2025年北京市门头沟区高考数学一模试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2025年北京市门头沟区高考数学一模试卷一、单选题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A={x|x2<4}，B={x|0≤x≤3}，则A∪B=A.[0,2] B.[0,2) C.[0,3] D.(−2,3]2.在复平面内，复数z对应的点的坐标是(3,4)，则zi=(

)A.4+3i B.4−3i C.−4+3i D.−4−3i3.下列函数中，既是奇函数又在(0,+∞)上单调递增的是(

)A.y=x−1x B.y=x3−x 4.“k=±12”是“直线y=k(x−3)与双曲线x24A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件5.已知向量a，b满足|a|=5，b=(3,4)，且a，b的夹角为π3，则A.52 B.53 C.6.已知圆C：x2+y2=1，直线l：y=kx+2，当k变化时，若过直线l上任意一点总能作圆C的切线，则A.0 B.33 C.1 7.已知函数f(x)=sin(x−π3)，满足f(x1)+f(x2A.π3 B.2π3 C.4π38.某纪念塔的一部分建筑结构可抽象为三棱锥P−ABC，PA=PB=PC=23，底面△ABC是等腰直角三角形，AB=BC，顶点P到底面ABC的距离为3，则点B到平面PAC的距离为(

)A.2

B.6

C.39.已知函数f(x)=ex+a−a,x<−a,bsinx,x≥−a.(a>0,b>0)，若f(x)既不存在最大值也不存在最小值，则下列a，A.a+b>12 B.a+b<1 C.ab≤110.已知函数f(x)=ax2−x+[x](a∈R)，其中[x]表示不超过x的最大整数，例如[2.1]=2，[−1.1]=−2，则下列说法正确的是A.不存在a，使得f(x)有无数个零点

B.f(x)有3个零点的充要条件是a∈(1,+∞)

C.存在a，使得f(x)有4个零点

D.存在a，使得f(x)有5个零点二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。11.(x−2)5的展开式中x12.已知抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点为F，过点F且垂直于其对称轴的直线交C于点M，N，若|MN|=4，则焦点到其准线的距离为______．13.在平面直角坐标系xOy中，角α以Ox为始边，其终边与单位圆交点的横坐标为−12，写出一个符合题意的α=______．14.某城市为推动新能源汽车普及，第1年在市区公共区域建设了2万个新能源汽车随着新能源汽车保有量快速增长，以及城市对绿色出行基础设施建设的持续投入新建设的充电桩数量比上一年增加20%，按照这样的发展趋势，那么该城市第3区公共区域新建设了______万个充电桩；从第1年起，约______年内，可使识区公共区域的充电桩总量达到30万个(结果保留到个位)．

(参考数据：lg2≈0.301，1g3≈0.477)15.已知数列{an}满足a1>0，an+1=an+kan(k≠0)，给出下列四个结论：

①存在k，使得{an}为常数列；

②对任意的k>0，{an三、解答题：本题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。16.(本小题13分)

如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，E为BB1中点，B1C1与平面AD1E交于点F．

(Ⅰ)17.(本小题13分)

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知bsin2A=3asinB．

(Ⅰ)求∠A；

(Ⅱ)再从以下条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得△ABC存在且唯一确定，求△ABC的面积．

条件①：b=23，a=2；

条件②：b=23，a+c=4；

条件③：AB边上的高ℎ=3,a=18.(本小题14分)

不同AI大模型各有千秋，适配领域也各有所长.为了解某高校甲、乙两个学院学生对A，B两款不同AI大模型是否使用，对学生进行简单随机抽样，获得数据如下表：甲学院乙学院使用不使用使用不使用A款40人80人60人20人B款70人50人30人50人假设所有学生对A，B两款大模型是否使用相互独立，用频率估计概率．

(Ⅰ)分别估计该校甲学院学生使用A款大模型的概率、该校乙季院学生使用A款大模型的概率；

(Ⅱ)从该校甲学院全体学生中随机抽取2人，乙学院全体学生中随机抽取1人，记这3人中使用A款大模型的人数为X，估计X的数学期望EX；

(Ⅲ)从该校甲学院全体学生中随机抽取2人，记这2人中使用B款大模型的人数为Y1，其方差估计值为D(Y1)，从该校乙学院全体学生中随机抽取2人，记这2人中使用B款大模型的人数为Y2，其方差估计值为D(Y2)19.(本小题15分)

已知椭圆E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的一个顶点为A(0,1)，离心率为32．

(Ⅰ)求椭圆E的方程；

(Ⅱ)过点P(2,1)作斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点B，C，直线AB，AC分别与x轴交于点M，N20.(本小题15分)

已知函数f(x)=xlnx−a2x2+(a−1)x．

(Ⅰ)当a=2时，求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；

(Ⅱ)设g(x)=f′(x)，讨论函数g(x)的单调性；

(Ⅲ)若f(x)21.(本小题15分)

已知有限数列M：a1，a2，…，aN，其中ai∈[0,1)，i=1，2，…，N(N≥3).在M中选取若干项按照一定次序排列得到的数列称为M的一个子列.对某一给定正整数t，若对任意的g∈{n∈N∗|n≤t}，均存在M的相应子列，使得该子列的各项之和为g，则称M具有性质Gt．

(Ⅰ)判断M：12,13,14,34,15,45,16是否具有性质G3？说明理由；参考答案1.D

2.B

3.A

4.C

5.C

6.D

7.B

8.C

9.B

10.C

11.−80

12.2

13.2π314.2.88

8

15.②③④

16.(Ⅰ)证明：连接BC1，

因为AB//C1D1，AB=C1D1，所以四边形ABC1D1是平行四边形，

所以AD1//BC1，

又AD1⊄平面BCC1B1，BC1⊂平面BCC1B1，

所以AD1//平面BCC1B1，

又AD1⊂平面AD1FE，平面AD1FE∩平面BCC1B1=EF，

所以AD1//EF，

因为E为BB1中点，

所以F为B1C1的中点．

(Ⅱ)解：以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z17.解：(Ⅰ)因为bsin2A=3asinB，由正弦定理得sinBsin2A=3sin AsinB，

由二倍角公式得2sinBsinAcosA=3sinAsinB，

在△ABC中，因为sinA≠0，sinB≠0，所以cosA=32，

因为A∈(0,π2)，所以A=π6；

(Ⅱ)选条件②：b=23，a+c=4.，

由余弦定理a2=b2+c2−2bccosA，得a2=12+(4−a)2−2×23×(4−a)×32，

整理得2a=4，解得a=2，所以c=2，所以SΔABC=12bcsinA=12×23×2×12=3．

选条件③：AB边上的高ℎ=3，a=19，因为A=π6，AB边上的高ℎ=3，

所以b=ℎsinA=312=23，

由余弦定理a2=b2+c2−2bccosA，得19=12+c2−6c，即c2−6c−7=0，

解得c=7或c=−1(舍)，所以SΔABC=12cℎ=12×7×3=732．

18.解：(Ⅰ)由表格可知：该校甲学院学生使用A款大模型的概率为4040+80=13，

该校乙学院学生使用A款大模型的概率为6060+20=34．

(Ⅱ)由题意可知X的可能取值为：0，1，2，3，

则P(X=0)=(1−13)2(1−34)=19，

P(X=1)=C21(1−13)×13×(1−34)+(1−13)2×34=49，

P(X=2)=(13)2×(1−34)+C21(1−13)×13×34=1336，

P(X=3)=(13)2×34=112，

所以E(X)=0×19+1×49+2×1336+3×112=1712；

(Ⅲ)同第一问，可知该校甲学院学生使用B款大模型的概率为7070+50=712，

该校乙学院学生使用B款大模型的概率为3030+50=38，

易知Y1∼B(2,712)，Y2∼B(2,38)，

由二项分布的方差公式可知D(Y1)=2×712×(1−712)=70144=3572，

D(Y2)=2×38×(1−38)=1532，

则D(Y1)>D(Y2).

19.解：(Ⅰ)因为椭圆E的一个顶点为A(0,1)，离心率为32，

所以b=1ca=32a2=b2+c2，

解得a=2，b=1，

则椭圆E的方程为x24+y2=1；

(Ⅱ)证明：易知直线BC的方程为y−1=k(x−2)，

联立y=k(x−2)+1x2+4y2=4，消去y并整理得(4k2+1)x2+(8k−16k2)x+16k2−16k=0，

此时Δ=(8k−16k2)2−4(4k2+1)(16k2−16k)=64k>0，

解得k>0，

设B(x1,y1)，