高考数学艺体生一轮复习高分突破讲义：专题17 数列综合应用【艺体生专供-选择填空抢分专题】2023年高考高频考点题型精讲+精练

【艺体生专供一选择填空抢分专题】备战2023年高考高频考点题型精讲+精练（新高考通用）

专题17数列综合

一、考向解读

考向：数列部分高考题一般是中等难度，分数在10-17分，一般以等差、等比数列的定

义、性质或以通项公式、前n项和公式为基础考点，结合数列的递推公式进行命题，侧

重于数列的基本量运算、数列的概念及表示法的理解。

考点：数列的递推公式、等差、等比数列的性质、通项公式及前n项和公式、数列求和、

构造新数列求通项、求和、数列有关的数学文化问题。

导师建议：新文化题主要是读题抓住题眼，同时找到a1和d、a1和q的式子也是解决问题

的关键！

二、知识点汇总

I.数列的第n项与前n项的和的关系

s.,〃=1

、个（数列｛《｝的前n项的和为《=4+。2+…+。“）.

2.等差数列的通项公式

an=%+（〃-l）d=dn+。[一d[neN*）；

3.等差中项：若dA8成等差数列，则A叫做。与〃的等差中项，且4=等。

4.等差数列前n项和公式为4=独押=〃4+3/，=5〃2+（4一：4）九

5.等比数列的通项公式4=。0"二色4（〃£.）；

q

6.等比中项：若a,成等比数列，则A叫做。与〃的等差中项，且A2=ab。

7.等比数歹U前n项的和公式为力=或s.=\-q.

na],q=\[〃4，g=]

【常用结论】

\,p+q=m+n=>ap+aq=am+n,p,qwN、

2.p+q=2m=>ap+%=2am(m,p.qeN、;

3.5,Sm-Sm.Ssm-S2Ms.-S3n，…构成等差数歹Ij.

4.1=g〃+(4-g)是关于〃的一次函数或常数函数，数列｛2｝也是等差数列.

n22n

5.在等差数列｛凡｝,｛"｝中，它们的前〃项和分别记为&,7；则?=萍.

Dnl2n-\

64=。”1〃7,〃£叱).

7.若机+〃=〃+",则。,”・an=ap-4(皿〃,p,q€N")

8.公比4工一1时,5“,％,-5“,53"-52°,54“-$3」一成等比数列(〃€").

三、题型专项训练

目录一览

①等差等比综合

②数列的函数性质

③求数列的通项公式

④数列求和

⑤数列的新文化题

高考题及模拟题精选

题型精练，巩固基础

①等差等比数列的综合

一、单选题

1.在递增等比数列｛/｝中，冬-4,且3a$是4和%的等差中项，则%一（）

A.256B.512C.1024D,2048

【答案】B

【分析】运用等差中项及等比数列通项公式计算即可.

【详解】设等比数列｛q｝的公比为外

因为3%是此和％的等差中项，所以&«=4+%，即64=〃©+%夕二

又因为巴。（），所以整+g—6=0,解得<7=2或4=一3.

又因为等比数列｛q｝是递增数列，所以g=2.又因为%=4,所以q°=%d=4x27=5l2.

故选：B.

2.已知等比数列｛《,｝中，若4=2,且44仆24成等差数列，则%=（）

A.2B.2或32C.2或-32D.-1

【答案】B

【分析】根据等差数列与等比数列的通项公式及性质，列出方程可得q的值，可得知的值.

【详解】解：设等比数列｛%｝的公比为q（qw。），

4q,%,2a2成等差数列，=2.+4%,。产0,

24

:.q-q-2=0,解得：q=2»J<q=-l,.-.a5=a,q,a$=2或32,故选B.

【点睛】本题主要考查等差数列和等比数列的定义及性质，熟悉其性质是解题的关键.

3.己知各项均为正数的数列也｝为等比数列，S”是它的前〃项和，若$3=7%,且生与4的等差中项为5,

则S$=（）

A.29B.31C.33D.35

【答案】B

【解析】将已知条件转化为的形式，解方程求得夕，根据等差中项列方程，由此解得q.进而求得5的

值.

【详解】由&=7%，得4+生+0,=?小，所以6a3-（4+生）=。，即6/-g-l=0,

所以。=；,。=一：（舍去）.依题意得生+%=10，即％（g+d）=10,所以q=16.

i6n-（-）5i

所以&=------〜=31.故选:B.

J；

【点睛】本小题主要考查等比数列通项公式的基本量计算，考查等差中项的性质，考查等比数列前〃项和，

属于基础题.

4.已知各项均为正数的等比数列｛““｝的前〃项和为S；.若2’,S一邑成等差数列，则数列｛q｝的公比为（

）

A.!B.!C.2D.3

32

【答案】B

【分析】设等比数列的公比为玳，/＞。），运用等差中项的性质和等比数列的通项公式，解方程即可得结果.

【详解】设各项均为正数的等比数列｛凡｝的公比设为9,

因为2S，Sn邑成等差数列，所以可得2s3=25+§2，

即为2（q+a闻+44?）=24+%+4夕，化为2/+q-l=0,解得g或q=T（舍去），故选B.

【点睛】本题主要考查等比数列的通项公式和等差中项性质，考查方程思想，意在考查对基础知识的掌握

与应用，属于基础题.

5.已知｛4｝是各项不相等的等差数列，若6=4,且。2,4,4成等比数列，则数列｛4｝的前6项和S«=（）

A.84B,144C.288D.110

【答案】A

【分析】根据等差数列的通项以及等比中项的性质，建立方程，解得公差，利用等差数列的求和公式，可

得答案.

【详解】设等差数列｛4｝的公差为d,由小，/，%成等比数列，贝

即（4+34『=（4+4）（4+7”）,整理可得4,一4"=0,

由数列国｝各项不相等，解得4=4,即/=4〃，S“=（4+：〃）"=2〃（l+〃）,故S6=2X6X（1+6）=84.

故选：A.

6.已知递增等差数列伍/中，4=18且生是4,%的等比中项，则它的第4项到第11项的和为（）

A.180B.198C.189D.168

【答案】A

【分析】由条件结合等差数列的通项公式及等比中项的定义列方程求数列的公差和首项.再利用求和公式

求它的第4项到第11项的和.

【详解】设递增等差数列｛《J的公差为d,则，/>0,

18=4+5d

M8且％是％,4的等比中项，.../士/』（,小）'解得4=4=3,

••.第4项到第11项的和为Su-S3=（llq+竽@-（34+号d）

所以S”-S、=8%+52d=60d=180,

即数列｛七｝的第4项到第11项的和为180.

故选：A.

7.E项等比数列｛，“｝中，4%是%与-24的等差中项，若/=；，则。必=（）

A.4B.8C.32D.64

【答案】D

【分析】依题意4%是为与-2%的等差中项，可求出公比夕，进而由生=g求出根据等比中项求出4出

的值.

【详解】由题意可知，4%是牝与-24的等差中项,

所以%-2a$=8%,即4H-2a3。=86，所以d-2g-8=0,q=4或勺=一2（舍），

所以4=痴=8,=64，

故选：D.

8.各项不为零的等差数列｛〃“｝中，十4%=0,数列｛纥｝是等比数列，且〃7=勺，则卬&=

A.4B.8C.16D.64

【答案】D

【分析】根据等差数列性质可求得的，再利用等比数列性质求得结果.

【详解】由等差数列性质可得：46一府+41H=4（%+%）-裙=叫一^=。

又｛。“｝各项不为零，%=8,即&=8由等比数列性质可得：仄&=氏=64

本题正确选项：D

【点睛】本题考查等差数列、等比数列性质的应用，属于基础题.

②数列的函数性质〉

9.下列通项公式中，对应数列是递增数列的是()

A.%=*B.q=1-"

a

c.n=\r-\n＞2D.a„=2n--5n+\

【答案】I)

【分析】根据数列单调性作差比较与勺的大小即可判断.

【详解】解：根据题意，依次分析选项：

对于A，4=*'有4+「q=表-/=,＜°，是递减数列，不符合题意，

对于B,。“=1-〃，有可+「(=1-5+1)-1+〃=-1＜0,是递减数列，不符合题意，

M+3,/?＜2,

对于C,4=2.T；＞2，则叼=5,。…，不是递增数列，不符合题意，

2

对于D,an=2n-5??+1,有一。“=2(〃+1尸一5(〃+1)+1-2〃？+5〃-1=4〃-3,由于1,则

。“+「4,=4〃-3＞。恒成立，是递增数列，符合题意.

故选：D.

10.设S“为等差数列｛4｝的前〃项和.己知&=-3,q=2,则()

A.•/“｝为递减数列B.%=。

c.S”有最大值D.56=0

【答案】B

【分析】利用等差数列的通项公式及求和公式求得其首项和公差，再依次判断各选项.

【详解】•・•数列｛4｝为等差数列，*=-3,%=2,

4+4d=26=-2

*.a=-2+(n-l)xl=n-3,

‘34+34=-3d=\n

对于A,・.・d=l＞。，..•数列｛q｝为递增数列，故A错误；

对于B,•••%=3-3=0,故B正确：

对于C,•..数列｛4｝为递增数列，，工无最大值，故C错误；

6xS

对于D,VS6=6x(-2)+^xl=3,故D错误.

故选；B.

11.已知S/〃wN・)是等差数列｛《,｝的前〃项和，且%＞。，6+4。＜0,则下列选项正确的是()

A.数列｛/｝为递增数列D.%＜0

C.S”的最大值为S.D.SI4＞0

【答案】B

【分析】由己知条件得出6＜0和公差d＜0,进而得出各项与0的大小关系，逐项分析判断即可得解.

【详解】由题意，〃eNZ

在数列｛4｝中，〃7＞。，且%+/=为+4o＜O,

；♦%〈（）,故B正确；工公差d=《-4＜0,

数列｛4｝为递减数列，A错误：.••当1W〃W7时，。“＞0,

当〃28时，%＜0,S.的最大值为邑，故C错误；

几=14（a；q4）=7Q+4）＜0,故D错误.

故选：B.

12.等差数列｛6｝的前〃项的和为S”，已知S10＞0,则等差数列的前〃项的和中，最小值为（）.

A.S5B.S6C.S7D.S8

【答案】A

【分析】根据给定条件，确定等差数列｛q｝的所有负数项即可推理作答.

【详解】等差数列｛4｝的前〃项的和为S"，由Sg＜。，得号=驾型=96＜0,则见＜。，

由S1,）＞0,得品」-「=5（4+幻＜0,4＞一%＞。，

等差数列｛4｝的公差〃=&-织＞0,即数列｛4｝是递增的，前5项均为负数，从第6项起均为正数，

所以等差数列｛4｝的前5项的和最小，即最小值为其.

故选：A

13.在数列｛叫中，“|（」＞*'是"数列也｝为严格递增数列”的（）.

A.充分非必要条件B.必要非充分条件

C.充要条件D.既非充分又非必要条件

【答案】B

【分析】根据题意，|凡等价于%”＞可或-外讨＞4，进而判断即可求解.

【详解】由同/>%可得。向>4或M…”，所以充分性不成立,

若数列｛凡｝为严格递增数列，贝用》4,成立，必要性成立,

所以“旧」>4”是“数列｛4｝为严格递增数列”的必要非充分条件，

故选：B.

9

14.己知等比数列｛叫的前〃项和为S.，若4+2七=0,5,=-,且”4S”4a+2,则实数。的取值范围是

O

（）

A.卜别B.[44]二强D,[叫

【答案】B

Q

【分析】设等比数列｛〃”｝的公比为9,由6+2/=0,耳=列方程求出外4,进而可求出S.，结合指

O

数函数的性质求出S”的最大、小值，列不等式组即可求出〃的取值范围

【详解】解：设等比数列血｝的公比为4,

9回―3i

因为4+2%=0,所以2、9,解得闯=-7,

8q（l+q+g-）=G22

to

当X为正整数且奇数时，函数y=（：）.+1单调递减，

当x为正整数且偶数时，函数），=-（》*+1单调递增,

所以〃=1时，s,取得最大值,，当,7=2时，5”取得最小值;，所以，4,解得一

2

4a+2>-24

2

故选：B.

③求数列的通项公式

15.已知数列｛（｝中，％=1.%=4"3=9,且｛4“-吗是等差数列，则4=（）

A.36B.37C.38D.39

【答案】A

【分析】根据等差数列的定义写出｛。川-凡｝的通项公式,再利用累加法求4.

【详解】因为《一4=3,%-%=5,所以（见一生）一（七一4）=2,

又｛%L4｝是等差数列，故首项为3,公差为2,所以--2=3+2（〃-1）=2〃+1,

所以4=(4-4)+3-。4)++(%-《)+4=2(5+4+3+24-1)+5+1=36.

故选：A.

,、1

16.在数列血｝中,4=1,“向=q+而刑，则4等于（）

1c2”1厂〃-1C1

A.-B.-----C.---D.—

nnn2n

【答案】B

【分析】根据数列的递推公式可得〃「4='-一二，结合累加法，即可求解.

nn+1

111

【详解】由题意可得叫「％=而4=；；一；71，

所以当〃22时,％-4=1一;，%一。2=:一:，…，

223n-ln

上式累力口可得，an-a}=(a2-a])+(a3-a2)+...+(an-an_i)=\-^+^-^+...+-^—-^=\-^,

zz3//-1ftn

又4=1,所以q=2-2

nn

9,2-1

当〃=|时，4=1满足上式，所以q=三」.故选：B.

n

17.数列｛q｝中,4=1,（〃为正整数），则联2的值为（)

202[2022

A.----B.D.

20222021*20222021

【答案】A

【分析】结合递推式特征，利用累乘法算出进而可得答案.

n

3211…1

【详解】因为3=1，所以。”=-4—二=—x--x所以限小酝

an〃+1an-an-2%%6〃〃一1

故选：A

18.已知数列｛为｝的前〃项和邑=1甘上，旦4=1,则S,=（）

A.14B.28C.56D.112

【答案】B

【分析】4SS.»f/7=/1〃W,，又由S°.=—（〃+l）a“Sn=门〃+l后由累乘法可得答案.

S，n=1

【详解】注意到4='c­，则当心2时,

S「S“T，〃之2

S”呼=2S_(〃+gF)=—=**

Zx«=28.

故W…7.…±…，士

'S；S2S61256

故选：B

19.在数列｛4｝中，4=2,0向=2《-1,若%>513,贝M的最小值是（）

A.9B.10C.IID.12

【答案】C

【解析】根据递推关系可得数列｛4-1｝是以1为首项，2为公比的等比数列，利用等比数列的通项公式可

得%=2小+1,即求.

【详解】因为，“=2/一1,所以,*一1=2（4-1）,即"三二2,

%1

所以数歹是以1为首项，2为公比的等比数列.

则凡-l=2"T,即勺=2"，1.因为%>513,所以2"、1>513,所以2,>512,所以〃>10.

故选：C

20.已知数列｛4｝中，4=4,。==44-6,则%等于（）

A.22n+,+2B.22n+,-2

C.22"-'+2D.22"-1-2

【答案】C

【分析】分析得到数列也-2｝是一个以2为首项，以4为公比的等比数列，求出数列｛《「2｝的通项即得

解.

【详解】Q%=4%-6,%-2=火％-2）,

Q-2

所以笠3=4所以数列M，「2｝是一个以2为首项，以4为公比的等比数歹！J,

/I-

所以a“—2=2x4i,...%=22z+2

故选：C

21.已知数列｛&｝中，4=1且则46为（）

【答案】A

【分析】采用倒数法可证得数列为等差数列，根据等差数列通项公式可推导得到%，代入〃=16即可.

【详解】由勺+1=/"得：—=^T-^=-+T,又'=1,

4+33%an36

•.数列是以1为首项，4为公差的等差数列，•.・,=1+：5-1)=彳，••"”=一三，二46=4・

〃十

、a*n*43a”3J26

故选：A.

22.在数列｛♦“｝中，4=1,5向=4q+2,则/。⑷的值为()

A.757X22020B.757X22019C.757X22018D.无法确定

【答案】A

【分析】根据已知条件，利用前n项和公式与通项公式之间的关系求数列的递推公式，根据递推公式构造

等比数列｛--〃｝,求出一、4的关系，再构造等差数列数列[畀即可求出％,从而求得八.

【详解】丁4=1,S»i=4a“+2,52=q+°2=4q+2,解得弓=5.

:S向=44”+2,・・・5»2=44川+2,两式相减得，。“+2=4。向一4〃,，

••♦4件2-2«向=2(。,出一为J,

・・・｛4,「MJ是以电-2《=3为首项，2为公比的等比数列，

2aa=3x2i,两边同除以2"“，则黑■-箓=]

・・・｛畀是以:为公差，为首项的等差数列，・・・祟=；+5-1年=亨，.・・

2072020

an2"=(3〃-1)x2'T,.・・/再=(3x2019—1)x2'=757x2.

故选：A.

④数列求和

23.若•个数列的后项与其相邻的前项的差值构成的数列为等差数列，则称此数列为二阶等差数列.现有二

阶等差数列：2,3,5,8,12,17,23,…,设此数列为｛4｝,若数列也｝满足仇=一下,则数列他｝的

前〃项和S“=()

n+\2（〃+l）

A.------D.-----------

nn

n-In

C.------D.------

,,2+1〃+1

【答案】D

【分析】利用二阶等差数列的定义，结合累加法求得明八，利用裂项求和法求得S“・

【详解】由题可知，数列｛。向-。“｝（〃£1<）是以生-4=1为首项，1为公差的等差数列,

所以*一q=1+（〃-1）x1=

所以（电一《）+（&-生）++（凡+1一凡）=。同-4=1+2++〃.所以

所以C,i="（7D+2.故”"an+i-2〃（〃+1）।22〃（〃+】）2（〃q+1），

2

24.已知数列｛%｝满足4=1,（2q+1）4+[=。“,令…则数列低｝的前2022项和S占（）

、40442022―4043n2024

C.-------D.-------

,4045404540454045

【答案】B

【分析】化简（24+1”7=4，得;-：=2,可得-L是等差数列，求出通项公式，再用裂项相消的

an-\an4

方法求数列也J的前2022项和即可.

【详解】因为数列｛«,｝满足（24+1）%]=4，即2a”q+|+c*=4，即=-一二~=2,；=1,

所以数列是以1为首项，2为公差的等差数列，所以则勺=4，

矶an2n-1

,11zI1、

因为5=4%，则”=（2〃+D（2”1）=5（罚-罚），

数歹!1｛5｝的前2022项和Sw2=，（|_，+，_」+.,+——1----------1——）=-（1----------1——）=—.

I202223352x2022-12x2022+122x2022+14045

故选：B

【点睛】易错点睛：裂项法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被

消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的.

2021

25.记⑶表示不超过实数x的最大整数，记a.=[log2〃]/wN・，则W>”=（）

n-l

A.18154B.18164C.18174D.前二个选项都不对

【答案】C

2021

【分析】根据高斯函数的性质%的形式，再利用错位相减法可求

【详解】由于1024=2"><2021<2"=2048,于是可（〃eN’且〃42021）的取值范围是｛0，,9,10｝,且

20219

取值为k的项有2A个伙=。，1，⑼，因此»>”=Z（h2*）+10x（2021-1024+l）,

JI=I1=0

而数列卜•2"｝的前n项和为（2〃-2）•2"+2,

于是所求之和为(2x9-2)x2。+2+9980=18174.

故选：C.

26.已知数列｛4｝的通项公式为：q=罗，〃eN"则数列也｝的前HX）项之和为（）

201宜/203厂10000C10100

A.rB.6-干C.D,

【答案】B

【分析】根据给定条件，利用错位相减法求和作答.

【详解】令数列｛凡｝的前n项和为工，因为q=当

则5，，=1+1/++符，

e+1c135In-3In-1

贝1有1尹=-+^-+^7++-^r+—^-

c1」CC

两式相减得：入=1+1+1+1+…+-13-3111=1+—=-

r71j64b♦之"2222”"2〃12〃2“

1—

2

因此S”=6-等，有5心=6-挈，所以数列｛q｝的前100项之和为6-笔.

故选：B

27.已知数列｛q｝的前“项和为S”，4=1，当〃22时，a“+2Sz=%则S即等于（）

A.1008B.1009C.1010D.1011

【答案】D

【分析】由，△2时，《+22=〃得到—+250=〃+1,两式作差，整理可得：％+4=1,结合并项求

和，即可求解.

【详解】解：由题意可得，当，整2时，a”+2S,“=〃，j+2S,=〃+l,

两式作差可得-—勺+2q=l,

即%+q=l（〃22）・即当">2时,数列任意连续两项之和为1.又因为4=1.

所以S刈］=4+（生+6）+（〃4+“5）++（々2020十^2021）=1^~=1011,

故选：D.

⑤数列的新文化题

28.“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将1至2019中被3除余1且被

5除余1的数按从小到大的顺序排成歹U，构成数列何｝,则此数列的项数为（）

A.134B.135C.136D.137

【答案】B

【分析】根据已知条件进行转化得到数列｛〃“｝通项公式，由题意解出不等式即可判断项数.

【详解】由题意知，被3除余1且被5除余1的数即为被15除余1的数，

故q=15〃-14,〃eN・.由4=15"-1412019,得“4135.5,又因为〃eV,所以此数列的项数为135.

故选：B

29.我们都听说过一个著名的关于指数增长的故事：古希腊著名的数学家、思想家阿基米德与国王下棋.国

王输了，问阿基米德要什么奖赏？阿基米德说：“我只要在棋盘上的第一格放一粒米，第二格放二粒，第三

格放四粒，第四格放八粒……按此方法放到这棋盘的第64个格子就行了通过计算，国王要给阿基米德

1+2+4+…+2二=21-1粒米，这是一个天文数字.100年后，又一个数学家小明与当时的国王下棋，也提出

了与阿基米德一样的要求，由于当时的国土已经听说过阿基米德的故事，所以没有同意小明的请求.这时候，

小明做出了部分妥协“他提出每一个格子放的米的个数按照如下方法计算，首先按照阿基米德的方法，先

把米的个数变为前一个格子的两倍，但从第三个格子起，每次都归还给国王一粒米，并由此计算出每个格

子实际放置的米的个数.这样一来，第一个格子有一粒米，第二个格子有两粒米.第三个格子如果按照阿基米

德的方案，有四粒米；但如果按照小明的方案，由于归还给国王一粒米，就剩下二粒米：第四个格子按照

阿基米德的方案有八粒米，但如果按照小明的方案，就只剩卜五粒米.“聪明”的国王一看，每个格子上放的

米的个数都比阿基米德的方案显著减少广,就同意了小明的要求.如果按照小明的方案，请你计算64个格子

一共能得到<）粒米.

A.262+1B.26,+1C.262+62D.2^+63

【答案】D

【分析】按照小明的方案，设第〃个格子放的米粒数为勺，其中〃GN\分析可知数列也｝满足:

%=2,«„=2«„,,l(/i>3),求出数列｛4｝的通项公式，利用分组求和法可求得结果.

【详解】按照小明的方案，设第八个格子放的米粒数为4,其中〃eN.,

则数列｛〃“｝满足：4=1,勺=2,1(心3),所以，当〃之3时,=

故数列｛«„-1(是从第2项开始成以2为公比的等比数列，且%-1=1,

所以，氏-1=1x2"“，则%=2"“+1,所以，数列｛q｝的前64项和为几=l+2+（2i+l）+（2?+l）++（262+1）

2（1-262）公

34（2+22++20）+62=--------i+65=2^+63・

1-2

故选：D.

30.“杨辉三角”是中国古代重要的数学成就，如图是由“杨辉三角”拓展而成的三角形数阵，从第三行起，每

2!，］，L为成数列｛《｝,其前八项和为S“，则§2。=()

一行的第三个数1,

3610

1

11

171

1771

11111

I464I

,I1I11

13TO1051

39「40「41卜419

I.—B.—C.—D.------

202121210

【答案】B

【分析】根据数列｛4｝的前4项，归纳出数列的通项4=而用，即可用裂项相消法求其前n项和为S.,

即可得52。的值.

【详解】由题意可知,

,2

«.=I=-----

11x2

a,=-1=-2-

'32x3

12

/=—=----

63x4

a.=—1=-2-

104x5

则•"=扁士｝

所以其前n项和为：

故选：B.

31.我国古代数学著作《九章算术》中记载问题：”今有垣厚十六尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠日半尺，

大鼠日增倍，小鼠日自半，问几何日相逢?”，意思是：今有土墙厚16尺，两鼠从墙两侧同时打洞，大鼠第

一天打洞一尺，小鼠第一天打洞半尺，大鼠之后每天打洞长度比前一天多一倍，小鼠之后每天打洞长度是

前一天的一半，问两鼠相逢需要的最少天数为（）

A.3B.4C.5D.6

【答案】C

【分析】设大鼠第〃天打洞4尺，小鼠第〃天打洞"尺，其中分析可知两数列均为等比数列，确

定这两个数列的首项和公比，利用等比数列的求和公式以及数列的单调性可求得结果.

【详解】设大鼠第〃天打洞4尺，小鼠第〃天打洞么尺，其中〃eN,

则数列｛勺｝是首项为1,公比为2的等比数列，《,=1x2。"=2",

数列但｝是首项为9公比为g的等比数列，r1

2"

设数列（«„十4｝的前〃项和为S”，则5“=公+=2"-泉

1--

2

因为4+勿=2R+£>0,故数列｛，｝单调递增，

因为54=16-4<16<条=32-3，故两鼠相遇至少需要5天.

1632

故选：C.

32.大衍数列,来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论.其前10项依次为0,2,4,8,12,18,

24,32,40,50,现将大衍数列各数按照如图排列形成一个数表，则该数表中第8行第3个数是（）

0第1行

24第2行

81218第3行

24324050第4行

…第〃行

A.152B.480C.512D.840

【答案】B

【分析】首先求得大衍数列的通项公式，再根据数表的形式，求得第8行第3个数的序号，代入通项公式，

即可求解.

【详解】由已知条件将大衍数列前10项按奇数项排列前5个数依次为0,4,12,24,40,按偶数项排列前

=1.〃为奇数，

5个数依次为2,8,18,32,50,可得大衍数列通项为q=,

〃为偈数，

2

数表前7行共有1+2+3+4+5+6+7=28个数，第8行第3个数字是大衍数列中第31项，

该数为—+1）（3一）二..

22

故选：B.

33.大衍数列，来源于中国古代著作《乾坤普》中对易传“大衍之数五十”的推论.其前10项为：0、2、4、

匕二,〃为奇数

2,若把这个数列｛〃“｝排成下侧形状，并

8、12、18、24、32、40、50,通项公式为q=2

二•,〃为偶数

2

记表示第帆行中从左向右第〃个数，则八（9,5）的值为（）

0

248

1218243240

50...........

A.2520B.2312

C.2450D.2380

【答案】D

【分析】确定49,5）在数列｛q｝中的项数，结合数列｛4｝的通项公式可求得结果.

【详解】由题可知，设数阵第〃行的项数为2,则数列他,｝是以1为首项，公差为2的等差数列,

Q7

数列色｝的前8项和为1x8+号xx2=64,

所以，A（。,5）是数列｛%｝的第64+5-69项，因此，A（9,5）="片=2380.

故选：D.

34.高斯是德国著名的数学家，近代数学的奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函

数”为：设xeR,用印表示不超过x的最大整数，则，，=[幻称为“高斯函数”，例如：[-2.5]=-3,[2.7]=2.己

知数列｛。“｝满足4=1,=3,4+2+2a”=3a，若a=[log24.』，Sn为数列，—^―山勺前n项和，则S2K产

（）

2022202420232025

'2023"2023"2024'2024

【答案】C

【分析】运用构造法可得在*-4｝为等比数列，再运用累加法可得包｝通项公式，进而求得｛d｝通项公式,

再运用裂项相消求和可得结果.

【详解】由％+2+2，=3。向，得q+2-4+1=2（。山-4,）.又〃2-6=2,所以数列｛1「叫构成以2为首项，

2为公比的等比数列，

所以4“一〃"=2".

2

又出一%=2,a3-a2=2,a,

叠加可得(4―©)+(%—用)+…+(a“—4T)=2i+22+~+2"T5N2),

即〃“-6=21+22+…+2”\

所以a=20+2\22+…+2”T=1~2'-2=2;,-1Q/>2).

IC

又因为4=1满足上式，所以=2"-1（〃GN）.所以可+尸24+,-1.

因为2"<2-'-1<2"所以2"<log2(227)<log22向，

n+,n+,

即〃<log2（2-1）<//+1,所以以=[log2%]=[log2（2-l）]=n.

故包%一〃（“+l）-G为•所以"LC+15-5尸…+（2023—2024J―_2024-2024,

故选：C.

35.大衍数列来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生

原理，数列中的每•项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，是中华传统文化中隐藏的

世界数学史上第•道数列题.己知该数列｛%｝的前10项依次是0,2,4,8,12,18,24,32,40,50,记

〃wN，则数列｛4｝的前20项和是()

A.110B.100C.90D.80

【答案】A

【分析】根据所给数列的项归纳出通项公式，利用分组求和法求和即可.

【详解】观察此数列可知，当〃为偶数时，为=4，当〃为奇数时，4=一，

-为奇数

因为勿=(-1)"・q=2，所以数列也｝的前20项和为：

史，〃为偶数

2

(0+2)+(-4+8)+(-12+18)++(-1^!+手)=2+4+6++20=10x(^+20-=110,

故选：A

四、高考真题及模拟题精选

一、单选题

1.(2022・北京・统考高考真题)设｛4｝是公差不为。的无穷等差数列，则”｛4｝为递增数歹/是“存在正整数必，

当〃>乂时，可>0"的()

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C