2025版数学中考《二轮总复习微专题学案》二轮讲义31 三种方法求阴影部分面积含答案或解析

微专题31三种方法求阴影部分面积一阶方法训练 方法解读1.公式法所求阴影部分的面积是规则图形，例如三角形、特殊四边形、扇形时，直接用面积公式计算.S阴影＝S△ABES阴影＝S正方形ABCOS阴影＝S扇形MEN方法一公式法[6年2考：2023.15、22(2)②，2022.15]例1如图，在▱ABCD中，BC＝8，点E在AD边上，连接BE，CE，若点A到直线BC的距离为4，则图中阴影部分的面积为.例1题图变式1如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，以点B为圆心，BA长为半径画弧，交CD于点E，连接BE，则扇形ABE的面积为.变式1题图变式2如图，在△ABC中，AB＝AC，∠C＝30°，AC＝4，以AB为直径的☉O交BC于点D，连接OD，则图中阴影部分的面积为.变式2题图方法解读2.和差法(1)直接和差法所求不规则阴影部分的面积若可以看成几个规则图形，则面积直接相加减.S阴影＝S▱ABCD－S△AEF－S△BCE－S△CDFS阴影＝S扇形AOB－S△AOBS阴影＝S△ABC－S扇形CAD(2)构造和差法所求不规则阴影部分的面积需要添加辅助线构造规则图形，然后进行相加减.S阴影＝S△ACE＋S△ACFS阴影＝S△OBD＋S扇形DOCS阴影＝S△ABC－S△BOD－S扇形DOC方法二和差法[6年2考：2021.13，2019.22(2)]一、直接和差法例2如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点E，F分别在边AB，AD上，连接CE，CF，EF.若AE＝2BE，AF＝DF，则图中阴影部分的面积为.例2题图变式3如图，△ABC内接于☉O，连接OA，OB，若OA＝10，∠ACB＝45°，则图中阴影部分的面积为.变式3题图变式4如图，四边形AOBC是边长为1的正方形，以O为圆心的CD交OA的延长线于点D，则图中阴影部分的面积等于.变式4题图二、构造和差法例3如图，四边形ABCD，CEFG均为正方形，点D在CE上，其中正方形ABCD的面积为16cm2，正方形CEFG的面积为36cm2，则图中阴影部分的面积为cm2.例3题图变式5如图，AB为☉O的直径，BC与☉O相切，连接AC，与☉O交于点D，☉O的半径为2.若点D是AB的中点，则图中阴影部分的面积为.变式5题图变式6如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝42，以点B为圆心，分别以AB，BC的长为半径画弧，与BC，AD分别交于点E，F，则图中阴影部分的面积为.变式6题图方法解读3.等积转化法所求阴影部分的面积无法直接计算时，可利用等积转化法将所求阴影部分的面积转化为规则图形的面积或规则图形面积的和差.(1)直接等面积转化(AB∥CD)S阴影＝S△ABCS阴影＝S扇形COD(2)全等转化S阴影＝S△AOB(▱ABCD)S阴影＝S△ACD(D为AB的中点)方法三等积转化法例4如图，在▱ABCD中，点E在AD边上，连接BE，CE，若S▱ABCD＝20，则图中阴影部分的面积为.例4题图变式7如图，已知点C，D是以AB为直径的半圆O的三等分点，CD的长为π3，则图中阴影部分的面积为变式7题图变式8如图，AB为☉O的直径，BC与☉O相切，连接AC，与☉O交于点D，☉O的半径为2，若∠C＝45°，则图中阴影部分的面积为.变式8题图二阶综合应用 1.如图，AB是☉O的直径，OC＝6，∠BAC＝40°，则图中阴影部分的面积为.第1题图2.如图，E，F分别是矩形ABCD的边AB，CD上的一点，连接DE，AF交于点P，连接CE，BF交于点Q，若四边形EPFQ的面积为15，则图中阴影部分的面积为.第2题图3.如图，在矩形ABCD中，BC＝4，CD＝2，以AD为直径的半圆O与BC相切于点E，连接BD，则图中阴影部分的面积为.(结果保留π)第3题图4.如图，将边长为3的正方形ABCD绕点B逆时针旋转30°，得到正方形A'BC'D'，点A，C，D分别对应点A'，C'，D'，则图中阴影部分的面积为.第4题图5.如图，在正方形ABCD中，AB＝4，点E，F分别是AD，BC的中点，分别以点A，B为圆心，AE长为半径作弧，两弧交AB于点G，以EF为直径在EF的右侧作半圆，则图中阴影部分的面积为.第5题图6.如图，E为正方形ABCD内的一点，BE⊥CE，CE＝7，则图中阴影部分的面积为.第6题图7.如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝10，点E，F在AD边上，点G，H分别是AB，CD的中点，GF和EH交于点M，若EF＝12AD，则图中阴影部分的面积为第7题图

一阶方法训练例116【解析】∵AD∥BC，点A到直线BC的距离为4，∴点E到直线BC的距离为4，∴S阴影＝12×8×4＝16变式12π3【解析】∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝∠C＝90°，∵BA＝BE＝2，BC＝3，∴cos∠CBE＝CBBE＝32，∴∠CBE＝30°，∴∠ABE＝90°－30°＝60°，∴S扇形ABE＝变式22π3【解析】∵AB＝AC＝4，∠C＝30°，AB为☉O的直径，∴∠B＝∠C＝30°，OA＝OB＝12AB＝2，∴∠AOD＝2∠B＝60°，∴S阴影＝60例220【解析】∵AE＝2BE，AF＝DF，AB＝6，BC＝8，∴AE＝23AB＝4，BE＝13AB＝2，AF＝DF＝12AD＝12BC＝4，∴S阴影＝S矩形ABCD－S△AEF－S△BCE－S△CDF＝6×8－12×4×4－12×8×2－12变式325π－50【解析】∵∠ACB＝45°，∴∠AOB＝2∠ACB＝90°，又∵OA＝OB＝10，∴S阴影＝S扇形AOB－S△AOB＝nπr2360－12OA·OB＝90π×102360变式4π4－12【解析】∵四边形AOBC是边长为1的正方形，∴AC＝AO＝1，∠OAC＝90°，∴OC＝2，∠AOC＝45°，∴S阴影＝S扇形COD－S△AOC＝45π×(2)2360－1例310【解析】∵四边形ABCD，CEFG均为正方形，且面积分别为16cm2，36cm2，∴BC＝CD＝4cm，CG＝CE＝6cm，∴S阴影＝S△BEG－S△BDG＝12×(4＋6)×6－12×(4＋6)×4＝10cm变式52＋π【解析】如解图，连接OD，∵点D是AB的中点，∴∠AOD＝∠DOB＝90°，△AOD是等腰直角三角形，∵☉O的半径为2，∴S阴影＝S△AOD＋S扇形DOB＝12×2×2＋90π×22变式5题解图变式68【解析】如解图，连接BF，∵四边形ABCD为矩形，∴∠ABC＝∠BAD＝90°，∵AB＝4，BF＝BC＝42，∴AF＝BF2－AB2＝4，∴△ABF是等腰直角三角形，∠ABF＝∠CBF＝45°，∴S阴影＝S扇形CBF＋S△ABF－S扇形ABE＝45π×(42变式6题解图例410【解析】如解图，连接BD，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，S△BCD＝12S▱ABCD＝10，∴S阴影＝S△BCD＝10例4题解图变式7π6【解析】如解图，连接CD，OC，OD，∵C，D是以AB为直径的半圆的三等分点，∴∠AOC＝∠COD＝∠DOB＝60°，AC＝CD，又∵OA＝OC＝OD，∴△OAC，△OCD是等边三角形，∴∠AOC＝∠OCD，∴CD∥AB，∴S△ACD＝S△OCD，∵CD的长为13π，设半圆O的半径为r，∴60πr180＝13π，解得r＝1，∴S阴影＝S扇形变式7题解图变式84【解析】如解图，连接BD，OD.∵BC与☉O相切，∴∠ABC＝90°，∵∠C＝45°，∴△ABC为等腰直角三角形，∵AB为直径，∴∠ADB＝90°，∴点D是AC的中点，∴OD是△ABC的中位线，∵BC⊥AB，∴OD⊥AB，即∠AOD＝∠BOD＝90°，∴扇形AOD的面积与扇形BOD的面积相等，易得S阴影＝S△BDC，∴在Rt△BDC中，S△BDC＝12BD·CD＝12×(2AO)2＝4，即S阴影＝变式8题解图二阶综合应用1.8π【解析】∵AB是☉O的直径，∴∠ACB＝90°，又∵OA＝OB，∴线段CO是Rt△ABC斜边AB上的中线，∴S△AOC＝S△COB，∴S阴影＝S扇形BOC，∵∠BAC＝40°，∴∠BOC＝2∠BAC＝80°，∵OC＝6，∴S扇形BOC＝80π×62360＝8π，∴2.15【解析】如解图，连接EF，∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∴△EFC的边FC上的高与△BCF的边FC上的高相等，∴S△EFC＝S△BCF，∴S△EFC－S△FQC＝S△BCF－S△FQC，∴S△EFQ＝S△BQC，同理，S△EFD＝S△ADF，∴S△EFP＝S△APD，∵S四边形EPFQ＝S△EFP＋S△EFQ＝15，∴S阴影＝S△APD＋S△BQC＝S四边形EPFQ＝15.第2题解图3.π【解析】如解图，连接OE交BD于点F，∵四边形ABCD为矩形，∴AD∥BC，∴∠FBE＝∠FDO，又∵AD为圆O的直径，半圆O与BC相切于点E，∴OE⊥BC，易得BF＝DF，BE＝OD＝12BC＝2，∴△BEF≌△DOF(SAS)，∴S阴影＝S扇形EOD＝14πr2＝14π×22第3题解图4.3－3【解析】如解图，设AD，C'D'交于点E，连接BE，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠A＝∠ABC＝∠C＝90°，由旋转的性质，得∠CBC'＝30°，BC'＝BC，∠C'＝∠C＝90°，∴∠A＝∠C'＝90°，AB＝C'B，又∵BE＝BE，∴Rt△ABE≌Rt△C'BE，∴∠ABE＝∠C'BE＝12∠ABC'＝12(90°－∠CBC')＝30°，S△C'BE＝S△ABE，在Rt△ABE中，AE＝AB·tan∠ABE＝1，∴S阴影＝S正方形ABCD－S四边形ABC'E＝3×3－2×12×1×3＝3第4题解图5.8【解析】如解图，设EF的中点为O，连接GO并延长，交CD于点H，∵E为AD中点，AG＝AE，AD＝AB，∴点G为AB的中点，易得OE＝OF＝DE，扇形EOH与扇形GBF面积相等，扇形HOF与扇形EAG面积相等，可得S阴影＝S矩形ABFE，∵点E是AD的中点，AB＝AD＝4，∴AE＝2，∴S阴影＝S矩形ABFE＝4×2＝8.第5题解图6.72【解析】如解图，过点D作DF⊥CE于点F，∴∠DFC＝90°，∵BE⊥CE，∴∠CEB＝90°，∴∠DFC＝∠CEB，∵四边形ABCD是正方形，∴CD＝BC，∠BCD＝90°，∴∠DCF＋∠BCE＝90°，∵∠CBE＋∠BCE＝90°，∴∠DCF＝∠CBE，∴△DCF≌△CBE，∴DF＝CE＝7，∴S阴影＝12CE·DF＝第6题解图7.352