17．（6分）如图所示，在▱ABCD中，AE⊥BD，垂足分别为E，F，求证：BE＝DF．【分析】利用AAS，易证得△ABE≌△CDF，然后由全等三角形的性质，证得结论．【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD，∴∠ABE＝∠CDF，∵AE⊥BD，CF⊥BD，∴∠AEB＝∠CFD＝90°，在△ABE和△CDF中，，∴△ABE≌△CDF（AAS），∴BE＝DF．18．（6分）数学实践活动小组去测量眉山市某标志性建筑物的高CD．如图，在楼前平地A处测得楼顶C处的仰角为30°，沿AD方向前进60m到达B处，求此建筑物的高．（结果保留整数．参考数据：≈1.41，≈1.73）【分析】在Rt△BCD中，∠CBD＝45°，设CD为xm，则BD＝CD＝xm，AD＝BD+AB＝（60+x）m，在Rt△ACD中，tan∠CAD＝tan30°＝＝，解方程即可．【解答】解：在Rt△BCD中，∠CBD＝45°，设CD为xm，∴BD＝CD＝xm，∴AD＝BD+AB＝（60+x）m，在Rt△ACD中，∠CAD＝30°，tan∠CAD＝tan30°＝＝，解得≈82．答：此建筑物的高度约为82m．19．（8分）在孝感市关工委组织的“五好小公民”主题教育活动中，我市蓝天学校组织全校学生参加了“红旗队飘，引我成长”知识竞赛，按从高分到低分将成绩分成A，B，C，D，E五类根据上面提供的信息解答下列问题：（1）D类所对应的圆心角是72度，样本中成绩的中位数落在C类中，并补全条形统计图；（2）若A类含有2名男生和2名女生，随机选择2名学生担任校园广播“孝心伴我行”节目主持人，请用列表法或画树状图法求恰好抽到1名男生和1名女生的概率．【分析】（1）首先用C类别的学生人数除以C类别的人数占的百分率，求出共有多少名学生；然后根据B类别百分比求得其人数，由各类别人数和等于总人数求得D的人数，最后用360°乘以样本中D类别人数所占比例可得其圆心角度数，根据中位数定义求得答案．（3）若A等级的4名学生中有2名男生2名女生，现从中任意选取2名担任校园广播“孝心伴我行”节目主持人，应用列表法的方法，求出恰好选到1名男生和1名女生的概率是多少即可．【解答】解：（1）∵被调查的总人数为30÷30%＝100人，则B类别人数为100×40%＝40人，所以D类别人数为100﹣（4+40+30+6）＝20人，则D类所对应的圆心角是360°×＝72°、51个数据的平均数、51个数据均落在C类，所以中位数落在C类，补全条形图如下：（2）列表为：男8男2女1女4男1﹣﹣男2男8女1男1女5男1男2男3男2﹣﹣女1男7女2男2女4男1女1男3女1﹣﹣女2女6女2男1女3男2女2女6女2﹣﹣由上表可知，从4名学生中任意选取3名学生共有12种等可能结果，∴恰好选到1名男生和1名女生的概率为＝．20．（8分）如图，反比例函数y＝的图象与一次函数y＝kx+b的图象交于A（2，5），B（n，1），一次函数y＝kx+b的图象与y轴交于点C．（1）求反比例函数的关系式与n的值；（2）根据图象直接写出不等式kx+b﹣＞0时x的取值范围；（3）若动点P在x轴上，求PA+PB的最小值．【分析】（1）把点A的坐标代入反比例函数解析式，求出反比例函数的解析式，把点B的坐标代入已求出的反比例函数解析式，得出n的值，然后根据待定系数法求得直线AB的解析式；（2）观察图象写出一次函数的图象在反比例函数的图象上方的自变量的取值范围即可解决问题；（3）作点A关于x轴的对称点C，连接BC交x轴于点P，则PA+PB的最小值等于BC的长，利用勾股定理即可得到BC的长．【解答】解：（1）∵点A（2，5）反比例函数y＝，∴m＝4×5＝10，∴反比例函数的表达式为y＝，点B（n，1）代入y＝，∴点B的坐标为（10，2），∵直线y＝kx+b过点A（2，5），5），∴，解得，∴一次函数的表达式为y＝﹣x+5；（2）不等式kx+b﹣＞0时x的取值范围为：x＜0或8＜x＜10；（3）如图，作点A关于x轴的对称点C，则PA+PB的最小值等于BC的长，∵点A（2，5），8），∴C（2，﹣5），∴BC＝＝10．∴PA+PB的最小值为10．21．（8分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠ABC＝90°，作直线BE，使∠ABE＝∠C（1）求证：BE是⊙O的切线；（2）当AB＝16，BC＝12时，求DE的长．【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角得出∠BAD＝90°，于是有∠D+∠ABD＝90°，根据同弧所对的圆周角相等得出∠D＝∠C，结合已知∠ABE＝∠C推出∠ABE+∠ABD＝90°，问题即可得证；（2）由勾股定理求出AC的长，即可得出BD的长，再根据勾股定理求出AD的长，再证△BDA∽△EBD，即可求出DE的长．【解答】（1）证明：∵BD是⊙O的直径，∴∠BAD＝90°，∴∠D+∠ABD＝90°，∵，∴∠D＝∠C，∴∠C+∠ABD＝90°，∵∠ABE＝∠C，∴∠ABE+∠ABD＝90°，即∠EBD＝90°，∵BD是⊙O的直径，∴BE是⊙O的切线；（2）解：在△ABC中，∠ABC＝90°，BC＝12，由勾股定理得，，∵∠ABC＝90°，∴AC为⊙O的直径，∵BD是⊙O的直径，∴BD＝AC＝20，∠BAD＝90°，由勾股定理得，AD＝，由（1）知∠EBD＝90°，∴∠EBD＝∠BAD＝90°，又∵∠D为公共角，∴△BDA∽△EBD，∴，∴，∴DE＝．22．（10分）春节期间，全国各影院上映多部影片，某影院每天运营成本为2000元（单位：张）与售价x（单位：元/张）之间满足一次函数关系（30≤x≤80，且x是整数）电影票售价x（元/张）4050售出电影票数量y（张）164124（1）请求出y与x之间的函数关系式；（2）设该影院每天的利润（利润＝票房收入﹣运营成本）为w（单位：元），求w与x之间的函数关系式；（3）该影院将电影票售价x定为多少时，每天获利最大？最大利润是多少？【分析】（1）根据题意和表格中的数据，可以计算出y与x之间的函数关系式；（2）根据利润＝票房收入﹣运营成本和（1）中的结果，可以写出w与x之间的函数关系式；（3）将（2）中的函数解析式化为顶点式，再根据二次函数的性质和x的取值范围，可以求得该影院将电影票售价x定为多少时，每天获利最大，最大利润是多少．【解答】解：（1）设y与x之间的函数关系式是y＝kx+b，由表格可得，，解得，即y与x之间的函数关系式是y＝﹣4x+324（30≤x≤80，且x是整数）；（2）由题意可得，w＝x（﹣3x+324）﹣2000＝﹣4x2+324x﹣2000，即w与x之间的函数关系式是w＝﹣7x2+324x﹣2000（30≤x≤80）；（3）由（2）知：w＝﹣4x6+324x﹣2000＝﹣4（x﹣）2+4561，∵30≤x≤80，且x是整数，∴当x＝40或41时，w取得最大值，答：该影院将电影票售价x定为40元或41元时，每天获利最大．23．（11分）如图，△ABC中，AB﹣AC，点D在射线AC上，连接BD，得到线段DE，连接BE（1）当点D在线段AC上时，①如图1，当α＝60°时，请直接写出线段CE与线段AD的数量关系是AD＝CE，∠DCE＝120°；②如图2，当α＝90°时，求的值；（2）如图3，当α＝90°时，点D在AC的延长线上，若AD＝2CD，求的值．【分析】（1）①根据题意可证明△ABC和△DBE是等边三角形，根据等边三角形的性质可证明△ABD≌△CBE，得到AD＝CE，∠BCE＝∠A＝60°，即可求解；②通过证明△ABD∽△CBE，可得；（2）由AN∥DE得到∠AND＝∠BDE＝90°，设AD＝BCD＝2a，推出，由（1）②可知，由，可得，即可求解．【解答】解：（1）①∵AB＝AC，∠BAC＝α＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴AB＝AC＝BC，∠ABC＝∠ACB＝60°由旋转得：BD＝ED，∠BDE＝60，∴△BDE是等边三角形，∴∠ABC＝∠DBE＝60°，∴∠ABD＝∠CBE＝60°﹣∠DBC在△ABD和△CBE中，，∴△ABD≌△CBE（SAS），∴AD＝CE，∠BCE＝∠A＝60°，∴∠DCE＝∠ACB+∠BCE＝60°+60°＝120°，故答案为：AD＝CE，120；②如图2，∵α＝90°，∴∠A＝∠BDE＝90°；∵AB＝