2025年高考数学必刷题分类：第16讲、极值与最值（学生版）

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第16讲极值与最值

知识梳理

知识点一：极值与最值

1、函数的极值

函数f(x)在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有点都有f(x)f(x0)，则称f(x0)是

函数的一个极大值，记作．如果对附近的所有点都有，则称

y极大值f(x0)x0f(x)f(x0)

是函数的一个极小值，记作．极大值与极小值统称为极值，称为极值

f(x0)y极小值f(x0)x0

点．

求可导函数f(x)极值的一般步骤

（1）先确定函数f(x)的定义域；

（2）求导数f(x)；

（3）求方程f(x)0的根；

（4）检验f(x)在方程f(x)0的根的左右两侧的符号，如果在根的左侧附近为正，在

右侧附近为负，那么函数yf(x)在这个根处取得极大值；如果在根的左侧附近为负，在右

侧附近为正，那么函数yf(x)在这个根处取得极小值．

注：①可导函数在点处取得极值的充要条件是：是导函数的变号零点，即

f(x)x0x0

，且在左侧与右侧，的符号导号．

f(x0)0x0f(x)

②是为极值点的既不充分也不必要条件，如3，，但

f(x0)0x0f(x)xf(0)0x00

不是极值点．另外，极值点也可以是不可导的，如函数f(x)x，在极小值点x00是不可

导的，于是有如下结论：为可导函数的极值点；但为

x0f(x)f(x0)0f(x0)0x0f(x)

的极值点．

2、函数的最值

函数yf(x)最大值为极大值与靠近极小值的端点之间的最大者；函数f(x)最小值为

极小值与靠近极大值的端点之间的最小者．

2

导函数为f(x)axbxca(xx1)(xx2)(mx1x2n)

（）当时，最大值是与中的最大者；最小值是与中的最小

1a0f(x1)f(n)f(x2)f(m)

者．

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（）当时，最大值是与中的最大者；最小值是与中的最小

2a0f(x2)f(m)f(x1)f(n)

者．

一般地，设yf(x)是定义在[m，n]上的函数，yf(x)在(m，n)内有导数，求函数

yf(x)在[m，n]上的最大值与最小值可分为两步进行：

（1）求yf(x)在(m，n)内的极值（极大值或极小值）；

（2）将yf(x)的各极值与f(m)和f(n)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一

个为最小值．

注：①函数的极值反映函数在一点附近情况，是局部函数值的比较，故极值不一定是最

值；函数的最值是对函数在整个区间上函数值比较而言的，故函数的最值可能是极值，也可

能是区间端点处的函数值；

②函数的极值点必是开区间的点，不能是区间的端点；

③函数的最值必在极值点或区间端点处取得．

【解题方法总结】

（）若函数在区间上存在最小值和最大值，则

1fxDfxminfxmax

不等式在区间上恒成立；

fxaDfxmina

不等式在区间上恒成立；

fxaDfxmina

不等式在区间上恒成立；

fxbDfxmaxb

不等式在区间上恒成立；

fxbDfxmaxb

（2）若函数fx在区间D上不存在最大（小）值，且值域为m,n，则

不等式fxa或fxa在区间D上恒成立ma．

不等式fxb或fxb在区间D上恒成立mb．

（）若函数在区间Ｄ上存在最小值和最大值，即，

3fxfxminfxmaxfxm,n

则对不等式有解问题有以下结论：

不等式在区间上有解；

afxDafxmax

不等式在区间上有解；

afxDafxmax

不等式在区间上有解；

afxDafxmin

不等式在区间上有解；

afxDafxmin

（4）若函数fx在区间D上不存在最大（小）值，如值域为m,n，则对不等式有

解问题有以下结论：

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不等式afx或afx在区间D上有解an

不等式bfx或bfx在区间D上有解bm

（5）对于任意的x1a,b，总存在x2m,n，使得

；

fx1gx2fx1maxgx2max

（6）对于任意的x1a,b，总存在x2m,n，使得

；

fx1gx2fx1mingx2min

（7）若存在x1a,b，对于任意的x2m,n，使得

；

fx1gx2fx1mingx2min

（8）若存在x1a,b，对于任意的x2m,n，使得

；

fx1gx2fx1maxgx2max

（）对于任意的，使得；

9x1a,bx2m,nfx1gx2fx1maxgx2min

（）对于任意的，使得；

10x1a,bx2m,nfx1gx2fx1mingx2max

（）若存在，总存在，使得

11x1a,bx2m,nfx1gx2fx1mingx2max

（）若存在，总存在，使得．

12x1a,bx2m,nfx1gx2fx1maxgx2min

必考题型全归纳

题型一：求函数的极值与极值点

【例1】（2024·全国·高三专题练习）若函数fx存在一个极大值fx1与一个极小值fx2

满足fx2fx1，则fx至少有（）个单调区间.

A．3B．4C．5D．6

【对点训练1】（2024·全国·高三专题练习）已知定义在R上的函数f（x），其导函数fx

的大致图象如图所示，则下列叙述正确的是（）

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A．fbfafc

B．函数fx在x＝c处取得最大值，在xe处取得最小值

C．函数fx在x＝c处取得极大值，在xe处取得极小值

D．函数fx的最小值为fd

【对点训练2】（2024·全国·模拟预测）已知函数fx的导函数为fx，则“yfx在

0,2上有两个零点”是“fx在0,2上有两个极值点”的（）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要

条件

【对点训练3】（2024·广西南宁·南宁三中校考一模）设函数fxxaxbxc，

a,b,cR，fx为fx的导函数．

(1)当abc0时，过点P1,0作曲线yfx的切线，求切点坐标；

2

(2)若a¹b，bc，且fx和fx的零点均在集合2,2,中，求fx的极小值．

3

【对点训练4】（2024·河北·统考模拟预测）已知函数f(x)xaln(xb)．

(1)证明：当a0,b0时，fx有唯一的极值点为x0，并求f(x0)取最大值时x0的值；

(2)当b0时，讨论fx极值点的个数．

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π

【对点训练5】（2024·江苏无锡·校联考三模）已知函数fxtanxln1x,x,1.

2

求fx的极值；

【解题方法总结】

1、因此，在求函数极值问题中，一定要检验方程f(x)0根左右的符号，更要注意变

号后极大值与极小值是否与已知有矛盾．

2、原函数出现极值时，导函数正处于零点，归纳起来一句话：原极导零．这个零点必

须穿越x轴，否则不是极值点．判断口诀：从左往右找穿越（导函数与x轴的交点）；上坡

低头找极小，下坡抬头找极大．

题型二：根据极值、极值点求参数

【例2】（2024·贵州·校联考模拟预测）已知函数fxax3bx在x1处取得极大值4，

则ab（）

A．8B．8C．2D．2

【对点训练6】（2024·陕西商洛·统考三模）若函数f(x)x3ax2(a6)x无极值，则a

的取值范围为（）

A．[3,6]B．(3,6)

C．(,3][6,)D．(,3)(6,)

lnx

【对点训练7】（2024·湖南长沙·高三长沙一中校考阶段练习）函数gx在区间

x1

t,tN*上存在极值，则t的最大值为（）

A．2B．3C．4D．5

1

【对点训练8】（2024·全国·高三专题练习）已知函数fxx21axalnx在xa

2

处取得极小值，则实数a的取值范围为（）

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A．1,B．1,C．0,1D．0,1

【对点训练9】（2024·广东梅州·梅州市梅江区梅州中学校考模拟预测）已知函数

1

fxexx2axaR有两个极值点，则实数a的取值范围（）

2

A．,1B．0,1

C．0,1D．1,

【对点训练10】（2024·江苏扬州·高三扬州市新华中学校考开学考试）若x＝a是函数

f(x)(xa)2(x1)的极大值点，则a的取值范围是（）

A．a1B．a1C．a1D．a1

【解题方法总结】

根据函数的极值（点）求参数的两个要领

（1）列式：根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解；

（2）验证：求解后验证根的合理性．

题型三：求函数的最值（不含参）

【例3】（2024·山东淄博·山东省淄博实验中学校考三模）已知函数fxexsinx2x.

(1)求曲线yfx在点(0,f(0))处的切线方程；

(2)求fx在区间[1,1]上的最大值；

x1

【对点训练11】（2024·云南昆明·高三昆明一中校考阶段练习）已知函数fxlnx

x

在区间[1,e]上最大值为M，最小值为m，则Mm的值是_______.

【对点训练12】（2024·辽宁葫芦岛·统考二模）已知函数f(x)2sinx(1cosx)，则f(x)的

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最大值是________．

1sinxπ

【对点训练13】（2024·湖北武汉·统考模拟预测）已知函数fx，x0,，

2cosxsinx2

则函数fx的最小值为______.

【对点训练14】（2024·山西·高三校联考阶段练习）已知x0,y0，且ln(xy)yex，则

x2ylnxx的最小值为__________.

【对点训练15】（2024·海南海口·统考模拟预测）已知正实数m，n满足：nlnnemnlnm，

n

则的最小值为______.

m

【解题方法总结】

求函数fx在闭区间[a,b]上的最值时，在得到极值的基础上，结合区间端点的函数值

fa，fb与fx的各极值进行比较得到函数的最值．

题型四：求函数的最值（含参）

【例4】（2024·天津和平·统考三模）已知函数fxxalnx，gxcosx1ex，其

中aR.

π

(1)若曲线yfx在x1处的切线l与曲线ygx在x处的切线l平行，求a的值；

122

(2)若x0,π时，求函数gx的最小值；

(3)若fx的最小值为ha，证明：当a0,时，ha1.

1

【对点训练16】（2024·全国·模拟预测）已知函数fxalnxxa，aR．讨论函

2

数fx的最值；

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【对点训练17】（2024·四川成都·成都七中校考模拟预测）已知函数

11

fxx36ax286ax8alnx4a，其中aR．

32

(1)若a=2，求fx的单调区间；

1

(2)已知f2f4，求fx的最小值．（参考数据：12）

334ln2

【对点训练18】（2024·全国·高三专题练习）已知函数fxln1xaxex．

(1)当a1时，讨论函数fx在0,上的单调性；

(2)当a0时，求fx在1,0内的最大值；

【对点训练19】（2024·湖南长沙·湖南师大附中校考模拟预测）已知函数

1lnx

f(x)1klnx(k0)．

x

(1)若f(x)存在最大值M，证明：Mk1；

M1

x

(2)在（1）的条件下，设函数g(x)xekx，求g(x)的最小值（用含M，k的代数式表

示）．

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【解题方法总结】

若所给的闭区间[a,b]含参数，则需对函数fx求导，通过对参数分类讨论，判断函数

的单调性，从而得到函数fx的最值．

题型五：根据最值求参数

【例5】（2024·四川宜宾·统考三模）已知函数f(x)mxexxlnx(mR).

(1)讨论函数fx的极值点个数；

(2)若m0，fx的最小值是1lnm，求实数m的所有可能值.

1

【对点训练20】（2024·山东·山东省实验中学校考一模）若函数fxx3x22在区

3

间a4,a上存在最小值，则整数a的取值可以是______．

【对点训练21】（2024·全国·高三专题练习）若函数f(x)12xx3在区间(m5,2m1)上

有最小值，则实数m的取值范围为________.

【对点训练22】（2024·福建泉州·高三统考阶段练习）已知函数f(x)|x1|alnx的最

小值为0，则a的取值范围为______________．

【对点训练23】（2024·江苏南通·高三校考开学考试）若函数f(x)|exa|x的最小值

为1，则a______．

【对点训练24】（2024·全国·高三专题练习）若函数fxexx22xa在区间a,a1

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上存在最大值，则实数a的取值范围为_______

11

【对点训练25】（2024·全国·高三专题练习）已知函数fxx3x22x1，若函数

32

fx在2a2,2a3上存在最小值.则实数a的取值范围是________.

题型六：函数单调性、极值、最值得综合应用

2

【例6】（2024·天津河北·统考二模）已知a0，函数fxxlnaalnxxe，其中

e是自然对数的底数.

(1)当a1时，求曲线yfx在点1,f1处的切线方程；

(2)当ae时，求函数fx的单调区间；

(3)求证：函数fx存在极值点，并求极值点x0的最小值.

【对点训练26】（2024·全国·高三专题练习）已知函数f(x)2x33(a1)x26ax1，其

中aR．

(1)当a3时，求函数fx在0,3内的极值；

(2)若函数fx在1,2上的最小值为5，求实数a的取值范围．

【对点训练27】（2024·全国·高三专题练习）已知f(x)exsinx．

(1)求函数f(x)在0,2π内的极值点；

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ππ

(2)求函数g(x)