2025年高考数学必刷题分类：第30讲、三角函数的图像与性质（学生版）

第30讲三角函数的图像与性质

知识梳理

知识点一：用五点法作正弦函数和余弦函数的简图

（1）在正弦函数ysinx，x[0，2]的图象中，五个关键点是：

3

(0，0)，(，1)，(，0)，(，1)，(2，0)．

22

（2）在余弦函数ycosx，x[0，2]的图象中，五个关键点是：

3

(0，1)，(，0)，(，1)，(，0)，(2，1)．

22

知识点二：正弦、余弦、正切函数的图象与性质（下表中kZ）

函数ysinxycosxytanx

图象

定义域RR{x|xR，xk}

2

值域[1，1][1，1]R

周期性22

奇偶性奇函数偶函数奇函数

递增区间[2k，2k][2k，2k](k，k)

2222

3

递减区间[2k，2k][2k，2k]无

22

k

对称中心(k，0)(k，0)(，0)

22

对称轴方程xkxk无

2

注：正（余）弦曲线相邻两条对称轴之间的距离是T；正（余）弦曲线相邻两个对称

2

中心的距离是T；

2

正（余）弦曲线相邻两条对称轴与对称中心距离T；

4

知识点三：yAsin(wx)与yAcos(wx)(A0,w0)的图像与性质

2

（1）最小正周期：T．

w

（2）定义域与值域：yAsin(wx)，yAcos(wx）的定义域为R，值域为[-A，

A]．

（3）最值

假设A0，w0．

①对于yAsin(wx)，

当wx2k(kZ)时，函数取得最大值A;

2

当wx2k(kZ)时，函数取得最小值A;

2

②对于yAcos(wx），

当wx2k(kZ)时，函数取得最大值A;

当wx2k(kZ)时，函数取得最小值A;

（4）对称轴与对称中心．

假设A0，w0．

①对于yAsin(wx)，

当，即

wx0k(kZ)sin(wx0)

2

时，的对称轴为

1ysin(wx)xx0

当wxk(kZ)，即sin(wx)0

00

时，的对称中心为

ysin(wx)(x0,0).

②对于yAcos(wx），

当，即

wx0k(kZ)cos(wx0)1

时，ycos(wx)的对称轴为xx

0

当，即

wx0k(kZ)cos(wx0)

2

时，的对称中心为

0ycos(wx)(x0,0).

正、余弦曲线的对称轴是相应函数取最大（小）值的位置．正、余弦的对称中心是相应

函数与x轴交点的位置．

（5）单调性．

假设A0，w0．

①对于yAsin(wx)，

wx[2k,2k](kZ)增区间；

22

3

wx[2k,2k](kZ)减区间.

22

②对于yAcos(wx），

wx[2k,2k](kZ)增区间；

wx[2k,2k](kZ)减区间.

（6）平移与伸缩

由函数ysinx的图像变换为函数y2sin(2x)3的图像的步骤；

3

方法一：(xx2x)．先相位变换，后周期变换，再振幅变换，不妨采用谐

23

音记忆：我们“想欺负”（相一期一幅）三角函数图像，使之变形．

1

向左平移个单位所有点的横坐标变为原来的

ysinx的图像3ysin(x)的图像2

3纵坐标不变

ysin(2x)的图像所有点的纵坐标变为原来的2倍y2sin(2x)的图像

3横坐标不变3

向上平移3个单位y2sin(2x)3

3

方法二：(xx2x)．先周期变换，后相位变换，再振幅变换．

23

所有点的横坐标变为原来的1向左平移个单位

26

ysinx的图像纵坐标不变ysin2x的图像

ysin2(x)sin(2x)的图像所有点的纵坐标变为原来的2倍

62横坐标不变

y2sin(2x)的图像向上平移3各单位y2sin(2x)3

33

注：在进行图像变换时，提倡先平移后伸缩（先相位后周期，即“想欺负”），但先伸缩

后平移（先周期后相位）在题目中也经常出现，所以必须熟练掌握，无论哪种变化，切记每

一个变换总是对变量x而言的，即图像变换要看“变量x”发生多大变化，而不是“角wx”

变化多少．

【解题方法总结】

关于三角函数对称的几个重要结论；

（1）函数ysinx的对称轴为xk(kZ)，对称中心为(k.0)(kZ)；

2

（2）函数ycosx的对称轴为xk(kZ)，对称中心为(k,0)(kZ)；

2

k

（3）函数ytanx函数无对称轴，对称中心为(,0)(kZ)；

2

（4）求函数yAsin(wx)b(w0)的对称轴的方法；令wxk(kZ)，得

2

k

k

x2(kZ)；对称中心的求取方法；令wxk(kZ)，得x，即对

ww

k

称中心为(，b)．

w

（5）求函数yAcos(wx)b(w0)的对称轴的方法；令wxk(kZ)得

kk

x2，即对称中心为(2,b)(kZ)

ww

必考题型全归纳

题型一：五点作图法

2π

例1．（2024·湖北·高一荆州中学校联考期中）要得到函数f(x)2sin2x的图象，可

3

以从正弦函数或余弦函数图象出发，通过图象变换得到，也可以用“五点法”列表、描点、连

线得到．

(1)由ysinx图象变换得到函数fx的图象，写出变换的步骤和函数；

π7π

(2)用“五点法”画出函数f(x)在区间,上的简图．

66

(1)用“五点作图法”在给定坐标系中画出函数fx在0,6上的图像；

(2)求yfx，xR的单调递增区间；

(3)当x0,m时，fx的取值范围为1,2，直接写出m的取值范围.

例3．（2024·广东东莞·高一东莞市东华高级中学校联考阶段练习）函数fxsinx2sinx.

(1)请用五点作图法画出函数fx在0,2π上的图象；（先列表，再画图）

(2)设Fxfx2m，x0,2π，当m0时，试研究函数Fx的零点的情况.

【解题方法总结】

（1）在正弦函数ysinx，x[0，2]的图象中，五个关键点是：

3

(0，0)，(，1)，(，0)，(，1)，(2，0)．

22

（2）在余弦函数ycosx，x[0，2]的图象中，五个关键点是：

3

(0，1)，(，0)，(，1)，(，0)，(2，1)．

22

题型二：函数的奇偶性

例4．（2024·全国·高三专题练习）函数fxcosxasinxb，则（）

π

A．若ab0，则fx为奇函数B．若ab，则fx为偶函数

2

π

C．若ba，则fx为偶函数D．若abπ，则fx为奇函数

2

例5．（2024·贵州贵阳·校联考模拟预测）使函数fx3sin2xcos2x为偶函数，

则的一个值可以是（）

πππ7π

A．B．C．D．

3636

π

例6．（2024·湖南常德·常德市一中校考模拟预测）函数f(x)sin(2x)的图像向左平移

3

个单位得到函数g(x)的图像，若函数g(x)是偶函数，则tan（）

33

A．3B．3C．D．

33

变式1．（2024·北京·高三专题练习）已知的f(x)sinx3cosx图象向左平移个单位长

度后，得到函数g(x)的图象，且g(x)的图象关于y轴对称，则||的最小值为（）

πππ5π

A．B．C．D．

126312

变式2．（2024·浙江·高三期末）将函数f(x)cos(2x)的图象向右平移个单位得到一个

12

奇函数的图象，则的取值可以是（）

2

A．B．C．D．

6323

π

变式3．（2024·广东·高三统考学业考试）函数f(x)sin4x是（）

2

A．最小正周期为π的奇函数B．最小正周期为π的偶函数

ππ

C．最小正周期为的奇函数D．最小正周期为的偶函数

22

x4tanx2

变式4．（2024·全国·高三专题练习）已知函数f(x)的最大值为M，最小值为

x42

m，则Mm的值为（）

A．0B．2C．4D．6

变式5．（2024·山东·高三专题练习）设函数fxax3btanxc3x2x21，如果

f210，则f2的值是（）

A．-10B．8C．-8D．-7

【解题方法总结】

由ysinx是奇函数和ycosx是偶函数可拓展得到关于三角函数奇偶性的重要结论：

（1）若yAsin(x)为奇函数，则k(kZ)；

（2）若yAsin(x)为偶函数，则k(kZ)；

2

（3）若yAcos(x)为奇函数，则k(kZ)；

2

（4）若yAcos(x)为偶函数，则k(kZ)；

k

若yAtan(x)为奇函数，则(kZ)，该函数不可能为偶函数．

2

题型三：函数的周期性

例7．（2024·湖北襄阳·高三襄阳五中校考开学考试）已知x1，x2，是函数

fxtanx0,0的两个零点，且xx的最小值为，若将函数fx的

123

图象向左平移个单位长度后得到的图象关于原点对称，则的最大值为（）

12

37

A．B．C．D．

4488

例8．（2024·江西·南昌县莲塘第一中学校联考二模）将函数f(x)cos2x的图象向右平移

π

0个单位长度后得到函数g(x)的图象，若对满足fx1gx22的x1,x2，总有

2

π

xx的最小值等于，则（）

126

πππ5π

A．B．C．D．

126312

例9．（2024·河北·高三校联考阶段练习）函数f(x)|sinx||cosx|的最小正周期为（）

3πππ

A．πB．C．D．

224

变式6．（2024·高三课时练习）函数f(x)tanx（0）的图像的相邻两支截直线y2所

ππ

得线段长为，则f的值是______.

26

变式7．（2024·河北衡水·高三河北深州市中学校考阶段练习）下列函数中，最小正周期为

的奇函数是（）

A．ysinxB．ysinxcosx

4

22

C．ycosxcosxD．ysin2x

2

变式8．（2024·全国·高三专题练习）函数f(x)2cosx对于xR，都有f(x1)f(x)f(x2)，

则|x1x2|的最小值为（）.

A．B．C．D．2

42

变式9．（2024·全国·高三专题练习）已知函数f(x)cosx(sinx3cosx)(0)，如果

存在实数x0，使得对任意的实数x，都有f(x0)f(x)f(x02016)成立，则的最小值

为

1111

A．B．C．D．

4032201640322016

π

变式10．（2024·北京·北京市第一六一中学校考模拟预测）设函数f(x)cosx在

6

[π,π]的图象大致如图所示，则f(x)的最小正周期为（）

4π10π

A．B．

39

410

C．D．

39

变式11．（2024·全国·高三对口高考）函数f(x)|sinxcosx|的最小正周期是__________.

变式12．（2024·江西鹰潭·高三贵溪市实验中学校考阶段练习）函数

π

f(x)(cosxsinx)cosx的最小正周期是______．

2

变式13．（2024·全国·高三专题练习）已知函数f(x)sinπx1.则

135720212023

ffffff__________.

222222

π

变式14．（2024·四川遂宁·统考三模）已知函数fxsinxcosx0，

6

的最小值为

fx10，fx23，且x1x2π，则=_____

变式15．（2024·上海宝山·上海交大附中校考三模）已知函数fxsin2x23cos2x，则函

数fx的最小正周期是__________．

变式16．（2024·上海·上海中学校考模拟预测）已知函数f(x)sinxsin(x)(0)的

3

最小正周期是，则______.

2

变式17．（2024·陕西咸阳·武功县普集高级中学统考一模）设函数

ππ

fxAsinxA0,0相邻两条对称轴之间的距离为，fA，则的最

23

小值为__________．

变式18．（2024·上海浦东新·高三华师大二附中校考阶段练习）函数y2cos2x1(xR)的

最小正周期为___________.

变式19．（2024·内蒙古·高三霍林郭勒市第一中学统考阶段练习）设函数f(x)Acos(x)

ππ

（A，，是常数，A0，0）．若f(x)在区间,上具有单调性，且

42

π2ππ

fff，则f(x)的最小正周期为_______．

234

变式20．（2024·全国·高三专题练习）下列6个函数：①ysinx，②ysinx，③ycosx，

④ycosx，⑤ytanx，⑥ytanx，其中最小正周期为π的偶函数的编号为___________.

【解题方法总结】

关于三角函数周期的几个重要结论：

（1）函数yAsin(wx)b,yAcos(wx)b,yAtan(wx)b的周期分别为

2

T，T．

ww

（2）函数yAsin(wx),yAcos(wx)，yAtan(wx)的周期均为T

w

2

（3）函数yAsin(wx)b(b0),yAcos(wx)b(b0)的周期均T．

w

题型四：函数的单调性

例10．（2024·河北石家庄·正定中学校考模拟预测）已知函数

xx

fxsin2023πxsin2cos2，则下列说法错误的是（）

22

A．fx的值域为2,2

π3π

B．fx的单调递减区间为2kπ,2kπkZ

44

5π

C．yfx为奇函数，

4

27ππ

D．不等式fx的解集为kπ,kπkZ

21212

1ππ

例11．（2024·全国·模拟预测）将函数fx3sinx的图象上各点向右平移个单

31212

位长度得函数gx的图象，则gx的单调递增区间为（）

5π22π5π4π

A．2kπ,2kπ,kZB．4kπ,4kπ,kZ

3333

5π4π

C．6kπ,6kπ,kZD．4π,9π

33

π

例12．（2024·全国·模拟预测）已知函数fx3sinxxR,0,的部分图象

2

如图所示，则下列说法正确的是（）

1π

A．fx3sinx

312

3π3

B．f

42

3π9π

C．不等式fx的解集为6kπ,6kπkZ

244

π

D．将fx的图象向右平移个单位长度后所得函数的图象在6π,8π上单调递增

12

ππ

变式21．（2024·四川泸州·统考三模）将函数ysin2x的图象向左平移个单位长度，

312

所得图象的函数（）

π3π3π

A．在区间,上单调递减B．在区间π,上单调递减

222

3π5π

C．在区间π,2π上单调递增D．在区间,上单调递增

44

xx

变式22．（2024·北京密云·统考三模）已知函数f(x)cos2sin2，则（）

22

ππππ

A．fx在,上单调递减B．fx在,上单调递增

26412

ππ7π

C．fx在0,上单调递减D．fx在,上单调递增

3412

变式23．（2024·河南·高三校联考阶段练习）已知函数

fxAcosxA0,0,||，若函数fx的图象向左平移个单位长度后得

26

到的函数的部分图象如图所示，则不等式fx1的解集为（）

7

A．k,kkZ

124

7

B．2k,2kkZ

312

5

C．k,kkZ

412

D．k,kkZ

312

变式24．（2024·全国·高一专题练习）ycosx的部分图像如图所示，则其单调递减

区间为（）

1717

A．2k,2k,kZB．k,k,kZ

12121212

1717

C．2kπ,2kπ,kZD．kπ,kπ,kZ

12121212

1π1

变式25．（2024·四川凉山·高一校联考期中）函数ytan2x的单调递增区间为（）

362

πππ5π

A．kπ,kπkZB．kπ,kπkZ

63612

kππkππkππkπ5π

C．,kZD．,kZ

262326212

【解题方法总结】

三角函数的单调性，需将函数yAsin(wx)看成由一次函数和正弦函数组成的复合

函数，利用复合函数单调区间的单调方法转化为解一元一次不等式．

如函数yAsin(wx)(A0,w0)的单调区间的确定基本思想是吧wx看做是一

个整体，

如由2kwx2kx(kZ)解出x的范围，所得区间即为增区间；

22

3

由2kwx2kx(kZ)解出x的范围，所得区间即为减区间．

22

若函数yAsin(wx)中A0,w0，可用诱导公式将函数变为yAsin(wx)，

则yAsin(wx)的增区间为原函数的减区间，减区间为原函数的的增区间．

对于函数yAcos(wx),yAtan(wx)的单调性的讨论与以上类似处理即可．

题型五：函数的对称性（对称轴、对称中心）

5π

例13．（2024·陕西西安·陕西师大附中校考模拟预测）已知函数f(x)cosx1，若

24

将yfx的图像向右平移mm0个单位长度后图象关于y轴对称，则实数m的最小值

为（）

π3π

A．B．

1010

7π11π

C．D．

1010

π

例14．（2024·上海宝山·高三上海交大附中校考阶段练习）已知fxsinx0，

4

π

函数yfx，xR的最小正周期为π，将yfx的图像向左平移0个单位

2

长度，所得图像关于y轴对称，则的值是______．

例15．（2024·上海松江·校考模拟预测）已知函数yfx的对称中心为0,1，若函数

y1sinx的图象与函数yfx的图象共有6个交点，分别为x1,y1，x2,y2，…，

6

x6,y6，则xiyi__________.

i1

π

变式26．（2024·全国·高三对口高考）设函数ysin2x的图象关于点Px0,0成中心对

3

π

称，若x,0，则x______.

020

π

变式27．（2024·新疆喀什·校考模拟预测）函数y2sinx0向左平移个单位长度之

3

π

后关于x对称，则的最小值为______.

6

π

变式28．（2024·全国·高三专题练习）已知函数fx2sinx0,，若

2

π

f03，且直线x为fx图象的一条对称轴，则的最小值为______．

6

4π

变式29．（2024·河南开封·校考模拟预测）已知函数f(x)2cos(3x)的图象关于点,0

3

对称，那么的最小值为________．

ππ

变式30．（2024·全国·模拟预测）将函数fxcosx0的图象向左平移个单

69

π

位长度得到函数gx的图象.若函数gx的图象关于点,0对称，则的最小值为

3

______.

π

变式31．（2024·江西吉安·高三统考期末）记函数fxcosx（0）的最小正周

3

πT

期为T，且yfx的图象关于x对称，当取最小值时，f_______.

62

π

变式32．（2024·福建宁德·高三校考阶段练习）写出满足条件“函数f(x)cosx的图

3

象关于直线x2对称”的的一个值________．

变式33．（2024·江西赣州·高三校联考期中）已知函数fx2cos2x图象的一条对称

π

轴为x．若04π,则的最大______．

8

sinxcosx

变式34．（2024·河北石家庄·统考模拟预测）曲线fx的一个对称中心为

sinxcosx

______（答案不唯一）.

变式35．（2024·甘肃武威·甘肃省武威第一中学校考模拟预测）函数fx3tan2x图

3

象的一个对称中心的坐标是______．

【解题方法总结】

关于三角函数对称的几个重要结论；

（1）函数ysinx的对称轴为xk(kZ)，对称中心为(k.0)(kZ)；

2

（2）函数ycosx的对称轴为xk(kZ)，对称中心为(k,0)(kZ)；

2

k

（3）函数ytanx函数无对称轴，对称中心为(,0)(kZ)；

2

（4）求函数yAsin(wx)b(w0)的对称轴的方法；令wxk(kZ)，得

2

k

x2(kZ)；对称中心的求取方法；令wxk(kZ)，得

w

kk

x，即对称中心为(，b)．

ww

（5）求函数yAcos(wx)b(w0)的对称轴的方法；令wxk(kZ)得

kk

x2，即对称中心为(2,b)(kZ)

ww

题型六：函数的定义域、值域（最值）

例16．（2024·全国·高三专题练习）实数x,y满足x2xyy21，则x2y的范围是

___________.

xxxx

例17．（2024·河北·校联考一模）函数f(x)sin3cossincos3的最小值为__________.

2222

例18．（2024·湖南长沙·长郡中学校考模拟预测）若函数f(x)sinxcos(x)的最小值为3，

则常数的一个取值为___________.（写出一个即可）

变式36．（2024·全国·高三对口高考）f(x)cos2x23sinxcosx的最小值为__________.

π

变式37．（2024·上海嘉定·校考三模）若关于x的方程2sin2x3sin2xm10在,π上

2

有实数解，则实数m的取值范围是__________.

变式38．（2024·江西鹰潭·贵溪市实验中学校考模拟预测）函数f(x)2sin2xcos2x的值

域为__________．

1πππ

变式39．（2024·上海·高三专题练习）已知函数fxsin2x，x,，则函数

2344

fx的值域为______．

变式40．（2024·全国·高三专题练习）设函数f(x)sinx，xR，则

22

ππ

yfxfx的最小值为________.

124

变式41．（2024·全国·高三专题练习）设a0，则fx2asinxcosxsinxcosx2a2的

最小值为__________.

1

变式42．（2024·全国·高三专题练习）已知函数f(x)sin2xcosx，该函数的最大值为

2

__________．

变式43．（2024·江苏苏州·高三统考开学考试）设角、均为锐角，则

sinsincos的范围是______________．

变式44．（2024·陕西咸阳·陕西咸阳中学校考模拟预测）函数fxcos2xcosx的值域是

___________.

变式45．（2024·全国·高三专题练习）设x、yR且3x22y26x，求x2y2的取值范围

是________.

sinxcosx

变