8.6.3第1课时 平面与平面垂直的判定课件高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

8.6.3平面与平面垂直第1课时平面与平面垂直的判定

第八章

8．6空间直线、平面的垂直学习目标1.理解二面角的有关概念，会作二面角的平面角，能求简单二面角的平面角的大小．2.借助长方体，通过直观感知，归纳出平面与平面垂直的判定定理，并加以证明．3.会应用平面与平面垂直的判定定理证明平面与平面垂直．问题导思问题1.如图，在日常生活中，我们常说“把门开大一些”．(1)“把门开大一些”是指哪个角大一些？提示：门所在的平面与墙所在的平面形成的角大一些．(2)用图中的∠AOB能刻画门与墙所成角的大小吗？提示：能．新知构建1．二面角的概念概念(1)半平面：平面内的一条直线把平面分成两部分，这两部分通常称为_________．(2)从一条直线出发的两个_________所组成的图形叫做二面角．这条直线叫做二面角的___，这两个半平面叫做二面角的___图示记法棱为l，面分别为α，β的二面角记为_______．如图所示，也可在α，β内(棱以外的半平面部分)分别取点P，Q，将这个二面角记作二面角_______半平面半平面棱面α-l-βP-l-Q2．二面角的平面角的概念概念在二面角α-l-β的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的________图示符号OA⊂α，OB⊂β，α∩β＝l，O∈l，OA⊥l，OB⊥l⇒∠AOB是二面角的平面角范围0°≤∠AOB≤180°规定二面角的大小可以用它的_________来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度．平面角是______的二面角叫做直二面角平面角平面角直角微提醒(1)二面角的大小与垂足在l上的位置无关．(2)二面角的平面角必须具备三个条件：一是角的顶点在二面角的棱上；二是角的两边分别在两个半平面内；三是角的两边分别与二面角的棱垂直．例1

如图所示，已知三棱锥A-BCD的各棱长均为2，求二面角A-CD-B的平面角的余弦值．解：如图，取CD的中点M，连接AM，BM，则AM⊥CD，BM⊥CD.由二面角的定义可知∠AMB为二面角A-CD-B的平面角．设点H是△BCD的中心，连接AH，则AH⊥平面BCD，且点H在线段BM上．规律方法求二面角的平面角的大小的步骤简称：“一作、二证、三求．”

因为PA⊥平面ABCD，AB，AD⊂平面ABCD，所以AB⊥PA，AD⊥PA.所以∠BAD为二面角B-PA-D的平面角．又由题意知∠BAD＝90°，所以二面角B-PA-D的平面角的大小为90°.90°对点练1．如图，已知四边形ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD.(1)二面角B-PA-D的平面角的大小为______；因为PA⊥平面ABCD，AB，AC⊂平面ABCD，所以AB⊥PA，AC⊥PA.所以∠BAC为二面角B-PA-C的平面角．又四边形ABCD为正方形，所以∠BAC＝45°，故二面角B-PA-C的平面角的大小是45°.返回(2)二面角B-PA-C的平面角的大小为_________．45°问题导思问题2.建筑工人在砌墙时，泥水匠为了保证墙面与地面垂直，常常在较高处固定一条端点系有铅锤的线，再沿着该线砌墙，如图，这样就能保证墙面与地面垂直．(1)由上述可知当直线与平面垂直时，过此直线可作无数个平面，那么这些平面与已知平面有何关系？提示：垂直．(2)若要判断两平面是否垂直，根据上述问题能否得出一个方法？提示：可以，只需在一平面内找一直线垂直于另一平面即可．新知构建1．平面与平面垂直的定义(1)定义：一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是__________，就说这两个平面互相垂直，平面α与β垂直，记作______．(2)画法：直二面角α⊥β2．平面与平面垂直的判定定理文字语言如果一个平面过另一个平面的______，那么这两个平面垂直符号语言a⊥β，______⇒α⊥β图形语言垂线a⊂α微提醒判定定理的关键词是“过另一个平面的垂线”，所以应用的关键是在平面内寻找另一个平面的垂线．例2证明：因为在圆O中AC为弦，D为AC的中点，O为圆心，所以AC⊥OD，因为在圆锥PO中，PO⊥平面ABC，AC⊂平面ABC，所以PO⊥AC，因为OD∩PO＝O，所以AC⊥平面POD，因为AC⊂平面PAC，所以平面POD⊥平面PAC.规律方法证明面面垂直主要有两种方法1．利用面面垂直的定义：证明二面角的平面角是直角．2．利用面面垂直的判定定理：要证面面垂直，只需证线面垂直．即在其中一个平面内寻找一条直线与另一个平面垂直．这是证明面面垂直的常用方法，其基本步骤是：对点练2．如图所示，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝AD＝1，AA1＝2，M是棱CC1的中点．证明：平面ABM⊥平面A1B1M.证明：由长方体的性质可知A1B1⊥平面BCC1B1.又BM⊂平面BCC1B1，所以A1B1⊥BM.又CC1＝2，M为CC1的中点，所以C1M＝CM＝1.又B1B＝2，所以B1M2＋BM2＝B1B2，从而BM⊥B1M.又A1B1∩B1M＝B1，A1B1，B1M⊂平面A1B1M，所以BM⊥平面A1B1M，因为BM⊂平面ABM，所以平面ABM⊥平面A1B1M.返回随堂演练1．在二面角α-l-β的棱l上任取一点O，若∠AOB是二面角α-l-β的平面角，则必须具有的条件是A．AO⊥BO，AO⊂α，BO⊂βB．AO⊥l，BO⊥lC．AB⊥l，AO⊂α，BO⊂βD．AO⊥l，BO⊥l，且AO⊂α，BO⊂β√由二面角的平面角定义，应满足的条件为D项．2．已知l⊥α，则过l与α垂直的平面A．有1个 B．有2个C．有无数个 D．不存在√由面面垂直的判定定理知，凡过l的平面都垂直于平面α，这样的平面有无数个．故选C.3．对于直线m，n和平面α，β，能得出α⊥β的一个条件是A．m⊥n，m∥α，n