2025版数学中考《二轮总复习微专题学案》二轮讲义25 矩形含答案或解析

微专题25矩形考点精讲构建知识体系考点梳理1.矩形的性质与判定(6年5考，常在几何题中涉及考查)(1)定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形(2)矩形的性质边对边平行且相等角四个角都是直角对角线矩形的对角线互相平分且相等对称性既是轴对称图形又是中心对称图形，有①条对称轴，对称中心为两条②的交点(3)矩形的判定角①有一个角是③的平行四边形是矩形；②有三个角是④的四边形是矩形对角线对角线⑤的平行四边形是矩形2.矩形面积面积计算公式：S＝ab(a，b表示边长).练考点1.如图，在矩形ABCD中，O为对角线AC，BD的交点，AE⊥BD于点E.(1)若对角线BD长为4，∠AOB＝60°，则AB的长为，BC的长为；(2)若∠DAE＝2∠BAE，则∠EAC的度数为；(3)若BE∶ED＝1∶3，AB＝2，则AD的长为.第1题图2.如图，要使平行四边形ABCD成为矩形，需添加的条件是()第2题图A.AB＝BCB.AC⊥BDC.AC＝BD D.∠1＝∠23.已知矩形的一边长为6cm，一条对角线的长为10cm，则矩形的面积为cm2.高频考点考点与矩形有关的证明及计算(6年5考，常在几何题中涉及考查)例如图①，在▱ABCD中，∠ACB＝90°，过点D作DE⊥BC交BC的延长线于点E.(1)求证：四边形ACED是矩形；例题图①(2)若AB＝13，AC＝12，求四边形ADEB的面积；(3)如图②，连接BD，若tan∠ABC＝2，求证BD＝22AD；例题图②(4)如图③，过点A作CD的垂线，交DE于点G，在(3)的条件下，试判断AB与AG的数量关系，并说明理由.例题图③真题及变式命题点与矩形性质有关的计算(6年5考，常在几何题中涉及考查) 拓展训练1.(北师八下习题改编)如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，M，N分别是BC，OC的中点.若MN＝2，则AC的长为.第1题图2.如图①，在矩形纸片ABCD中，AB＝5，BC＝3，先按图②操作，将矩形纸片ABCD沿过点A的直线折叠，使点D落在边AB上的点E处，折痕为AF；再按图③操作，沿过点F的直线折叠，使点C落在EF上的点H处，折痕为FG，则A，H两点间的距离为.第2题图3.(2024广东黑白卷)北宋数学家贾宪提出一个定理“从长方形对角线上任一点作两条分别平行于两邻边的直线，则所得两长方形面积相等(如图①中S矩形AEOM＝S矩形CFON)”.问题解决：如图②，M是矩形ABCD的对角线AC上一点，过点M作EF∥BC分别交AB，CD于点E，F，连接BM，DM.若CF＝4，EM＝3，DF＝2，则MF＝.第3题图4.如图，矩形ABCD中，以对角线BD为一边构造一个矩形BDEF，使得另一边EF过原矩形的顶点C.(1)设Rt△CBD的面积为S1，Rt△BFC的面积为S2，Rt△DCE的面积为S3，则S1S2＋S3(用“＞”“＝”或“＜”填空)；(2)写出图中的三对相似三角形，并选择其中一对进行证明.第4题图新考法5.[代数推理](人教八下习题改编)如图所示，在矩形ABCD中，AB＝12，AC＝20，两条对角线相交于点O.以OB，OC为邻边作第1个平行四边形OBB1C，对角线相交于点A1，再以A1B1，A1C为邻边作第2个平行四边形A1B1C1C，对角线相交于点O1；再以O1B1，O1C1为邻边作第3个平行四边形O1B1B2C1…依此类推.则第6个平行四边形的面积为()第5题图A.6 B.3C.15 D.126.[条件开放](2024贵州)如图，四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AD∥BC，∠ABC＝90°，有下列条件：①AB∥CD，②AD＝BC.(1)请从以上①②中任选1个作为条件，求证：四边形ABCD是矩形；(2)在(1)的条件下，若AB＝3，AC＝5，求四边形ABCD的面积.第6题图

考点精讲①2②对角线③90°(或直角)④90°(或直角)⑤相等教材改编题练考点1.(1)2，23；(2)30°；(3)232.C3.48高频考点例(1)证明：∵∠ACB＝90°，∴AC⊥BC，∵DE⊥BC，∴AC∥DE，∵四边形ABCD是平行四边形，点E在BC的延长线上，∴AD∥CE，∴四边形ACED是平行四边形，∵∠ACE＝90°，∴四边形ACED是矩形；(2)解：∵∠ACB＝90°，AB＝13，AC＝12，∴在Rt△BCD中，BC＝AB2－AC∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠CAD＝∠ACB＝90°，∵DE⊥BE，∴∠E＝90°，∴∠CAD＝∠ACB＝∠E＝90°，∴四边形ADEC是矩形，∴BC＝AD＝CE＝5，∴BE＝2BC＝10，∵AD∥BE，AC⊥BE，∴S四边形ADEB＝12×(5＋10)×12＝90∴四边形ADEB的面积为90；(3)证明：∵四边形ACED是矩形，四边形ABCD是平行四边形，∴AC＝DE，AD＝BC＝CE.在Rt△ABC中，∵tan∠ABC＝ACBC∴ACBC＝2，即AC＝2BC设AD＝BC＝a，则AC＝DE＝2a，BE＝2BC＝2a，又∵DE⊥BE，∴△BDE是等腰直角三角形，∴BD＝2BE＝22a，∴ADBD＝a22∴BD＝22AD；(4)解：AB＝2AG，理由如下：∵AG⊥CD，∴∠AGD＋∠CDE＝∠DCE＋∠CDE＝90°，∴∠AGD＝∠DCE，∴△ADG∽△DEC，∴AGDC＝AD∵四边形ABCD是平行四边形，四边形ACED是矩形，∴AB＝DC，AD＝CE，∠DCE＝∠ABC，∴tan∠ABC＝tan∠ECE＝DECE＝2，即DE＝2CE∴AGDC＝ADDE＝CE2∴AB＝2AG.真题及变式1.8【解析】∵M，N分别是BC，OC的中点，∴MN＝12OB，∵MN＝2，∴OB＝4，∵四边形ABCD是矩形，∴AC＝BD，BD＝2OB，∴AC＝BD＝2OB＝82.10【解析】如解图，连接AH.由折叠性质可知，CF＝HF，AE＝AD＝3，∵AB＝5，∴BE＝CF＝HF＝2，在Rt△AEH中，AE＝AD＝3，EH＝EF－HF＝3－2＝1，∴AH＝AE2＋EH第2题解图3.6【解析】如解图，过点M作GH∥AB分别交AD，BC于点G，H，∴四边形BEMH与四边形DGMF均为矩形，由定理知S矩形BEMH＝S矩形DGMF，∴S△BEM＝S△DFM，∴12BE·EM＝12DF·MF.∵BE＝CF＝4，EM＝3，DF＝2，∴MF＝BE·EMDF第3题解图4.解：(1)＝；【解法提示】∵S1＝12BD·ED，S矩形BDEF＝BD·ED，∴S1＝12S矩形BDEF，∴S2＋S3＝12S矩形BDEF，∴S1＝S2＋(2)答案不唯一，如：△BCD∽△CFB∽△DEC.选择△BCD∽△DEC.证明：∵四边形ABCD和BDEF均为矩形，∴∠EDC＋∠BDC＝90°，∠CBD＋∠BDC＝90°，∴∠EDC＝∠CBD，又∵∠BCD＝∠DEC＝90°，∴△BCD∽△DEC.5.B【解析】∵在矩形ABCD中，AB＝12，AC＝20，∴BC＝16，∴S矩形ABCD＝AB·BC＝192，OB＝OC，∵以OB，OC为邻边作第1个平行四边形OBB1C，∴平行四边形OBB1C是菱形，∴A1B1⊥BC，OB1＝AB＝12，∴S▱OBB1C＝12BC·OB1＝12×16×12＝96，易得▱AB1C1C为矩形，∴S▱A1B1C1C＝A1C·A1B16.解：(1)选择①AB∥CD，证明：∵AD∥BC，AB∥CD，∴四边形ABCD