贵州省黔东南苗族侗族自治州2025届高三模拟统测数学试卷（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页2025年贵州省黔东南苗族侗族自治州高三模拟统测数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.现有一组数据12，13，12，15，18，19，20，则这组数据的第40百分位数为(

)A.12 B.13 C.15 D.182.复数1|1+i|i的虚部为(

)A.−2 B.−22 3.已知向量a=(2,1)，b=(1,x)，若a⋅b=|A.−34 B.−32 C.4.若f(x)是最小正周期为6π的偶函数，则f(x)的解析式可以为(

)A.f(x)=tanπ6 B.f(x)=sinx35.已知第一个正四棱台的上底面边长为22cm，下底面边长为42cm，侧棱长为4cmA.563cm3 B.566.在规定时间内，甲、乙、丙能完成某项学习任务的概率分别为0.5，0.6，0.5，且这三人是否能按时完成任务相互独立.记甲、乙、丙三人中能按时完成这项学习任务的人数为X，则E(X)=(

)A.1.5 B.1.6 C.1.7 D.1.87.若a=−log0.220，b=log624A.c>a>b B.b>a>c C.a>b>c D.c>b>a8.设直线l1：xsinθ+ycosθ=sin(θ−π6)+1，l2：xcosθ−ysinθ=cos(θ−π6)+1.A.2 B.3+1 C.3 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知集合A={x∈N|(x−2)(x−12)<0}，B={x|3<x<14}，C={x|x>4}，则(

)A.B∪C={x|x>3}

B.A∩B中元素的个数为8

C.B∩C是A的一个真子集

D.从A∪B中取3个不同的元素，这3个元素都是奇数的不同取法有20种10.已知点A(−1,0)，B(1,0)，M(0,−1)，N(0,1)，点P为曲线C：(x24+A.存在无数个点P，使得|PA|+|PB|为定值

B.存在无数个点P，使得|PM|+|PN|为定值

C.仅存在2个点P，使得|PA|+|PB|=|PM|+|PN|=4

D.仅存在4个点P，使得|PA|+|PB|=|PM|+|PN|=411.若存在点P，使得过点P可作曲线y=f(x)的两条切线，切点为A和B，且∠APB是锐角，则f(x)可能为(

)A.f(x)=x+1x(x>0) B.f(x)=ex

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.若x4+9y4=10，则x213.若函数f(x)满足2f(x)+f(1−x)=x3+6x2−5x+214.在三棱锥P−ABC中，O为△ABC的外心，PO⊥底面ABC，PO=3，∠ACB=5π6，且AB=2，则三棱锥P−ABC外接球的表面积为______．四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题12分)

已知抛物线C：y=23(x2−9)经过双曲线D：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的焦点，且D的离心率为316.(本小题12分)

如图，CD⊥平面ABC，AC⊥BC，点D，E位于平面ABC的两侧，B，C，D，E四点共面，且BC=CD=2，AC=3，BE=CE=10．

(1)证明：BC⊥平面ACD．

(2)过点E作平面ABC的垂线，指出垂足H的位置，并说明理由．

(3)求平面ABD与平面ABE夹角的余弦值．17.(本小题12分)

已知数列{an}满足an+1=3an−2n−2n+3n(n+1)+4，且a2=232.设bn=an18.(本小题12分)

若函数f(x)的导函数f′(x)满足f(x)+x(x+1)f′(x)>0对x∈(12,+∞)恒成立，则称f(x)为T函数．

(1)试问g(x)=lnx是否为T函数？说明你的理由．

(2)若f(x)=x2−ax19.(本小题12分)

现有2n(n∈N∗)位编号为1到2n的玩家，房间里有2n个盒子(盒子的编号为1到2n)，将2n张编号为1到2n的纸条随机放入这2n个盒子内(每个盒子内只放1张纸条).玩家依次进入房间，且每人可以打开其中的任意n个盒子，只有当每个玩家都找到与自己编号相同的纸条时，才算挑战成功.每个玩家开完盒子后都将盒子盖上(纸条放回原处)，恢复盒子的原状.设各玩家开盒相互独立，在挑战开始后，各玩家不准交流．

为了提升挑战成功的概率，有人设计了一个新方案：让每一位玩家进入房间后，先打开编号为自己编号的盒子(例如编号为2的玩家打开编号为2的盒子)，若盒子里的纸条编号恰为玩家自己的编号，则该玩家退出房间，让下一位玩家进入房间；若盒子里的纸条编号(设该编号为X)不是该玩家自己的编号，则该玩家接着去打开编号为X的盒子，依此类推，直到打开的盒子里的纸条编号与自己的编号相同，且前提是打开盒子的个数不能超过n．

(1)当n=3时，设第m(m=1,2,3,4,5,6)个盒子内放的纸条编号为7−m，试问采用新方案后，挑战是否能成功？说明你的理由．

(2)当n=3时，在第1个和第6个盒子内放的纸条编号分别为6和1的前提下，求采用新方案挑战成功的概率．

(3)当n=50时，求采用新方案挑战成功的概率．

参考数据：i=2501i答案解析1.【答案】B

【解析】解：将数据12，13，12，15，18，19，20从小到大排列为：

12，12，13，15，18，19，20，

由7×40%=2.8，得这组数据的第40百分位数为第三个数，等于13．

故选：B．

根据百分位数的定义求解即可．

本题考查百分位数的求法，是基础题．2.【答案】B

【解析】解：∵|1+i|=2，

∴1|1+i|i=12i=−223.【答案】A

【解析】解：根据题意，向量a=(2,1)，b=(1,x)，

若a⋅b=|b|，则有2+x=1+x2，

变形可得：4+4x=1，

4.【答案】D

【解析】解：函数f(x)=tanπ6为常函数，故A错误；

由f(x)=sinx3，得f(−x)=sin−x3=−sinx3=−f(x)，函数为奇函数，故B错误；

由周期公式可知：g(x)=tanx3的最小正周期为：π13=3π，

则f(x+3π)=|tanx+3π35.【答案】C

【解析】解：∵第一个正四棱台的上底面边长为22cm，下底面边长为42cm，

∴第一个正四棱台的上、下底面对角线长分别为4cm，8cm，

又侧棱长为4cm，

∴第一个正四棱台的高ℎ=42−22=23cm，6.【答案】B

【解析】解：根据题意，记甲、乙、丙三人中能按时完成这项学习任务的人数为X，

则X的取值为0，1，2，3，

且甲、乙、丙能完成某项学习任务的概率分别为0.5，0.6，0.5，

则P(X=0)=0.5×0.4×0.5=0.1；

P(X=1)=0.5×0.4×0.5+0.5×0.6×0.5+0.5×0.4×0.5=0.1+0.15+0.1=0.35；

P(X=2)=0.5×0.6×0.5+0.5×0.4×0.5+0.5×0.6×0.5=0.15+0.1+0.15=0.4；

P(X=3)=0.5×0.6×0.5=0.15；

则E(X)=0×0.1+1×0.35+2×0.4+3×0.15=1.6．

故选：B．

根据题意X的取值为0，1，2，3，再利用相互独立事件概率乘法公式以及数学期望相关知识可解．

本题考查相互独立事件概率乘法公式以及数学期望相关知识，属于中档题．7.【答案】A

【解析】解：由b=log6(4×6)=2log62+1，c=log3(4×3)=2log32+1，

a=−log0.220=−log18.【答案】B

【解析】解：由l1：xsinθ+ycosθ=sin(θ−π6)+1，

得xsinθ+ycosθ=32sinθ−12cosθ+1，

由l2：xcosθ−ysinθ=cos(θ−π6)+1，

得xcosθ−ysinθ=32cosθ+12sinθ+1，

设Q(m,n)，则点Q到直线l1的距离为d1=|msinθ+ncosθ−32sinθ+12cosθ−1|sin2θ+cos2θ，

点Q到直线I2的距离为d1=|mcosθ−nsinθ−32cosθ−12sinθ−1|9.【答案】ABD

【解析】解：A={x∈N|2<x<12}={3,4,5,6,7,8,9,10,11}，B={x|3<x<14}，C={x|x>4}，

∴B∪C={x|x>3}，A正确；

A∩B={4,5,6,7,8,9,10,11}，A∩B的元素个数为8，B正确；

B∩C={x|4<x<14}，显然B∩C不是A的真子集，C错误；

A∪B={x|3≤x<14}，A∪B中的奇数为：3，5，7，9，11，13，共6个，从A∪B中任取3个元素，这3个元素都是奇数的取法为：C63=6×5×43×2×1=20，D正确．

故选：ABD．

可求出集合A，进行并集的运算可判断A的正误；

进行交集的运算可判断B的正误；

进行交集的运算求出B∩C，然后可判断C的正误；

求出A∪B，然后可得出10.【答案】ABD

【解析】解：因为点P为曲线C：(x24+y23−1)(x23+y24−1)=0上一点，

所以点P为曲线x24+y23=1或曲线x23+y24=1上一点，

当点P为曲线x23+y24=1上一点，长轴2a=4，

焦点为M(0,−1)，N(0,1)，存在无数个点P，使得|PM|+|PN|=4，B选项正确；

当点P为曲线x24+y23=1上一点，长轴2a=4，

焦点为A(−1,0)，B(1,0)，存在无数个点11.【答案】AC

【解析】解：由f(x)=x+1x(x>0)是对勾函数，它的一条渐近线为y轴，还有一条是直线y=x，

可得∠APB可以取到锐角，故A正确；

由y=ex是指数函数，由y′=ex>0，即切线的斜率都大于0，

可设切点A在切点B的下方，可得切线AP和BP的倾斜角均为锐角，

且AP的倾斜角比BP的倾斜角小，

由直线的到角公式：tanθ=k2−k11+k1k2，且k2<k1，可得tanθ<0，

可知，∠APB只能是钝角，故B错误；

由f(x)=sinx(0≤x≤2π)是正弦函数的图像，

让一个切点在(0,π)上，另一个在(π,2π)上，使得∠APB为锐角，故C正确；

由f(x)=sinx(0≤x≤π)，可得f′(x)=cosx，

曲线在x=012.【答案】53

【解析】解：因为10=x4+9y4=≥29x4y4=6x2y2，当且仅当x13.【答案】2

【解析】解：若函数f(x)满足2f(x)+f(1−x)=x3+6x2−5x+2，

令x=1，得2f(1)+f(0)=4，

令x=0，得2f(0)+f(1)=2，

两式联立，解得f(1)=2．

故答案为：2．

分别令x=0，x=1，得到14.【答案】169π9【解析】解：如图，

在△ABC中，由∠ACB=5π6，且AB=2，

得△ABC外接圆的半径r=AB2sin5π6=22×12=2，

设三棱锥P−ABC外接球的球心为G，则G在PO上，

再设三棱锥P−ABC外接球的半径为R，可得(PO−R)2+r2=R2，

15.【答案】x27−y22【解析】解：(1)抛物线C：y=23(x2−9)经过双曲线D：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的焦点，

可得焦点坐标(±3,0)，所以c=3，D的离心率为377．

可得a=7，所以b=2，所以双曲线方程为：x27−y2216.【答案】证明见解析；

垂足H为BC的中点，理由见解析；

577【解析】解：(1)证明：因为CD⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，

所以CD⊥BC，

又AC⊥BC，且AC∩CD=C，AC，CD⊂平面ACD，

所以BC⊥平面ACD；

(2)垂足H为BC的中点，理由如下；

取BC中点H，连接EH，因为BE=CE，所以EH⊥BC，

又与(1)同理可证：AC⊥平面BCD，

因为B，C，D，E四点共面，所以EH⊂平面BCD，所以AC⊥EH，

又AC∩BC=C，AC，BC⊂平面ABC，

所以EH⊥平面ABC，

所以H为BC的中点；

(3)因为BE=CE=10，BC=2，所以EH=3，

以C为坐标原点，CA，CB，CD所在直线分别为x，y，z轴，建立如图空间直角坐标系，

则A(3,0,0)，B(0,2,0)，D(0,0,2)，E(0,1,−3)，

则AB=(−3,2,0)，BE=(0,−1,−3)，BD=(0,−2,2)，

设平面ABD的法向量为n=(x,y,z)，

则n⊥ABn⊥BD⇒n⋅AB=0n⋅BD=0⇒(x,y,z)⋅(−3,2,0)=0(x,y,z)⋅(0,−2,2)=0⇒−3x+2y=0−2y+2z=0，

令y=3，则n=(2,3,3)，

设平面ARE的法向量为m=(x′,y′,z′)，

则m⊥ABm⊥BE⇒m⋅AB=0m⋅BE=0⇒17.【答案】a1=4；

证明见解答；bn=3【解析】解：(1)因为an+1=3an−2n−2n+3n(n+1)+4，且a2=232，

令n=1，可得a2=3a1−2−52+4=232，解得a1=4；

(2)证明：因为an+1=3an−2n−2n+3n(n+1)+4，bn=an−2n−1n，

所以an+1−2n+1−1n+1+2=3(an−2n−1n+2)，

所以bn+1+2=3(bn+2)，又b1+2=(a1−2−1)+2=4−2−1+2=3，18.【答案】g(x)=lnx为T函数，理由见解析；

(−∞,45【解析】解：(1)g(x)=lnx为T函数，理由如下：

g′(x)=1x，则ℎ(x)=g(x)+x(x+1)g′(x)=lnx+x+1，

易知函数ℎ(x)在(12,+∞)上为增函数，

所以ℎ(x)>ℎ(12)=32−ln2>32−lne=12>0，

所以ℎ(x)>0对x∈(12,+∞)恒成立，故g(x)=lnx为T函数．

(2)由f(x)=x2−ax，则f′(x)=2x−a，

因为f(x)=x2−ax为T函数，

所以x2−ax+x(x+1)(2x−a)>0对x∈(12,+∞)恒成立，

即2x3+3x2−ax2−2ax>0对x∈(12,+∞)恒成立，

设p(x)=2x3+3x2−ax2−2ax，x∈(12,+∞)，

则p′(x)=6x2+6x−2ax−2a=2(x+1)(3x−a)，

当a3>12，即a>32时，令19.【答案】采用新方案后，挑战能成功，理由见解答．

34．

0.311．【解析】解：(1)编号为1的玩家先打开编号为1的盒子，该盒子内纸条编号为7−1=6，

该玩家接着去打开编号为6的盒子，该盒子内纸条的编号为7−6=1，因为2<3，所以玩家1可以挑战成功；

编号为2的玩家先打开编号为2的盒子，该盒子内纸条编号为7−2=5，

该玩家接着去打开编号为5的盒子，该盒子内纸条的编号为7−5=2，因为2<3，所以玩家2可以挑战成功；

编号为3的玩家先打开编号为3的盒子，该盒子内纸条编号为7−3=4，