2025年山东省济南市高考数学模拟试卷（3月份）（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2025年山东省济南市高考数学模拟试卷（3月份）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A={x|log2x<1}，B={x|x<1}，则A∩B=A.(−∞,1) B.(0,1) C.(−∞,2) D.(0,2)2.设复数z满足1+z2−i=i(i为虚数单位)，则z=(

)A.2i B.−2i C.−2+2i D.−2−2i3.若直线l1：(m−2)x+3y+3=0与直线l2：2x+(m−1)y+2=0平行，则m=(

)A.4 B.−4 C.1或−4 D.−1或44.若数列{an}各项均为正数，则“{an}A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分又不必要条件5.抛物线y=x2+2x+2的焦点坐标为A.(−1,32) B.(−1,54)6.已知函数f(x)=e−x−1,x≤01−exA.(−∞,1) B.(1,+∞) C.(−∞,−3) D.(−3,+∞)7.已知圆台的侧面展开图是半个圆环，侧面积为4π，则圆台上下底面面积之差的绝对值为(

)A.π B.2π C.4π D.8π8.已知0<α<β<π2，则(

)A.sinα−sinβ<α−β B.α−β<tanα−tanβ

C.αsinβ<βcosα D.tanβ>αβ二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.为了验证牛的毛色(黑色、红色)和角(有角、无角)这两对相对性状是否相关，某学院进行了一次数据统计，并根据形成的2×2列联表，计算得到χ2≈2.727，根据小概率值为α的独立性检验，则(

)

附：P(0.100.0500.010k2.7063.8416.635A.若α=0.100，则认为“毛色”和“角”无关

B.若α=0.100，则认为“毛色”和“角”有关，此推断犯错误的概率不超过10%C.若α=0.010，则认为“毛色”和“角”无关

D.若α=0.010，则认为“毛色”和“角”有关，此推断犯错误的概率不超过1%10.已知F1，F2分别是椭圆C：x24+y23=1的左、右焦点，O为坐标原点，PA.|OH|+|HF2|=2 B.|OH|>1

C.△OHF2内切圆半径的最大值为11.已知递增数列{an}的各项均为正整数，且满足aaA.aa1=3 B.an>n 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.将两个1，两个3，一个5排成一行，则不同的排法种数为______.(用数字作答)13.函数f(x)=|sinx|+cosx的最小值为______．14.已知正四面体ABCD的棱长为22，动点P满足PA2+P四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

某公司升级了智能客服系统，在测试时，当输入的问题表达清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为78，当输入的问题表达不清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为12.已知输入的问题表达不清晰的概率为15．

(1)求智能客服的回答被采纳的概率；

(2)在某次测试中输入了3个问题，设X表示智能客服的回答被采纳的次数.16.(本小题15分)

如图，正方形ADEF所在平面和等腰梯形ABCD所在平面互相垂直，已知BC=4，AB=AD=2，点P在线段BE上．

(1)求证：平面ACP⊥平面ABF；

(2)当直线AP与平面BCE所成角的正弦值为32114时，求BP17.(本小题15分)

已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为2，O为坐标原点，过C的右焦点的直线l交C的右支于P，Q两点，当l⊥x轴时，|PQ|=22．

(1)求C的方程；

(2)过P作直线x=1的垂线，垂足为18.(本小题17分)

已知a，b∈R，函数f(x)=ex−ax−bx，x∈[0,+∞)．

(1)当a=0时，求f(x)的极值；

(2)若f(x)存在零点．

(i)当b=0时，求a的取值范围；19.(本小题17分)

如图，已知给定线段B1C1长为2，以B1C1为底边作顶角为θ(0°<θ≤90°)的等腰三角形A1B1C1，取△A1B1C1的腰A1B1的三等分点B2，C2(B2靠近A1)，以B2C2为底边向△A1B1C1外部作顶角为θ的等腰三角形A2B2C2⋯依次类推，取△An−1B

参考答案1.B

2.A

3.D

4.C

5.B

6.A

7.B

8.D

9.BC

10.ACD

11.ABD

12.30

13.−1

14.2

15.解：(1)根据题意，设A=“输入的问题表达清晰”，事件B=“智能客服的回答被采纳”，

则P(A−)=15，则P(A)=1−15=45，

P(B|A)=78，P(B|A−)=12，

故P(B)=P(A)P(B|A)+P(A−)P(B|A−)=45×78+15×1X

0

12

3

P

1

12

486416.解：(1)证明：由正方形ADEF有AF⊥AD，又平面ADEF⊥平面ABCD，平面ADEF∩平面ABCD=AD，

所以AF⊥平面ABCD，又AC⊂平面ABCD，

所以AF⊥AC，

过点A作AH⊥BC，则BH=1，AH=3，CH=3，

所以AC=23，

所以AB2+AC2=BC2，即AC⊥AB，

又AB∩AF=A，所以AC⊥平面ABF，又AC⊂平面ACP，

所以平面ACP⊥平面ABF；

(2)由(1)知AF，AB，AC两两互相垂直，

分别以AB，AC，AF所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系如图：

则有A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(0,23,0)，E(−1,3,2)，

设BPPE=λ(0≤λ≤1)，则BP=λPE，

设P(a,b,c)，则有(a−2,b,c)=λ(−1−a,3−b,2−c)，

解得a=2−λ1+λ，b=3λ1+λ，c=2λ1+λ，

得P(2−λ1+λ,3λ1+λ,2λ1+λ)；

所以BC=(−2,217.解：(1)由题设ca=2且a2+b2=c2，则a=b,c=2a，

由l⊥x轴时，|PQ|=22，不妨令P(2a,2)，代入双曲线得2a2a2−2b2=1，

所以a2=b2=2，则所求方程为x22−y22=1；

(2)(i)证明：设P(x1,y1)，Q(x2,y2)，则N(1,y1)，由l斜率不为0，设l：x=my+2，

联立双曲线并整理得(m2−1)y2+4my+2=0，则m2−1≠0，Δ=8m2+8>0，

所以y1+18.解：(1)a=0时，f′(x)=ex−b，

当b≤1时，f′(x)≥0，函数f(x)单调递增，既无极大值也无极小值．

当b>1时，x∈[0,lnb)，f′(x)<0，函数f(x)单调递减，x∈(lnb,+∞)，f′(x)>0，函数f(x)单调递增，

函数f(x)的极小值是b−blnb，无极大值．

(2)(i)当b=0时，因为函数f(x)存在零点，故ex=ax有解，

若x=0，此时无解，所以x>0，g(x)=ex−ax有解，g′(x)=ex−a2x=2exx−a2x，

①若a≤0，g(x)单调递增，g(x)>g(0)=1，此时不存在零点；

②若a>0，令ℎ(x)=2exx−a，ℎ(0)=−a<0，ℎ(a2)=ea2a−a>0，

由零点存在定理可知存在x0∈(0,a2)，ℎ(x0)=0，

所以g(x)在(0,x0)上为减函数，在(x0,+∞)上为增函数，

故g(x)min=ex0−ax0=a2x0−ax0≤0，解得x0≥12，故a≥2e12=2e，

即a的取值范围是[2e,+∞)．

(ii)证明：因为函数f(x)存在零点，所以f(x)=ex−ax−bx有解x0，其中x0≥0，

若x0=0，则1−a×0−b×0=0，该式不成立，故x0>0．

故ax0+bx0−ex0=0，考虑直线ax0+bx0−ex0=0，

a2+b2表示原点与直线ax0+bx0−ex0=0上的动点(a,b)之间的