山西省临汾市2025届九年级上学期第二次月考数学试卷(含解析)

2024-2025学年度九年级阶段评估数学上册全部说明：共三大题，23小题，满分120分，答题时间120分钟．一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请把正确答案的选项填在下表中）1.计算的结果为（）A. B. C. D.答案：A解：依题意，，故选：A．2.如图，在中，，，，O是边的中点，则点到点的距离为（）A.8 B.7 C.6 D.5答案：D解：在中，，，，，O是边的中点，，故选：D．3.下列事件为必然事件是（）A.水中捞月B.三角形外角和为C.射击运动员射击一次，命中靶心D.在标准大气压下，水加热到会沸腾答案：D解：A、水中捞月，是不可能事件，本选项不符合题意；B、三角形的外角和为，是不可能事件，本选项不符合题意；C、射击运动员射击一次，命中靶心，是随机事件，本选项不符合题意；D、在标准大气压下，水加热到会沸腾，是必然事件，本选项符合题意；故选：D．4.小明准备国庆假期去太原旅游，计划从“晋祠”“蒙山大佛”“汾河景区”“太原动物园”“太原森林公园”五个景区中随机选择一个，则小明选择的景区恰好是“太原动物园”的概率为（）A. B. C. D.答案：A解：∵计划从“晋祠”“蒙山大佛”“汾河景区”“太原动物园”“太原森林公园”五个景区中随机选择一个，∴选择的景区恰好是“太原动物园”的概率为，故选：A．5.山西特产沙金红杏是一种根系发达，移栽成活率高的经济果木，某研究院跟踪调查了某类沙金红杏的移栽成活情况，得到如下统计图：由此可估计这种沙金红杏树苗移栽成活的概率约为（）A. B. C. D.答案：C解：这种树苗成活的频率稳定在，成活的概率估计值约是．故选：B．6.如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，的各点都在格点（网格线的交点）上，D，E分别是边的中点，连接，则的长为（）A.2 B. C. D.1答案：C解：根据勾股定理得：，∵D，E分别是边的中点，，故选：C．7.周末，小明参加骑行活动，他沿着坡度为的山坡上坡前进了，则小明所在的位置升高了（）A. B. C. D.答案：B解：如图，中，，，∴，∴．即此人所在的位置比原来升高了，故选：B．8.如图，在平面直角坐标系中，点，，，则的值为（）A. B. C. D.答案：B解：∵，，∴，∵，，∴，∴．故选：B．9.如图，这是某屋顶的示意图．已知，，，屋顶跨度，，，高为，点N在上，则的长为（）A. B.6m C. D.答案：A解：∵，，高为，点N在上，∴，，∵，，∴，∵，，∴，∴，由勾股定理得，即，∴，故选：A．10.如图，在中．，，，点从点出发以每秒1个单位长度的速度向终点C移动，同时，点Q从点C出发以每秒2个单位长度的速度向终点A移动．当一点到达终点时，另一点也停止移动．若的面积等于4，则它们移动的时间是（）A.1秒或4秒 B.2秒或4秒 C.2秒 D.1秒答案：D解：设运动时间为秒，由题意得：，，∴，∴，解得：或，∵，∴，∴不符合题意，∴当的面积等于4时，经过了1秒，故选：D．二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）11.化简：____________．答案：##解：原式故答案为：．12.如图，为了测量操场上旗杆的高度，数学兴趣小组测得小张在操场上的影长恰好等于他的身高．此时，数学兴趣小组又测得旗杆的影长为，则旗杆的高度为___________m．答案：解：由题意可得：，∵，，∴，故答案为：．13.如图，这是脊柱侧弯的检测示意图．Cobb角()的大小是脊柱侧弯严重程度的参考标准之一．一次检测测得，则Cobb角()的大小为___________．（当Cobb角时，为脊柱侧凸）答案：解：根据题意可得：，，，，故答案为：．14.有3张形状大小、材质均相同的不透明卡片，卡片上面分别标有数字，，．将标有数字的一面朝下放在桌子上，洗匀并从中随机摸出2张卡片，则摸出的卡片上的数字一个是无理数，另一个是有理数的概率是___________．答案：解：画树状图，如图，共有6种等可能的结果，其中摸出的卡片上的数字一个是无理数，另一个是有理数的结果数为4，所以摸出的卡片上的数字一个是无理数，另一个是有理数的概率是，故答案为：．15.图1，图2分别是某种型号拉杆箱的实物图与示意图．已知滑杆，箱体，拉杆的长都相等，即．点B，F在上，点C在上，支杆，，，，则拉杆端点A到水平滑杆的距离为___________．（结果保留根号）答案：解：过作于．．，，，，，，，，，，；过作交的延长线于，，∴拉杆端点到水平滑杆的距离为．故答案为：．三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16.（1）计算：．（2）解方程：．答案：（1）；（2），．解：（1）；（2），整理得，配方得，即，∴，解得：，．17.我们在物理中曾经学习过“杠杆原理”．如图，这是一种利用“杠杆原理”取水的工具的示意图，为杠杆，是垂直于水平地面的支撑杆，，，垂足分别为D，E．，，，，求点到水平地面的距离．答案：解：∵是垂直于水平地面的支撑杆，，，∴四边形是矩形，∴，∵是垂直于水平地面的支撑杆，，∴，∴，∵，∴是等腰直角三角形，∵，，∴，∴米，∴点到水平地面的距离．18.某中学要新建一块篮球场地（如图所示），要求：①篮球场（阴影部分）的长和宽分别为，；②在篮球场四周修建宽度相等的安全区域；③篮球场及安全区域的总面积为．（1）求安全区域的宽度．（2）某公司希望用45万元承包这项工程，该中学认为金额太高需要降价，通过两次协商，最终以36.45万元达成一致．若两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率．答案：（1）安全区域的宽度为2米；（2）每次降价的百分率为．【小问1详解】解：设安全区域宽度为米，由题意得，，整理得，解得（不符合题意，舍去），答：安全区域的宽度为2米；【小问2详解】解：设每次降价的百分率为，由题意得，，解得（舍去），，答：每次降价的百分率为．19.课间休息，数学老师李老师提前来到了教室，准备上数学课，看到了上节物理课在黑板上留下的一个电路图（如图所示），就嘱咐班级当日的值日生擦黑板时把电路图留下．上课时，李老师问班级的物理课代表：“此电路图下，小灯泡何时会发光？”物理课代表回答：“在开关闭合的情况下，再闭合，，中的任意一个开关，小灯泡就会发光．”物理课代表的回答得到了全班同学的认可．接下来，李老师提出了如下的数学问题．（1）在开关闭合的情况下，随机闭合，，中的一个开关，能够让小灯泡发光的概率为__________；（2）当随机闭合，，，中的两个开关时，请用画树状图或列表的方法求出能使小灯泡发光的概率．答案：（1）（2）【小问1详解】所有等可能的情况有3种：，闭合；，闭合，，闭合，其中小灯泡发光的情况有1种：，闭合，则（小灯泡发光）；故答案为：；【小问2详解】解：设、、、分别用1、2、3、4表示，画树状图得：共有12种等可能的结果，能够让灯泡发光的有6种结果，能够让灯泡发光的概率为：．20.如图，在中，，，的垂直平分线交于点，，于点E，求的长．答案：．解：如图，连接，的垂直平分线交于点，，，，，，，，，，，，，由勾股定理得，即，．21.阅读与思考请阅读下面的科普材料，并完成相应的任务．圭表是度量日影长度的一种天文仪器．古代劳动人民用正午时分圭表上日影的长短来确定一年四季，并在历书中排出了二十四个节令的日期，由此指导劳动人民的农事活动．如图1，夏至线表示夏至正午时分表的顶端落在圭上的影子的位置，夏至是全年日影最短的一天；冬至线是冬至正午时分表的顶端落在圭上的影子的位置，冬至是全年日影最长的一天．工人师傅尝试设计了一个圭表模型，图2是其截面示意图．其中，点A为夏至线所在的位置，点B为冬至线所在的位置，，点O，A，B，P在同一竖直平面内，点O，A，B在同一条直线上．据调查，该地冬至正午时分的太阳高度角为，夏至正午时分的太阳高度角为．（注：太阳高度角是指对地球上的某个地点太阳光入射方向和地平面的夹角）任务： （1）求和的长．（2）已知该地春分正午时分的太阳高度角是，工人师傅想在图2中之间标出春分线的位置，请直接写出的长．（结果保留一位小数．参考数据：，，，，，，．）答案：（1）的长为，的长．（2）．【小问1详解】解：由题中太阳高度角的定义可知：，，，，，是直角三角形，∵，∴，∴，即的长为，的长．小问2详解】如图，连接，由题意得：，，是直角三角形，，即的长度是．22.综合与实践利用简易测角仪测量旗杆的高度【测角原理】如图1，简易测角仪由度盘、铅垂线和支杆组成，铅垂线始终与地面垂直，零刻度线始终与度盘顶线垂直．测角仪在使用时，首先把测角仪的支杆竖直插入地面，使支杆的中心线、铅垂线和度盘的零刻度线重合，然后转动顶线，使其对准目标点，此时通过指向的度数即可确定仰角的大小．【数学证明】（1）如图2，直线为水平地面，旗杆为零刻度线方向，请根据材料说明的大小即为仰角的大小．【理论设计】（2）在图2中，若，测角仪的支杆，点O离的距离，请据此表示出线段的长度（用含的字母表示）．【实践操作】（3）如图3，由于在实际测量时同学们发现所带皮尺长度不够，因此他们改变了测量方案，测量时，先在点A处测得仰角，然后沿直线后退至点B处，测得仰角，其中支杆的长为，请根据测量数据，求出旗杆的高度．（结果精确到，参考数据：，，，，，）答案：（1）见解析；（2）；（3）旗杆的高度约为解：（1）由题意可得，四边形是矩形，，由题意可得，，；（2），，，，，四边形是矩形；（3）设，，，，，即解得，，答：旗杆的