2025版数学中考《二轮总复习微专题学案》二轮讲义35 几何图形的折叠问题含答案或解析

微专题35几何图形的折叠问题一阶基础技能 1.折叠问题常见的类型有：2.与折叠有关的计算常用性质(1)折叠问题的本质是全等变换，折叠前的部分与折叠后的部分是全等图形.①线段相等：C'D＝，BC＝；②角度相等：∠1＝，∠3＝；③全等关系：△BC'D≌.(2)折痕可看作垂直平分线(对应的两点之间的连线被折痕垂直平分，即BD垂直平分CC')；(3)折痕可看作角平分线.二阶方法训练 方法解读1.利用折叠出现的直角三角形求解情形：折叠中顶点落在边上得到直角三角形结论：在Rt△CFB'中，利用勾股定理，得x2＝a2＋(b－x)2方法总结：由于矩形的四个内角均为直角，故折叠后易出现与设问相关联的直角三角形，可利用勾股定理或三角函数列方程求解方法一利用折叠出现的直角三角形求解(2020.9)例1如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝9，点E，F分别在边AD，BC上，将四边形ABFE沿EF折叠，点B的对应点B'恰好落在CD边的中点处，则BF的长为.例1题图变式1如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，AB＝10，D，E分别是AB，BC上的点.将△ACE沿AE折叠，使点C的对应点落在点D处，则△BDE的面积为.变式1题图方法解读2.利用折叠出现的等腰三角形求解情形：折叠中利用角平分线(折痕)性质得到等腰三角形结论：△BFD为等腰三角形，DF＝BF＝x，AF＝b－x方法总结：当折痕过特殊四边形对边或对角线时，可利用角平分线(折痕)与平行线(特殊四边形的对边)的性质得到等腰三角形，再利用等腰三角形的性质求解方法二利用折叠出现的等腰三角形求解例2如图，在矩形ABCD中，CD＝4，BC＝8，将△BCD沿BD翻折得到△BED，BE交AD于点F，则AF＝.例2题图变式2如图，已知矩形纸片的宽为2，将矩形纸片沿MN折叠，得到重合部分△AMN，若∠MAN＝45°，则△AMN的面积为.变式2题图方法解读3.利用折叠出现的全等、相似求解情形：折叠中常出现的全等、相似模型(1)如图①，正8字、斜A字模型图①结论：①“正8字”：△AFE∽△CFD；②“斜A字”：△AFE∽△ABC(2)如图②，一线三垂直模型图②结论：①△BEF∽△CFD；②△AED≌△FED方法总结：结合折叠的性质，找出与设问相关联的全等三角形或相似三角形，再利用全等、相似三角形的性质求解方法三利用折叠出现的全等、相似求解[6年2考：2024.23(3)，2021.23]例3如图是一张矩形纸片，点E在AB边上，把△BCE沿直线CE折叠，使点B落在对角线AC上的点F处，连接DF.若点E，F，D在同一条直线上，AE＝2.(1)DF＝；(2)BE＝.例3题图例4如图，E是矩形ABCD中CD边上一点，将△BCE沿BE折叠得到△BFE，点C的对应点F恰好落在AD上.若sin∠DFE＝23，则tan∠EBC的值为例4题图变式3(2024河南)如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的边AB在x轴上，点A的坐标为(－2，0)，点E在边CD上.将△BCE沿BE折叠，点C落在点F处.若点F的坐标为(0，6)，则点E的坐标为.变式3题图三阶综合应用 1.(2020广东9题3分)如图，在正方形ABCD中，AB＝3，点E，F分别在边AB，CD上，∠EFD＝60°.若将四边形EBCF沿EF折叠，点B恰好落在AD边上，则BE的长度为()A.1 B.2 C.3 D.2第1题图2.(2024佛山二模)在如图所示的矩形ABCD中，M为CD中点，将△MBC沿BM翻折至△MBE，若∠AME＝15°，则∠ABE＝.第2题图3.如图，在矩形ABCD中，AB＞AD，把矩形沿对角线AC所在直线折叠，使点B落在点E处，AE交CD于点F，连接DE.(1)求证：△ADE≌△CED；(2)求证：△DEF是等腰三角形.第3题图4.(2021广东23题8分)如图，边长为1的正方形ABCD中，点E为AD的中点.连接BE，将△ABE沿BE折叠得到△FBE，BF交AC于点G，求CG的长.第4题图

一阶基础技能①CD，BC'；②∠2，∠4；③△BCD二阶综合应用例15【解析】∵AB＝6，且B'是CD边的中点，∴B'C＝12CD＝12AB＝3，由折叠可知，B'F＝BF，设BF＝B'F＝x，则CF＝9－x.在Rt△CFB'中，∵B'F2＝CF2＋B'C2，∴x2＝(9－x)2＋32，解得x＝5，∴BF＝变式16【解析】由折叠可知，CE＝DE，AC＝AD＝6，∠ACB＝∠ADE＝90°，∴BD＝AB－AD＝10－6＝4，∠BDE＝180°－∠ADE＝180°－90°＝90°，设CE＝x，则DE＝x，BE＝8－x，在Rt△BDE中，根据勾股定理得，BE2＝BD2＋DE2，∴(8－x)2＝x2＋42，解得x＝3，∴DE＝3，∴S△BDE＝12DE·BD＝12×3×4＝例23【解析】∵四边形ABCD为矩形，∴AD＝BC＝8，CD＝AB＝4，AD∥BC，∠A＝90°，∴∠ADB＝∠CBD，由折叠性质得∠CBD＝∠EBD，∴∠ADB＝∠EBD，∴BF＝DF，设AF＝x，则DF＝BF＝AD－AF＝8－x，在Rt△ABF中，BF2＝AB2＋AF2，即(8－x)2＝42＋x2，解得x＝3，∴AF＝3.变式222【解析】如解图，过点M作MP⊥AN于点P，∵纸条为矩形，∴MB∥AN，∴∠1＝∠ANM，由折叠的性质可知∠1＝∠AMN，∴∠AMN＝∠ANM，∴△AMN是等腰三角形.∵∠MAN＝45°，MP＝2，∴AN＝AM＝MPsin45°＝222＝22，∴S△AMN＝12AN·MP＝12×22×变式2题解图例3(1)2；【解析】∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC，∠DAE＝∠B＝∠DAE＝90°，由折叠的性质得，CF＝BC，∠CFE＝∠B＝90°，EF＝BE，∴CF＝AD，∠CFD＝∠DAE＝90°，∴∠ADE＋∠CDF＝∠CDF＋∠FCD＝90°，∴∠ADE＝∠FCD，∴△ADE≌△FCD(ASA)，∴DF＝AE＝2.(2)5－1【解析】∵∠AFE＝∠CFD＝90°，∴∠AFE＝∠DAE＝90°，∵∠AEF＝∠DEA，∴△AEF∽△DEA，∴AEDE＝EFEA，∴22+EF＝EF2，∴EF＝5－1(负值已舍去)，∴BE＝EF一题多解法(1)∵AB∥CD，∴S△ACD＝S△DCE，∴S△ACD－S△DCF＝S△DCE－S△DCF，∴S△ADF＝S△ECF，由题意知，BC＝CF，S△ACD＝S△ABC，S△ECF＝S△BCE，∴S△ACD－S△ADF＝S△ABC－S△CEF＝S△ABC－S△BCE，∴S△DCF＝S△ACE，∴12DF·CF＝12AE·BC.∵CF＝BC，∴DF＝AE＝(2)设BE＝x，∵AE∥CD，∴△AEF∽△CDF，∴AECD＝EFDF，∴22＋x＝x2，解得x＝5－1(负值已舍去)，∴例455【解析】∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD，∠A＝∠C＝∠D＝90°.由折叠的性质可知，∠BFE＝∠C＝90°，∠EBF＝∠EBC，EF＝EC，∴∠ABF＋∠AFB＝90°，∠AFB＋∠DFE＝90°，∴∠DFE＝∠ABF，∴△DFE∽△ABF，∴EFFB＝DFAB.∵sin∠DFE＝DEEF＝23，∴设DE＝2a，则EF＝3a，∴AB＝CD＝5a.在Rt△DEF中，由勾股定理，得DF＝5a，∴EFFB＝DFAB＝5a5a＝55，∴tan变式3(3，10)【解析】由折叠的性质可知，BC＝BF，∵点A的坐标(－2，0)，点F的坐标为(0，6)，∴OA＝2，OF＝6，如解图，设CD与y轴交于点P，设正方形的边长为a，则OB＝a－2，OP＝BF＝a，在Rt△BOF中，OB2＋OF2＝BF2，即62＋(a－2)2＝a2，解得a＝10，∴OP＝10，OB＝8，∴PF＝OP－OF＝4，∵∠EFP＋∠FEP＝90°，∠EFP＋∠BFO＝90°，∴∠FEP＝∠BFO，∵∠EPF＝∠FOB＝90°，∴△EFP∽△FBO，∴PEOF＝PFOB，∴PE6＝48，解得PE＝3，∴点E的坐标为变式3题解图三阶综合应用1.D【解析】∵四边形ABCD是正方形，∴∠A＝90°，AB∥CD，∵∠EFD＝60°，∴∠BEF＝60°，由折叠的性质知，∠B'EF＝∠BEF＝60°，∴∠AEB'＝60°，∴∠AB'E＝30°.设BE＝B'E＝x，则AE＝3－x，在Rt△AEB'中，3－x＝12x，解得x＝2，∴BE＝22.40°【解析】如解图，延长BE交AD于点N，设BN交AM于点O，∵四边形ABCD是矩形，∴∠D＝∠C＝90°，AD＝BC，∵M为CD中点，∴DM＝MC，∴△ADM≌△BCM，∴∠DAM＝∠CBM，∵△BME是由△BMC翻折得到，∴∠CBM＝∠EBM＝12(90°－∠ABE)，∵∠DAM＝∠CBM＝∠MBE，∠AON＝∠BOM，∴∠OMB＝∠ANB＝90°－∠ABE，在△MBE中，∠EMB＋∠EBM＝90°，∴∠AME＋(90°－∠ABE)＋12(90°－∠ABE)＝90°，整理得32∠ABE＝60°，∴∠ABE第2题解图3.证明：(1)∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC，AB＝CD，由折叠的性质可得BC＝CE，AB＝AE，∴AD＝CE，AE＝CD，在△ADE和△CED中，AD＝∴△ADE≌△CED(SSS)；(2)由(1)得△ADE≌△CED，∴∠DEA＝∠EDC，即∠DEF＝∠EDF，∴EF＝DF，∴△DEF是等腰三角形.4.解：如解图，延长BF交CD于点H，连接EH.∵四边形ABCD是正方形，∴∠D＝∠EAB＝90°，∵△FBE由△ABE沿BE折叠得到，∴EA＝EF，∠EFB＝∠EAB＝90°，∴∠D＝∠EFB＝∠EFH＝90°，∵E为AD的中点，∴EA＝