高考数学100个提醒- 知识、方法与例题

高考数学100个提醒

——知识、方法与例题

一、集合与逻辑

1、区分集合中元素的形式：如：{x|y=lgx}一函数的定义域；{y|)，=lgx}

一函数的值域；{*、)，)|》=收其一函数图象上的点集，如(1)设集合

M={x\y=x+3},集合N={y|)，=f+i心知},则MC|N=(答：

[l,+oo));(2)设集合M={〃|〃=(1,2)+"3,4),；IER},

N=(6/16/=(2,3)+2(4,5),AwR},则Mp|N=(答：{(-2,-2)))

2、条件为皿人在讨论的时候不要遗忘了A=。的情况

如：A={x|ax1--1=0},如果4nH+=°，求。的取值。(答：a

WO)

3、An®={x|xeAJIAGB：；AU4={x|xwA或rwZ?}

CuA={x|XWU但XiA}；AqBoxwA贝hwB；真子集怎定义？

含n个元素的集合的子整个数为2n,真子集个数为2n—1；如满足

{1,2后加端1,2,3,4,5}集合乂有个。(答：7)

4、Cu(AnB)=C(AUCuB;Cu(AUB)=GAAQB;card(AUB)=?

G

5、AAB=AoAUB=BoAqBoCVBCAoAnCrB=0oGAUB=U

6、辛卜集思想常运用于解决否定型或正面较复杂的有关问题。

如已知函数/(幻=4九2一2(〃-2)]-2〃2一〃+1在区间[7,]]上至少存在一

个实数。，使〃c)>0,求实数〃的取值范围。(答：(-3,|))

7、原命题：〃=>夕；逆命题：4=p；否命题：r，=r/;逆否命题：

F”；互为逆否的两个命题是等价的.

**z>z>z\z\z>z\z\z>z\z>1z^/>zv/\z\z\/\z\z\1z\z\z^/\z\zv\z>zs/\z\z»\z\z\z\z\z\^\z^

如："sin"sin/?”是“aw〃的条件。(答：充分非必要条件)

8、若〃=q且4力.p；则p是q的充分非必要条件(或q是P的必要非

充分条件)；

9、注意命题〃ng的否定与它的否命题的区别：

命题〃=夕的否定是P=>F；否命题是

命题“P或q”的否定是P且「Q»,“P且q”的否定是“1P

或1Q”

注意：如“若〃和。都是偶数，则〃+/)是偶数”的

否命题是“若〃和匕不都是偶数，贝是奇数”

否定是“若。和正都是偶数,则〃+〃是奇数”

二、函数与导数

10、指数式、对数式：

nm

a=yja,。"二一^,,a°=1>log41=0,log“Q=l,Ig2+lg5=l,

a"

log<(x=Inx,/=Nolog“N=/?(〃>0,aw1,N>0),=N。

如(与中的值为________(答：_L)

264

11、一次函数:y=ax+b(aWO)b=0时奇函数;

12、二次函数①三种形式:一般式f(x)=ax?+bx+c(轴b/2a,aW0,顶

点?)；顶点式f(x)=a(xh)?+k;零点式f(x)=a(xxj(XX2)(轴?);b=0偶

函数；

③区间最值:配方后一看开口方向,二讨论对称轴与区间的相对

位置关系；如：若函数y=g，—2x+4的定义域、值域都是闭区间

[2,2/2],则〃=(答：2)

④实根分布:先画图再研究△△、轴与区间关系、区间端点函数值

符号；

13、反比例函数：y=£(x/o)平移=wa+T(中心为(b,a))

xx-b

14、对勾函数尸是奇函数，”丽，在区画4。),(。,+00)上为增函数

a>(M,在(0,布]卜石,0)递减在(-8,-6],[4,y)递增

15、单调性①定义法;②导数法.如：已知函数/(外=丁-依在区间U+oo)上是增函

数，则。的取值范围是—(答：(—8,3]))；

注意①：/(力>0能推出为增函数，但反之不一定。如函数

/(©=/在(_8,+8)上单调递增，但f，(x)N0,・,•/@)>0是/(X)为增函

数的充分不必要条件。

注意②：函数单调性与奇偶性的逆用了吗？(①比较大小；②解

不等式；③求参数范围)如己知奇函数/㈤是定义在(-2,2)上的减函

数，若/(吁1)+/(2利_1)>0,求实数加的取值范围。(答：

3

③复合函数由同增异减判定④图像判定.⑤作用：比大小,解证不

等式.如函数尸牌］(-储+2人)的单调递增区间是(答：

2

(1,2))o

16、奇偶性：f(x)是偶函数。f(x)=f(x)=f(|x|);f(x)是奇函数

今£々)寸(。；定义域含零的奇函数过原点6(0)=0);定义域关于原点

对称是为奇函数或偶函数的必要而不充分的条件。

17、周期性。(1)类比“三角函数图像”得：

①若y=f(x)图像有两条对称轴x=a,x=b(aNb),则y=/(x)必是周

期函数，且一周期为丁=2|。-加；

②若y=f(x)图像有两个对称中心A(a,O),BS,O)("b)，则)，=—是

周期函数，且一周期为7=2|〃-。|;

③如果函数y=f(x)的图像有一个对称中心A(40)和一条对称轴

x=b(awb)，则函数y=f(x)必是周期函数，且一周期为丁=4\a-b\；

如已知定义在R上的函数/(x)是以2为周期的奇函数，则方程

/*)=0在［-2,2］上至少有个实数根(答：5)

(2)由周期函数的定义“函数/⑴满足/(x)=/(〃+x)(a>。)，则

)(幻是周期为。的周期函数”得：①函数/(幻满足-4)=加+6,则

/⑴是周期为2〃的周期函数；②若/*+〃)=/—(〃。0)恒成立，则

T=2a;③若/(%+〃)=-一匚(。=0)恒成立,则7=2”.

/(%)

如(1)设/(x)是(-8,+8)上的奇函数，f(x+2)=-f(x),当时,

/a)=X，则7(47.5)等于(答：一0.5);(2)定义在A上的偶函数/(X)

满足/(x+2)=/(x),且在［-3,-2］上是减函数，若a］是锐角三角形的

两个内角，则/(sina)J(cos尸)的大小关系为(答：

特别地，点(x,y)关于直线y=x的对称点为(y,x);曲线/(x,y)=O关于

直线y=x的对称曲线的方程为/(y,x)=0;点(x,y)关于直线y=r的对

称点为(-乂7)；曲线/«)，)=()关于直线产T的对称曲线的方程为

/㈠,T)=0。如己知函数f(X)=士3,(XH3),若)，=/(X+1)的图像是G,

2x-32

它关于直线y=/对称图像是C2C关于原点对称的图像为。3,则对应

的函数解析式是(答：y=-山)；

2x+1

若f(a—x)=f(b+x),则f(x)图像关于直线*二皇对称;两函数

y=f(a+x)与y=f(bx)图像关于直线对称。

提醒：证明函数图像的对称性，即证明图像上任一点关于对称中

心(对称轴)的对称点仍在图像上；如(1)已知函数

/(幻=土上£(46R)。求证：函数/(X)的图像关于点M(a—1)成中心对

a-x

称图形。

⑥曲线)(x,y)=0关于点m⑼的对称曲线的方程为

f(2a-x,2b-y)=00如若函数y=/+x与y=g(x)的图象关于点(2,3)

对称，则g(x)=(答：-x2-7x-6)

⑦形如了=处±1(c*0,〃d*反)的图像是双曲线，对称中心是点

cx+a

(-*中。如已知函数图象C与C：y(x+〃+D=Qx+/+l关于直线y=x对

称，且图象C关于点(2,-3)对称，则。的值为______(答：2)

⑧|/(刈|的图象先保留"X)原来在x轴上方的图豪，作出x轴下方

的图象关于x轴的对称图形，然后擦去x轴下方的图象得到；/(IM的

图象先保留/a)在y轴右方的图象，擦去y轴左方的图象，然后作出y

轴右方的图象关于y轴的对称图形得到。如(1)作出函数)，引咱0+1)|

及)，=log2*+l|的图象；(2)若函数/(乃是定义在R上的奇函数，则

函数b(x)=|/(x)|+/(W)的图象关于___对称(答：y轴)

20.求解抽象函数问题的常用方法是：

(1)借鉴模型函数进行类比探究。几类常见的抽象函数：

①正比例函数型：f(x)=kx(k丰0)f(x±y)=f(x)±f(y);

②幕函数型：/(X)=?/(%)，)=/3)/()，)，/心二驾；

③指数函数型：f(x+y)=f(x)Ay),f(x-y)=^-;

f(y)

④对数函数型：/(x)=logax/⑶)=/(4)+f(y),/(-)=/(%)-/(J)；

y

⑤三角函数型：/a)=3g以中)=誉畀兴

如已知A#是定义在R上的奇函数，且为周期函数，若它的最小

正周期为T,则/(二)=_(答：0)

2

2:①函数存在反函数的条件一-映射；②奇函数若有反函数则反函数

是奇函数③周期函数、定义域为非单元素集的偶函数无反函数④互

为反函数的两函数具相同单调性⑤f(x)定义域为A,值域为B,则

f[f1(x)]=x(xeB),f,[f(x)]=x(x£A).⑥原函数定义域是反函数的

值域,原函数值域是反函数的定义域。

如：已知函数)，="X)的图象过点(1,1),那么〃4-x)的反函数的图

象一定经过点(答：(1,3))；

22、题型方法总结

I判定相同函数:定义域相同且对应法则相同

II求函数解析式的常用方法：

,1)待定系数法一一已知所求函数的类型(二次函数的表达形

式有三种：一般式：f(x)=ax2+bx+c;顶点式:f(x)=a(x-m)2+n;零

点式：f(x)=a(x-xx)(x-x2))o如已知f(x)为二次函数，且

/(x-2)=2),且f(0)=1,图象在X轴上截得的线段长为2a,求

/(幻的解析式。(答：f(x)=^x2+2x+\)

(2)代换(配凑)法——已知形如/(g(x))的表达式,求/⑶的

表达式。如(1)已知/(I-cosx)二sin?x,求/(/)的解析式(答:

f(x2)=-x4+2X2,XG[-V2,y/2]);(2)若,则函数

xjr

/U-l)=(答：f_2x+3);(3)若函数/(x)是定义在R上的奇

函数，且当X€(0,4-00)时，/(X)=x(]+Vx),那么当X€(-00,0)时，

/«=(答：Ml-五)).这里需值得注意的是所求解析式的

定义域的等价性，即的定义域应是g(x)的值域。

(3)方程的思想一一对已知等式进行赋值，从而得到关于八r)及

另外一个函数的方程组。如(1)已知/(幻+2/(-%)=3犬-2,求/(%)的

解析式(答：/W=-3x-|);(2)已知/")是奇函数，g(x)是偶函数,

且/(x)+g(x)=一^,则/(幻二(答：-^―)。

x-\X-1

in求定义域:使函数解析式有意义（如:分母？；偶次根式被开方数?;对

数真数?，底数？;零指数塞的底数?）；实际问题有意义;若f（x）定义域

为［a,b］,复合函数f［g（x）］定义域由aWg（x）Wb解出;若f［g（x）］

定义域为［a,b］,则f（x）定义域相当于xe［a,b］时g（x）的值域;

如：若函数y=的定义域为［（2卜则/（嚏2无）的定义域为

（答：｛x|V2<x<4｝）;（2）若函数/（/+1）的定义域为,

则函数/（X）的定义域为（答：［1,5］）.

IV求值域:〜

①配左达:如：求函数y=f-2x+5”［T2］的值域（答：［4,8］）;

簸求达X感陵：如：丁=二一通过反解，用y来表示31,再

由3、的取值范围，通过解不等式，得出），的取值范围（答：（0,1））;

如（1）y=2sin2x_3cosx-l的值域为（答：|~4上］）;

（2）y=2x+l+VT^的值域为（答：［3,内））（令=/,r>0o

运用换元法时，要特别要注意新元『的范围）；

④三角有界法：转化为只含正弦、余弦的函数，运用三角函数有

✓\ZXZ\ZXZ\Z\Z\ZVZXZXZXZ\ZS/\Z\Z\Z\Z\Z'

界性来求值域；

如：），=2sm。?的值域（答：（3,当）；

@不等式法一一利用基本不等式"仆2J防求函数的最

值。如设”M,），成等差数列，工々也,），成等比数列，则（4+%）2的取

他2

值范围是.（答：（-OO,0］U［4,*KO））。

⑥单调性法：函数为单调函数，可根据函数的单调性求值域。如

%Z\/SZX/\Z\ZXZXZ\/\/XZ\ZX/X/\/'V

求y=x--（\<x<9）,y=sin2x+——，y=2^-log（5-%）的值域为

x1+sinx3

（答：（0苧、4⑼、［0,+oo））；

袋螂绩盒：根据函数的几何图形，利用数型结合的方法来求值

域。如（1）已知点P*,），）在圆Y+y2=］上，求q_及）-2工的取值范

x+2

围（答：T岑］、［_后⑹）；（2）求函数户近万+而^丽的值

域（答：［10,+00））;

⑧判别式法：如（D求），=三的值域（答：［-111）；（2）求

01+x2L22_

函数广库的值域（答：［0」）如求广二山的值域（答：

x+32x+I

y,-3］UU,E））

②导数法;分离参数法;一如求函数/㈤=2/+4/-40x,XG［-3,3］

的最小值。（答：一48）

用2种方法求下列函数的值域：①y=②

3-2x

2

X—x+3八/Q\尸一x+3八

y=--------,xe（-X,O）;（3）y=---------,xey,0）

xx-\

⑤解应用题:审题（理顺数量关系）、建模、求模、验证.⑥恒成立问题:

分离参数法;最值法;化为一次或二次方程根的分布问题.a（x）恒

成立=心［f（X）］max,；aWf（X）恒成立OaW［f（X）］min；⑦任意定义在R

上函数f（X）都可以唯一地表示成一个奇函数与一个偶函数的知。

即f（X）=8G0+尔”）

其中g（X）=f（X）+，（―x）是偶函数,卜（x）=f（x）—f（—x）是

22

奇函数

⑦利用一些方法（如赋值法（令1=0或1,求出"0）或/⑴、令尸x

或y=-x等）、递推法、反证法等）进行逻辑探究。如（1）若xeR,

/（幻满足f（x+y）=f（x）

+/（），），则/*）的奇偶性是_____（答:奇函数）；［、，

（2）若XGR，/（x）满足/（町）=/（%）+/（y）,贝I」

“幻的奇偶性是（答：偶函数）；（3）已XX

知/（X）是定义在（-3,3）上的奇函数，当（）<x<3---------~*

时，/（x）的图像如右图所示，那么不等式f123

f（x）>cosx<0的解集是（答：I

（-^,-DJ（0,l）U（^,3））；（4）设了⑺的定义域为R+,对任意x,），£/?+,

都有/（2）=/1）-/（，），且/>1时，/（X）<0,又/（:）=1，①求证/（划为

）'2

减函数；②解不等式/（X）+/（5-X）N-2.（答：（0,l］u［4,5））.

23、导数几何物理意义:k寸（x。）表示曲线y二f（x）在点P（x。,f（x。））处

切线的斜率。

V=sz（t）表示t时刻即时速度,a=vz（t）表示t时刻加速度。如一

物体的运动方程是$=1一+产，其中s的单位是米，/的单位是秒，那

么物体在,=3时的瞬时速度为_____（答：5米/秒）

1

24、基本公式:<7=09为常数）、"7=3"」（01€（2）

25、导数应用：⑴过某点的切线不一定只有一条；如：已知函数

f（x）=x3-3x

过点尸（2,-6）作曲线），=/*）的切线，求此切线的方程（答：3x+y=0或

24x-y-54=0）。

⑵研究单调性步骤:分析y二f（x）定义域;求导数;解不等式f（x）NO得

增区间;解不等式f（x）W0得减区间;注意f（x）=0的点；如：设〃>0

函数/（X）=/-4X在［1,+8）上单调函数，则实数〃的取值范围_____

（答：0<〃K3）；

⑶求极值、最值步骤:求导数;求/皿=。的根;检验/«）在根左右两侧符

号，若左正右负,则f（x）在该根处取极大值;若左负右正,则f（X）在该

根处取极小值;把极值与区间端点函数值比较,最大的为最大值,最小

的是最小值.如：（1）函数y=2--3/-12x+5在［0,3］上的最大值、

最小值分别是______（答：5；-15）；（2）已知函数/（X）=丁+法2+B+d

在区间［—1,2］上是减函数，那么。+c有最—值—答：大，一^）（3）

方程/-6/+9x70=0的实根的个数为—（答：1）

特别提醒：G）/是极值点的充要条件是七点两侧导数异号，而不仅

是r（/）=o,r（/）=o是％为极值点的必要而不充分条件"（2）给

出函数极大（小）值的条件，一定要既考虑八%）=o,又要考虑检验“左

正右负”（“左负右正”）的转化，否则条件没有用完，这一点一定要

切记！如：函数/（x）=V+加+云+/在“I处有极小值10,则a+b的

值为（答：一7）

三、数列、

26、期=｛%〃=|）,注意验证④是否包含在即的公式中。

S“-S"〃22/wN）

27、｛“”｝等差=an-un_1=〃（常数）=2un=以壮［+a,—（〃>2,neN步中项）

04“=〃〃+伙一次）05.=4〃2+即（常数项为0（1勺二次）；4力,4,8=?

｛an｝等比=卜f.an+1（n>2,n£N）。2=冢定）；

Ian^04T

<=>an=a,•q""o.vn=m-in-=?

如若⑷｝是等比数列,且S.=3»,则r=（答：-1）

28、首项正的递减（或首项负的递增）等差数列前n项和最大（或最小）

问题，转化为解不等式卜"°（或卜‘°）,或用二次函数处理;（等比前n项

积?），由此你能求一般数列中的最大或最小项吗？如G）等差数列N｝

中，4=25,Sq=S「,问此数列前多少项和最大？并求此最大值。（答:

前13项和最大，最大值为169）；（2）若应｝是等差数列，首项

Cl\>°，“2003+“2004>°9a2003,。2004<°9则使前〃项和S”>0成立的最大正整数

〃是（答：4006）

29、等差数列中加刊+（nl）d5ia+”4,必-丝“二妁守

等比数列中an=2|屋；当口二15L皿1当q#l,5产处心二与也

\-q\-q

30.常用性质：等差数列中,a=a+（n-m）d,d=工；当

nnm-n

m+n=p+q,a^+a^ap+aq；

等比数列中，an=ad";当m+n=p+q,ama„=aPa<1；

如（1）在等比数列｛凡｝中，4+%=124MM=-512,公比q是整

数，则4。=一（答:512）；（2）各项均为正数的等比数列｛叫中,若

。5・=9,则log?4+fog3。2+…+log,4o=（答:10）。

31.常见数列：｛&｝、｛bn｝等差则｛kan+tbj等差;｛a｝、｛bn｝等比则

｛k%｝（kW0）、目｛ah｝、同等比；｛4｝等差，则h｝（c>0）成等

比.｛bn｝（bn>0）等比,则｛logcbn｝（c>0旦C#1）等差。

32.等差三数为ad,a,a+d;四数a3d,ad,,a+d,a+3d;

等比三数可设a/q,a,aq；四个数成等比的错误设法：

a/q3,a/q,叫,aq3(为叶么？)

如有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个成等比数列，且

第一个数与第四个数的和是16,第二个数与第三个数的和为12,求

此四个数。(答:15,,9,3,1或0,4,8,16)

33.等差数列｛an｝的任意连续m项的和构成的数列Sm、S2mSm、S3ms2m、

S4mS3m、……仍为等差数列。

等比数列｛%｝的任意连续m项的和且不为零时构成的数列Sm、S2mSm、

S3ms2m、S4mS3m,……仍为等比数列。

如:公比为1时,工、58s-几1、…不成等比数列

34.等差数列｛a„｝，项数2n时,S偶S奇=也项数2n1时,S奇S偶=%;项

数为2〃时，则盘=4；项数为奇数2〃-1时，S奇=6+焚偶.

S奇

35.求和常法:公式、分组、裂项相消、错位相减、倒序相加.关键找

通项结构.

分组法求数列的和：如%=2n+3n、错位相减法求和：如“=(2口1)2%

裂项法求和：如求和：i+-L+^^++-------1-------=_________(答:

1+21+2+31+2+3+…〃

—),倒序相加法求和：如①求证：

〃+1

2

C；+3C：+5C：++(2〃+l)C：=(〃+l)・2"；②己知二，贝IJ

l+x~

iii7

/(I)+f(2)+/(3)+/(4)+/(-)+/(-)+/(-)=—(答：-)

JIJ

36.求数歹北源｝的最大、最小项的方法(函数思想)：

>0>1

①a”,ian...............=0如an=2M+29n3②=1(an>0)如

<0%<1

学芈③an=f(n)研究函数f(n)的增减性如an=^—

10n+156

求通项常法：（1）已知数列的前n项和sn，求通项簿，可利用公

_S（（n=l）

式：徐二1。-Si（»>2）

如：数列｛〃"｝满足"=2〃+5,求明（答：

（2）先猜后证

（3）递推式为ae=a0+f（n）（采用累加法）；a*=a.Xf（n）（采

用累积法）；

如已知数列｛q｝满足q=I9an-〃“_]=/1--f=（H>2），则an—

（答：an=\/n+\-V2+I）

（4）构造法形如=0_]+。、a“=Si+b"（k力为常数）的递推数列

n-1

如①已知q=1,。“=3a+2,求知（答:an=2»3-1）;

（5）涉及递推公式的问题，常借助于“迭代法”解决，适当注意以

下3个公式的合理运用

期=（an—期1）+（ani-an2）+....+（a2—ai）+ai；&】=

an-lan-2ai

（6）倒数法形如的递推数列都可以用倒数法求通项c如

Si+b

①已知求明（答：/=，）；②已知数列满足〃尸1,

3%+13〃-2

求明（答：。〃=1）

n

37、禾口：1+2+3+…+〃=4〃（〃+1）,「+2~+…+〃-=工，z（〃+1）（2〃+1）

2o

13+23+33+...+〃3=[处畀1]2

四、三角一

38、终边相同（B=2kn+a）;弧长公式：/=|c|R,扇形面积公式：

S=^lR=^\a\R2,1弧度（lrad）”57.3.如已知扇形AOB的周长是

6cm,该扇形的中心角是1弧度，求该扇形的面积。（答：2的2）

39、函数y=Asin（ex+e）+b（co>0,A>0）①五点法作图；②振幅？相位?

初相？周期T二至，频率？。二kJi时奇函数；6二k冗+9时偶函数.③对称

（02

轴处y取最值，对称中心处值为0;余弦正切可类比.如（1）函数

…•信-2,的奇偶性是（答：偶函数）；⑵已知函数

=+山3犬+］（圆6为常数），旦〃5）=7,则/（-5）=（答:

—5）;（3）函数y=2cosx（sinx+cosx）的图象的对称中心和对称轴分别

是、（答：与啧D（kwZ）、

x=—+—（keZ））;（4）已矢口/7切=5而（冗+刃+&（;05（1+0）为偶函数，

287

求0的值。（答：a=k7r+ZkeZ））

6

④变换：巾正左移负右移；b正上移负下移；

.，横坐际伸缩到原来的L信

y=sinx-1-bl>y=sin(j+①)---------------4~~>y=sin(5+中)

横坐标仲缩到原来吁侪左或右平移Ui

y=sinx--------------a—>y=sincav----------@>->y=sin（5+①）

双做刚缩刎原来除倍,y=4.（s+①）上或卜飞剑>），=AsinM+6）+力

40、正弦定理：2R二三二-4二-彳；内切圆半径r=2sA余弦定理:

sinAsinBsinCa+h+c

,222

a2=b2+c22bccosA,cosA=——-...—；S=-absinC=-bcs\nA=』c〃sinH

2bc222

术语:坡度、仰角、俯角、方位角（以特定基准方向为起点（一般为

北方），依顺时针方式旋转至指示方向所在位置，其间所夹的角度称

之。方位角Q的取值范围是：0。3<360。=等

41、同角基本关系：如：已知」^二一1,则包竺包也=__；

tanar-1sina+cos。

sin?a+sinacosa+2=__________（答：--;—）;

35

42、诱导公式简记:奇变偶不变，符号看象限.（注意：公式中始终视a

为•锐•角•)•

.，】一cos2tt.2I+cos2(2

43、重要公式:sin-a=--------；cos*a=---------

22

a,ll-cosasinal-cosa-00

tan—=±J------=------；V1±sin0=J(cos—±sin—)'=cos—±sin—

21+cosal+costrsina)22222

如：函数〃x)=5sinxcosx-5GcQs2x+|G(xeR)的单调递增区间

为(答：[卜7r一晟«汽+^^](ksZ))

巧变角：如a=(a+0-4=(a-0+夕，2«=(cr+//)+(«-^),

2a=(/3+a)_("a),a+==(。一^)一(今一夕)等)'如(1)

已知tan(a+P)=,,tan(6-?)=；,那么tan(a+?)的值是(答：/);

(2)已知a,仅为锐角，sina=x,cos/?=y,cos(a+/3)=--,贝Uy与x的

函数关系为______(答：y=--Vl-x2+—X-<x<1))

-555______

44、辅助角公式中辅助角的确定：asinx+/?cosx=+/sin(x+6)(其

中tan0=2)如：(1)当函数y=2cosx-3s加工取得最大值时，〃mx的值

a

是______(答:-—);(2)如果fa)=sin(x”)+2cos(x+0)是奇函数,

2

则tan限_(答:~2);

五、平面向量

45、向量定义、向量模、零向量、单位向量、相反向量(长度相等方

向相反的向量叫做相反向量。Z的相反向量是一「。)、共线向量、相

等向量

注意：不能说向量就是有向线段，为什么？(向量可以平移)

46、力口、减法的平行四边形与三角形法则：而+就=元；赤-元=而

47、aa±b<a+b9

41、(5)向量数量积的性质：设两个非零向量"，b9其夹角为。，

则：

①〃J_b=Q・b=0;

②当a,3同向时，a•b=ab,特别地，a=cfa=a,a=\[a~;

当。与B反向时，a•b=—a当。为锐角时，a•1)>0,且a、6不

同向，〃力>()是。为锐角的必要非充分条件；当。为钝角时，3“<0,

且。、。不反向，。•/?<()是。为钝角的必要非充分条件；③|a•力区|a||Z?|。

如(1)已知:=(42/1),7=(342),如果】与力的夹角为锐角，则力的

取值范围是（答：或4>0且2/）;

33

48、向量b在"方向上的投影IbIcose="

H

49、J和1是平面一组基底,则该平面任一向量建府+江（W/唯一）

特别：.而=）0+408则4+办=1是三点P、A、B共线的充要条

件如平面直角坐标系中，。为坐标原点，已知两点43,1）,8（-1,3）,若点

C满足而=4加+4方，其中44£氏且4+4=1，则点c的轨迹是

_______（答：直线AB）

50、在AABC中，①PG='P4+PB+PC）oG为A4BC的重心，特别地

尸A+尸/?+=0o。为A40C的重心、：②PAPR=PRPd=Pd-PAoP为

AA3C的垂心；

③向量44_+41）（/W0）所在直线过AABC的内心（是/34C的

|/W|\AC\

角平分线所在直线）；

®\AB\PC+1BC\PA+\CA\PB=0<^PAABC的内心；

⑤/AOB=^\xAyB-xByA\；

如：（1）若O是一ABC所在平面内一点，且满足

OB-OC|=|OB+OC-2OA|,则一ABC的形状为（答:直角三角形）;

（2）若。为A/WC的边8c的中点，A/WC所在平面内有一点尸，满足

以+BP+C尸=0,设出=4,贝〃的值为—（答：2）；（3）若点。是

\PD\

△ABC的外心，且。4+OA+CO=0,贝ijAABC的内角。为（答：120）;

51、P分屉的比为丸，则而，九>0内分；九<0且丸关1外分.

而=亚巫；若入=1则而=；（而+而）/P（x,y）,R（Xi,y）,

1+22

xi+Ar2._-V|+x2X|+X2+X,

I+/1；中点2’重心3

P2(x2,y2)则.

)'=M+"..X+上%+丫2+力

1+23

52、点P（x,y）按'=（力刈平移得"（HW，则PP=5或｛；；；：：函数y=/。）

按,=（/U）平移得函数方程为:=如（1）按向量〃把（2,-3）平

移到（1,-2）,则按向量a把点（-7,2）平移到点______（答：（-8,3））;

（2）函数），=sin2/的图象按向量1平移后，所得函数的解析式是

），=cos2x+l,则1=________（答：（--,1））

4

六、不等式

53、注意课本上的几个性质，另外需要特别注意：

①若ab>0,则即不等式两边同号时，不等式两边取倒数，不

ab

等号方向要改变。②如果对不等式两边同时乘以一个代数式，要注意

它的正负号，如果正负号未定，要注意分类讨论。如：已知-1工工+），41,

l<x-y<3则3x-y的取值范围是（答：1w7）;

54、比较大小的常用方法：（1）作差：作差后通过分解因式、配方等

手段判断差的符号得出结果；（2）作商（常用于分数指数嘉的代数式）;

（3）分析法；（4）平方法；（5）分子（或分母）有理化；（6）利用

函数的单调性；（7）寻找中间量与“0”比，与“1”比或放缩法；

（8）图象法。其中比较法（作差、作商）是最基本的方法。如（1）设

〃〉（）且g1/>0,匕较加/和]og〃—•的大小（答：当4>1时，

glog/Wlog"?（/二1时取等号）；当0<〃<1时，glog/2log0（/=1

时取等号））；（2）设。>2,p=a^—,q=2.2,试比较p应的大

a-2

小（答：p>q）

55、常用不等式：若a/>0,（1）（当且

仅当”二8时取等号）；（2）4、b、CeR,a2+b2^c2>ab^bc^ca（当

且仅当a=/,=c时，取等号）；（3）若心则然竺巴（糖水

aa+tn

的浓度问题）。

如：如果正数a、满足a〃=a+/?+3,则他的取值范围是（答:

[9,+co））

基本变形：①。+此;（―）2>;

------------2-------------

注意：①一正二定三取等；②积定和最小，和定积最大。常用的方法

WWYwwWwWWWWWWWWWww

为：拆、凑、平方；如：①函数y=4x-------(x>—)的最小

\Z\ZXZXZ\Z\Z\/\Z\Z\/XZX/\Z\/\/X/X/XZ\/\ZXZ\ZXZ\/\Z\/X/\Z\ZXZ\ZV*\Z\Z\Z\'24x2

值O(答：8)

②若若x+2y=l,则2\4,的最小值是(答：2及)；

③正数满足x+2y=l,则，+工的最小值为(答：

3+20）;

56、加卜网*士4斗|+巾（何时取等？）；|a|/a；|a|>―a

57、证法:①比较法:差比：作差变形（分解或通分配方）定号.另：商比

②综合法由因导果;③分析法执果索因;④反证法正难则反。⑤放缩法

方法有：

⑴添加或舍去一*些项，如：^la2+1>\a\;Jn（n+1）>n

⑵将分子或分母放大（或缩小）

SZ\Z\✓\Z\ZXZWX\X\Z\Z\ZWZ\ZWZ\^/WZVZ\Z'XZWZ\Z\Z\Z\Z\ZS<\Z\Z\ZWZXZ\/\Z\ZSZ\Z\Z

如：log3•lg5<（Ig3；lg5）2_]g<]g=lg4;

[―：---—〃+（〃+l）

y]n（n+l）<——-——

乙

⑷利用常用结论：

___<_________—_____—__•___〉__________—________

k2k(k-1)k-\k'k2k(k+1)kk+\

⑥换元法：常用的换元有三角换元和代数换元。如:

已矢口工之+丁口J设x=4cos0,>=asin。;

已知工2+/,可设x=rcos。,y=rsin0(0<r<1);

2、/

已知—+==1，可设％=acos6,y=〃sin。；

己矢口♦一方=1,可设x=asecO,y=/?tan。；

⑦最值法,如：a>f.ax(x),则a>f(X)恒成立.

58、解绝对值不等式:①几何法(图像法)②定义法(零点分段法)；③两

边平方

④公式法：|f(x)|>g(x)=^|f(x)I<g(x)

<=>O

59、分式、高次不等式:通分因式分解后用根轴法(穿线法).注意偶

次式与奇次式符号.奇穿偶回

如(1)解不等式*+3)(工一1)3(工+2)220。(答：{x\x>\^x<-3^x=-2});

(2)解不等式>M〃wR)(答:。=0时,{x\x<0};。>0时，{x|A>—

ax-1a

或JV<0};。<0时，*|Lx<0}或JCVO})

七、立几

60.位置和符号①空间两直线:平行、相交、异面;判定异面直线用定

义或反证法②直线与平面：a〃a、ana=A(aaa)、aca③平面

与平面：a〃B、aGB二a

a//ba1•P

61.常用定理:①线面平行力.aHP=alia\a1.P=>a//a

'au0

aaacza

alia、allp

•a//b},

②线线平行:au0\^>a!lb»•ala]〃八'.ar\y=a

=b\pcy=b

aua,bca.

③面面平行:acb=O=aHB；"〃=a〃y

aLBvllB

aHR、bH6」J

尸。la

④线线垂直：=；所成角90°；(三垂线)；逆定理?

baa]aua}nalPA

a_LAO

.al。

•a1邛〃•allb

⑤线面垂直::三黑=bLa

=>/la'ar\°=l1ala2,小

aa.a.aLI

⑥面面垂直：二面角90°；心々="”「〃。|=0”

alajaLa\

62.求空间角①异面直线所成角。的求法：（1）范围：。£（0卷］；（2）

求法：平移以及补形法、向量法。如（1）正四棱锥尸-A38的所

有棱长相等，E是PC的中点，那么异面直线与幺所成的角的余

弦值等于一（答：¥）；（2）在正方体A3中，M是侧棱DDi

的中点，O是底面ABCD的中心，P是棱Ag1上的一点，贝IJOP

与AM所成的角的大小为（答：90°）；②直线和平面所成的

角：（1）范围［0,90］；（2）斜线与平面中所有直线所成角中最小的

角。：（3）求法：作垂线找射影或求点线距离（向量法）；如（1）

在正三棱柱ABCABiCi中,已知AB=1,D在棱BBl上，BD=1,

则AD与平面AAiGC所成的角为_____（答：arcsin逅）；（2）

4

正方体ABCDABCD中,E、F分别是AB、CD的中点，则棱AB

与截面AFCF所成的角的余弦值是（答：1）；③二面角：

二面角的求法：定义法、三垂线法、垂面法、面积射影法：

S射=S*cos。、转化为法向量的夹角。如（1）正方形ABCDA,B|CIDI

中，二面角BAiCA的大小为（答：60）；（2）正四棱柱

ABCD—A.B.C.D.中对角线BD】=8,BD|与侧面B】BCG所成的为

30°,则二面角Ci—BDj—Bi的大小为（答:arcsin乎）；（3）

从点P出发引三条射线PA、PB、PC,每两条的夹角都是60°,

则二面角BPAC的余弦值是______（答：-）；

3

63.平行六面体一直平行六面体一长方体一正四棱柱一正方体间联

系

三棱锥中：侧棱长相等（侧棱与底面所成角相等）。顶点在底面射影为

底面外心；侧棱两两垂直（两对对棱垂直）o顶点在底面射影为底面垂

心;斜高相等（侧面与底面所成相等）。顶点在底面射影为底面内心；

正棱锥各侧面与底面所成角相等为0,则S侧cos。二S底;正三角形四心?

内切外接圆半径？；

64.空间距离:①异面直线间距离:找公垂线；②平行线与面间距离

（两平行面间距离）一点到面距离:直接法、等体积、转移法、垂面法、

向量法〃=当上.③点到线距离:用三垂线定理作垂线后再求；

n

65.求球面两点A、B距离①求|AB|②算球心角NA0B弧度数③用公

式L球面距离二°球心角乂心纬线半径1=既05纬度。S后4兀/力球=:二R';

66.平面图形翻折;展开）：注意翻折（展开）后在同一平面图形中角

度、长度不变：

67.从点0引射线OA、OB、0C,若NA0B=NA0C,则A在平面BOC的射

影在NBOC平分线上;若A到0B与0C距离相等,则A在平面BOC的射

影在NB0C平分线上；

68.常用转化思想:①构造四边形、三角形把问题化为平面问题②将

空间图展开为平面图③割补法④等体积转化⑤线线平行0线面平行

=面面平行⑥线线垂直=线面垂直=面面垂直⑦有史点等特殊点线,

用“中位线、重心”转化.

:AB和平面所成角是0,AB在平面内射影为AO,AC在平面内，设NCAO二

a,NBAOB,则cos6=cos0cosa;长方体:对角线长诉7；

若长方体的体对角线与过同一顶点的三条棱所成角分别为a,3,

丫，则有cos2a+cos2B+cos2y=l;体对角线与过同顶点的三侧面所

成角分别为a,6,y,则。0$2（1+以九29+以）$2丫=2;正方体和长方体

外接球直径二体对角线长；

特别指出：立体几何中平行、垂直关系的证明的基本思路是利用

线面