2025年高考数学必刷题分类：第65讲、双曲线及其性质（学生版）

第65讲双曲线及其性质

知识梳理

知识点一：双曲线的定义

平面内与两个定点的距离的差的绝对值等于常数（大于零且小于）的点的轨

F1,F2．．．．．F1F2

迹叫做双曲线（这两个定点叫双曲线的焦点）．用集合表示为

MMFMF2a(02aFF)

1212．

注意：（1）若定义式中去掉绝对值，则曲线仅为双曲线中的一支．

（2）当2aF1F2时，点的轨迹是以F1和F2为端点的两条射线；当2a0时，点的轨

迹是线段F1F2的垂直平分线．

（3）2aF1F2时，点的轨迹不存在．

在应用定义和标准方程解题时注意以下两点：

22

①条件“F1F22a”是否成立；②要先定型（焦点在哪个轴上），再定量（确定a，b的

值），注意a2b2c2的应用．

知识点二：双曲线的方程、图形及性质

双曲线的方程、图形及性质

x2y2y2x2

标准方程1(a0,b0)1(a0,b0)

a2b2a2b2

图形

A2

焦点坐标F1(c,0)，F2(c,0)F1(0,c)，F2(0,c)

对称性关于x，y轴成轴对称，关于原点成中心对称

顶点坐标A1(a,0)，A2(a,0)A1(0,a)，A2(0,a)

范围xaya

实轴、虚轴实轴长为2a，虚轴长为2b

cb2

离心率e1(e1)

aa2

x2y2by2x2a

令，令，

220yx220yx

渐近线方程abaabb

焦点到渐近线的距离为b焦点到渐近线的距离为b

点在双曲线内

1,(x0,y0)

221,点(x,y)在双曲线内

xy（含焦点部分）00

点和双曲线22

22点在双曲线上yx（含焦点部分）

ab1,(x0,y0)

22点在双曲线上

点在双曲线外ab1,(x0,y0)

的位置关系1,(x0,y0)

点在双曲线外

1,(x0,y0)

共焦点的双

x2y2y2x2

2222

221(akb)221(akb)

曲线方程akbkakbk

共渐近线的

x2y2y2x2

22(0)22(0)

双曲线方程abab

xxyyyyxx

切线方程001,(x,y)为切点001,(x,y)为切点

a2b200a2b200

22

对于双曲线上一点所在的切线方程，只需将双曲线方程中x换为x0x，y换成y0y

切线方程

便得．

xxyy

001,(x,y)为双曲线

2200yyxx

ab001,(x,y)为双曲线外一点

切点弦所在a2b200

外一点

直线方程

点(x0,y0)为双曲线与两渐近线之间的点

设直线与双曲线两交点为A(x1,y1)，B(x2,y2)，kABk．

1

则弦长AB1k2xx1yy(k0)，

12k212

弦长公式

2

xxxx4xx，其中“a”是消“y”后关于“x”的一元二次方程的

121212a

“x2”系数．

2b2

通径通径（过焦点且垂直于FF的弦）是同支中的最短弦，其长为

12a

双曲线上一点P(x0,y0)与两焦点F1,F2构成的PF1F2成为焦点三角形，

2b2

设F1PF2，PF1r1，PF2r2，则cos1，

r1r2

焦点三角形

2焦点在轴上

1sin2bcy0,x

Srrsinb，

PF1F22121coscx,焦点在y轴上

tan0

2

焦点三角形中一般要用到的关系是

PFPF2a(2a2c)

12

1

SPFPFsinFPF

PF1F21212

2

222

F1F2PF1PF22PF1PF2cosF1PF2

等轴双曲线满足如下充要条件：双曲线为等轴双曲线ab离心率e2

等轴双曲线

22

两渐近线互相垂直渐近线方程为yx方程可设为xy(0)．

【解题方法总结】

（1）双曲线的通径

过双曲线的焦点且与双曲线实轴垂直的直线被双曲线截得的线段，称为双曲线的通

2

径．通径长为2b．

a

（2）点与双曲线的位置关系

x2y2x2y2

对于双曲线1(ab0)，点P(x，y)在双曲线内部，等价于001．

a2b200a2b2

x2y2

点P(x，y)在双曲线外部，等价于001结合线性规划的知识点来分析．

00a2b2

（3）双曲线常考性质

性质1：双曲线的焦点到两条渐近线的距离为常数b；顶点到两条渐近线的距离为常数

ab；

c

a2b2

性质2：双曲线上的任意点P到双曲线C的两条渐近线的距离的乘积是一个常数；

c2

b2

（4）双曲线焦点三角形面积为（可以这样理解，顶点越高，张角越小，分母越

tan

2

小，面积越大）

（5）双曲线的切线

x2y2

点M(x，y)在双曲线1(a0，b0)上，过点M作双曲线的切线方程为

00a2b2

xxyyx2y2

001．若点M(x，y)在双曲线1(a0，b0)外，则点M对应切点弦方程

a2b200a2b2

xxyy

为001

a2b2

必考题型全归纳

题型一：双曲线的定义与标准方程

例1．（2024·全国·模拟预测）已知F1，F2分别是离心率为2的双曲线

x2y2

E:1a0,b0的左，右焦点，过点F2的直线与双曲线的左､右两支分别交于点C，

a2b2

D，且CF1CD，DF14，则E的标准方程为.

x2y2

例2．（2024·山东临沂·高二校考期末）已知双曲线E：1（a0，b0），矩

a2b2

形ABCD的四个顶点在E上，AB，CD的中点为E的两个焦点，且2AB3BC6，则双

曲线E的标准方程是．

5

例3．（2024·高二课时练习）设椭圆C1的离心率为，焦点在x轴上且长轴长为26，若

13

曲线C2上的点到椭圆C1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C2的标准方程

为．

1

变式1．（2024·贵州贵阳·高二清华中学校考阶段练习）渐近线方程为yx且经过点4,1

2

的双曲线标准方程为．

x2y2

变式2．（2024·辽宁朝阳·高二校联考阶段练习）若双曲线C与双曲线1有相同

1612

的渐近线，且经过点22,15，则双曲线C的标准方程是．

变式3．（2024·上海黄浦·高二上海市向明中学校考期中）双曲线经过两点A2,3，

15

B,2，则双曲线的标准方程是．

3

x2y2

变式4．（2024·全国·模拟预测）已知F1，F2分别是双曲线C:1a0,b0的左、

a2b2

右焦点，是双曲线的右支上一点，双曲线的焦点到渐近线的距离为，与的

MCC3F1MMF2

π

夹角为，MF13MF2MF13MF2，则双曲线C的标准方程为.

3

x2y2

变式5．（2024·广东·高三校联考阶段练习）已知双曲线Γ:1a0,b0，四点

a2b2

55

A6,3、B4,、C5,2、D5,2中恰有三点在上，则双曲线的标准方程

5

为．

10

变式6．（2024·高二课时练习）（1）若双曲线过点(3,92)，离心率e，则其标准方

3

程为．

（2）若双曲线过点P(2,1)，渐近线方程是y3x，则其标准方程为．

y2x2

（3）若双曲线与双曲线1有共同的渐近线，且经过点M(3,2)，则其标准方程

43

为．

【解题方法总结】

求双曲线的方程问题，一般有如下两种解决途径：

（1）在已知方程类型的前提下，根据题目中的条件求出方程中的参数a，b，c，即

利用待定系数法求方程．

（2）根据动点轨迹满足的条件，来确定动点的轨迹为双曲线，然后求解方程中的参数，

即利用定义法求方程．

题型二：双曲线方程的充要条件

x2y2

例4．（2024·全国·高三对口高考）若曲线1表示双曲线，那么实数k的取值

3k2k

范围是（）

A．3,2B．,32,

C．2,3D．,23,

例5．（2024·湖南岳阳·高三湖南省岳阳县第一中学校考开学考试）已知kR，则“2k3”

x2y2

是“方程1表示双曲线”的（）

2k2k

A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不

充分也不必要条件

x2y2

例6．（2024·全国·高三专题练习）若方程1表示双曲线，则m的取值范围

m2m6

是（）

A．m2或m6B．2m6

C．m6或m2D．6m2

变式7．（2024·全国·高三专题练习）已知方程E:(m1)x2(3m)y2(m1)(3m)，则

E表示的曲线形状是（）

A．若1m3，则E表示椭圆

B．若E表示双曲线，则m1或m3

C．若E表示双曲线，则焦距是定值

25

D．若E的离心率为，则m

23

x2y2

变式8．（2024·四川南充·统考三模）设0,2π，则“方程1表示双曲线”

34sin

的必要不充分条件为（）

2

A．0,πB．,2

3

3ππ3π

C．π,D．,

222

【解题方法总结】

x2y2

1表示椭圆的充要条件为：m0,n0,mn；

mn

x2y2

1表示双曲线方程的充要条件为：mn0；

mn

x2y2

1表示圆方程的充要条件为：mn0．

mn

题型三：双曲线中焦点三角形的周长与面积及其他问题

y2x2

例7．（2024·广东揭阳·高三校考开学考试）已知双曲线C:1(a0,b0),O为坐

a2b2

标原点，F1,F2为双曲线C的两个焦点，点P为双曲线上一点，若PF13PF2,OPb，则

双曲线C的方程可以为（）

y2y2x2

A．x21B．1

424

y2x2y2x2

C．1D．1

34164

x2y2

例8．（2024·安徽六安·六安一中校考模拟预测）已知双曲线C:1的左、右焦点

169

分别为F1、F2，直线ykx与双曲线C交于A，B两点，若ABF1F2，则ABF1的面积

等于（）

A．18B．10C．9D．6

x2y2

例9．（2024·福建漳州·高三漳州三中校考阶段练习）已知双曲线:1的左右焦

42

点分别为F1,F2，过F1的直线分别交双曲线的左右两支于A,B两点，且F2ABF2BA，

则BF2（）

A．54B．254C．25D．5

x2y2

变式9．（2024·湖北恩施·校考模拟预测）已知F1，F2分别为双曲线C：1b0

4b2

的左右焦点，且F1到渐近线的距离为1，过F2的直线l与C的左、右两支曲线分别交于A,B

两点，且lAF1，则下列说法正确的为（）

△

A．AF1F2的面积为2B．双曲线C的离心率为2

11

．．62

CAF1BF11046D

AF2BF2

变式10．（2024·全国·高三专题练习）设双曲线C的左、右焦点分别为F1，F2，且焦距为210，

5

P是C上一点，满足PFPF，PF2PF，则△PFF的周长为．

1221212

x2y2

变式11．（2024·全国·高三专题练习）双曲线1的左､右焦点分别是F1､F2，过F2

a2b2

的弦AB与其右支交于A､B两点，ABm，则ABF1的周长为（）

A．4aB．4amC．4a2mD．4am

13

变式12．（2024·云南保山·统考模拟预测）已知F1,F2是离心率等于的双曲线

3

x2y2

C:1的左右焦点，过焦点F2的直线l与双曲线C的右支相交于A，B两点，若ABF1

m4

的周长20，则|AB|等于（）

A．10B．8C．6D．4

x2y2

变式13．（2024·全国·高三专题练习）设F1，F2分别是双曲线1的左､右焦点，P

445

△

是该双曲线上的一点，且3PF15PF2，则PF1F2的面积等于（）

A．143B．715C．153D．515

2

2y

变式14．（2024·全国·高三专题练习）设双曲线x1的左、右焦点分别为F1，F2，

3

点P在双曲线上，下列说法正确的是（）

△△

A．若F1PF2为直角三角形，则F1PF2的周长是274

△△

B．若F1PF2为直角三角形，则F1PF2的面积是6

△

C．若F1PF2为锐角三角形，则PF1PF2的取值范围是27,8

△

D．若F1PF2为钝角三角形，则PF1PF2的取值范围是(8,)

变式15．（2024·吉林四平·高三双辽市第一中学校联考期末）设双曲线

22

xy△

1a0,b0的左、右焦点分别F1、F2，点Px,y为双曲线右支上一点，PF1F2

a2b2

V

的内切圆圆心为M2,2，则PMF1的面积与PMF2的面积之差为（）

A．1B．2C．4D．6

x2y2

变式16．（2024·全国·高三专题练习）已知双曲线1的左右焦点分别为F1,F2，若

97

△

双曲线上一点P使得F1PF260，求F1PF2的面积（）

73143

A．B．C．73D．143

33

x2

变式17．（2024·上海浦东新·统考三模）设P为双曲线y21（a0）的上一点，

a2

2

FPF，（F、F为左、右焦点），则FPF的面积等于（）

1231212

3323

A．3a2B．a2C．D．

333

【解题方法总结】

对于题中涉及双曲线上点到双曲线两焦点距离问题常用定义，即，

PF1PF22a

1

在焦点三角形面积问题中若已知角，则用SPFPFsin，PFPF2a

PF1F221212

1

及余弦定理等知识；若未知角，则用S2cy．

PF1F220

题型四：双曲线上两点距离的最值问题

2

x2

例10．（2024·全国·高三专题练习）已知双曲线C:y1的左右焦点为F1，F2，点M

2

为双曲线C上任意一点，则MF1MF2的最小值为（）

A．1B．2C．2D．3

2

x2

例11．（2024·全国·高三专题练习）已知A3,2是双曲线y1上一点，F1是左焦

3

点，B是右支上一点，AF1与ABF1的内切圆切于点P，则F1P的最小值为

A．3B．23C．332D．6322

x2y2

例12．（2024·全国·高三专题练习）已知点M5,0，点P在曲线1x0上运

916

2

2PM

动，点Q在曲线x5y21上运动，则的最小值是．

PQ

x2y2

变式18．（2024·河北衡水·统考模拟预测）已知双曲线1，其右焦点为F，P为

916

其上一点，点M满足|MF|=1，MFMP0，则|MP|的最小值为()

A．3B．3C．2D．2

y2

变式19．（2024·高二课时练习）已知直线l与双曲线x21交于A，B两点，且ABOB

2

22

（O为坐标原点），若M是直线x2y30上的一个动点，则MA|MB|的最小值为

（）

A．12B．6C．16D．8

2

2y

变式20．（2024·广东韶关·高二统考期末）已知点F1，F2是双曲线C:x1的左、右

3

焦点，点P是双曲线C右支上一点，过点F2向F1PF2的角平分线作垂线，垂足为点Q，则

点A(3,1)和点Q距离的最大值为（）

A．2B．7C．3D．4

【解题方法总结】

利用几何意义进行转化．

题型五：双曲线上两线段的和差最值问题

例13．（2024·江苏徐州·高二统考期中）已知等轴双曲线的焦距为8，左、右焦点F1,F2在

x轴上，中心在坐标原点，点A的坐标为(5,3)，P为双曲线右支上一动点，则PF1PA的

最大值为（）

A．222B．422C．224D．424

x2y2

例14．（2024·全国·高二专题练习）已知双曲线C:1a0,b0，其一条渐近

a2b2

线方程为x3y0，右顶点为A，左，右焦点分别为F1，F2，点P在其右支上，点B3,1，

3

三角形F1AB的面积为1，则当PF1PB取得最大值时点P的坐标为（）

2

6666

A．3,1B．3,1

2222

3365781078

C．3,1D．,

2102222

y2

例15．（2024·全国·高二专题练习）已知F是双曲线C：x21的右焦点，P是C的

8

左支上一点，A0,7，则PAPF的最小值为（）

A．5B．6C．7D．8

变式21．（2024·宁夏银川·校联考二模）已知拋物线y216x上一点Am,n到准线的距

x2y2

离为5,F是双曲线1的左焦点，P是双曲线右支上的一动点，则PFPA的最小值

412

为（）

A．12B．11C．10D．9

x2y2

变式22．（2024·全国·高二专题练习）已知点A0,37，双曲线E:1的左焦点

27

为F，点P在双曲线E的右支上运动.当APF的周长最小时，APPF（）

A．62B．72C．82D．92

x2y2

变式23．（2024·福建宁德·高三统考阶段练习）已知双曲线C:1，点F是C的右

124

焦点，若点P为C左支上的动点，设点P到C的一条渐近线的距离为d，则d|PF|的最

小值为（）

A．243B．63C．8D．10

2

x2

变式24．（2024·全国·高二专题练习）设F1，F2为双曲线C：y1的左、右焦点，

3

Q为双曲线右支上一点，点P（0，2）．当QF1PQ取最小值时，QF2的值为（）

A．32B．32C．62D．62

x2y2

变式25．（2024·全国·高二专题练习）设P是双曲线1上一点，M､N分别是两圆

916

(x5)2y24和(x5)2y21上的点，则PMPN的最大值为（）

A．6B．9C．12D．14

变式26．（2024·全国·高三校联考阶段练习）已知点P是右焦点为F的双曲线

22

xy22

1x10上一点，点Q是圆x8y1上一点，则PFPQ的最小值

1010

是.

x2y2

变式27．（2024·全国·高二专题练习）已知双曲线C1的左焦点为F，点P是双

44

曲线C右支上的一点，点M是圆E:x2(y22)21上的一点，则PFPM的最小值为

（）

A．5B．522C．7D．8

x2y2

变式28．（2024·全国·高一专题练习）已知双曲线C:1,F,F是其左右焦点.圆

9712

22

E:xy4y30，点P为双曲线C右支上的动点，点Q为圆E上的动点，则|PQ|PF1

的最小值是（）

A．525B．522C．7D．8

变式29．（2024·四川眉山·高二四川省眉山第一中学校考期中）已知F2是双曲线

x2y2

C:1的右焦点，动点A在双曲线左支上，点B为圆E:x2(y2)21上一点，则

93

ABAF2的最小值为（）

A．9B．8C．53D．63

y2

变式30．（2024·陕西咸阳·武功县普集高级中学统考模拟预测）过双曲线x21的右

15

2222

支上一点P，分别向圆C1：(x4)y4和圆C2：(x4)y1作切线，切点分别为M，

22

N，则PMPN的最小值为

A．16B．15C．14D．13

【解题方法总结】

在解析几何中，我们会遇到最值问题，这种问题，往往是考察我们定义．求解最值问题

的过程中，如果发现动点P在圆锥曲线上，要思考并用上圆锥曲线的定义，往往问题能迎刃

而解．

题型六：离心率的值及取值范围

方向1：利用双曲线定义去转换

例16．（2024·内蒙古赤峰·高三统考开学考试）已知F1，F2分别为双曲线Ε：

x2y2

1a0,b0的左、右焦点，过原点O的直线l与E交于A，B两点（点A在第一

a2b2

π

象限），延长AF交E于点C，若BFAC，FBF，则双曲线E的离心率为（）

22123

A．3B．2C．5D．7

例17．（2024·陕西西安·高三校联考开学考试）已知F1，F2分别为双曲线

x2y2

E:1(a0,b0)的左、右焦点，过原点O的直线l与E交于A，B两点（点A在第

a2b2

π

一象限），延长AF交E于点C，若BFAC，FBF，则双曲线E的离心率为（）

22123

A．3B．2C．5D．1

x2y2

例18．（2024·江西南昌·南昌市八一中学校考三模）已知双曲线C:1(a0，b0)

a2b2

的左、右焦点分别为F1，F2，若在C上存在点P(不是顶点)，使得PF2F13PF1F，则C

的离心率的取值范围为（）

A．2,2B．3,

C．(1,3]D．1,2

变式31．（2024·陕西西安·西安市大明宫中学校考模拟预测）已知双曲线

x2y2

C:1(a0,b0)的左、右焦点分别为F,F,O为坐标原点，过原点的直线l与C相交

a2b212

2

于A,B两点，F1F22|AO|，四边形AF1BF2的面积等于c，则C的离心率等于（）

A．2B．3C．2D．5

变式32．（2024·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）如图，已知双曲线

x2y2

C:1a0,b0的左､右焦点分别是F1，F2，点P在C上且位于第一象限，圆O1与

a2b2

△

线段F1P的延长线，线段PF2以及x轴均相切，PF1F2的内切圆为圆O2.若圆O1与圆O2外

切，且圆O1与圆O2的面积之比为4，则C的离心率为（）

5

A．3B．C．2D．3

3

方向2：建立关于a和c的一次或二次方程与不等式

x2y2

变式33．（2024·四川成都·四川省成都列五中学校考三模）已知双曲线C:1(a0,b0)

a2b2

的左､右焦点分别为F1,F2，过点F1的直线与双曲线在第二象限的交点为A，若

F1F2F1AF2A0,F1F2F1AF1F2，则双曲线C的离心率是（）

3121

A．B．31C．21D．

22

22

、xy

变式34．（2024·湖南·校联考模拟预测）如图，F1F2是双曲线E:1(a0,b0)

a2b2

、22

的左、右焦点，过F1的直线交双曲线的左、右两支于AB两点，且BF14AF1