高中数学选择性必修二 专题4

专题4.1数列的概念（B卷提升篇）（人教A版第二册，浙江专用）

参考答案与试题解析

第I卷（选择题）

选择题（共10小题，满分50分，每小题5分）

.[3n-2,n>10/*、

1.（2019•陕西省商丹高新学校期末（文））若数列｛（%｝的通项公式为为3〃-29则％=

)

A.27B.21C.15D.13

【答案】A

【解析】

3H—2,n>10

因为。〃=<neN*所以。5=35-2=33=27,

3n-\n<9

故选：A.

2

2.（2019•黑龙江哈师大青冈实验中学开学考试）在数列｛〃〃｝中，6=1a~~7(n>2,neN*),

n2%T

则=

22

A.—B.-C.2D.6

113

【答案】D

【解析】

22222

'/—1,a=2,a-,=------=—，则%=-------

a*(H>2,nGN*),234

2a“一］T2^-1-----------2a2-l32a3-l

3.（2019•绥德中学高二月考）数列｛"”｝的通项公式a,,="cos;",其前九项和为S“，贝U=

A.1008B.2015C.-1008D.-504

【答案】C

【解析】

jr3JZ-

根据三角函数的周期性可=COSy=0,02=2cos冗=-2=3cos-^-=0>%=4cos

=4，同理得q=0,%=—6,叼=0,4=8,可知周期为4,二S201s=503Q|+的+4+。4)+%)13+

+<^oi4+6^oi5=1006—2014=—1008.

4.（2020.四川凉山・期末（文））德国数学家科拉茨1937年提出了一个著名的猜想：任给一个正整数/,如

果/是偶数，就将它减半（即士）；如果f是奇数，则将它乘3加1（即夕+1）,不断重复这样的运算，经过

2

3al为奇数）

有限步后，一定可以得到1.猜想的数列形式为：为为正整数，当“cN*时，4=q/、，

争（%为偶数）

则数列｛〃/中必存在值为1的项.若%=1，则％的值为（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【解析】

3%+为奇数）

因为4=1,

卓,（明为偶数）

I2

所以q=3xl+l=4,

a,=-=2,

2

W,

2

4=3xl+l=4,

1=2,

故选：B

5.（2020.云南其他（理））数学上有很多著名的猜想，角谷猜想就是其中之一，它是指对于任意一个正整数,

如果是奇数，则乘3加1.如果是偶数，则除以2,得到的结果再按照上述规则重复处理，最终总能够得到

1.对任意正整数为，记按照上述规则实施第九次运算的结果为4（〃eN）,则使%=1的g所有可能取值

的个数为（）

A.3B.4C.5D.6

【答案】D

【解析】

34T+14T为奇数

由题意知V/eN*，a=%,

n-为偶数

由%=1，得。6=2,二。5=4,。4=1或%=8.

①当。4=1时，4=2，二4=4,，q=1或4=8,二/=2或，=16.

②若a4=8,贝！J%=16,二4=5或里=32,

当。2=5时，%=10,此时，。（）=3或%=20,

当a?=32时，q=64,此时，♦=21或。0=128,

综上，满足条件的旬的值共有6个.

故选：D.

6.（2020.贵州威宁•）观察数列21,In2,cos3,24,ln5,cos6,27,ln8,cos9,…，则该数列的第

20项等于（）

A.23°B.20C.lii20D.cos20

【答案】C

【解析】

观察数列得出规律，数列中的项中,

指数、真数、弧度数是按正整数顺序排列,

且指数、对数、余弦值以3为循环,

­.-20=6?32,

可得第20项为ln20.

故选：C.

（3-a）n-3,n<l

（nwN*）,且数列｛4｝是递

7.（2020•邵东县第一中学月考）已知数列｛4｝满足：an=,n-6

a,n>7

增数列，则实数a的取值范围是（）

99

A•（了"By，为C.（1,3）D.（2,3）

【答案】D

【解析】

3—tz>0

（3-tz）n-3,x<7

==H要使｛公｝是递增数列，必有＜a＞l，据

根据题意，ClnX^）1,sn-A6-'EAT,

a>7（3-a）x7-3＜广

4<3

此有：<a>\,综上可得2<〃<3.

a>2或〃<-9

本题选择。选项.

8.(2020・河北新华.石家庄新世纪外国语学校期中)己知数列｛4｝的通项公式为4="—即(2eR),

若｛4｝为单调递增数列，则实数X的取值范围是()

A.B.(ro,2)C.(-00,1)D.

【答案】A

【解析】

由已知得4+1—a”=("+1)~—2("+1)—+A,n=2n+1—A,

因为｛4｝为递增数列，所以有4+1—。，>0,即2〃+1—2>0恒成立，

所以;1<2〃+1,所以只需；1<(2〃+1).,即；l<2xl+l=3,

所以4<3,

故选：A.

2""

9.(2020•邵东县第一中学期末)已知数列｛4｝的前〃项和S",且=(〃-1%b„=—,则数列也｝

的最小项为()

A.第3项B.第4项C.第5项D.第6项

【答案】A

【解析】

；4=S,

Sn-an=Sn_x,则S“_]=(〃一1)2,即Sn=〃2(〃eN*),

a”=772—(n-1)=2n—1.

易知母>0,

r2ln-Xr2ln+X

R=丁"w

.b.+i_22"46n

4

bn(ji+1)n+1

当鲁〉1时’">血+1’

当1W〃<3时，bn>bn+l,

当〃之3时,bn<bn+l,

I32

又打=一，0=—

22*381

，当〃=3时，2有最小值.

故选：A

2

10.(2020•浙江其他)已知数列｛4｝满足4=a(o<a<l),可用=&+京©,“eN*,则()

2B.当a=g时，«2020〉1

A.当a=一时,口2020<1

3

,1…

C.当a=一时,°2020<1D.当a时，。2。20>1

3

【答案】C

【解析】

2

因为a,+i—4=养^>0,所以｛4｝递增，从而42a,

2

2

,2…上〉

当a=一时,，用n

32019

2019

4

所以2,4排除A

a9

。202。>\+2019-=——I——>1

201939

当0<aW；时，因为2019%用=2019。“+a；=4(2019+a“)，

所以—:11(11)

4(2019+4)—20191a,2019+a,J'

111

所以---

4+1a„2019+%,

1111

所以-------=>

4+1an---2019+4----2019

从而—2019—=--1>2-1=1,

故有«2020<1.

出020q2019a

故选：C.

第n卷（非选择题）

二.填空题（共7小题，单空每小题4分，两空每小题6分，共36分）

11.（2020•上海市七宝中学期末）已知数列｛%｝的前几项和为4=cos（wr）,则

§2020=-------------------'

【答案】0

【解析】

由an=cos（zvr）得an+2=cos（n兀+2%）=cos（加r）=an,

所以数列｛%｝以2为周期，

又％=cos»=—1,/=cos2"=1,

所以^2020=1。1。义（4+%）=0.

故答案为：0.

12.（2020•云南昆明•高二期末（理））数列｛4｝中，已知%=2,an+2=an+l+an,若的=34,则数列｛4｝

的前6项和为.

【答案】32

【解析】

...数列｛风｝中，%=2,%,+2=4+1+4，%=34,

.•.%=%+=2+,〃4=。3+。2=2+4+2=4+%,

。5=。4+〃3=6+2〃1,&=。5+〃4=1°+3。1,

%=%+。5=16+5%,4=%+4=26+8囚=34,

解得％=1,

数列｛4｝的前6项和为：

邑=%+2+（2+%）+（4+%）+（6+2q）+（10+3%）=24+8q=32,

故答案为：32.

13.(2020•潜江市文昌高级中学期末)观察下列数表:

1

35

791113

1517192123252729

设1025是该表第m行的第“个数，则机+〃=.

【答案】12

【解析】

根据上面数表的数的排列规律，1、3、5、7、9、…都是连续奇数,

第一行1个数；

第二行2=2个数，且第一个数是3=22—1；

第三行4=22个数，且第一个数是7=23-1；

第四行8=23个数，且第一个数是15=24-1；

第10行有29个数，且第一个数是21°-1=1023,第二个数是1025,

所以1025是该表第10行的第2个数，所以帆=10，n=2,则加+”=12

故答案为：12.

14.(2018•浙江温州•高一期中)已知数列｛4｝对任意的p,qeN*满足＜+0=4+4，且g=T，则

【答案】—12-2n

【解析】

由题意，根据条件得。2=q+%=-4,则4=-2,而%=。2+%=-6,所以/=-12,…,

由此可知an=-2n,从而问题可得解.

15.(2020•浙江省高一期末)设数列｛q｝的前w项和为S“，满足s“=(—1)%“—(g)("eN*),贝I]

;S3=.

1

【答案】

416

【解析】

当〃=1时，。］=一。］一;，解得。1=一;.

（2）当〃22时

a=S-S„.=(-l),!a--1a,,,+^T，

nnn-i''n'/〃一12n-l

令〃=3可得，Q3=-%一卫一a2+工，即2〃3二W一〃？，

令〃=4可得，Q4=%--------(一〃3)~1---，

168

…1111

则/=%+〃2+々3+

16

16.（2020•安徽省六安一中高三其他（文））已知在数列｛4｝中，1=U且也l）%+i=L设

，1，、

bn=--------，neN*，贝U4=，数歹。｛〃｝前"项和（=

anan+l

【答案】2n-l—

2“+1

【解析】

/八.anan+l11_1_

%一(/1)%=14，—丁

1a1

4+1_n（心2）

nnn—1n—1

%1为常数列，1—--4T=2（心2）

n—1n-1n—1n—1

:.an=2n-l(«>2),〃=1,%=1适合上式.

an=2n-l,nGN*,

1_1_lp______

anan+i(2n-1)(2〃+1)212〃-12n+lJ

n

2n+1

n

故答案为：2〃—1；

2〃+1

17.（2020.湖南开福倜南中学二模（理））已知数列｛%｝对任意的〃£",都有句£产,且

3an+L。〃为奇数

%,a“为偶数

①当%=8时，4019=

②若存在mGN*,当力〉机且4"为奇数时，区,恒为常数P,则尸=

【答案】21

【解析】

3a.+1,可为奇数

a,贝IQ]=8,=4,%=2,%=L〃5=4,〃6=2,…

n+l号,为为偶数a2

故从第二项开始形成周期为3的数列，故。2019=2

当知为奇数时，。“+1=3。“+1为偶数，故。“+2=誓=的>

若为,+2为奇数，贝4。,=的卢，故4=一1，不满足；

若4+2为偶数，则4+3=字=岑乙，直到为奇数，即4=考口/eN*

1*

故册,当左=2时满足条件，此时q=1,即p=l

故答案为：①2；②1

三.解答题（共5小题，满分64分，18--20每小题12分，21,22每小题14分）

18.（2017•山东省单县第五中学高二月考（文））数列｛。”｝的通项4+（〃eN*）,试问该数列

｛%｝有没有最大项？若有，求出最大项；若没有，说明理由.

【答案】最大项为为=。10=]p

【解析】

a>a

设凡是该数列的最大项，贝叫nn+｝

142矶

解得9W〃W10

eN*，

〃=9或〃=10,

点睛：求数列最大项或最小项的方法

a.<a[a,>a

(1)可以利用不等式组5»2)找到数列的最大项；利用不等式"T"(〃》2)找到数列的最

>a“+ianKa“+]

小项.

(2)从函数的角度认识数列，注意数列的函数特征，利用函数的方法研究数列的最大项或最小项.

19.(2020•黑龙江龙凤•大庆四中月考(文))数列｛%,｝满足：幺+生+…+—=〃2+〃，〃eN*.

23n+1

(1)求｛%｝的通项公式；

.19

(2)设么=1，数列也,｝的前几项和为S,,,求满足邑>三的最小正整数〃.

【答案】(1)a„=27i(n+l)；(2)10.

【解析】

(1)♦.•幺+女+…+卫=/+〃.

23n+1

n=l时，可得&=4,

时，幺+&+…+—=〃一1?+〃一1.

23n

两式相减可得—=(2n-l)+l=2n,

n+1

/.an=2n(n+l).HFI时，也满足，

⑵,"1丁即可1行If一l刀1

1<11111｝\（1）c9g

.*.S=-1-----1-------F...H---------=-1----------,又S>—，可得n〉9,

n2（223nn+\）2（n+1）n20

可得最小正整数n为10.

20.（2020・上海市七宝中学期中）数列｛。“｝满足tvz.+M"=4,+4+1+4+2（4。"+1wl，"eN*）,且为=1,

出=2.规定的｛。”｝通项公式只能用Asin（（z>x+^）+c14/0,。〉0,附<1^的形式表示.

（1）求的的值;

（2）证明3为数列｛4｝的一个周期，并用正整数上表示。；

（3）求｛q｝的通项公式.

【答案】（1）%=3（2）证明见解析；。==工（左eN*）.（3）%=—Wsin[—?）+2

【解析】

（1）当〃1=1,42=2,〃1〃2〃3=〃1+〃2+〃3,解得〃3=3;

（2）当九=2时，6〃4=2+3+〃4,解得。4=1,

当〃=3时，3〃5=1+3+45,解得。5=2,

•••，

可得斯+3=斯，当41=1,42=2,43=3;

故3为数列｛小｝的一个周期，

则——=3,在N*,则幻=——（^eN）；

CD3v'

27r

（3）由（2）可得z=Asin（—n+（p）+c,

2TT兀

贝！J1=Asin（—+（p）+c,2=-Asin（y+（p）+c,3=Asin（p+c,

]

BP1—A*---cos（p-A*—sin（p+c,①

2=-A*——coscp-A*—sin（p+c,②

由①+②，可得3=-Asin（p+2c,

・•.(?=2,Asin(p=1,

①-②，可得-1=A•括coscp,

贝ijtan(p=-y/3，

71

V|(p|<y,

._兀

・・隼1

2A/3.(2万71

--------sin-M+2.

3

21.(2020•湖北宜昌・其他(文))数列｛4｝中，q=2,(n+1)(«,1+1-)=2(an+n+1).

(1)求出，%的值;

(2)已知数列｛0｝的通项公式是=〃+1,an=rr+l,a“=〃2+〃中的一个，设数歹U｛'｝的前〃项和

an

为S〃，的前几项和为北，若3>360,求"的取值范围.

【答案】(1)a2=6,4=12(2)n>17,且〃是正整数

【解析】

⑴•••(”+1)(4+i—%)=2(%+〃+1),

n+3

,**an+l~7%+2

n+1

1+3「

a1—-----a1+2=6

1+1

。3=；+：%+2=12

(2)由数列｛%｝的通项公式是=〃+1,a“=1+l,a""\”中的一个，和。2=6得数列｛%｝的通

项公式是%=n2+n=«(w+l)

,、1111

由%+可得一二

annn+1

；(%—%)+(%-。2)+…+(见+1-%)=%+「％,CLn=〃(〃+1)

(a.—q)+(%—%)+，，，+(%+i—%)=+3”

即Tn=n~+3n

由,>360,得“2+4”-357>0，解得〃>17或〃<一21

n是正整数，

.•.所求九的取