河北省邢台市宁晋县质检联盟2024-2025学年高二下学期3月第一次月考数学试卷（含解析）

河北省邢台市宁晋县质检联盟2024-2025学年高二下学期第一次月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．若函数满足，则（

）A． B．4 C．1 D．22．已知函数，则（

）A． B．C． D．3．如图，直线是曲线在点处的切线，则（

）A．1 B．2 C． D．04．已知火箭发射秒后，其高度（单位：米）为，则火箭发射后第5秒时，火箭爬高的瞬时速度为（

）A． B．C． D．5．“”是“函数有极值”的（

）A．必要不充分条件 B．充分不必要条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件6．已知定义在上的函数满足，，其导函数满足，则（

）A． B．16 C．12 D．247．已知函数在上单调递增，则的取值范围为（

）A． B．C． D．8．函数及其导函数的定义域均为．若，，则不等式的解集为（

）A． B． C． D．二、多选题9．函数的导函数的图象如图所示，则（

）A．B．C．有2个极大值点，1个极小值点D．的单调递减区间为，10．若函数的定义域为，且存在，使得，则称是的一个“二倍阶值点”．下列四个函数中，存在“二倍阶值点”的是（

）A． B．C． D．11．若，，，则（

）A． B．C． D．三、填空题12．若函数，则．13．如果函数满足在闭区间上连续，在开区间上可导，那么在开区间上至少存在一个实数，使得，其中称为“拉格朗日中值”．函数在上的“拉格朗日中值”为．14．已知函数有三个不同的零点，则的取值范围是．四、解答题15．已知函数．(1)若曲线与轴相交于点，求该曲线在点处的切线方程；(2)若曲线上点的切线与坐标轴围成的三角形面积为，求点的坐标．16．已知函数．(1)若在上不单调，求的取值范围；(2)若，求在上的值域．17．将一个边长为2分米的正八边形硬纸片的八个角截去八个全等的四边形，再把它沿虚线折起，如图所示，做成一个无盖的正八棱柱纸盒（忽略纸片厚度）．（参考数据：）

(1)试把该正八棱柱纸盒的容积（单位：立方分米）表示为盒底正八边形边长（单位：分米）的函数．(2)试问当盒底正八边形边长为何值时，这个正八棱柱纸盒的容积最大？容积的最大值是多少立方分米？18．已知函数，，．(1)求的单调区间．(2)若的最大值为1，证明：对任意的，．(3)当时，若恒成立，求实数的取值范围．19．若连续函数的极值点是函数的零点，为函数的导函数，且存在实数满足，则称是的强化原生函数，记的最大值为，则为的强化原生系数．已知函数．(1)设函数，证明有唯一极值点，并求出满足的整数的值．(2)设函数，函数．已知是的强化原生函数．（i）证明：．（ii）求的强化原生系数的最小值．《河北省邢台市宁晋县质检联盟2024-2025学年高二下学期第一次月考数学试题》参考答案题号12345678910答案CBABBDBCBCDABD题号11答案BCD1．C解析：.故选：C.2．B解析：因为，则.故选：B.3．A解析：由图可知，切线过点，所以切线的斜率为，又由导数的几何意义知.故选：A4．B解析：，则火箭发射后第5秒时，火箭爬高的瞬时速度为.故选：B.5．B解析：，所以，若函数有极值点，则方程的判别式大于，即，整理得：，解得，所以是函数有极值的充要条件，所以“”是“函数有极值”的充分不必要条件.故选：B6．D解析：根据，构造函数，由，则,则，令，则，令，则.故选：D.7．B解析：由，得，因为函数在上单调递增，所以在上恒成立，即，，整理得：，，令，，则，，当时，，单调递增，当时，，单调递减，所以在处取得极小值，且为最小值，所以.故选：B8．C解析：令，则，，，即在R上单调递减，又，则不等式等价于，，即，，解得.所以不等式的解集为.故选：C.9．BCD解析：对A，由图知当时，，此时单调递减，则，故A错误；对B，当时，，此时单调递增，则，故B正确；对C，由图知，当时，，此时单调递增，当时，，此时单调递减，则为的极大值点；，当时，，此时单调递减，当时，，此时单调递增，则为的极小值点；，当时，，此时单调递增，当时，，此时单调递减，则为的极大值点；则有2个极大值点，1个极小值点，故C正确；对D，当时，，当时，，则的单调递减区间为，，故D正确.故选：BCD.10．ABD解析：对于A，，，由得，解得，所以函数存在“二倍阶值点”，A正确；对于B，，，由得，因为，，解得，所以函数存在“二倍阶值点”，B正确；对于C，，，由得，令，，当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以当时，有极小值也是最小值，所以无解，所以函数不存在“二倍阶值点”，C错误；对于D，，，由得，令，，所以在上单调递增，又，，根据零点存在性定理可知在上存在零点，所以方程有解，所以函数存在“二倍阶值点”，D正确；故选：ABD11．BCD解析：，，，，所以，，所以，所以，所以B、C、D正确，A错误.故选：BCD12．6解析：，则，解得.故答案为：6.13．解析：设函数的“拉格朗日中值”为，根据已知条件有：，因为，，所以，，根据题意有：，整理得：，因为，所以.故答案为：14．解析：函数的定义域为，由可得，令，其中，则，由可得，由可得，所以，函数的增区间为，减区间为，且当时，，当时，，作出函数的图象如下图所示：设，由图象可知，函数有两个不等的零点、，且，，若，解得，此时，，由可得或，不合乎题意；若，可得，则，由，解得，不合乎题意；所以，，，所以，，解得.因此，实数的取值范围是.故答案为：.15．(1)(2)或解析：（1）由，令，得，所以曲线与轴的交点为，又，则曲线在点处切线的斜率为，所以曲线在点处切线的方程为，即.（2）设，，，则切线的斜率，所以切线的方程为，即，，令，得，令，得，所以切线与坐标轴围成的三角形面积为，解得，所以点的坐标为或.16．(1)(2)解析：（1）由题意知，，因为在R上不单调，所以方程在R上有变号零点，即方程在R上有两解，得，解得，即实数的取值范围为.（2）当时，，则，令或，所以在上单调递减，在上单调递增，即在上单调递减，在上单调递增，且，所以在上的值域为.17．(1)(2)解析：（1）

根据已知条件，得到如上图所示图形，已知条件有正八边形的内角为，所以，，，设，，在中，，解得，在中，，，所以，所以，正八边形面积为：，所以正八棱柱纸盒的容积：，.即，.（2）因为，，所以，，所以，，所以当时，，单调递增，所以当时，，单调递减，由此可知当时，取得极大值即最大值.18．(1)在单调递增，在单调递减(2)证明见详解(3)解析：（1）的定义域为，令得，令得，令得，在单调递增，在单调递减.（2）由（1）知，，，要证，即证，即证，即证，构造函数，则，令得，令得，在单调递增，在单调递减，，即恒成之，当且仅当时等号成立.，，使得，恒成立，故对于任意的，.（3）当时，，若恒式立,即恒式立，即，即恒成立，由（2）可知恒成立，当且仅当时等号成立，令，则恒成立，在单调递增，，使得成立，，，所以．19．(1)证明见解析；(2)（i）证明见解析；（ii）解析：（1）证明：依题意得，则，设函数，则，所以在上单调递增，即在上单调递增，因为，所以存在唯一零点，使得.当时，，在单调递减；当时，，在单调递增；所以有唯一极值点，且，故满足的整数的值为.（2）（i）证