小学奥数专题-枚举法版

小学奥数专题一枚举法通用版

2015年小学奥数计数专题—枚举法

1.如图，有8张卡片，上面分别写着自然数

1至8.从中取出3张，要使这3张卡片上的

数字之和为9.问有多少种不同的取法？

234

5678

2.从1至8这8个自然数中，每次取出两个

不同的数相加，要使它们的和大于10,共有

多少种不同的取法？

3.现有1分、2分和5分的硬币各4枚，用

其中的一些硬币支付2角3分钱，一共有多少

种不同的支付方法？

4.妈妈买来7个鸡蛋，每天至少吃2个，吃

完为止，有多少种不同的吃法？

5.有3个工厂共订300份《吉林日报》，每个

工厂最少订99份，最多101份.问：共有多

少种不同的订？

6.在所有四位数中，各个数位上的数字之和

等于34的数有多少个？

7.有25本书，分成6份.如果每份至少一本,

且每份的本数都不相同，有多少种分法？

试卷第2页，总6页

8.小明用70元钱买了甲、乙、丙、丁4种书,

共10册.已知甲、乙、丙、丁这4种书每本

价格分别为3元、5元、7元、11元，而且每

种书至少买了一本.那么，共有多少种不同的

购买方法？

9.甲、乙、丙、丁4名同学排成一行.从左

到右数，如果甲不排在第一个位置上，乙不排

在第二个位置上，丙不排在第三个位置上，丁

不排在第四个位置上，那么不同的排法共有多

少种？

10.abed代表一个四位数，其中a,b,c,d

均为L2,3,4中的某个数字，但彼此不同,

例如2134.请写出所有满足关系a<b,b>e,

c<d的四位数abed来.

11.一个两位数乘以5,所得的积的结果是一

个三位数，且这个三位数的个位与百位数字的

和恰好等于十位上的数字.问一共有多少个这

样的数？

12.3件运动衣上的号码分别是L2,3,甲、

乙、丙3各穿一件.现有25个小球，首先发

给甲1个球，乙2个球，丙3个球.规定3人

从余下的球中各取球一次，其中穿1号衣的人

取他手中球数的1倍，穿2号衣的人取他手中

球数的3倍，穿3号衣的人取他手中球数的4

试卷第3页，总6页

倍，取走之后还剩下两个球.那么，甲穿的运

动衣的号码是多少？

13.甲、乙两人打乒乓球，谁先连胜两局谁赢;

如果没有人连胜头两局，则谁先胜三局谁赢，

打到决出输赢为止.那么一共有多少种可能的

情况？

14.用7张长2分米、宽1分米的长方形不干

胶，贴在一张长7分米、宽2分米的木板上，

将其盖住，共有多少种不同的拼贴方式?在这

里，如果两种方案可以通过旋转而互相得到，

那么就认为是同一种.

15.用对角线把正八边形剖分成三角形，要求

这些三角形的顶点是正八边形的顶点，那么共

有多少种不同的方法?在这里，如果两种剖分

方法可以通过恰当的旋转、反射，或者旋转加

反射而互相得到，那么就认为是同一种.

16.新年到了，爸爸要给小昊买一个四阶魔方

作为圣诞礼物，这个魔方的价格是28元8角。

可以有多少种付钱方法？

17.把一个整数表示成若干个小于它的自然

数值和，叫做整数的拆分。整数4有多少种不

同的拆分方法？

18.用一台天平和重1克、3克、9克的祛码

各一个（不再用其他物品当祛码），当祛码只

试卷第4页，总6页

能放在同一个盘内时，可以称出的重量有多少

种？

出

19.课外小组组织30人做游戏，按1〜30号

排队报数。第一次报数后，单号全部站出来，

然后每次余下的人中第一个开始站出来，隔一

人站出来一个人，到第几次这些人全部站出

来？最后站出的人应该是第几号？

20.用1、2、3这三个数一共可以组成多少个

不同的三位数？分别为哪几个？

21.如图所示，数字1处有一颗棋子，现移动

这颗棋子到数字5处。规定每次只能移动到邻

近一格，且总是向右移动，例如1~2f4-5

就是一条路线。问有多少种不同的移动路线？

22.邮局门前共有5级台阶，规定一步只能登

上一级或两级，那么上这个台阶一共有多少种

不同的上法？用数组表示不同的上法。

23.商店出售饼干，现存10箱5公斤重的，4

箱2公斤重的，8箱一公斤重的。顾客要买九

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公斤重的饼干，为了便于携带又不开箱，售货

员有多少种发货办法？

24.小云带了1张5元、4张2元的纸币和8

枚1元的硬币，现在他要买一本8元的小说，

问他有多少种付钱方式？

25.把三个苹果放在两个同样的抽屉里，有多

少种不同的方法？

26.用0、1、2这三个数，分别能组成多少个

不同的三位数？其中最小的三位数和最大的

三位数分别是多少？

27.一个盒子中装有七枚硬币，两枚1分，两

枚5分，两枚1角，一枚5角，每次取出两枚,

记下它们的和，然后放回盒中，如此反复取出

和放回，那么记下的和最多有多少种不同的钱

数？

28.三个数的和是7,如果不计次序，有几种

可能？

29.从1〜50这50个自然数中选取两个数字,

使它们的和大于50,共有多少种不同的取法？

30.今有一角币1张、贰角币1张、伍角币1

张、一元币4张、五元币2张。这

些纸币任意付款，可以付出多少种不同数额的

款？

31.现在有足够数量的1角、5角及1元的硬

试卷第6页，总6页

币若干，如果想用这些硬币组成价值为20元

的面额，那么一共有多少种不同的组合方法？

32.一本数学辅导书的序言共有3页，目录共

有2页，随后的正文若干页。这本书在编页码

时是将序言、目录和正文分别进行编码的。如

果我们知道这本书在编码时一共使用了1355

个字码。那么这本书一共有多少页？

试卷第7页，总6页

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参考答案

1.3

【解析】

有1+2+6=9,1+3+5=9,2+3+4=9,共3种，

所以共有3种取法符合题意.

2.9

【解析】

在选取时，我们使被加数小于加数，有被加数选

1时不满足，选2时不满足，

有3+8=11,4+7=11,4+8=12,5+6=11,5+7

=12,5+8=13,6+7=13,6+8=14,7+8=15,

所以共有9种取法，使得这两个数的和大于10.

3.5

【解析】

2角3分为23分，当含有5分的硬币4枚时，

剩下的23-5X4=3分，可以是1+1+1,或1+2

这2种组合支付方法；

当含有5分的硬币3枚时，剩下的23—5X3=8

分，可以是2+2+2+2,或2+2+2+1+1,或

2+2+1+1+1+1这3种组合支付方法；

当含有5分的硬币2枚时，剩下的23-5X2=

13分，而1、2分最多能组成（1+2）义4=12分，

答案第1页，总16页

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不满足；

那么只含有1枚5分硬币，和不含有5分硬币时,

显然更不满足.

于是共有2+3=5种支付方式.

4.8

【解析】

如果3天吃完,则2+2+3=2+3+2=3+2+2,有3

种吃法；

2天吃完，则2+5=5+2=3+4=4+3,有4种吃法;

1天吃完，则那一天吃了7个；

所以共有3+4+1=8种不同的吃法.

5.7

【解析】300=99+100+101

=99+101+100

=100+99+101

=100+101+99

=101+99+100

=101+100+99

=100+100+100.

所以共有7种不同的订法.

6.10

【解析】

答案第2页，总16页

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四位数最大为9999,数字和为9+9+9+9=36,所

以数字和为34的四位数只能由如下方式组合得

到：

(9,9,9,7),(9,9,8,8)

对应有9997,9979,9799,7999,9988,8899,

9889,8998,9898,8989,共10种.

7.5

【解析】

6份不同，每份至少一本，则最少为1+2+3+4+5+6

=21本书，25—21=4,于是把4本数安排进入

即可.

有1+2+3+4+5+10=1+2+3+4+6+9=1+2+3+4+7+8

=1+2+3+5+6+9=1+3+4+5+6+7=25,共有5种不

同的分法.

8.4

【解析】

每种书最少买一本，则花去3+5+7+11=26元，

买了4册，所以剩下的70—26=44元，任意买

6册即可.

显然11元的最多再买3本，花去11X3=33元,

剩下11元买3册，3+3+5=11,即有1种买法；

11元的再买2本，花去11X2=22元，剩下22

答案第3页，总16页

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元买4册，5+5+5+7=3+5+7+7,就有2种买法；

11元的再买1本，花去11元，剩下33元买5

册，5+7+7+7+7,即有1种买法;

如果11元的1本都不再买，那么44元买6册，

最贵的为7元，7X6=42,无法花去44元，所

以不满足.

于是，共有1+2+1=4种不同的购买方法.

3元X3,5元X2,7元XI,11元X4；

3元义2,5元X2,7元X3,11元X3；

3元义1,5元X4,7元X2,11元X3；

3元X1,5元X2,7元X5,11元X2.

9.9

【解析】

用1,2,3,4分别代表甲，乙，丙，丁，有2143,

2341,2413,3142,3412,3421,4123,4312,

4321,共9种情况满足.

10.1324,1432,2314,2413,3412

【解析】

有1324,1432,2314,2413,3412满足.

11.8

【解析】

设三位数为赤，由分析知正是5的倍数，

答案第4页，总16页

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c为0或5当c=0时，b=a+c,abc比500小，

则a=l>2、3、4,对应b=l、2、3、4.共4

种情形.

若c=5时，a=l、2、3、4,对应b=6、7、8、

9也是4种情形，因此一共是8种情形.

12.2

【解析】当甲穿的运动衣的号码是1,乙为2,

丙为3时，则甲再取1个，乙再取6个，丙再取

12个，此时共取走1+2+3+1+6+12=25个，此时

还剩下25—25=0个，不满足；

当甲穿的运动衣的号码是L乙为3,丙为2时,

则甲再取1个，乙再取9个，丙再取8个，此时

共取走1+3+2+1+9+8=24个，此时还剩下25-

24=1个，不满足；

当甲穿的运用衣的号码是2,乙为L丙为3时,

则甲再取2个，乙再取3个，丙再取12个，此

时共取走1+2+3+2+3+12=23个，此时还剩下25

-23=2个，显然满足.

不难验证其他情况不成立.

所以甲穿的是2号运动衣.

13.14

【解析】

答案第5页，总16页

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我们记甲赢为1,甲输为0,

两局决定输赢的情况有1+1,0+0,共2种；

三局决定输赢的情况不存在（为什么？）;

四局决定输赢的情况有1+0+1+1,1+0+0+0,

0+1+1+1,0+1+0+0,共4种；

五局决定输赢的情况有1+0+0+1+1,1+0+1+0+1,

1+0+0+1+0,1+0+1+0+0,0+1+1+0+0,0+1+0+1+0,

0+1+1+0+1,0+1+0+1+1,共8种；

所以共有2+4+8=14种可能.

14.

111■11111111

1111111111

III1111IIIII111

HIWIM丰IT11111T111111T1

【解析】

如下图，有12种符合题意的拼贴方式.

WWI

11111111111111I1I111

111T1111111111TT111

15.12

答案第6页，总16页

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【解析】

下图为一个正八边形，它的八个顶点别记为1、

2、3、4、5、6、7、8.我们从顶点1考虑，三

条不同长度对角线从小到大记为人、八A.从顶

点1出发必然连了许多对角线，考虑整个剖分三

角形，若必然有顶点连了八g两种对角线，不可

能只连,,对角线，否则根本剖分不成三角形，考

虑到相互旋转而得到被认为是同一种剖分，因此

考虑顶点1连了,,或,，对角线.

65

图a

若顶点1连了&对角线1—5,这样1-5对角线

也是整个正八边形对称轴，再把左右两边的梯形

剖分成三角形即可，这样从顶点1考虑分别有3

种不同的图形剖分，如下图所示.

3种结构记为a、b、c上边是右边的剖分，左边

剖分分别是上面3处图形式对称图形，记为八八

答案第7页，总16页

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C，，因此满足条件的正八边形剖分有下面9种：

aa,a〃、bb,ba、cc>ab,a//、ac、be.这里,,

b与b'ia、a,fc与cta、b,c与w,b可相互反

射得到，因此有6中不同情形.

若顶点1连了4对角线，而无,,对角线，可以有/,对

角线，如图a,先连上1一6对角线，这样剖分

六边形123456时，不会出现人对角线，否则旋转

一下同顶点1引,对角线是同一种情形，这样必

然使得顶点1或顶点6有另外一条,，对角线，若

1—4为,，对角线，如图e这样四边形1678与四

边形1234关于轴1—5对称，中间四边形1456

部分只能是连4-6右上部四边形1234剖分有2

种分别主为d、e,它们的对称图形对应于四边

形1678的两种剖分八这样正八边形的剖分

为,,d、d,e、工共3种.

若6-3为4对角线，Y这样的图形与图

答案第8页，总16页

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住12

W是同一个图形，它不过是把顶点6旋转

到顶点1即可.

所以，共有9+3=12种不同的方法.

16.4

【解析】

⑴2张10元，1张5元，3张1元，1张5角,

3张1角；

⑵1张10元，3张5元，3张1元，1张5角,

1张2角，1张1角；

(3)1张20元，4张2元，8张1角；

(4)3张10元，收30元找回1元2角；

17.4

【解析】分拆时，将自然数按从达到小的顺序出

现，一共有4种不同的分拆方法：4=3+1,4=2+2,

4=2+1+1,4=l+l+l+lo

18.7

【解析】

共有三个重量不同的硅码，可以取出其中的一

个，两个，三个来称量。一一来列举这三种情况。

取一个祛码可称：1克、3克、9克。有3种。

答案第9页，总16页

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取两个祛码可称：1+3=4（克）、1+9=10（克）、

3+9=12（克）,3种。

取三个祛码可称：1+3+9=13（克），有1种。

注意到1、3、9、4、10、12、13各不相同，所

以可以称出：3+3+1=7（种）

19.16

【解析】根据题目的特点，先用排列法把题中的

条件问题列出来，再用枚举法完成题目要求。

排好队的人依次是1,2,3,4,5,.....28,

29,30

次数出队号码

第一1,3,5,7,9,11,13,15,17,

次19,21,23,25,27,29

第二2,6,10,14,18,22,16,30

次

第三4,12,20,28

次

第四8,24

次

第五16

次

答案第10页，总16页

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从上面的列表中我们毫无遗漏的排列，得出到第

五次这些人全部站出来，最后在个人是16号。

20.6个；123、132、213、231、312、321

【解析】根据百位上的数字不同，我们可以将它

们分成三类

第一类：百位上数字为L有123、132

第二类；百位上数字为2,有213、231

第三类：百位上数字为3,有312、321

可以组成123、132、213、231、312、321共6

个不同数字

21.5

【解析】从1要移到5,从结果想，要移到5只

有从4、3向右移动一格到邻近一格5,即5-4

或5-3；要移到4,只有从3、2向右移动一格

到邻近的4,即：4-3或4-2；.....用树形

图填写如下

答案第11页，总16页

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数一数，图中1的个数就是移动的路线数。故共

有5条不同的路线。

22.8

【解析】(1)(1,1,1,1,1)表示每步只上一

级，只有一种上法；

(2)(2,1,1,1)(1,2,1,1),(1,1,2,

1,),(1,1,1,2),表示有一步上两个台阶，

其他几步都各上一个台阶，共有4种上法；

(3)(2,2,1),(1,2,2),(2,1,2),表示

有两步各上两个台阶，有一步上一个台阶，这种

上法共有3种。

因此，上台阶一共有1+4+3=8种不同上法。

23.7

【解析】

9=5+2+2=5+2+1+1=5+1+1+1+1=2+2+2+2+1=2+2+2

答案第12页，总16页

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+1+1+1=2+2+1+1+1+1+1

=2+1+1+1+1+1+1+1

一共有7种。

24.7

【解析】

8=5+2+1=5+1+1+1=2+2+2+2=2+2+2+1+1=2+2+14-1

+1+1=2+1+1+1+1+1+1

=1+1+1+1+14-1+1+1

一共7种。

25.2

【解析】可以放（2,1）或者（3,0）个，由于

两个抽屉一样，（2,1）和（1,2）一样，所以

只有2种。

26.102,210

【解析】列出所有这样的三位数，因为0不能在

首位，所以共有102,120,201,210,一共4

个，其中最大的是210,最小的是102。

27.9

【解析】列出所有的情况，和可以是1分+1分

=2分；1分+5分=6分；5分+5分=1角；1分+1

角=1角1分；5分+1角=1角5分；1角+1角=2

角；1分+5角=5角1分；5分+5角=5角5分；1

答案第13页，总16页

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角+5角=6角。一共9种。

28.4

【解析】不计次序的话，将7拆分开，

7=1+1+5=1+2+4=1+3+3=2+2+3一共4种。

29.625

【解析】取法有很多，找到规律使数法简单且不

重复不遗漏是解题的关键。

解：若两数中较大的是50,则另一个可以取

1,2,3,…，49,共49种取法；

若两数中较大的是49,则另一个可以取

1,2,3,…，48,共47种取法；

若两数中较大的是48,则另一个可以取

1,2,3,…，47,共45种取法；

若两数中较大的是26,则另一个只能取25,共

1种取法。

因此共有1+3+5+-+47+49=625种取法。

说明在运用枚举法时，一定要找出问题的