小学数学奥数题

小学数学奥数

第一讲速算与巧算(三)

例1计算9+99+999+9999+99999

解：在涉及所有数字都是9的计算中，常使用凑整法.例如将999化成1000-1去计

算.这是小学数学中常用的一种技巧.

9+99+999+9999+99999

=(10-1)+(100-1)+(1000-1)+(10000-1)+(100000-1)

=10+100+1000+10000+100000-5

=111110-5

=111105.

例2计算199999+199994-1999+199+19

解：此题各数字中，除最高位是1外，其余都是9,仍使用凑整法.不过这里是加1凑整.

(如1994-1=200)

199999+19999+1999+199+19

=(19999+1)+(19999+1)+(19994-1)+(199+1)+(19+1)-5

=200000+20000+2000+200+20-5

=222220-5

=22225.

例3计算(1+3+5+…+1989)-(2+4+6+…+1988)

解法2：先把两个括号内的数分别相加，再相减.第一个括号内的数相加的结果是：

从1到1989共有995个奇数，凑成497个1990,还剩下995,第二个括号内的数相

加的结果是：

从2到1988共有994个偶数，凑成497个1990.

1990X497+995—1990X497=995.

例4计算389+387+383+385+384+386+388

解法1：认真观察每个加数，发现它们都和整数390接近，所以选390为基准数.

389+387+383+385+384+386+388

=390X7—1—3—7—5—6—4—

=2730—28

=2702.

解法2：也可以选380为基准数，那么有

389+387+383+385+384+386+388

=380X7+9+7+3+5+4+6+8

=2660+42

=2702.

例5计算(4942+4943+4938+4939+4941+4943)+6

解：认真观察可知此题关键是求括号中6个相接近的数之和，故可选4940为基准数.

(4942+4943+4938+4939+4941+4943)4-6

=(4940X6+2+3—2—1+1+3)4-6

=(4940X6+6)4-6(这里没有把4940X6先算出来，而是运

=4940X6+6+6+6运用了除法中的巧算方法)

=4940+1

=4941.

例6计算54+99X99+45

解：此题外表上看没有巧妙的算法，但如果把45和54先结合可得99,就可以运用

乘法分配律进行简算了.

54+99X99+45

=(54+45)+99X99

=99+99X99

=99X(1+99)

=99X100

=9900.

例7计算9999X2222+3333X3334

解：此题如果直接乘，数字较大，容易出错.如果将9999变为3333X3,规律就出现

了.

9999X2222+3333X3334

=3333X3X2222+3333X3334

=3333X6666+3333X3334

=3333X(6666+3334)

=3333X10000

=33330000.

例81999+999X999

解法1：1999+999X999解法2：1999+999X999

=1000+999+999X999=1999+999X(1000-1)

=1000+999X(1+999)=1999+999000-999

=1000+999X1000二(1999-999)+999000

=1000X(999+1)=1000+999000

=1000X1000=1000000.

=1000000.

例9求99…99X99…99+199…99所得结果末尾

1988个91988个9豕有多少个零.

总之，要想在计算中到达准确、简便、迅速，必须付出辛勤的劳动，要多练习，多总结，只有

这样才能做到熟能生巧.

习题一

1.计算899998+89998+8998+898+88

2.计算7999994-79999+7999+799+79

3.计算(1988+1986+1984+…+6+4+2)-(1+3+5+…+1983+1985+1987)

4.计算1—2+3—4+5—6+…+1991—1992+1993

5.时钟1点钟敲1下，2点钟敲2下，3点钟敲3下，依次类推.从1点到12点这12个小时内

时钟共敲了多少下？

6.求出从1〜25的全体自然数之和.

7.计算1000+999—998—997+996+995—994—993-F-+108+107—106—105+104+103—

102—101

8.计算92+94+89+93+95+88+94+96+87

9.计算(125X99+125)X16

10.计算3X999+3+99X8+8+2X9+2+9

11.计算999999X78053

12.两个10位数1111111111和9999999999的乘积中,有几个数字是奇数?

第二讲速算与巧算(四)

例1比拟下面两个积的大小：

A=987654321X123456789,

B=987654322X123456788.

分析经审题可知A的第一个因数的个位数字比B的第一个因数的个位数字小1,但A的第二个

因数的个位数字比B的第二个因数的个位数字大1.所以不经计算，凭直接观察不容易知道A和B哪

个大,但是无论是对A或是对B,直接把两个因数相乘求积又太繁，所以我们开动脑筋，将A和B先

进行恒等变形，再作判断.

解：A=987654321X123456789

=987654321X(123456788+1)

=987654321X123456788+987654321.

B=987654322X123456788

=(987654321+1)X12345G788

=987654321X1234567884-123456788.

因为987654321>123456788,所以A>B.

例2不用笔算，请你指出下面哪道题得数最大，并说明理由.

241X249242X248243X247

244X246245X245.

解：利用乘法分配律，将冬式恒等变形之后，再判断.

241X249=(240+1)X：250—1)=240X250+1X9；

242X248=(240+2)X〔250-2)=240X250+2X8；

243X247=(240+3)X(250—3)=240X250+3X7；

244X246=(240+4)X：250—4)=240X250+4X6；

245X245=(240+5)X：250—5)=240X250+5X5.

恒等变形以后的各式有相同的局部240X250,又有不同的局部1X9,2X8,3X7,4X

6,5X5,由此很容易看出245X245的积最大.

一般说来，将一个整数拆成两局部(或两个整数)，两局部的差值越小时，这两局部的乘积越

如：10=1+9=2+8=3+7=4+6=5+5

那么5X5=25积最大.

例3求1966、1976、1986、1996、2006五个数的总和.

»：五个数中，后一个数都比前一个数大10,可看出1986是这五个数的平均值，故其总和为:

1986X5=9930.

例42、4、6、8、10、12…是连续偶数，如果五个连续偶数的和是320,求它们中最小的一个.

解：五个连续偶数的中间一个数应为320+5=64,因相邻偶数相差2,故这五个偶数依次是60、

62、64、66、68,其中最小的是60.

总结以上两题，可以概括为巧用中数的计算方法.三个连续自然数，中间一个数为首末两数的平

均值；五个连续自然数，中间的数也有类似的性质一一它是五个自然数的平均值.如果用字母表示更

为明显，这五个数可以记作：x—2、x-1、x、x+1、x+2.如此类推，对于奇数个连续自然数，最

中间的数是所有这些自然数的平均值.

如:对于2n+l个连续自然数可以表示为:x一n,x一n+Lx—n+2,,,,,x一1,x,x+1,…

x+n—1,x+n,其中x是这2n+l个自然数的平均值.

巧用中数的计算方法，还可进一步推广，请看下面例题.

101112

2526

例5将各数按下面格式排列：如5997998999

一个正方形框出九个数，要使这九个数之和等于:

①1986,②2529,③1989,能否办到?如果办不到,请说明理由.

解：仔细观察，方框中的九个数里，最中间的一个是这九个数的平均值，即中数又因横行相邻

两数相差1,是3个连续自然数，竖列3个数中，上下两数相差7.框中的九个数之和应是9的倍数.

①1986不是9的倍数，故不行；

②2529+9=281,是9的倍数，但是281・7=40X7+l,这说明281在题中数表的最左一列，显然

它不能做中数，也不行；

(3)19894-9=221,是9的倍数，且221+7=31X7+4,这就是说221在数表中第四列，它可做中数.

这样可求出所框九数之和为1989是办得到的，且最大的数是229,最小的数是213.

这个例题是所谓的“月历卡〃上的数字问题的推广.同学们，小小的月历卡上还有那么多有趣的

问题呢！所以平时要注意观察，认真思考，积累巧算经验.

习题二

1.右纽的30个方格中，最上面的横行和最左面的竖列的数已经填好，其余每个格中,101113151719

最上面的一横行和最左面的一竖列的数已经填好，其余每个格子中的数等于同一横行最12

左边的数与同一竖列最上面的数之和(如方格中a=14+17=31).右图填满后，这3014

个数的总和是多少？16

18

2.有两个算式：①98765X98769,②98766X98768,

请先不要计算出结果，用最简单的方法很快比拟出哪个得数大，大多少?

3.比拟568X764和567X765哪个积大?

4.在下面四个算式中，最大的得数是多少？

①1992X1999+1999②1993X1998+1998

③1994X1997+1997④1995X1996+1996

5.五个连续奇数的和是85,求其中最大和最小的数.

6.45是从小到大五个整数之和，这些整数相邻两数之差是3,请你写出这五个数.

7.把从1到100的自然数如下表那样排歹U.在这个数表里，把长的方面1234567

3个数，宽的方面2个数，一共6个数用长方形框围起来，这6个数的

891011121314

和为81,在数表的别的地方,如上面一样地框起来的6个数的和为429,

17181921

问此时长方形框子里最大的数是多少？151620

第三讲倒推法的妙用22232425262728

在分析应用题的过程中，倒推法是一种常用的思考方法.这种方法••・••••••••••••9798

是从所表达应用题或文字题的结果出发，利用条件一步一步倒着分析、99100

推理，直到解决问题.

例1一次数学考试后，李军问于昆数学考试得多少分.于昆说：“用我得的分数减去8加上10,再除

以7,最后乘以4,得56.〃小朋友，你知道于昆得多少分吗？

分析这道题如果顺推思考，比拟麻烦，很难理出头绪来.如果用倒推法进行分析，就像剥卷心菜

一样层层深入，直到解决问题.

如果把于昆的表达过程编成一道文字题：一个数减去8,加上10,再除以7,乘以4,结果是56.

求这个数是多少？

把一个数用口来表示，根据题目条件可得到这样的等式：

{[(口-8)+10]4-7)X4=56.

如何求出口中的数呢？我们可以从结果56出发倒推回去.因为56是乘以4后得到的，而乘以4

之前是56+4=14.14是除以7后得到的，除以7之前是14X7=98.98是加10后得到的，加10以前

是98-10=88.88是减8以后得到的，减8以前是88+8=96.这样倒推使问题得解.

解：{[(口-8)+10]4-7}X4=56

[(□-8)+10)4-7=564-4

答：于昆这次数学考试成绩是96分.

通过以上例题说明，用倒推法解题时要注意：

①从结果出发，逐步向前一步一步推理.

②在向前推理的过程中，每一步运算都是原来运算的逆运算.

③列式时注意运算顺序，正确使用括号.

例2马小虎做一道整数减法题时，把减数个位上的1看成7,把减数十位上的7看成1,结果得出差

是in.问正确答案应是几？

分析马小虎错把减数个位上1看成7,使差减少7—1=6,而把十位上的7看成1,使差增加70

-10=60.因此这道题归结为某数减6,加60得111,求某数是几的问题.

解：111一（70—10）+（7-1）=57

答：正确的答案是57.

例3树林中的三棵树上共落着48只鸟.如果从第一棵树上飞走8只落到第二棵树上；从第二棵树上飞

走6只落到第三棵树上，这时三棵树上鸟的只数相等.问：原来每棵树上各落多少只鸟？

分析倒推时以“三棵树上鸟的只数相等〃入手分析，可得出现在每棵树上鸟的只数48+3=16

（只）.第三棵树上现有的鸟16只是从第二棵树上飞来的6只后得到的，所以第三棵树上原落鸟16

-6=10（只）.同理，第二棵树上原有鸟16+6-8=14（只）.第一棵树上原落鸟16+8=24（只），

使问题得解.

解：①现在三棵树上各有鸟多少只？48・3=16（只）

②第一棵树上原有鸟只数.16+8=24（只）

③第二棵树上原有鸟只数.16+6—8=14（只）

④第三棵树上原有鸟只数.16—6=10（只）

习题三

1.某数除以4,乘以5,再除以6,结果是615,求某数.

2.生产一批零件共560个，师徒二人合作用4天做完.师傅每天生产零件的个数是徒弟的3倍.师

徒二人每天各生产零件多少个？

3.有破26块，兄弟一人争着挑.弟弟抢在前，刚刚摆好被，哥哥赶到了.哥哥看弟弟挑的太多，

就抢过一半.弟弟不肯，又从哥哥那儿抢走一半.哥哥不服，弟弟只好给哥哥5块.这时哥哥比弟弟多2

块.问：最初弟弟准备挑几块砖？

4.阿凡提去赶集，他用钱的一半买肉，再用余下钱的一半买鱼，又用剩下钱买菜.别人问他带多

少钱，他说：“买菜的钱是1、2、3；3、2、1；1、2、3、4、5、6、7的和；加I7加8,加8加7、

加9加10加11。〃你知道阿凡提一共带了多少钱？买鱼用了多少钱？

第四讲行程问题（一）

我们把研究路程、速度、时间以及这三者之间关系的一类问题，总称为行程问题.

在对小学数学的学习中，我们已经接触过一些简单的行程应用题，并且已经了解到：上述三个量

之间存在这样的根本关系：路程=速度X时间.因此，在这一讲中，我们将在前面学习的根底上，主

要来研究行程问题中较为复杂的一类问题一一反向运动问题，也即在同一道路上的两个运动物体作方

向相反的运动的问题.它乂包括相遇问题和相背问题.所谓相遇问题，指的就是上述两个物体以不同的

点作为起点作相向运动的问题；所谓相背问题，指的就是这两个运动物体以同一点作为起点作背向运

动的问题，下面，我们来具体看儿个例子.

例1甲、乙二人分别从相距30千米的两地同时出发相向而行，甲每小时走6千米，乙每小时走4千

米，问：二人几小时后相遇？

分析出发时甲、乙二人相距30千米，以后两人的距离每小时都缩短6+4=10（千米），即两人

的速度的和〔简称速度和），所以30千米里有几个10千米就是几小时相遇.

解：304-（6+4）

=304-10

=3（小时）

答：3小时后两人相遇.

例1是一个典型的相遇问题.在相遇问题中有这样一个根本数量关系：

路程=速度和X时间.

例2一列货车早晨6时从甲地开往乙地，平均每小时行45千米，一列客车从乙地开往甲地，平均每

小时比货车快15千米，客车比货车迟发2小时，中午12时两车同时经过途中某站，然后仍继续前进,

问：当客车到达甲地时，货车离乙地还有多少千米？

分析货车每小时行45千米，客车每小时比货车快15千米，所以，客车速度为每小时（45+15）

千米；中午12点两车相遇时，货车已行了（12—6）小时，而客车已行（12-6-2）小时，这样就可

求出甲、乙两地之间的路程.最后，再来求当客车行完全程到达甲地时，货车离乙地的距离.

解：①甲、乙两地之间的距离:②客车行完全程所需时间:③客车到甲地时，货车离乙地

45X(12—6)+(45+5104-（45+15）的距离：

15)X(12—6—2)=510・60510—45X（8.5+2）

=45X6+60X4=8.5（小时）.=510-472.5

=510(千米).=37.5（千米）.

答：客车到甲地时，货车离乙地还有37.5千米.

例3两列火车相向而行，甲车每小时行36千米，乙车每小时行54千米.两车错车时，甲车上一乘客

发现：从乙车车头经过他的车窗时开始到乙车车尾经过他的车窗共用了14秒，求乙车的车长.

分析首先应统一单位：甲车的速度是每秒钟36000+3600=10（米），乙车的速度是每秒钟54000

・360C=15（米）.此题中，甲车的运动实际上可以看作是甲车乘客以每秒钟10米的速度在运动，乙

车的运动那么可以看作是乙车车头的运动，因此，我们只需研究下面这样一个运动过程即可：从乙车

车头经过甲车乘客的车窗这时刻起，乙车车头和甲车乘客开始作反向运动14秒，每秒钟，乙车

车头与甲车乘客之间的距离都增大（10+15）米，因此，14秒结束时，车头与乘客之间的距离为（10

+15）X14=350（米〕.又因为甲车乘客最后看到的是乙车车尾，所以，乙车车头与甲车乘客在这段

时间内所走的路程之和应恰等于乙车车身的长度，即：乙车车长就等于甲、乙两车在14秒内所走的

路程之和.

解：（10+15）X14=350（米）答：乙车的车长为350米.

我们也可以把例3称为一个相背运动问题，对于相背问题而言，相遇问题中的根本关系仍然成立.

例4甲、乙两车同时从A、B两地出发相向而行，两车在离B地64千米处第一次相遇,相遇后两车仍

以原速继续行驶，并且在到达对方出发点后，立即沿原路返回，途中两车在距A地48千米处第二次

相遇，问两次相遇点相距多少千米？第二次第一次

分析甲、乙两车共同走完一个AB全程时，乙车走了64千米，甲广：二

从上图可以看出：它们到第二次相遇时共走了3个AB全程，因此，A：•j---------；B

我们可以理解为乙车共走了3个64千米，再由上图可知：减去一48千米消]64千米

个48千米后，正好等于一个AB全程.-------------------------乙

解：①AB间的距离是

64X3-48

=192-48

=144（千米）.

②两次相遇点的距离为

144-48—64

=32（千米）.答：两次相遇点的距离为32千米.

例5甲、乙二人从相距100千米的A、B两地同时出发相向而行，甲骑车，乙步行，在行走过程中，

甲的车发生故障，修车用了1小时.在出发4小时后，甲、乙二人相遇，又甲的速度为乙的2倍，且

相遇时甲的车已修好，那么，甲、乙二人的速度各是多少？

分析甲的速度为乙的2倍，因此，乙走4小时的路，甲只要2小时就可以了，因此，甲走100

千米所需的时间为（4—1+4:2）=5小时.这样就可求出甲的速度.

解：甲的速度为：

1004-（4-1+44-2）

=1004-5=20（千米/小时）.

乙的速度为:204-2=10（千米/小时）.

答：甲的速度为20千米/小时，乙的速度为10千米/小时.

例6某列车通过250米长的隧道用25秒，通过210米长的隧道用23秒，假设该列车与另一列长150

米.时速为72千米的列车相遇，错车而过需要几秒钟？

分析解这类应用题，首先应明确几个概念：列车通过隧道指的是从车头进入隧道算起到车尾离

开隧道为止.因此，这个过程中列车所走的路程等于车长加隧道长；两车相遇，错车而过指的是从两

个列车的车头相遇算起到他们的车尾分开为止，这个过程实际上是一个以车头的相遇点为起点的相背

运动问题，这两个列车在这段时间里所走的路程之和就等于他们的车长之和.因此，错车时间就等于

车长之和除以速度之和.

列车通过250米的隧道用25秒，通过210米长的隧道用23秒，所以列车行驶的路程为（250-

210）米时，所用的时间为（25—23）秒.由此可求得列车的车速为（250—210）4-（25-23）=20（米

/秒）.再根据前面的分析可知：列车在25秒内所走的路程等于隧道长加上车长，因此，这个列车的

车长为20X25—250=250（米），从而可求出错车时间.

解：根据另一个列车每小时走72千米，所以，它的速度为：720004-3600=20（米/秒），

某列车的速度为：（25C-210）+（25-23）=40+2=20（米/秒〕

某列车的车长为：20X25-250=500-250=250（米），

两列车的错车时间为:（25C+150）4-（20+20]=4004-40=10（秒）.

答：错车时间为10秒.

例7甲、乙、丙三辆车同时从A地出发到B地去，甲、乙两车的速度分别为每小时60千米和48千米,

有一辆迎面开来的卡车分别在它们出发后的5小时.6小时，8小时先后与甲、乙、丙三辆车相遇，求

闪车的速度.

分析甲车每小时比乙车快60-48=12（千米）.那么5小时后，甲比乙多走的路程为12X5=60

（千米）.也即在卡车与甲相遇时，卡车与乙的距离为60千米，又因为卡车与乙在卡车与甲相遇的6-5

=1小时后相遇,所以,可求出卡车的速度为60+1-48=12（千米/小时）

卡车在与甲相遇后，再走8-5=3（小时）才能与丙相遇，而此时丙已走了8个小时，因此，卡车

3小时所走的路程与丙8小时所走的路程之和就等于甲5小时所走的路程.由此，丙的速度也可求得，

应为：（60X5-12X3）4-8=33（千米/小时）.

解：卡车的速度：（60-48）X54-（6-5）-48=12（千米/小时），

丙车的速度：（60X5-12X3）4-8=33（千米/小时），

答：丙车的速度为每小时33千米.

注：在本讲中出现的“米/秒〃、“千米/小时〃等都是速度单位，如5米/秒表示为每秒钟走5

米.

习题四

1.甲、乙两车分别从相距240千米的A、B两城同时出发，相向而行，甲车到达B城需4小时，

乙车到达A城需6小时，问：两车出发后多长时间相遇？

2.东、西镇相距45千米，甲、乙二人分别从两镇同时出发相向而行，甲比乙每小时多行1千米,

5小时后两人相遇，问两人的速度各是多少？

3.甲、乙二人以均匀的速度分别从A、B两地同时出发，相向而行，他们第一次相遇地点离A地4

千米，相遇后二人继续前进，走到对方出发点后立即返回，在距B地3千米处第二次相遇，求两次相

遇地点之间的距离.

4.甲、乙二人从相距100千米的A、B两地出发相向而行，甲先出发1小时.他们二人在乙出后的

4小时相遇，又甲比乙每小时快2千米，求甲、乙二人的速度.

5.一列快车和一列慢车相向而行，快车的车长是280米，慢车的车长为385米，坐在快车上的人

看见慢车驶过的时间是11秒，那么坐在慢车上的人看见快车驶过的时间是多少？

6.前进钢铁厂用两辆汽车从距工厂90千米的矿山运矿石，现有甲、乙两辆汽车，甲车自矿山，

乙车自钢铁厂同时出发相向而行，速度分别为每小时40千米和50千米，到达目的地后立即返回，如

此反复运行屡次，如果不计装卸时间，且两车不作任何停留，那么两车在第三次相遇时，距矿山多少

千米？

第五讲几何中的计数问题（一）

一、数线段

我们把直线上两点间的局部称为线段，这两个点称为线段的端点.线段是组成三角形、正方形、

长方形、多边形等最根本的元素.因此，观察图形中的线段，探寻线段与线段之间、线段与其他图形

之间的联系，对于了解图形、分析图形是很重要的.

例1数一数以下图形中各有多少条线段.

分析要想使数出的每一个图形中线ABF―LABCDE段的总

条数，不重复、不遗漏，就需要按照一定（1）（2）心）的顺序、

按照一定的规律去观察、去数.这样才不至于杂乱无章、毫无头绪.我们可以按照两种顺序或两种规律

去数.

第一种：略

第二种：按照根本线段多少的顺序去数.所谓根本线段是指一条大线段中假设有n个分点，那么

这条大线段就被这n个分点分成n+1条小线段，这每条小线段称为根本线段.如上页图（2）中，线

段AD上有两个分点B、C,这时分点B、C把AD分成AB、BC、CD三条根本线段，那么线段AD总共有

多少条线段？首先有三条根本线段，其次是包含有二条根本线段的是：AC、BD二条，然后是包含有三

条根本线段的是AD这样一条.所以线段AD上总共有线段3+2+1=6条，又如上页图（3）中线段AE

上有三个分点B、C、D,这样分点B、C、D把线段AE分为AB、BC、CD、DE四条根本线段，那么线段

AE上总共有多少条线段？按照根本线段多少的顺序是：首先有4条根本线段，其次是包含有二条根本

线段的有3条，然后是包含有三条根本线段的有2条，最后是包含有4条根本线段的有一条，所以线

段AE上总共有线段是4+3+2+1=10条.

解：①2+1=3（条）.②3+2+1=6（条）.③4+3+2+1=10（条）.

小结：上述三例说明：要想不重复、不遗漏地数出所有线段，必须按照一定顺序有规律的去数，

这个规律就是：线段的总条数等了从1开始的连续几个自然数的和，这个连续自然数的和的最大的加

数是线段分点数加1或者是线段所有点数（包括线段的两个端点〕减1.也就是根本线段的条数.

二、数角

例2数出右图中总共有多少个角，

例3数一数右图中总共有多少个角？

三、数三角形

例4如右图中，各个图形内各有多少个三角形？

小结:计算三角形的总数也等于从1开始的几个连续自

然数的和，其中最大的加数就是三角形一边上的分点数加1，也就是

三角形这边上分成的根本线段的条数.

例5如右图中，数一数共有多少条线段？共有多少个三角形？

分析在数的过程中应充分利用上几例总结的规律，明确数什么？（1）

怎么数？这样两个问题.数：就是要数出图中根本线段（根本三角形）的条数，算:

就是以根本线段（根本三角形）条数为最大加数的从1开始的连续儿个自然数的和.

①要数多少条线段：先看线段AB、AD、AE、AF、AC、上各有2个分点，各分成3条根

本线段，再看BC、MN、GH这3条线段上各有3个分点，各分成4条根本线段.所以图中总共有线段是:

（3+2+1）X5+（4+3+2+1）X3=30+30=60（条）.

②要数有多少个三角形，先看在AAGH中，在GH上有3个分点，分成根本小三角形有4个.所以在4

AGH中共有三角形4+3+2+1=10（个）.在△AMN与AABC中，三角形有*同样的个数，所以在aABC中三

角形个数总共:(4+3+2+1)X3=10X3=30(个).

解：①在AABC中共有线段是:(3+2+1)X5+(4+34-2+1)X3=30+30=60(条)

②在AABC中共有三角形是：(4+3+2+1)X3=10X3=30(个).

习题五

1.数一数以下图中，各有多少条线段?

2.数一数以下图中各有多少角？

3.数一数

下图中，各有多少C1

线段？C3

4.数一数C4

B

（1）

多少条线段，各有多少个三角形？

第六讲几何中的计数问题（二）

我们在已经学会数线段、数角、数三角形的根底上，通过

(1)

本讲学习数长方形，正方形及数综合图形来进一步提高观察和思

考问题的能力，学会在观察、思考、分析中总结归纳出解决问题的规律和方法.

一、数长方形

例1如以下图，数一数以下各图中长方形的个数?C

B

cI)cm)

分析图（I）中长方形的个数与AB边上所分成的线段的条数有关，每一条线段对应一个长方形,

所以长方形的个数等于AB边上线段的条数，即长方形个数为：

4+3+2+1=10〔个）.

图（II）中AB边上共有线段4+3+2+1=10条.BC边上共有线段：2+1=3（条），把AB上的每一条

线段作为长，BC边上每一条线段作为宽，每一个长配一个宽，就组成一个长方形，所以图（II）中共

有长方形为:（4+3+2+1）X（2+1）=10X3=30（个）.

图（III）中，依据图（II）长方形个数的方法：可得长方形个数为：（4+3+2+1）X（3+2+1）=60（个）.

解：图（I）中长方形个数为4+3+2+1=10（个）.

图（II）中长方形个数为:（4+3+2+1）X（2+1）=10X3=30（个）.

图（III）中长方形个数为:（4+3+2+1）X（3+2+1）=10X6=60（个）.

小结：一般情况下，如果有类似图III的任一个长方形一边上有nT个分点（不包括这条边的两个

端点），另边上有mT个分点（不包括这条边上的两个端点），通过这些点分别作对边的平行线且

与另一边相交，这两组平行线将长方形分为许多长方形，这时长方形的总数为：

（1+2+3+…+m）X（1+2+3+…+n）.

例2如右图数一数图中长方形的个数.回

二、数正方形

例3数一数下页各个图中所有正方形的个数.（每个小方格为边长为1的正方形）

分析

三、数三角形

例6如右图，数一数图中三角形的个数.

分析这样的图形只能分类数，可以采用类似数正方

形的方法，从边长为一条根本线段的最小三角形开始.

I.以一条根本线段为边的三角形：

①尖朝上的三角形共有四层，它们的总数为：IV①上二1+2+3+4=10］个）.

②尖朝下的三角形共有三层，它们的总数为：W①下=1+2+3=6（个）.

II.以两条根本线段为边的三角形：

①尖朝上的三角形共有三层，它门的总数为：W②上=1+2+3=6（个）.

②尖朝下的三角形只有一个，记为W②下=11个）.

III.以三条根本线段为边的三角形：

①尖朝上的三角形共有二层，它们的总数为：W③上=1+2=3（个）.

②尖朝下的三角形零个，记为W③下=01个）.

IV.以四条根本线段为边的三角形，只有一个，记为：口④上二1（个）.

所以三角形的总数是10+6+6+1+3+1=27（个）.

按另一种分类情况计算三角形个数，即按尖朝上与尖朝下的三角形的两种分类情况计算三角形个数.

I.尖朝上的三角形共有四种：

W①下=1+2+3+4=10W②上:1+2+3=6W③上=1+2=3W④上二1

所以尖朝上的三角形共有：10+6+3+1=20（个）.

II.尖朝下的三角形共有二种：

W①下=1+2+3=6W②下二1W③下二0W④下二0

那么尖朝下的三角形共有：6+1+0+0=7（个）

所以，尖朝上与尖朝下的三角形一共有：20+7二27（个）.

小结：尖朝上的三角形共有四种.每一种尖朝上的三角形个数都是由1开始的连续自然数的和，

其中连续自然数最多的和中最大的加数就是三角形每边被分成的根本线段的条数，依次各个连续自然

数的和都比上一次少一个最大的加数，直到1为止.

尖朝下的三角形的个数也是从1开始的连续自然数的和，它的第一个和恰是尖朝上的第二个和，

依次各个和都比上一个和少最大的两个加数，以此类推直到零为止.

例7页图数一数图中有多少个三角形.

解：参考例6所总结的规律把图中三角形分成尖朝上和尖朝下的两类：

I.尖朝上的三角形有五种：

(1)W①上=8+7+6+5+4=30(2)W②上=7+6+5+4=22

(3)W③上=6+5+4=15(4)W④上二5+4=9(5)W⑤上二4

・••尖朝上的三角形共有：30+22+15+9+4=80(个).

II.尖朝下的三角形有四种：

(1)W①下=3+4+5+6+7=25(2)W②下=2+3+4+5=14

(3)W③下=1+2+3=6(4)W④下二1

尖朝下的三角形共有25+14+6+下46(个).

・••所以尖朝上与尖朝下的三角形总共有80+46=1261个).

四、数综合图形

前面我们已对较根本、简单的图形的数法作了较系统的研究，寻找到了一般规律.而对于较复杂

的图形即综合图形的数法，我们仍需遵循不重复、不遗漏的原那么，采用能按规律数的，按规律数，

能按分类数的就按分类数，或者两者结合起来就定能把图形数清楚了.

例7页图，数一数图中一共有多少个三角形.

分析图中有假设干个大小不同、形状各异但有规律的三角形.因此适合分类来数.

首先要找出三角形的不同的种类？每种相同的三角形各有多少个？

解：根据图中三角形的形状和大小分为六类：

I.与4ABE相同的三角形共有5个；II.与aABP相同的三角形共有10个；

III.与△ABF相同的三角形共有5个；IV.与aAFP相同的三角形共有5个；

V.与4ACD相同的三角形共有5个；\工与4AGD相同的三角形共有5个.

所以图中共有三角形为5+10+5+5+5+5=35(个).

习题六

1.以下图中有多少个正方形？

2.以下图中有多少个长方形？4.以下图中有多少个长方形?

5.以下图(1)、(2)中各有多少个三角形？

第七讲数学竞赛试题选讲

例1计算：(1+3+5+…+1989)-(2+4+6+…+1988)[1988

市小学数学奥林匹克邀请赛试题)

解法1;解

原式工(1989+1)4-2]2-(19884-2)X(1988(1)(2)法2：去

-4-2+1)括号，得

=9952-994X995原式=1+3+5+…+1989-2-4-6-----1988

=995X(995-994)=1+(3-2)+(5-4)+…+(1989-1988)

二995.=995.

说明：解法1是应用两个常见的公式：

前n个奇数的和1+3+5+…+(2n-l)=n2.

前n个偶数的和2+4+6+…+2n=nX(n+1).

解法2用适当分组方法转化为相同加数的加法问题，即将低级运算(加法)转化为高级运算(乘法).

例2计算：1+2+3+4…+99+100+99+…+4+3+2+1

解：运用加法的交换律与结合律，得

原式二(1+99)+(99+1)+(2+98)+(98+2)+・・・+(50+50)+100

=100X100

二10005

说明：由本例可以推广为一般公式：

1+2+3+・・•+(n+1)+n+(n-l)+-+3+2+1=n2.

例5在下面各数之间，填上适当的运算符号和括号，使等式成立：106932=486994年北京市小

学生“迎春杯〃决赛试题)

解：填法不唯一.下面给出几种常见的填法：

1CX6-(9-3)X2=48；(10+6)X(9-3X2)=48；10+6X[9-3)+2=48；

1CX(6+9)4-3-2=48；(10+6)X(9-3);2二4&

说明：在欧美流行一种数学游戏：试用4个给定的自然数经过四那么运算的结果等于24.本例与

这种游戏是类似的，它们对于开展学生的数学思维是十分有益的.

例6右图中六个小圆圈中的三个分别填有15、26、31三个数.而这三个数分别等于和它相邻的两个

空白圆圈里的数的和，那么，填在三个空白圆圈里的数中，最小的一个数是—

解：设15与26之间的圆圈里的数是a,

26与31之间的圆圈里的数是b,〜

15与31之间的圆圈里的数是c,OO

依题意，有a+b=26,b+c=31,a+c=15；J

于是可知2（a+b+c）=26+31+25,即a+b+c=36；@@>

因此，最小数是：a=36-3>5.0

例8如右图，AB、CD、EF、MN互相平行，那么右图中梯形的个数与三B

角形的个数相差多少？必狎*

解：首先计算右图中三角形的个数.由于所有三角形都以0点为顶点；且以V/\\

AB或CD或EF或MN上的线段为底的三角形各有：4+3+2+1=10（个）.犷,=-----

因此，图中一共有三角形：10X4=40（个）.

其次计算上图中梯形的个数.由于从AB、CD、EF、MN中任意选出两条为上、下底时各有梯形:

4+3+2+1=101个）.

而从4条线段中选出两条线段的不同选法有（4X3）+2=6（种），

所以，上页图中一共有梯形10X6=60（个）.

于是上页图中梯形个数与三角形个数相差