浙江专用2025版高考数学大一轮复习第八章立体几何与空间向量第3讲空间点直线平面之间的位置关系练习含解析

PAGEPAGE7第3讲空间点、直线、平面之间的位置关系[基础达标]1．已知异面直线a，b分别在平面α，β内，且α∩β＝c，那么直线c肯定()A．与a，b都相交B．只能与a，b中的一条相交C．至少与a，b中的一条相交D．与a，b都平行解析：选C.若c与a，b都不相交，则c与a，b都平行，依据公理4，知a∥b，与a，b异面冲突．2．如图所示，平面α∩平面β＝l，A∈α，B∈α，AB∩l＝D，C∈β，C∉l，则平面ABC与平面β的交线是()A．直线AC B．直线ABC．直线CD D．直线BC解析：选C.由题意知，D∈l，l⊂β，所以D∈β，又因为D∈AB，所以D∈平面ABC，所以点D在平面ABC与平面β的交线上．又因为C∈平面ABC，C∈β，所以点C在平面β与平面ABC的交线上，所以平面ABC∩平面β＝CD.3．已知AB是平面α的斜线段，A为斜足．若点P在平面α内运动，使得△ABP的面积为定值，则动点P的轨迹是()A．圆 B．椭圆C．一条直线 D．两条平行直线解析：选B.如图，由于AB的长为定值，且△ABP的面积也是定值，因此空间中点P到直线AB的距离也为定值，从而可以推知点P在空间的轨迹应是以AB为旋转轴的圆柱面，又点P在平面α内，且AB与平面α不垂直，故点P的轨迹应是该圆柱面被平面α截出的椭圆．4．(2024·瑞安四校联考)若平面α∥平面β，点A，C∈α，B，D∈β，则直线AC∥直线BD的充要条件是()A．AB∥CD B．AD∥CBC．AB与CD相交 D．A，B，C，D四点共面解析：选D.因为平面α∥平面β，要使直线AC∥直线BD，则直线AC与BD是共面直线，即A，B，C，D四点必需共面．5．如图，正三棱柱ABC­A1B1C1的各棱长(包括底面边长)都是2，E，F分别是AB，A1C1的中点，则EF与侧棱C1C所成的角的余弦值是()A．eq\f(\r(5),5) B．eq\f(2\r(5),5)C．eq\f(1,2) D．2解析：选B.如图，取AC中点G，连接FG，EG，则FG∥C1C，FG＝C1C；EG∥BC，EG＝eq\f(1,2)BC，故∠EFG即为EF与C1C所成的角，在Rt△EFG中，cos∠EFG＝eq\f(FG,FE)＝eq\f(2,\r(5))＝eq\f(2\r(5),5).6．(2024·台州模拟)如图所示，ABCD­A1B1C1D1是正方体，O是B1D1的中点，直线A1C交平面AB1D1于点M，则下列结论正确的是()A．A，M，O三点共线B．A，M，O，A1不共面C．A，M，C，O不共面D．B，B1，O，M共面解析：选A.连接A1C1，AC(图略)，则A1C1∥AC，所以A1，C1，A，C四点共面，所以A1C⊂平面ACC1A1.因为M∈A1C，所以M∈平面ACC1A1.又M∈平面AB1D1，所以M在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上，同理A，O在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上．所以A，M，O三点共线．7．如图，正方体ABCD­A1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，有以下四个结论：①直线AM与CC1是相交直线；②直线AM与BN是平行直线；③直线BN与MB1是异面直线；④直线AM与DD1是异面直线．其中正确的结论为________(注：把你认为正确的结论的序号都填上)．解析：直线AM与CC1是异面直线，直线AM与BN也是异面直线，故①②错误．答案：③④8．(2024·金丽衢十二校联考)如图所示，在三棱锥A­BCD中，E，F，G，H分别是棱AB，BC，CD，DA的中点，则当AC，BD满意条件________时，四边形EFGH为菱形，当AC，BD满意条件________时，四边形EFGH是正方形．解析：易知EH∥BD∥FG，且EH＝eq\f(1,2)BD＝FG，同理EF∥AC∥HG，且EF＝eq\f(1,2)AC＝HG，明显四边形EFGH为平行四边形．要使平行四边形EFGH为菱形需满意EF＝EH，即AC＝BD；要使四边形EFGH为正方形需满意EF＝EH且EF⊥EH，即AC＝BD且AC⊥BD.答案：AC＝BDAC＝BD且AC⊥BD9．已知三棱锥A­BCD中，AB＝CD，且直线AB与CD所成的角为60°，点M，N分别是BC，AD的中点，则直线AB和MN所成的角为________．解析：如图，取AC的中点P，连接PM，PN，则PM∥AB，且PM＝eq\f(1,2)AB，PN∥CD，且PN＝eq\f(1,2)CD，所以∠MPN为AB与CD所成的角(或其补角)，则∠MPN＝60°或∠MPN＝120°.因为PM∥AB，所以∠PMN是AB与MN所成的角(或其补角)．①若∠MPN＝60°，因为AB＝CD，所以PM＝PN，则△PMN是等边三角形，所以∠PMN＝60°，即AB与MN所成的角为60°.②若∠MPN＝120°，则易知△PMN是等腰三角形，所以∠PMN＝30°，即AB与MN所成的角为30°.综上，直线AB和MN所成的角为60°或30°.答案：60°或30°10．如图，已知平面四边形ABCD，AB＝BC＝3，CD＝1，AD＝eq\r(5)，∠ADC＝90°.沿直线AC将△ACD翻折成△ACD′，直线AC与BD′所成角的余弦的最大值是__________．解析：作BE∥AC，BE＝AC，连接D′E，则∠D′BE为所求的角或其补角，作D′N⊥AC于点N，设M为AC的中点，连接BM，则BM⊥AC，作NF∥BM交BE于F，连接D′F，设∠D′NF＝θ，因为D′N＝eq\r(\f(5,6))＝eq\f(\r(30),6)，BM＝FN＝eq\r(\f(15,2))＝eq\f(\r(30),2)，所以D′F2＝eq\f(25,3)－5cosθ，因为AC⊥D′N，AC⊥FN，所以D′F⊥AC，所以D′F⊥BE，又BF＝MN＝eq\f(\r(6),3)，所以在Rt△D′FB中，D′B2＝9－5cosθ，所以cos∠D′BE＝eq\f(BF,D′B)＝eq\f(\f(\r(6),3),\r(9－5cosθ))≤eq\f(\r(6),6)，当且仅当θ＝0°时取“＝”．答案：eq\f(\r(6),6)11.如图，已知不共面的三条直线a、b、c相交于点P，A∈a，B∈a，C∈b，D∈c，求证：AD与BC是异面直线．证明：假设AD与BC共面，所确定的平面为α，那么点P、A、B、C、D都在平面α内，所以直线a、b、c都在平面α内，与已知条件a、b、c不共面冲突，假设不成立，所以AD与BC是异面直线．12．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，(1)求AC与A1D所成角的大小；(2)若E，F分别为AB，AD的中点，求A1C1与EF所成角的大小．解：(1)如图，连接B1C，AB1，由ABCD­A1B1C1D1是正方体，易知A1D∥B1C，从而B1C与AC所成的角就是AC与A1D所成的角．因为AB1＝AC＝B1C，所以∠B1CA＝60°.即A1D与AC所成的角为60°.(2)连接BD，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，AC⊥BD，AC∥A1C1.因为E，F分别为AB，AD的中点，所以EF∥BD，所以EF⊥AC.所以EF⊥A1C1.即A1C1与EF所成的角为90°.[实力提升]1．设A，B，C，D是空间四个不同的点，在下列命题中，不正确的是()A．若AC与BD共面，则AD与BC共面B．若AC与BD是异面直线，则AD与BC是异面直线C．若AB＝AC，DB＝DC，则AD＝BCD．若AB＝AC，DB＝DC，则AD⊥BC解析：选C.A中，若AC与BD共面，则A，B，C，D四点共面，则AD与BC共面；B中，若AC与BD是异面直线，则A，B，C，D四点不共面，则AD与BC是异面直线；C中，若AB＝AC，DB＝DC，AD不肯定等于BC；D中，若AB＝AC，DB＝DC，可以证明AD⊥BC.2．(2024·温州市高考数学模拟)棱长为2的正方体ABCD­A1B1C1D1中，E为棱CC1的中点，点P，Q分别为平面A1B1C1D1和线段B1C上的动点，则△PEQ周长的最小值为()A．2eq\r(2) B．eq\r(10)C．eq\r(11) D．2eq\r(3)解析：选B.由题意，△PEQ周长取得最小值时，P在B1C1上，在平面B1C1CB上，设E关于B1C的对称点为M，关于B1C1的对称点为N，则EM＝eq\r(2)，EN＝2，∠MEN＝135°，所以MN＝eq\r(4＋2－2×2×\r(2)×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(2),2))))＝eq\r(10).3．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别为棱AA1、CC1的中点，则在空间中与三条直线A1D1，EF，CD都相交的直线有________条．解析：法一：如图，在EF上随意取一点M，直线A1D1与M确定一个平面，这个平面与CD有且仅有一个交点N，当M取不同的位置时就确定不同的平面，从而与CD有不同的交点N，而直线MN与这三条异面直线都有交点，所以在空间中与这三条直线都相交的直线有多数条．法二：在A1D1上任取一点P，过点P与直线EF作一个平面α，因为CD与平面α不平行，所以它们相交，设它们交于点Q，连接PQ(图略)，则PQ与EF必定相交，即PQ为所求直线．由点P的随意性，知有多数条直线与三条直线A1D1，EF，CD都相交．答案：多数4．设四面体的六条棱的长分别为1，1，1，1，eq\r(2)和a，且长为a的棱与长为eq\r(2)的棱异面，则a的取值范围是________．解析：构造四面体ABCD，使AB＝a，CD＝eq\r(2)，AD＝AC＝BC＝BD＝1，取CD的中点E，则AE＝BE＝eq\f(\r(2),2)，所以eq\f(\r(2),2)＋eq\f(\r(2),2)>a，所以0<a<eq\r(2).答案：0<a<eq\r(2)5.如图所示，在三棱锥P­ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC＝60°，PA＝AB＝AC＝2，E是PC的中点．(1)求证：AE与PB是异面直线；(2)求异面直线AE和PB所成角的余弦值．解：(1)证明：假设AE与PB共面，设平面为α.因为A∈α，B∈α，E∈α，所以平面α即为平面ABE，所以P∈平面ABE，这与P∉平面ABE冲突，所以AE与PB是异面直线．(2)取BC的中点F，连接EF、AF，则EF∥PB，所以∠AEF(或其补角)就是异面直线AE和PB所成的角．因为∠BAC＝60°，PA＝AB＝AC＝2，PA⊥平面ABC，所以AF＝eq\r(3)，AE＝eq\r(2)，EF＝eq\r(2)，cos∠AEF＝eq\f(AE2＋EF2－AF2,2·AE·EF)＝eq\f(2＋2－3,2×\r(2)×\r(2))＝eq\f(1,4)，所以异面直线AE和PB所成角的余弦值为eq\f(1,4).6.如图，平面ABEF⊥平面ABCD，四边形ABEF与四边形ABCD都是直角梯形，∠BAD＝∠FAB＝90°，BC綊eq\f(1,2)AD，BE綊eq\f(1,2)FA，G，H分别为F