高中数学学业水平考试6（解析版）

高中学业水平考试6

一、选择题(本大题共20题，每小题3分，共计60分.每小题列出的四个选项中只有一项是

最符合题目要求的)

1.已知复数=!，贝Uz的虚部为()

1+i

1

D.——

22

【答案】D

【解析】

【分析】根据复数的除法运算求出z,即可得到其虚部.

11-i11.

【详解】：=下---------1

(l+i)(l-i)22

故虚部---，

2

故选：D

2.命题“Vxe(l,+8),f+x—2>o”的否定为()

A.Vxe(1,-H»),x2+x-2<0B.Vx(1,+oo),无?+%-2<0

2

C.3XG(1,+CO),X+X-2<0D.3XG(1,+CO),X?+%-2<0

【答案】D

【解析】

【分析】利用全程命题的否定形式，即可判断选项.

【详解】命题“Vxe(l,+8),f+x—2>。”为全称量词命题,则命题的否定为3xe(l,+<»),

%2+x—2<0,

故选：D.

3.已知集合4={—3,—2,1,2},B={X|X2+5X-6<0},则AB=()

A.{2}B.{1,2}C.{-3,-2}D.{-3,-2,1}

【答案】D

【解析】

【分析】由集合8的描述求集合，应用集合的交集运算求AB.

【详解】解：由无2+5%—6<0得(％+6)(x—1)40,解得一6WxWL所以B=[—6,1],

又人={—3,—2,1,2},所以AB={-3,-2,l},

故选：D

--1

4.已知两个单位向量°与匕的夹角为。，则“夕=60。”是“。必=5”的()

A,充分必要条件B.必要不充分条件

C.充分不必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】

【分析】用定义法，分充分性和必要性分别讨论即可.

【详解】充分性：若夕=60°,则由°、b是单位向量可知0方=|a|xWxcos6O°=lxlxg=g,即充分性

得证；

必要性：若=；，则。"=,卜卜卜以)5夕=3由°、b是单位向量可知cos6=g,因为0°W8W180°,

所以夕=60。,必要性得证.

所以“夕=60°”是“a必=L，的充分必要条件.

2

故选：A

5.若工〈工<0,则下列不等式中不正确的是（）

ab

A.a+b<abB.a>bC.a2>b1D.ab<b2

【答案】C

【解析】

【分析】结合不等式的性质确定正确选项.

【详解】由!<1<0,得b<a<0,故B项正确；ab<b2,故C项不正确，D项正确;

ab

Va+b<0,ab>0,a+b<ab,故A项正确.

故选：C

6.若角a的终边经过点P（—1,3）,贝Mana的值为（）

A」B.-3C.D.题

31010

【答案】B

【解析】

【分析】根据正切函数的定义可得选项.

【详解】解：：角a的终边经过点P（—1,3）,.•.tana=—3.

故选：B

7.已知sina+cosa=—,且。£丁,；7,则cosa—sina=（）

2E2）

A.昱B.—BC.土BD.-

2222

【答案】B

【解析】

【分析】结合已知条件，对sintz+cosa=两边同时平方求出2sinacosa='，然后对cosa-sine

24

平方求值，结合1的范围即可求解.

21

【详解】V(sincr+costz)-=1+2sincrcostz=—,/.2sin«cosa=—,

v'44

cosa-sina『=l_2sinacoso=1--,

744

・•・cosa—sina=±且,

2

又：ae

・口J3

・•0vcosoc<sincc,即coscc—sinct-------

2

故选：B.

8.某校为了解学生学习数学的情况，采用分层抽样的方法从高一600人、高二680人、高三720人中，抽取

50人进行问卷调查，则高一、高二、高三抽取的人数分别是（）

A.15,16,19B.15,17,18C.14,17,19D.14,16,20

【答案】B

【解析】

【分析】结合已知条件首先求出三个年级的总人数，然后利用样本容量分别乘以各个年级的抽样比即可求

解.

【详解】由题意可知，三个年级共有600+680+720=2000（人），

则高一抽取的人数为50x黑=15，

2000

高二抽取的人数为50x02=17,

2000

高三抽取的人数为50义」72^0=18.

2000

故选：B.

9.在同一个坐标系下，函数y=2,与函数>=l0gl》的图象都正确的是（）

2

【答案】A

【解析】

【分析】根据函数的单调性判断函数图象.

【详解】解：指数函数y=2'是增函数，

对数函数y=i°g1x是减函数，

2

故选：A.

7T

10.若函数/（x）=4sin（ox—至）（0>0）的最小正周期为万，则它的一条对称轴是（）

.兀r\__TC27?"

A.x=-----B.x=0C.X-----D.x=

1263

【答案】A

【解析】

jrjr

【分析】由函数的最小正周期为"，可得@=2,令2%——=—+k7i,keZ,分析即得解

32

jr

【详解】由题意，函数%）=4sin（s;—耳）3>0）的最小正周期为万,

故T=——=71:,a)=2

冗

即/(x)=4sin(2x-—)

令2x----——kji,左£Z

32

令左二一1,可得％二—故A正确;

BCD选项中，不存在左EZ与之对应，故错误

故选：A

11.若函数“力是奇函数，且在(-8,0)上是增函数，又/(—2)=0,则#。)>。解集是()

A.(-2,0)1(2,+w)-^,-2)40,2)

D.(-2,0)(0,2)

【答案】C

【解析】

【分析】根据奇函数的性质进行求解即可.

【详解】因为函数“可是奇函数，所以有人2)=—〃—2)=0,

因为奇函数〃龙)在(-8,0)上是增函数，所以该函数在(0,+8)上也是增函数，

当x>0时，由#(x)>0n/(x)>0=/(2)=无>2,

当x<0时，由4(%)>。=/(%)<。=/(一2)=>%<-2,

所以不等式的解集为-2)"2,+8)

故选：C

12.在_748。中，2cos5sinA=sinC,贝！J_ABC一定()

A,直角三角形B.钝角三角形

C.等腰三角形D.等边三角形

【答案】C

【解析】

【分析】利用sinC=sin(A+B)化简可得sin(A—5)=0,即可判断.

【详解】2cosBsinA=sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB,

.,.sinAcosB-cosAsinB=0,即sin(A-B)=0,

A6e(0㈤,

:.A-B^0,即A=5,

所以一ABC一定是等腰三角形.

故选：C.

13.函数/(x)="+i+2021(a>0,且awl)恒过定点()

A.(0,1)B,(0,2021)C.(-1,2022)D.(-1,0)

【答案】C

【解析】

【分析】利用指数函数恒过(0』)点即可求解.

【详解】当x=—1时，/(-I)=a1+1+2021=1+2021=2022,

所以函数恒过定点(-1,2022).

故选：C

14.A5C的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,满足a：c=2:4:5,则

【答案】D

【解析】

【分析】利用余弦定理可求cosC,再结合正弦定理即得.

【详解】因为a:b:c=2:4:5,不妨设a=2k,b=4k,c=5k(k>0),

+[2—02_4左2+16左2—25左25

16

sinAcosC

所以

sinB2I16J32

故选：D

15.己知a="=l,向量°与b的夹角为60。，则3"4目=()

A.5B.V19C.372D.岳

【答案】D

［解析］____________________

【分析】由已知先求出心。，然后根据pa—40=24a»+16,2,代值即可求解.

【详解】•.•口=M=1,向量a与匕的夹角为60。

d!-1cos60°=—

.43a—4”=^3«^4人了=,9”2—24。2+16}(=回12+16=而

故选：D.

16.某盒内有十张标有0到9的卡片，从中任取两张，则取到卡片上的数字之和不小于6的概率是()

【答案】B

【解析】

【分析】基本事件总数〃==45,利用列举法求出取到卡片上的数字之和小于6包含的基本事件有9个,

利用对立事件概率计算公式能求出取到卡片上的数字之和不小于6的概率.

【详解】解：某盒内有十张标有。到9的卡片，从中任取两张，

基本事件总数〃=C［=45,

取到卡片上的数字之和小于6包含的基本事件有：

(0,1),(0,2),(0,3),(0,4),(0,5),(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),共9个，

94

则取到卡片上的数字之和不小于6的概率P=1--=-.

455

故选：B.

17.如图所示，P为矩形ABCO所在平面外一点，矩形对角线交点为。，/为尸8的中点，下列结论正确的

个数为()

①QW//平面P8C②OM//平面PC。③OM//平面PDA④。M//平面P2A

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】B

【解析】

【分析】证明0M//PD,即可证明②③正确；"e平面PBC,故①错误，"e平面故④错误.

【详解】对于①，Me平面故①错误；

对于②，由于。为3。的中点，M为PB的中点，则。0/APD,平面PC。，PDu平面PCD,

则0M//平面PCD,故②正确；

对于③，由于。0//PD,衣平面QA。，PDu平面B4。，则OM//平面QA。，故③正确；

对于④，由于"G平面八1B，故④错误.

故选：B

18.如图是长方体被一平面所截得到的几何体，四边形£刀侬为截面，长方形ABCD为底面，则四边形

EFGH的形状为（）

A.梯形B.平行四边形

C.可能是梯形也可能是平行四边形D.不确定

【答案】B

【解析】

【分析】根据长方体的性质，结合面面平行的性质有HG//EF,EH//FG,即知EFGH的形状.

【详解】由长方体的性质：各对面平行，易知HGIIEF,EHIIFG,

/.EFGH为平行四边形.

故选：B

19.如图，在四面体。一4BC中，若AB=CB,AD^CD,E是AC的中点，则下列结论正确的是（）

D

A

A.平面A3C1,平面A3。

B.平面A8£）_L平面BDC

C.平面ABCJ_平面且平面A£）C_L平面8DE

D.平面ABCJ_平面ADC,且平面AQC_L平面BDE

【答案】C

【解析】

【分析】利用垂直关系，结合面面垂直的判断定理，即可判断选项.

【详解】因为A8=C8,且E是AC的中点，所以同理有OELAC,于是AC,平面8OE.因为AC

在平面ABC内，所以平面ABC_L平面8DE.又由于ACu平面ACD,所以平面ACD_L平面BDE

故选：C

20.已知函数=是R上的增函数，则实数。的取值范围是（）

（2—a）x+l,x<2

A.1,2jB.P,2jC.(1,2)D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据指数型函数和一次函数的单调性，结合函数单调性的性质进行求解即可.

【详解】因为该函数为增函数，

a>\

4

所以2—6?>0=>—«〃<2,

3

2(2—o)+l<广+1

故选：A

二、填空题(本题共5小题，每小题3分，共计15分)

21.已知向量〃二(一2,1),b=(m,m),若〃_!_(〃+/?),则实数机=.

【答案】5

【解析】

【分析】利用向量的加法求得〃+人的坐标，再根据〃，(〃+〃)，利用数量积运算求解.

【详解】因为向量〃=(一2,1),b=(m,m),

所以a+5=(加一2,机+1),

因为〃±(a+b),

所以(加一2)x(—2)+(zn+l)xl=0,

解得m=5,

故答案为：5

22.已知a>0,Z?>0,且2a+3〃=4,则次?的最大值为.

【答案】I

3

【解析】

【分析】利用基本不等式即可得到答案.

【详解】因为。涉>。，所以2a+3b=422j^F，解得"V耳，当且仅当。=1,匕二^时，等号成

立.

一、、

故答案为1：2一.

3

，8

23.函数/'(x)=<FX'°,贝2)]=.

x(x-2),x<0

【答案】1

【解析】

【分析】根据分段函数的解析式，结合所求函数值对应自变量所在的定义域范围选取解析式求值即可.

【详解】2<0,

/(-2)=-2x(-2-2)=8,即/[/(-2)]=/(8),

V8>O,

O

•••/(8)=f=L即/[/(—2)]=〃8)=1.

o

故答案为：1.

JT5

24.在ABC中，已知C=—,若CBCA=—,贝LABC的面积为_____.

32―

【答案】史

4

【解析】

【分析】先由CB-C4=g求出|C4|C4],然后再利用三角形的面积公式可求得结果

JT.5

【详解】解：因为C=」，CBCA=-,

32

所以画画cosg=|,得冏画=5,

所以SABC=||CB||G4|smC=1x5siny=1x5x^=^l,

故答案为：巫

4

(兀37r、

25.已知tana、tan用是方程Y—3百％+4=0的两根，并且a、，"于万卜则1的值是

8兀

【答案】

T

【解析】

【分析】由题可得tana+tan,=3百，tan«-tan/7=4,根据两角和的正切公式即可求出.

713兀

【详解】tan。、tan/7是方程必―3氐+4=0的两根，并且a、/?e2*T

tana+tan/?=3百，tantz-tan/?=4,。+46（兀,3兀）.

tantz>tan/?均大于零，故a、〃e卜,与），&+尸«2兀,3兀）.

tana+tan尸_36/-八八2兀8兀

tan（tz+/7）=—y/3>/.CK+/?=271H——=

1-tana-tan1-4

故答案为：q.

三、解答题(本题共3小题，共25分)

26.已知函数/(x)=sin0x+Gcos0X(0>O)的最小正周期是".

(1)求。值；

(2)求/(X)的对称中心;

(3)将/(弓的图象向右平移!■个单位后，再将所得图象所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变,

得到函数广且⑸的图象，求g(x)的单调递增区间.

(k兀冗\冗57r

【答案】(1)2；(2)—-----,0,kwZ；(3)2k/r——,Ikn+--,keZ.

<26JL66」

【解析】

【分析】⑴由/(x)=2sin(ox+工]且7=二="，即可求0值；

V3；①

(2)由(1)知/(x)=2sin[2x+g],结合正弦函数的对称中心即可求/(%)的对称中心；

(3)由函数平移知g(x)=2sin[x-结合正弦函数单调性即可求g(x)的单调递增区间.

【详解】(1)/(x)=sin69x+V3cos69x=2sincox+—,又G>0,

2〃

——二71,

CD

①=2.

(2)由⑴知，/(x)=2sin^2x+yj,令2x+3=左"，解得x=?—

•，•/(%)的对称中心是彳'°]'左GZ.

(3)将/(%)的图像向右平移?个单位后可得：y=2sin|^2x-1^再将所得图像横坐标伸长到原来的2

倍，纵坐标不变得到：g(x)=2sin[x—1^,

TCTCTC7TJTC

由2左万---<x------<2k7i+—,解得2左;r------<x<Ikn+——，keZ.

23266

冗57r

；•g(x)的单调递增区间为2k7T--,2k7v+—,keZ.

【点睛】关键点点睛：

(1)应用辅助角公式求三角函数解析式，结合最小正周期求参数.

(2)根据正弦函数的对称中心，应用整体代入求/(%)的对称中心.

(3)由函数图像平移得g(x)解析式，根据正弦函数的单调增区间，应用整体代入求g(x)的单调增区间.

27.如图，四棱锥尸-ABC。的底面是菱形，且面ABC。，E,尸分别是棱尸3,PC的中点.

求证：(1)EF//平面BW；

(2)面尸8。_1_面^4c.

【答案】(1)证明见详解；(2)证明见详解.

【解析】

【分析】(1)利用线面平行的判定定理即可证明.

(2)利用面面垂直的判定定理即可证明.

【详解】(1)由E,尸分别是棱尸8