高中数学必修四知识点总结

高中数学必修4必背知识点6、弧度制与角度制的换算公式：27r=360,1=三，1=[竺«57.3.

180I万J

7、若扇形的圆心角为为弧度制)，半径为广，弧长为/,周长为C,面积为S,则

第一章三角函数

'正角:按逆时针方向旋转形成的角

1、任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角

零角:不作任何旋转形成的角

2、角a的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则

称a为第几象限角.

第一象限角的集合为{ak360<a<6360+90/ez}

9、三角函数在各象限的符号：一全正，二正弦，三正切，四余弦.

第二象限角的集合为{。卜360+90360+180,左eZ}

10、三角函数线：sina=MP,cosa=OM,tan=AT.

第三象限角的集合为同心360+180<a<k-36O+270•，左eZ}

11同角三角函数的基本关系

第四象限角的集合为{。k360+270<a<k-360+360,后eZ}(1)sin2a+cos2a=l(sin2rz=l-cos2a,cos2=l-sin2a)

终边在x轴上的角的集合为„=屋180，丘Z}小sina(.sina、

(2)-------=tanasina=tanacosa,cosa=-------.

cosa\tanaJ

终边在y轴上的角的集合为{+=公180+90/eZ}

终边在坐标轴上的角的集合为{a[a=L-90，4eZ}12、函数的诱导公式：

(l)sin(2A7r+a)=sina,COS(2ATT+。)=cos。，tan(2A7r+a)=tano(A：£Z).

3、与角a终边相同的角的集合为{，忸=h360+a,k&Z\(2)sin(^+or)=-siniz,cos(^+6Z)=-coscif,tan(^+6z)=tan<z.

(3)sin(-<7)=-sin,cos(-cr)=cos6Z,tan(-cr)=-tan6Z.

4、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度.

(4)sin-6z)=sina,cos-a)—-cosa,tan(;r-a)=-tana.

5、半径为r的圆的圆心角a所对弧的长为/,则角a的弧度数的绝对值是囱=(.

口诀：函数名称不变，符号看象限.

行y=sinxy=cosxy=tanx

yjy

cos——va=-sina.2

（2）/"丁\：当/r

图象

-04v：yx■Q2A

口诀：正弦与余弦互换，符号看象限.X¥7

13、①的图象上所有点向左（右）平移网个单位长度，得到函数丫=5皿（H夕）的图象;

定义{

RR无X。左;T+生，左WZ

再将函数〉=311（%+?）的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的5倍（纵坐标域12J

不变），得至I」函数y=sin（o无+夕）的图象；再将函数、=$山（0无+0）的图象上所有点的纵值域[T』[T』R

坐标伸长（缩短）到原来的A倍（横坐标不变），得到函数、=人5亩（0无+0）的图象.当x=Ikn+—(kGZ)当x=2fcr(LeZ)时，

②数y=sinx的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的工倍（纵坐标不变）,1

时，＞max=l；当ymax=：当x=2上左+%

G）最值既无最大值也无最小值

得到函数,=51118的图象；再将函数丁=5近8的图象上所有点向左（右）平移的个X=2k7T--(左eZ)时,%,=-1.

2

0）

(kwZ)时,WL-L

单位长度，得至U函数y=sin（Gx+°）的图象；再将函数y=sin（5+0）的图象上所有点

周期27r27r71

性

的纵坐标伸长（缩短）到原来的A倍（横坐标不变），得到函数丁二人045+夕）的图

奇偶奇函数偶函数奇函数

象.性

在2^--,2te+—

14、函数y=Asin（公）（）的性质：22

T+0A>0,G>0在［2左万一刀",2左7］（左wZ）上

在（左万一%不+］）

①振幅：A；②周期：T=—；③频率：/=-=—；④相位：s+e；⑤初相：cp.(kEZ)上是增函数；在是增函数；在

CDT2.71单调

性［2左乃,2左乃+乃］

函数y=Asin（&x+0）+B,当x=%时，取得最小值为；当％=%时，取得最大值7123兀

11QUH--,2k7TH---（丘Z）上是增函数.

22J

、11T（左iZ）上是减函数.

B，，

为Vmax，贝1A=］（y1Mx—丫5），=-（）„1ax+>min）-万=%一百（占〈尤2）•

(kEZ)上是减函数.

15、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质:对称

对称中心（左耳0）（左GZ）对称中心对称中心

性

对称轴

%乃+5,0)(%GZ)4,。）仅eZ）

19、向量数乘运算：

X=kTT+GZ)

⑴实数4与向量Q的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作.

无对称轴

时称轴X=左〃■(左£Z)①1M=冈同;

②当；1>0时，的方向与〃的方向相同；当4<0时，2〃的方向与a的方向相反；当;1=0时,

Za=0.

⑵运算律：①=(切)行；②(4+〃)a=>l2+〃Q；=+.

⑶坐标运算：设N=（x,y）,==

第二章平面向量

20、向量共线定理：向量。（〃工0）与Z?共线，当且仅当有唯一一个实数X,使〃=4〃.

16>向量：既有大小，又有方向的量.数量：只有大小，没有方向的量.设&=（%,%）,人=（芯2，%），其中〃w。，则当且仅当%1%一%2y1=。时，向量〃、〃倒wG）共

有向线段的三要素：起点、方向、长度.零向量：长度为0的向量.

单位向量：长度等于1个单位的向量.线.

平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量.零向量与任一向量平行.

相等向量：长度相等且方向相同的向量.

21、平面向量基本定理：如果,、.是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任

17、向量加法运算：

意向量。，有且只有一对实数4、%,使a=4G+4e2.（不共线的向量6、S作为这

⑴三角形法则的特点：首尾相连.

⑵平行四边形法则的特点：共起点.一平面内所有向量的一组基底）

⑶三角形不等式:1同_愀卜,+.4同+|可.

*22、分点坐标公式：设点P是线段PR?上的一点，P「P2的坐标分别是（玉,%），（%2，%），

⑷运算性质：①交换律：a+b=b+a；=AB+BC=AC

当P,P=2PP时，点P的坐标是竽,].（当人=1时,就为中点公式。：

②结合律：(a+b)+e=〃+仅+c)；③&+0=0+Q=Q.2

⑸坐标运算：设九二（石,乂），Z?=（x,y）,则〃+人=（玉+%2，%+%），

2223、平面向量的数量积：

⑴Gd=BMcose（Qw0,〃w0,0<<9<180）.零向量与任一向量的数量积为0.

18>向量减法运算：

⑴三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量.⑵性质：设a和〃都是非零向量,则①&_Lb=。2=0.②当&与方同向时，。包=同可；

⑵坐标运算：设8=（%,yJ,Z?=（x2,y2）,则a-b=（七一%,%.

当白与人反向时，〃,/?二一同W；或同=da.a.③"匕卜同忖.

设A、B两点的坐标分别为（石,%）,（马，%），则AB=（%-%2，乂一%）-

26、

⑶运算律：①crb=b•a；②=X(Q・b)=a・(4b)；@(a+b^'C=a-c+b-c.半角公式：

11+cosa.a[1—cosa

cos=±!；Sm=±

⑷坐标运算：设两个非零向量〃=(%],乂)，〃=(冗2，%)，则=菁%2+丁1%.f\^^2^2

—cosasina1—cosa

tan=±

若且=(x,y),则同2=/+y2,或同=J%2+y2.设&=(%,yj,人二仁，％)，则fA/1+cosa1+cosasina

27、合一变形=>把两个三角函数的和或差化为“一个三角函数，一个角，一次方”的

aLbo石9+x%=0.

y=Asin(s+9)+3形式。Asinor+Bcosa—VA2+B2sin(a+(p),其中tan°=g.

设a、b都是非零向量，Q=(%,yJ,万=(犬2，%)，。是Q与人的夹角，则

28、三角变换是运算化简的过程中运用较多的变换，提高三角变换能力，要学会创设条件，灵活运

用三角公式，掌握运算，化简的方法和技能.常用的数学思想方法技巧如下：

cos0=■+yly[^+

HH旧其LL角的变换:在三角化简，求值，证明中，表达式中往往出现较多的相异角，可根据角与角之

间的和差，倍半，互补，互余的关系，运用角的变换，沟通条件与结论中角的差异，使问题

第三章三角恒等变换获解，对角的变形如：

、两角和与差的正弦、余弦和正切公式：o(aa

24①2。是a的二倍；4a是2a的二倍；a是竺的二倍；竺是上的二倍；

224

⑴cos(a一/)=cosacos,+sinasin广；(2)cos(a+/)=cosacosJ3-sinasin0；

②150=45°—30°=60°—45°=工300；问：sin—71=；cos—71=；

(3)sin(a—尸)=sinacos/}-cosasin/?；⑷sin(a+/)=sinacos0+cosasin夕;21212

Z-X/c、cz~\»71/71,

⑸tan(a_/)=,ana-tan/@«=(«+/7)-^@—+6Z=--(­-Of)

(tana-tan夕=tan(a-/)(1+tanatan/7))；

1+tantrtan0

TTIT

⑤2a=(a+尸)+(a-尸)=(——\-a)-{----a)；等等

44

⑹tan(a+/)=tana+tan/

(tana+tan/?=tan(a+〃)(l-tanatan/7)).(2)函数名称变换:三角变形中，常常需要变函数名称为同名函数。如在三角函数中正余弦是基

1-tan6Ztanp

础，通常化切为弦，变异名为同名。

25、二倍角的正弦、余弦和正切公式:(3)常数代换:在三角函数运算，求值，证明中，有时需要将常数转化为三角函数值，例如常数

“1”的代换变形有：

(1)sin=2sinczcosa.=>l±sin2a=sin2«+cos2«±2sin6rcos6Z=(sinor±cosa)2

1=sin2cr+cos2a=tancrcotcr=sin90"=tan45°

⑵cos2a=cos2a-sin2a-2cos2a-l=l-2sin2a

(4),暴的变换:降幕是三角变换时常用方法，对次数较高的三角函数式，一般采用降幕处理的方