高中数学初升高衔接教材 专题12 一元二次不等式的解法(解析版)

专题12一元二次不等式的解法

一、知识点精讲

【引例】二次函数y=必一X—6的对应值表与图象如下:

X-3-2-101234

y60-4-6-6-406

由对应值表及函数图象(如图2.3—1)可知

当％=—2,或x=3时，y=0,即—％=6=0；

当xV—2,或x>3时，i/>0,即%2—%—6>0：

当一2VxV3时，y<Q,即券一X—6V0.

这就是说，如果抛物线y=蛭—x—6与x轴的交点是(一2,0)与(3,0),那么一元二次方程

年一”一6=0的解就是普=-2,.=3；同样，结合抛物线与x轴的相关位置，可以得到

一元二次不等式x—6>0的解是XV—2,或x>3；

一元二次不等式即一x—6V0的解是一2VxV3.

上例表明：由抛物线与x轴的交点可以确定对应的一元二次方程的解和对应的一元二次不等式的解

集.那么，怎样解一元二次不等式a察+bx+c>0((#0)呢？

我们可以用类似于上面例子的方法，借助于二次函数y=a要+bx+c(办0)的图象来解一元二次不等式

bx+c>0(<#0).

为了方便起见，我们先来研究二次项系数a>0时的一元二次不等式的解.我们知道，对于一元二次方

程a^+bx+c=0(a>0),设^=〃-4。。，它的解的情形按照△>(),A=0,△<()分别为下列三种情况——有

两个不相等的实数解、有两个相等的实数解和没有实数解，相应地，抛物线y-“十法十C(4>0)与“轴

分别有两个公共点、一个公共点和没有公共点(如图2.3—2所示)，因此，我们可以分下列三种情况讨论对应

的一元二次不等式ov2+bx+c>0(a>0)与ar2+bx+cV0(«>0)的解.

(1)当A>0时，抛物线丫=。次+加:+。(〃>0)与工轴有两个公共点(4，0)和(工牛。)，方程〃*+以+。=0

有两个不相等的实数根玉和工^<Zx),由图2.3—2①可知

不等式(ufi-\-bx-\-c>Q的解为x<xf或x>x2

不等式M+bx+cVO的解为<x<x2.

(2)当A=0时，抛物线y=ax^bx+c(。>0)与x轴有且仅有一个公共点，方程ax^bx-\-c=O有两个

相等的实数根x="=一£,由图2.3—2②可知

12

b

不等式如2+加+°>0的解为原弓；

不等式ax2+bx+c<Q无解.

(3)如果△<(),抛物线>，="2+加+。(〃>0)与x轴没有公共点，方程ax2+fer+c=0没有实数根，由图

2.3—2③可知

不等式以2+加+°>0的解为一切实数；

不等式“+瓜+。<0无解.

今后，我们在解一元二次不等式时，如果二次项系数大于零，可以利用上面的结论直接求解；如果二

次项系数小于零，则可以先在不等式两边同乘以一1,将不等式变成二次项系数大于零的形式，再利用上面

的结论去解不等式.

二、典例精析

【典例1】解下列不等式：

(1)x-2+2x-3<0；(2)x-x2+6<0：

(3)4x2+4x+i>0：(4)

(5)-4+x-#V0.

【答案】见解析

【解析】

(1)VA>0,方程$+2x—3=0的解是x=-3,x=1.

12

・•・不等式的解为一35烂1.

(2)整理，得"一x-6>0.

方程*一、-6=0的解为x=-2,x=3.

12

工原不等式的解为XV—2,或XV3.

(3)整理，得(2x+1)2K).

由于上式对任意实数x都成立，

・•・原不等式的解为一切实数.

(4)整理，得(x-3)2£0.

由丁当x=3时，(x—3)2=0成立；而对任意的实数x,(x—3)2V0都不成立，

・••原不等式的解为x=3.

(5)整理，得H—x+4>0.A<0,所以，原不等式的解为一切实数.

【典例2】已知不等式aM+bx+c<O(awO)的解是x<2,或x>3求不等式匕x2+ax+c>0的解.

【答案】见解析

【解析】由不等式a北+。*+。<0但工0)的解为*<2,或、>3,可知

bc

a<0,且方程ax2+bx+c=0的两根分别为2和3,・•・一一=5,-=6,

b,caa

即一二-5,-=6.由于a<0,所以不等式bx2+ax+c>0可变为

baca

—x2+XH—<0,即一5x2+x+6<0,

aa

6

整理，得5x2-x—6〉0,所以，不等式b北+ax—c>0的解是xv—1,或x>_.

5

【说明】，木例利用了方程与不等式之间的相互关系来解决问题.

【典例3］解关于x的一元二次不等式x2+ax+1>0(a为实数).

【答案】见解析

【分析】对于一元二次不等式，按其一股解题步骤，首先应该将二次项系数变成正数，本题已满足这一

要求，欲求一元二次不等式的解，要讨论根的判别式△的符号，而这里的A是关于未知系数的代数式，A

的符号取决丁未知系数的取值范围，因此，再根据解题的需要，对△的符号进行分类讨论.

【解析】：A=〃2—4,

6/+

①当A＞0,即〃＜一2或。＞2时，方程我+or+1=0的解是x=一"一,成一4,工=-^-4

122~2~

所以，原不等式的解集为x＜一"&24或彳〉一〃+Ja2-4

22

a

②当A=0,即。=±2时，原不等式的解为在一5；

③当A＜0,即-2＜。＜2时,原不等式的解为一切实数.

综上，当处一2,或破2时，原不等式的解是xv一■一&2-4或x〉-a+Jo24

22

当-2＜。＜2时，原不等式的解为一切实数.

【典例4］已知函数丫=苏-2"+1(〃为常数)在一2人1上的最小值为％试将〃用。表示出来.

【答案】见解析

【分析】：由该函数的图象可知，该函数的最小值与抛物线的对称轴的位置有关，于是需要对对称轴的位置进行

分类讨论.

【解析】：•••y=(x—a)2+1一必，

，抛物线y=X2—2级+1的对称轴方程是x=a.

图23—3

(1)若一20把1,由图2.3-3①可知，当x=a时，该函数取最小值〃=1一*

(2)若〃V-2时，由图2.3-3②可知，当x=-2时，该函数取最小值〃=4〃+5；

(3)若a＞1时，由图2.3-3③可知，当x=1时，该函数取最小值n=-2a+2.

综上，函数的最小值为〃=〈1一。2,—

-2。+2,6f>1.

三、对点精练

1.解下列不等式：

(1)3x2—X—4>0；(2)A:2—A—12<0；

(3)遥+3%—4>0；(4)16-8x+x2<0.

【答案】见解析

【解析】

4

(1)3x2—X—4>0<=>x<-1g£x>_

3

(2)X2-A：-12<0<Z>-3<X<4

(3)x2+3x—4>0-4或1；

(4)168.vI入铝0ox=4.

2.解关于x的不等式*+公+1—〃2④(〃为常数).

【答窠】见解析

【解析】

不等式可以变为(x+1+必x+1-6/)<0,

(1)当一1—“V—1+〃，即a>0时，—1~a<x<—1+a；

(2)当1a=14-a,即a=0时，不等式即为(AH1)2a)，.\x=-1；

(3)当一1—a>—1+“，即aVO时，/.—1+rz<r<—1—

a.综上，当。>0时，原不等式的解为一1一tzSrS—1+〃；

当。=0时，原不等式的解为x=-1；

当a<0时，原不等式的解为-1+a夕1—a.

3.解下列不等式：

(1)x2+x-6>0(2)(x-1)(x+2)>(x-2)(2x+1)

【答案】见解析

【解析】

fx+3<0

⑴解法一：原不等式可以化为：a+3)a—2)>o,于是：1_2<o或

[x+3>0fx<_3[x>—3_|x

=j或j=>x<_3或x>2x<-3或x>2

jx-2>01x<2|x>2所以，原不等式的解是

解法二：解相应的方程X2+X-6=(K^x=-3,x=2,所以原不等式的解是x<—3或x>2.

12

(2)解法一：原不等式可化为：-X2+4x40,即X2-4x20=>x(x-4)20于是：

fx<0fx>0

彳"或rL=或X?4,所以原不等式的解是X40或X24.

IX-4SUIX—42U

解法二：原不等式可化为：—X2+4X40,即X2—4XN0,解相应方程X2-4x=0,得x=0,x=4.

12

所以原不等式的解是x<0或x>4.

【说明】：解一元二次不等式，实际就是先解相应的一元二次方程，然后再根据二次函数的图象判断出不

等式的解.

4.求关于x的不等式ni2x+2>2mx+m的解.

【答案】见解析

【解析】原不等式可化为：m(m-2)x>m-2

(1)当m-2>0即m>2时，mx>1,不等式的解为x2J：

m

(2)当m-2<0即m<2时，mx<1.

①0<m<2时，不等式的解为；

m

②mvO时，不等式的解为x>_；

m

③m=0时，不等式的解为全体实数.

(3)当m—2=0即m=2时，不等式无解.

八八11八

综上所述：当m<0或m>2时，不等式的解为x>_；当0cm<2时，不等式的解为x<_；当m=0时,

mm

不等式的解为全体实数；当m=2时，不等式无解.

5.解下列不等式：

(1)X2-2X-8<0(2)X2-4X+4<0(3)X2-x+2<0

【答案】见解析

【解析】

(1)不等式可化为(x+2)(x—4)<0・・・不等式的解是一2<工<4

(2)不等式可化为-2)2《0.・・不等式的解是x=2；

(3)不等式可化为(工-1)2+]<。，不等式无解。

24

6.已知对于任意实数x,"2-2.丫+攵恒为正数，求实数上的取值范围.

【答案】见解析

【解析】

显然A=0不合题意，于是：柠°=7>°=>^>1

[(一2)2—442<0[22—1>0[k<-1或女>1

7.解下列不等式:

1

2x-3<3

(1)<0(2)

x+1772

【答案】见解析

【分析】

(1)类似于一元二次不等式的解法，运用“符号法则”将之化为两个一元一次不等式组处理；或者因为两个数

(式)相除异号，那么这两个数(式)相乘也异号，可将分式不等式直接转化为整式不等式求解.

(2)注意到经过配方法，分母实际上是一个正数.

【解析】

2x-3>0\x<313

J2x—3<0一

(1)解法(一)原不等式可化为：｛4八或

[x+1>0x+1<02或12