2024-2025学年福建省福州市高二下册第三次月考数学阶段检测试题（附解析）

2024-2025学年福建省福州市高二下学期第三次月考数学阶段检测试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.函数y=12x2A.(−1,1) B.(0,1) C.[1,+∞) D.(0,+∞)2.若奇函数fx的定义域为−∞,0∪0,+∞,fx在−∞,0上的图象如图所示，则不等式fA.−∞,−1∪0,1 B.−1,0∪1,+∞

C.3.某班有3名学生准备参加校运会的100米、200米、跳高、跳远四项比赛，如果每班每项限报1人，每人限报1项，则这3名学生的参赛的不同方法有(

)A.24种 B.48种 C.64种 D.81种4.已知函数f(x)和g(x)在区间[a,b]上的图象如图所示，那么下列说法正确的是A.f(x)在a到b之间的平均变化率大于g(x)在a到b之间的平均变化率

B.f(x)在a到b之间的平均变化率小于g(x)在a到b之间的平均变化率

C.对于任意x0∈(a,b)，函数f(x)在x=x0处的瞬时变化率总大于函数g(x)在x=x0处的瞬时变化率

D.存在x0∈(a,b)，使得函数5.在一次劳动实践课上，甲组同学准备将一根直径为d的圆木锯成截面为矩形的梁.如图，已知矩形的宽为b，高为ℎ，且梁的抗弯强度W=16bℎ2，则当梁的抗弯强度W最大时，矩形的宽A.14d B.13d C.已知函数fx的定义域为−π2,f′(x)cosx+f(x)sinx<0，则关于x的不等式A.π3,π2 B.π6,7.已知实数a，b，c∈(0,e)，且2a=a2，3b=A.(c−a)(c−b)<0 B.(a−c)(a−b)<0

C.(b−a)(b−c)<0 D.b<a<c8.已知函数f(x)=ex21+lnxA.0,1 B.1e,1 C.1,e二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.下列函数有最小值的为(

)A.f(x)=xe2x B.f(x)=e2x+e10.已知函数f(x)=ex−mcosx，f ′(x)为A.当m=1时，f(x)在(0,+∞)单调递增

B.当m=1时，f(x)在0,f(0)处的切线方程为y=x

C.当m=−1时，f​′(x)在[0,+∞)上至少有一个零点

D.当m=−1时，f(x)11.已知函数fx=xlnx−x2A.t>ln2−1

B.曲线y=fx在点e,fe处的切线可能与直线x−y=0垂直

C.三、填空题：本题共3小题，每小题6分，共18分。12.已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)=2x⋅f′(e)+lnx，则f′e等于

13.已知函数f(x)=x22−4lnx在区间(a−1,a+4)上有定义，且在此区间上有极值点，则实数a的取值范围是14.已知定义在R上的可导函数f(x)的导函数为f′(x)，满足f′(x)−f(x)<0且f(x+3)=f(−x+3)，f(x+1)=−f(−x+1)，若f(8)+f(9)=2，则不等式f(x)<2ex的解集为

．四、解答题：本题共2小题，共24分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题12分,两问分别6分)

已知函数f(x)=13x3+ax,g(x)=−x2−a(a∈R)．

(1)若函数F(x)=f(x)−g(x)在x∈[1,+∞)上单调递增，求a的最小值；

(2)16.(本小题12分,两问分别5、7分已知函数f(x)=e(1)讨论fx(2)若fx在区间0,+∞上存在唯一零点x0，证明：x0答案和解析1.【正确答案】B

解：由题意得函数定义域为(0,+∞)，y′=x−1x=x2−1x，

由y′=0得x=1，由y′>0得x>1，由y′<0得0<x<1，

∴函数y=2.【正确答案】A

解：由图可知fx在−∞,0上单调递减，且f所以fx在0,+∞所以对任意的x≠0，f′x所以当x≠0时，fx当x<−1时，fx>0，当−1<x<0时，由奇函数性质可知，当0<x<1时，fx>0，当x>1时，注意到x=0时，fx没有定义，f综上所述，不等式fxf′x故选：A．3.【正确答案】A

解：由于每班每项限报1人，故当前面的学生选了某项之后，后面的学生不能再报，

设三人分别为甲乙丙，分三步，则甲有4种选法，乙有3种选法，丙有2种选法，由分步乘法计数原理，共有4×3×2=24种不同的参赛方法．

故选A．4.【正确答案】D

解：对于A、B，∵f(x)在a到b之间的平均变化率是f(b)−f(a)b−a，

g(x)在a到b之间的平均变化率是g(b)−g(a)b−a，

∴f(b)−f(a)b−a=g(b)−g(a)b−a，即二者相等；

∴选项A、B错误；

对于C、D，∵函数f(x)在x=x0处的瞬时变化率是函数f(x)在x=x0处的导数，即函数f(x)在该点处的切线的斜率，同理函数g(x)在x=x0处的瞬时变化率是函数g(x)在x=5.【正确答案】D

【分析】本题考查实际问题中的最值，建立函数并利用导数求极值是解决问题的关键，属于中档题．解：由题ℎ2由题意可得梁的抗弯强度W=1求导数可得W′=1令W′=0，可解得b=33d，或当0<b<33d时，W′>0，当则当梁的抗弯强度W最大时，矩形的宽b的值为故选D．6.【正确答案】B

解：令g(x)=f(x)cosx，则g′(x)=f′(x)cos x+fxsinxcos2 x，

又f′(x)cosx+f(x)sinx<0，则有g′(x)<0，

则函数g(x)在−π2,π7.【正确答案】B

【分析】本题考查了利用导数研究函数的单调性，利用导数比较大小，属于中档题．

将已知的等式两边取对数可得ln22=ln aa，ln3

解：由2a=a2，3b=b3，5c=c5，

得aln2=2lna，bln3=3ln b，cln 5=5ln c，

因此ln22=ln aa，ln33=ln bb，ln 55=ln cc，

设函数f(x)=ln xx，

则f(2)=f(a)，f(3)=f(b)，f(5)=f(c)，

又f​′(x)=1−ln xx2，

令f​′(x)=0，得x=e，

易得f(x)在0,e上单调递增，在e,+∞上单调递减，

又因为8.【正确答案】B

解：不等式f(x)>ex即ex21+lnx>ex>0，

因为x>0且1+lnx>0，即x>1e，

所以原不等式等价于ex1+lnx>exx，即e1+lnx1+lnx>exx，

令gx=exx，

所以原不等式等价于g1+lnx>gx，

因为g′x=exx−1x2，

所以当x>1时g′x>0，当0<x<1时g′x<0，

所以函数gx在0,1上单调递减，在1,+∞上单调递增，

所以当x>19.【正确答案】AB

解：由f(x)=xe2x，得f′(x)=e2x(1+2x)，

令f′(x)=0⇒x=−12，f′(x)>0⇒x>−12，f′(x)<0⇒x<−12，所以函数有唯一的极小值，亦为最小值，最小值为f(−12)=−12e.A正确．

由f(x)=e2x+10.【正确答案】ABD

【分析】本题考查导数的几何意义，利用导数研究函数的单调性及函数的零点问题，考查数学运算能力，逻辑推理能力，考查化归与转化思想方法，属于较难题．

把m=1代入函数解析式，求出导函数f′(x)，由导函数值正负与函数单调性的关系即可判断A；

利用导数的几何意义求出函数在(0,f(0）处的切线方程即可判断B；

把m=−1代入函数解析式，求出导函数f′(x)，利用导数求出导函数f′(x)的值域即可判断C；

把m=−1代入函数解析式，求出导函数f′(x)，利用导数研究导函数f′(x)在(−3π2,−π)

解：①当m=1时，f(x)=ex−cosx，则f ′(x)=ex+sinx，

当x>0时，ex>1，−1≤sinx≤1，则f ′(x)>0，所以f(x)在(0,+∞)上单调递增，故A正确；

因为f(0)=0，f ′(0)=1，所以f(x)在0,f(0)处的切线方程为y=x，故B正确；

②当m=−1时，f(x)=ex+cosx，则f ′(x)=ex−sinx，

设φ(x)=f​′(x)，则φ​′(x)=ex−cosx，

当x>0时，ex>1，−1≤cosx≤1，则φ​′(x)>0，

所以φ(x)=f ′(x)在(0,+∞)上单调递增，

当x≥0时，f ′(x)≥f ′(0)=1，f ′(x)在[0,+∞)上无零点，故C错误；

当x∈(−3π2,−π)时，cosx<0，ex>0，则φ​′(x)=ex−11.【正确答案】ACD

解：A、根据题意得到f′(x)=1+lnx−2xe+t=lnx−2xe+t+1，

令g(x)=f′(x)，则g′(x)=1x−2e=e−2xex(x>0)，

令g′(x)=0，则得到x=e2，

当x>e2时，g′(x)<0，所以g(x)在(e2,+∞)上单调递减;

当0<x<e2时，g′(x)>0，所以g(x)在(0,e2)上单调递增，

所以g(x)max=g(e2)=1−ln2+t，

由题意可知g(x)有两个变号零点，故g(x)max=1−ln2+t>0，

即t>ln2−1，故A正确．

B、曲线y=f(x)在点(e,f(e）处的切线的斜率k=f′(e)=t，

若该切线与直线x−y=0垂直，则k=−1，即t=−1，

与t>ln2−1相矛盾，故B不正确．

C、因为f′(x1)=0，即lnx1−2x1e+t+1=0，

则f(x1)=x1lnx1−x12e+tx12.【正确答案】−1解：由fx=2xf′e+lnx，

得f′x=2f′e+113.【正确答案】[1,3)

解：∵函数f(x)=x22−4lnx在区间(a−1,a+4)上有定义，

∴a−1≥0，解得a≥1．

f′(x)=x−4x=(x+2)(x−2)x，

令f′(x)=0，x>0，

解得x=2，

∵函数f(x)在此区间上有极值点，

∴a−1<2<a+4，a≥1，

解得1≤a<3，

14.【正确答案】(0,+∞)

解：因为f′(x)−f(x)<0，

令g(x)=f(x)ex，则g′(x)=f′(x)−f(x)ex<0，所以g(x)在R上单调递减，

f(x+3)=f(−x+3)，f(x+1)=−f(−x+1)，

所以f(x+3)=−f(−x−1)=f(−x+3)，所以f(x−1)=−f(x+3)，

所以f(x+3)=−f(x+7)=−f(x−1)，所以f(x+7)=f(x−1)，

所以f(x)为周期为8的周期函数，

由f(8)+f(9)=2，得f(0)+f(1)=2，

由f(x+1)=−f(−x+1)，得f(0+1)=−f(−0+1)，

所以f(1)=−f(1)，所以f(1)=0，

所以f(0)=2，所以g(0)=f(0)e0=f(0)=2，

由f(x)<2ex，得f(x)ex<2，所以g(x)<g(0)，

由15.【正确答案】解：(1)由题可得F(x)=f(x)−g(x)=13x3+ax+x2+a，

F′(x)=x2+2x+a，

因为函数F(x)=f(x)−g(x)在x∈[1,+∞)上单调递增，

所以F′(x)=x2+2x+a≥0在x∈[1,+∞)恒成立，

即a≥−x2−2x在x∈[1,+∞)恒成立，

解得a≥−3，

∴a的最小值为−3；

(2)由题可得G(x)=f(x)+g(x)=13x3−x2+ax−a与y=ax有且只有一个交点，

即13x3−x2+ax−a=ax只有一个根，

∴13x3−x2−a=0只有一个根，

令ℎ(x)=13x3−x2，所以ℎ(x)的图象与y=a的图象只有一个交点，

ℎ′(x)=x2−2x16.【正确答案】解：(1)由题意可知：

f(x)的定义域为R，且f′(x)=2e若a≤0，

则f′(x)=2e2x−a>0可知fx的单调递增区间为−∞,+∞若a>0，

令f′(x)>0，解得