19.2.1　正比例函数(第2课时　正比例函数的图象与性质)

1/819.2一次函数19．2.1正比例函数第2课时正比例函数的图象与性质在学习本节课之前，学生已经学习了平面直角坐标系、常量与变量以及正比例函数的概念等知识，正比例函数是同学们初中第一次接触的函数，描点画图得到其图象的方法为后面学习一次函数、反比例函数的图象和二次函数打下良好基础．通过观察图象的变化得到其性质是学习函数性质的通用方法．因此，本节课具有承上启下的重要作用．【情景导入】活动内容1：播放录像，提出问题龙卷风是大气中最强烈的一种涡旋现象．它的外形看起来像一个猛烈旋转的圆柱形空气柱，龙卷风的移动速度很快，平均每分钟可移动约3千米，有关数据如下表：(媒体展示)时间(分)01234路程(千米)036912如果龙卷风移动的时间用x表示，移动的路程用y表示，你可以得到怎样的结论？活动内容2：总结归纳，引出课题同学们今天对龙卷风的研究取得了令人欣喜的成果，即：龙卷风的移动时间和路程之间存在正比例函数关系：y＝3x，知道时间，就可轻易求出龙卷风移动的路程，可是仅仅依靠函数解析式分析龙卷风显得太抽象，能不能把函数关系转化成生动的图象呢？【说明与建议】说明：通过具有视觉冲击力的录像，可迅速吸引学生的注意力和调动学生探究问题的欲望，然后利用学生探究的结果引出下一个要探究学习的内容，同时引出课题，一举多得．建议：学生不难得出y＝3x，教师提问学生：x可以取任意实数吗？从而引导学生得出：龙卷风移动的路程和时间可用正比例函数y＝3x(其中x≥0)表示．【置疑导入】画出下列正比例函数的图象．(要求：全班同学分组合作画出函数图象)(1)y＝x；(2)y＝2x；(3)y＝3x；(4)y＝－x；(5)y＝－eq\f(1,2)x；(6)y＝－eq\f(1,3)x.以小组为单位，观察本组成员所画图象，你有什么发现？【说明与建议】说明：教师提出问题讲清要求，学生按要求绘制正比例函数图象引入新课，同时引导学生熟练掌握函数图象的画法，为下一环节小组观察图象、归纳正比例函数的图象与性质做准备．建议：分组合作是为了在画图环节不占用较多的时间和精力，以免影响教学效率．不同学生绘制不同函数图象，是为了学生在合作探究时可以观察到更多的函数图象，避免学生归纳正比例函数的性质时，因图象数量少，从而缺乏典型性和可信度．命题角度1画正比例函数的图象1．请在网格中画出y＝－2x，y＝eq\f(1,3)x的图象．解：如图所示，直线y＝－2x与直线y＝eq\f(1,3)x即为所求．命题角度2正比例函数的图象和性质的运用2．正比例函数y＝－4x的图象大致是(C)eq\o(\s\up7(),\s\do5(A))eq\o(\s\up7(),\s\do5(B))eq\o(\s\up7(),\s\do5(C))eq\o(\s\up7(),\s\do5(D))3．对于函数y＝4x，下列说法正确的是(D)A．当x>0时，y随x的增大而减小B．当x<0时，y随x的增大而减小C．y随x的增大而减小D．y随x的增大而增大4．已知函数y＝(m＋1)xm2－3是正比例函数，且y随x的增大而减小，则m的值为(B)A．2B．－2C．－eq\r(3)D．±25．若正比例函数y＝(m－2)x的图象经过点A(x1，y1)和点B(x2，y2)，当x1<x2时，y1>y2，则m的取值范围是m<2．课题19.2.1第2课时正比例函数的图象与性质授课人素养目标1.会画正比例函数的图象；理解正比例函数的图象及性质．2．能根据正比例函数的图象和解析式y＝kx(k≠0)理解k>0和k<0时函数的图象特征与增减性．3．通过观察图象、归纳总结概括出正比例函数性质的活动，发展数学感知、数学表达、数学概括能力．教学重点用数形结合的思想方法，通过画图观察，概括正比例函数的图象特征及性质．教学难点正比例函数的图象特征及性质．授课类型新授课课时教学活动教学步骤师生活动设计意图回顾1.什么是正比例函数？请你写出两个具体的正比例函数．2．描点法画函数图象的一般步骤是列表、描点、连线．3．下列函数中，y是x的正比例函数的是①④．(填序号)①y＝－5x；②y＝eq\f(4,x)；③y＝3x2＋5；④y＝eq\f(x,2)；⑤y＝－eq\f(2,3)x－1.温故知新，为抓住本节重点、突破难点做知识储备．活动一：创设情境、导入新课【课堂引入】请用描点法画出下列函数的图象，观察图象你能发现什么？(1)①y＝x；②y＝－x.(2)①y＝4x；②y＝－4x.直接引入，简洁明了，重点突出．活动二：实践探究、交流新知【探究新知】【探究1】画出下列正比例函数的图象，并进行比较，寻找两个函数图象的相同点与不同点，考虑两个函数的变化规律．(1)y＝3x；(2)y＝eq\f(1,4)x.解：(1)列表：x…－2－1012…y…－6－3036…描点、连线，画出图象，如图所示：(2)在上图中画出y＝eq\f(1,4)x的图象．(3)两个函数图象的共同点：都是经过原点的直线，图象从左向右上升，经过第一、三象限，即y随着x的增大而增大．1.画图并归纳正比例函数图象的特征是本节的重点与难点，本环节通过分析自变量取值范围，列表、描点、连线，画出一系列函数图象，并从中找出规律．学生参与知识的生成，体现了以学生为本的教学理念．2.教师引导学生用简便方法画正比例函数的图象，并利用此例让学生巩固正比例函数的图象与性质．教学步骤师生活动设计意图活动二：实践探究、交流新知【探究2】请你在下面的平面直角坐标系中画出y＝－1.5x，y＝－x两个函数的图象．比较两个函数图象可以看出：两个函数图象都是经过原点的直线，图象从左向右下降，经过第二、四象限，即y随着x的增大而减小．提问：画正比例函数的图象时，怎样画最简单？为什么？师生活动：让学生在完成上述练习的基础上总结归纳出正比例函数解析式与图象特征之间的规律．【探究3】正比例函数的图象是一条经过坐标原点的直线，我们知道，两点确定一条直线，现在，你知道画正比例函数图象的简便方法了吗？师生活动：教师引导学生用简便方法画正比例函数的图象．用你认为最简单的方法画出下列函数的图象：(1)y＝eq\f(3,2)x；(2)y＝－3x.师生活动：学生合作探究交流得出结论：画正比例函数的图象时，只需除原点外再确定一个点，即找出一组满足函数解析式的对应数值即可，如(1，k)，因为两点可以确定一条直线．活动三：开放训练、体现应用【典型例题】例1(教材第87～88页例1)画出下列正比例函数的图象：(1)y＝2x，y＝eq\f(1,3)x；(2)y＝－1.5x，y＝－4x.【解答】(1)如图1所示．图1图2(2)如图2所示．【变式训练】用你认为最简单的方法画出下列正比例函数的图象：(1)y＝x；(2)y＝－eq\f(1,2)x.解：列表：x02y＝x02y＝－eq\f(1,2)x0－1描点、连线，如图．例2已知正比例函数y＝(2m＋4)x.问：(1)m为何值时，函数图象经过第一、三象限？(2)m为何值时，y随x的增大而减小？(3)m为何值时，点(1，3)在该函数图象上？【解答】(1)∵函数图象经过第一、三象限，∴2m＋4＞0，解得m＞－2.(2)∵y随x的增大而减小，∴2m＋4＜0，解得m＜－2.(3)∵点(1，3)在该函数图象上，∴2m＋4＝3，解得m＝－eq\f(1,2)．【变式训练】已知正比例函数y＝(m－1)x的图象上有两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，当x1＜x2时，有y1＞y2.(1)求m的取值范围；(2)当m取最大整数值时，画出该函数图象．解：(1)∵当x1＜x2时，有y1＞y2，∴m－1＜0.∴m＜1.∴m的取值范围是m＜1.(2)∵m＜1，∴m的最大整数值为0.∴函数解析式为y＝－x.图象如图所示．师生活动：学生独立思考，举手回答，师生交流心得和方法．通过例题和变式训练进一步促进学生巩固正比例函数的图象性质，并体验数形结合思想的运用过程．活动四：课堂检测【课堂检测】1．已知正比例函数y＝3x的图象经过点(1，m)，则m的值为(B)A.eq\f(1,3)B．3C．－eq\f(1,3)D．－32．正比例函数y＝－3x的大致图象是(C)eq\o(\s\up7(),\s\do5(A))eq\o(\s\up7(),\s\do5(B))eq\o(\s\up7(),\s\do5(C))eq\o(\s\up7(),\s\do5(D))3．若正比例函数y＝(k＋1)x的图象经过第二、四象限，那么k的取值范围为(D)A.k＞0B．k＜0C．k＞－1D．k＜－14．关于正比例函数y＝－2x，下列结论中不正确的是(D)A.图象经过点(1，－2)B.图象经过第二、四象限C.y随x的增大而减小D.不论x为何值，总有y＜05．已知点P1(1，y1)，P2(2，y2)是正比例函数y＝(k2＋1)x的图象上的两点，则y1＜y2(填“＞”“＜”或“＝”).6.数学课上，老师要求同学们画函数y＝|x|的图象，小红联想绝对值的性质得到y＝x(x≥0)或y＝－x(x≤0)，于是她很快作出了该函数的图象(如图)，和你的同桌交流一下，小红的作法对吗？如果不对，试画出该函数的图象．解：不对，如图所示：师生活动：学生进行当堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解．通过设置当堂检测，进一