2024-2025学年河南省部分名校高一（下）联考数学试卷（3月份）（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年河南省部分名校高一（下）联考数学试卷（3月份）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.下列量中是向量的为(

)A.课桌的高度 B.一段路程的公里数

C.上课时老师敲击黑板的频率 D.小汽车受到路面的弹力2.已知集合A={1,a}，集合B满足A∪B={1,e,π}，则a的所有可能取值的集合为(

)A.{1} B.{e} C.{π} D.{e,π}3.已知向量m=(2,−1)，n=(−1,3)，则m⋅(A.8 B.10 C.12 D.164.已知向量a=(3,−1)，向量b=(3,4)，则a在b上的投影向量的坐标为(

)A.(35,45) B.(−5.若a，b是平面内一组不共线的非零向量，则下列也可以作为一组基底向量的为(

)

①a−b和2025b−2025a

②a+b和a−bA.①② B.②③ C.③④ D.①④6.已知3x×9y=3xy，且x，A.22 B.4 C.47.在一个建筑工程中，工程师需要根据斜坡的倾斜角度来计算一些结构的受力情况.设斜坡的倾斜角度为θ(0<θ<π2)，经测算分析，发现tanθtan2θ=23，若该斜坡的摩擦系数为A.56 B.67 C.458.记钝角三角形ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a=1，B=C，AC=2AD，则线段BD的取值范围为(

)A.(12,22) B.二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知幂函数f(x)=xb⋅ln(a+1)(a,b为常数A.a=0B.若b=2，则f(x)与f(|x|)表示同一个函数

C.若b=−12，则f(x2)为奇函数

D.10.如图，在平面直角坐标系xAy中，AB=(4,0)，AD=(1,4)，DC=(2,−1)，则下列说法正确的有(

)A.|BD|=4

B.四边形ABCD的面积为212

C.△ABC外接圆的周长为211.已知函数f(x)=sinxcos(x+φ)，φ为常数，则下列说法正确的有(

)A.f(x)的最小正周期为π

B.当ϕ=π6时，f(x)的值域为[−38,14]

C.f(x)在[−π4−φ2+kπ,π三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.命题p：∀x∈(0,12],x>13.记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知(b+c)2=a2+4bcsi14.已知平面向量a，b，c满足c⊥(a+b)，a⋅c四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题12分)

在四边形ABCD中，E，F分别为边AB，CD的中点，AB//CD，记AC，BD相交于点M.结合平面向量的有关知识回答下列问题．

(1)证明：ME=12(MA+MB)；

(2)若AB=CD，写出2个与ME共线的向量(不用证明)；

(3)若AB≠CD，证明：16.(本小题12分)

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知asinA−csinCa−b=sinB．

(1)证明：C=π3；

(2)证明：A≠π3；

(3)若点D在线段AB上，∠ADC=∠ACB17.(本小题12分)

某高中高一学生成立了课外实践数学小组，计划通过数学建模的方法来测量某人工圆形湖泊的直径，如图为该人工湖泊的大致俯视图，该小组成员首先在湖泊边缘处A点处固定一旗帜，然后从A点沿逆时针方向绕着湖泊边缘走到B点处固定一旗帜，并在红外线角度测量仪的帮助下从B点逆时针走至C点处，此时测得∠ABC=120°，且测得BC=20米，AB=10米．

(1)求该人工圆形湖泊的直径；

(2)若D为人工圆形湖泊优弧AC上一动点(异于A，C两点)，求四边形ABCD面积的取值范围．18.(本小题12分)

近日，DeepSeek火爆出圈，其本质在于技术创新和产业影响，它通过高效的算法和工程技术，显著降低了AI模型的训练成本，同时也代表着我国在AI技术方面的迅速发展和进步.相关数学建模小组通过对某AI软件的研究发现：当该程序利用后台的算法处理数据量为N(单位：字节)的数据时，处理时间t(单位：秒)满足关系式t=t0eNN0−1(其中N0，t0均为常数).已知当N=300时，t=4e2；当N=400时，t=4e3．

(1)求N0，t0的值；

(2)若该程序利用后台算法处理一份数据量N=600的数据，求所需的处理时间；19.(本小题12分)

如图，已知半径为2的扇形OAB的圆心角为π2，C为线段OA的中点，D是AB上一动点(包含A，B两点)．

(1)求AD⋅OD的取值范围；

(2)当∠AOD=π4时，以OA，OB为一组基底向量表示CD；

(3)若CD

答案解析1.D

【解析】解：因为向量是既有大小，又有方向的量，

而高度、公里数、频率只有大小，没有方向，

所以高度、公里数、频率都不是向量，

弹力既有大小，又有方向，所以弹力是向量．

故选：D．

由向量的概念，可得答案．

本题主要考查了向量的定义，属于基础题．2.D

【解析】解：因为集合A={1,a}，集合B满足A∪B={1,e,π}，

所以由并集运算的定义可知，a的所有可能取值为π或e，

即a的所有可能取值的集合为{e,π}．

故选：D．

由并集中元素即可判断．

本题主要考查了集合的并集运算，属于基础题．3.B

【解析】解：向量m=(2,−1)，n=(−1,3)，

则m−n=(3,−4)，

故m⋅(m−n4.A

【解析】解：向量a=(3,−1)，向量b=(3,4)，

则a在b上的投影向量为a⋅b|b|×b|b|=9−455.B

【解析】解：若a，b是平面内一组不共线的非零向量，

则a，b是平面内一组基底向量，

对于①，2025b−2025a=−2025(a−b)，故a−b和2025b−2025a是一组共线向量，无法作为基底向量，故①错误；

对于②，假设a+b与a−b是一组共线向量，由平面向量基本定理可得存在非零常数k使得a+b=k(a−b)，易知k不存在，矛盾，

故a+b与a−b不是共线向量，可以作为一组基底向量，故②正确；

对于6.D

【解析】解：由3x×9y=3x+2y=3xy，且x，y>0，

可得x+2y=xy，

故x+2y=xy=12⋅x⋅2y≤12⋅(x+2y2)2，

即7.B

【解析】解：tanθtan2θ=2tan2θ1−tan2θ=23，

即3tan2θ=1−tan2θ，

因为0<θ<π2，故tanθ=12，

8.C

【解析】解：由△ABC是钝角三角形且B=C可得A为钝角，

故cosA=b2+c2−a22bc<0，

由a=1，b=c，故2b2<1，

由b+c>a=1得，b>12，故12<b<22，

由AC=2AD得，AD=12AC，则cosA=b2+c9.BD

【解析】解：∵f(x)=xb⋅ln(a+1)为幂函数，∴ln(a+1)=1，解得a=e−1，A错误；

b=2时，f(x)=x2，∴f(x)=f(|x|)，即f(x)和f(|x|)表示同一个函数，B正确；

若b=−12，则f(x)=x−12，

所以f(x2)=(x2)−12=1|x|，定义域为(−∞,0)∪(0,+∞)，

显然f(x2)是偶函数，故C10.BC

【解析】解：由题意，AB=(4,0)，AD=(1,4)，DC=(2,−1)，

则BD=AD−AB=(−3,4)，

所以|BD|=(−3)2+42=5，故A错误；

过点C作x轴的垂线，设垂足为点E，过点D作x轴的垂线，设垂足为点F，

AC=AD+DC=(3,3)，

则四边形ABCD的面积S=S△ADF+SEFDC+S△BCE=12×1×4+12×(4+3)×2+12×1×3=212，故B正确；

在直角三角形BCE中，易得sin∠CBE=CECB=31010，

设△ABC外接圆的半径为R，

11.ACD

【解析】解：对于A，由题意可得f(x)=sinx(cosxcosφ−sinxsinφ)=sinxcosxcosφ−sin2xsinφ

=12sin2xcosφ−1−cos2x2sinφ=12sin(2x+φ)−12sinφ．

易得f(x)的最小正周期为2π2=π，故A正确；

当φ=π6时，f(x)=12sin(2x+π6)−14，其值域为[−34,14]，故B错误；

当−π2+2kπ≤2x+φ≤π2+2kπ(k∈Z)时，f(x)单调递增，

故f(x)在[−π4−φ2+kπ,π4−φ2+kπ](k∈Z)上单调递增，故C正确．

当sin(2x+φ)>sinφ时，y=|f(x)|=12sin(2x+φ)−12sinφ，此时y∈(0,1212.∃x∈(0,12]【解析】解：命题p：∀x∈(0,12],x>tan2x的否定为：∃x∈(0,12]，x≤13.π2【解析】解：因为(b+c)2=a2+4bcsin2(A2)，

即b2+2bc+c2=a2+2bc(1−cosA)，

整理可得：b2+c2=a2−2bccosA，

由余弦定理可得14.2

【解析】解：已知平面向量a，b，c满足c⊥(a+b)，a⋅c=|c|=1，若a⊥b，

不妨固定向量a，b，c的起点为同一点，因为a⋅c=|c|=1，

由向量投影的性质，a在c方向上的投影向量的长度为1，

由c⋅(a+b)=0，可知b⋅(−c)=1，故b在向量−c方向上的投影向量的长度为1，

又因为a⊥b，所以a，b，a−15.证明见解析；

EM，FM，MF，EF，FE，AD，DA，BC，CB；

证明见解析．

【解析】(1)证明：

因为E为AB的中点，所以AE=EB=−BE，

则ME=MA+AE，ME=MB+BE，

故ME=12(MA+MB)；

(2)解：

由AB=CD，AB/​/CD，则四边形ABCD为平行四边形，

由向量的概念可得在四边形ABCD中，

与ME共线的向量有EM，FM，MF，EF，FE，AD，DA，BC，CB；

(3)证明：

设AB=kCD(k≠0)，又因为AB/​/CD，所以AM=kMC，BM=kMD，

由(1)知ME16.证明见解答；

证明见解答；

6+3【解析】(1)证明：由asinA−csinCa−b=sinB及正弦定理，

可得a2−c2a−b=b，即a2−c2=ab−b2，

由余弦定理a2+b2−c2=2abcosC，得cosC=12，

又C∈(0,π)，故C=π3；

(2)证明：若A=π3，则△ABC是等边三角形，则a=b，

而由asinA−csinCa−b=sinB可知a≠b，矛盾，

故A≠π3，原命题得证；

(3)解：因为∠ADC=∠ACB，∠CAD=∠BAC，

所以△ADC∽△ACB，

由相似可知|AC|2=|AD|⋅|AB|，

又|AD|=2|BD|=2，

故c=3，b=|AC|=17.该人工圆形湖泊的直径为20213米；

四边形ABCD面积的取值范围为(50【解析】解：(1)在△ABC中，由余弦定理可得AC2=AB2+BC2−2AB⋅BCcos∠ABC，

即AC2=102+202−2×10×20×(−12)=700，所以AC=107米．

设该人工圆形湖泊的半径为R，

则2R=ACsin∠ABC=10732=20213，

所以该人工圆形湖泊的直径为20213米．

(2)S△ABC=12AB⋅BCsin∠ABC=12×10×20×32=5018.100，4；

所需的处理时间为4e5秒；

所需的总处理时间的最小值为8【解析】解：(1)当该程序利用后台的算法处理数据量为N(单位：字节)的数据时，处理时间t(单位：秒)满足关系式t=t0eNN0−1(其中N0，t0均为常数)，

已知当N=300时，t=4e2；当N=400时，t=4e3，

得lnt=lnt0+NN0−1，故ln4e2=lnt0+300N0−1ln4e3=lnt0+400N0−1，

两式相减可得ln4e24e3=300−400N0，故N0=−100−lne=100，

故t0=19.[0,4]；

CD=2−12OA【解析】解：(1)已知半径为2的扇形OAB的圆心角为π2，C为线段OA的中点，D是AB上一动点(包含A，B两点)，

设∠AO