数学（广东卷02）（全解全析）

2024年高考数学第一次模拟考试数学（广东卷02）全解全析（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效．3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．4．测试范围：高考全部内容5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷（选择题）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1．已知集合，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用指数函数单调性求解集合A，从而求解，利用对数函数单调性结合整数概念求解集合B，最后利用交集运算即可求解.【详解】因为集合，所以，又，所以.故选：C2．若复数，则复数的虚部为（

）A．0 B． C．1 D．【答案】A【分析】根据等比数列前n项和公式和复数性质解题即可.【详解】，所以复数的虚部为0.故选：A3．下列条件中，为“关于x的不等式对恒成立”的充分不必要条件的有（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先求出关于x的不等式对恒成立的充要条件，然后根据充分不必要条件的定义即可求解.【详解】若关于x的不等式对恒成立，当时，不等式等价于恒成立，故满足要求，当时，原不等式恒成立当且仅当，解得，综上所述，若关于x的不等式对恒成立，则当且仅当，而选项中只有是的充分不必要条件.故选：B.4．北京时间2023年2月10日0时16分，经过约7小时的出舱活动，神舟十五号航天员费俊龙、邓清明、张陆密切协同，圆满完成出舱活动全部既定任务，出舱活动取得圆满成功.载人飞船进入太空需要搭载运载火箭，火箭在发射时会产生巨大的噪声，用声压级来度量声音的强弱，定义声压级，其中大于0的常数是听觉下限阈值，是实际声压.声压级的单位为分贝，声压的单位为帕.若人正常说话的声压约为，且火箭发射时的声压级比人正常说话时的声压级约大，则火箭发射时的声压约为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据给定的模型，列出火箭发射时的声压级和人正常说话时的声压级表达式，联立求解即可.【详解】令人正常说话时的声压级为，火箭发射时的声压级为，则，而人正常说话的声压，火箭发射时的声压为，于是，，两式相减得，解得，所以火箭发射时的声压约为.故选：D5．邢台一中数学探索馆中“圆与非圆—搬运”的教具中出现的勒洛三角形是一种典型的定宽曲线，以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形.在如图所示的勒洛三角形中，已知，为弧上的一点，且，则的最小值为（

）A．0 B． C． D．2【答案】C【分析】根据向量的运算可得，结合数量积的几何意义分析求解.【详解】因为为弧上的一点，则，且，可知，由图形可知：当点与点重合时，向量在方向上的投影取到最小值，此时，所以的最小值为.故选：C.6．关于函数有下述四个结论：①的最小正周期为；②的最大值为；③的最小值为；④在区间上单调递增；其中所有正确结论的编号是（

）A．①②④ B．①③④ C．①③ D．②④【答案】B【解析】由题意，当时，，进而逐一判断对错即可.【详解】解：和的最小正周期均为，的最小正周期为，故①正确；当时，，当时，在上单调递减，，当时，，其中，，可设，由，得，又，在上单调递增，在上单调递减，，，②错误，③正确；，在上单调递增，④正确.故选：B.【点睛】本题考查三角函数的性质，考查化归与转化思想，考查运算求解能力，分析问题能力，属于难题.7．双曲线，点A，B均在E上，若四边形为平行四边形，且直线OC，AB的斜率之积为3，则双曲线E的渐近线的倾斜角为（

）A． B．或C． D．或【答案】B【分析】利用点差法，结合双曲线渐近线方程、平行四边形的性质、中点坐标公式进行求解即可.【详解】设，显然线段的中点坐标为，因为四边形为平行四边形，所以线段的中点坐标和线段的中点坐标相同，即为，因此点坐标为，因为直线OC，AB的斜率之积为3，所以，因为点A，B均在E上，所以，两式相减得：，所以两条渐近线方程的倾斜角为或，故选：B

【点睛】关键点睛：本题的关键是应用点差法和平行四边形的性质.8．如图，正方体的棱长为3，点P是平面内的动点，M，N分别为，的中点，若直线BP与MN所成的角为，且，则动点P的轨迹所围成的图形的面积为（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】连接，，得到，把BP与MN所成的角就是直线BP与所成的角，在正方体中，证得平面，得到，设与平面的交点为G，连接PG，结合题意，得到点P的轨迹是以G为圆心，为半径的圆，根据圆的面积公式，即可求解.【详解】如图所示，连接，，则N为的中点，又M为的中点，所以，因此直线BP与MN所成的角就是直线BP与所成的角，在正方体中，可得，因为平面，平面，可得，又因为且平面，所以平面，因为平面，所以，同理可得，因为，且平面，所以平面，则．设与平面的交点为G，连接PG，所以，在直角中，，因为，所以，又由，所以，所以点P的轨迹是以G为圆心，为半径的圆，其面积为.故选：A.

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9．举世瞩目的第19届亚运会于9月23日至10月8日在杭州举行，亚运会点燃了国人激情，也将一股运动风吹到了大学校园.为提升学生身体素质，倡导健康生活方式，某大学社团联合学生会倡议全校学生参与“每日万步行”健走活动.下图为该校甲、乙两名同学在同一星期内每日步数的拆线统计图，则（

）A．这一星期内甲、乙的日步数的中位数都为12600B．这一星期内甲的日步数的平均数大于乙的日步数的平均数C．这一星期内乙的日步数的方差大于甲的日步数的方差D．这一星期内乙的日步数的下四分位数是12200【答案】ABD【分析】根据折线图得到这一星期内甲，乙的日步数，都从小到大进行排列，得到中位数后即可判断选项；根据平均数计算公式，计算出这一星期内甲，乙的日步数的平均数，比较大小即可判断选项；根据图象观察甲的波动程度较大，故方差较大，从而判断选项；把乙一星期内的步数从小到大进行排列，并计算，故第二个数为所求，即可判断选项.【详解】由折线图可得甲一星期内的步数从小到大的排列为：11000，11800，12200，12600，13500，15400，18200，所以中位数为12600；由折线图可得乙一星期内的步数从小到大的排列为：11800，12200，12400，12600，15000，13800，14000，所以中位数为12600，故这一星期内甲、乙的日步数的中位数都为12600，正确；这一星期内甲的日步数的平均数为：，这一星期内乙的日步数的平均数为：，因为，故正确；由图知，甲的波动程度较大，故方差较大，故错误；乙一星期内的步数从小到大的排列为：11800，12200，12400，12600，15000，13800，14000，，故这一星期内乙的日步数的下四分位数是12200，故正确；故选：10．如图，平面中两条直线和相交于点O，对于平面上任意一点M，若p，q分别是M到直线和的距离，则称有序非负实数对是点M的“距离坐标”.下列四个命题中正确命题为（）A．若，则“距离坐标”为的点有且仅有1个B．若，且，则“距离坐标”为的点有且仅有2个C．若，则“距离坐标”为的点有且仅有4个D．若，则点M在一条过点O的直线上【答案】ABC【分析】根据点M的“距离坐标”的定义逐一判断即可.【详解】A.若，则“距离坐标”为的点是两条直线的交点O，因此有且仅有1个，故正确.B.若，且，则“距离坐标”为或的点有且仅有2个，故正确.C.若，则“距离坐标”为的点有且仅有4个，如图，故正确.D.若，则点M在的轨迹是两条过O的直线，分别为交角的平分线所在直线，故不正确.故选：ABC.11．定义在上的函数的导函数为，对于任意实数，都有，且满足，则（

）A．函数为奇函数B．不等式的解集为C．若方程有两个根，，则D．在处的切线方程为【答案】AC【分析】根据奇函数的定义即可判定A，根据导数的运算可得进而可求解，即可求解BD，根据二次函数的图象性质，即可求解C.【详解】对于A，，由可得，所以，且定义域为，故为奇函数，A正确，由于，所以为常数，则又在中，令，则，故，故，所以，对于B,可得，又，故，则，故B错误，对于C，为单调递增函数，而为开口向上，且对称轴为的二次函数，且是的两个交点，的两个交点设为，则，且，又为单调递增函数，所以，所以，C正确，由得，所以在处的切线方程为，D错误，故选：AC12．设函数，则下列命题中正确的是（

）A．若方程有四个不同的实根，，，，则的取值范围是B．若方程有四个不同的实根，，，，则的取值范围是C．若方程有四个不同的实根，则的取值范围是D．方程的不同实根的个数只能是1，2，3，6【答案】AD【分析】作出的图像，利用函数与方程之间的关系，分析问题，即可得出答案．【详解】解：对于A：作出的图像如下：

若方程有四个不同的实根，，，，则，不妨设，则，是方程的两个不等的实数根，，是方程的两个不等的实数根，所以，，所以，所以，所以，故A正确；对于B：由上可知，，，且，所以，所以，，所以，所以，故B错误；对于C：方程的实数根的个数，即可函数与的交点个数，因为恒过坐标原点，当时，有3个交点，当时最多2个交点，所以，当与相切时，设切点为，即，所以，解得，所以，所以，所以当与相切时，即时，此时有4个交点，若有4个实数根，即有4个交点，

当时由图可知只有3个交点，当时，令，，则，则当时，即单调递增，当时，即单调递减，所以当时，函数取得极大值即最大值，，又及对数函数与一次函数的增长趋势可知，当无限大时，即在和内各有一个零点，即有5个实数根，故C错误；对于D：，所以，所以或，由图可知，当时，的交点个数为2，当，0时，的交点个数为3，当时，的交点个数为4，当时，的交点个数为1，所以若时，则，交点的个数为个，若时，则，交点的个数为3个，若，则，交点有个，若且时，则且，交点有个，若，交点有1个，综上所述，交点可能由1，2，3，6个，即方程不同实数根1，2，3，6，故D正确；故选：AD．第Ⅱ卷（非选择题）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．写出同时满足以下条件的一个函数．①定义域为R，值域为；②，，且时，；③，．【答案】(答案不唯一，合理即可)【分析】根据已知条件分析函数的性质，选用满足题意的基本函数即可.【详解】由题意可知，函数的图像关于直线对称，函数在上单调递增，在上单调递减，最小值，则符合题意.故答案为：（答案不唯一）14．已知数列满足，在和之间插入个1，构成数列，则数列的前20项的和为.【答案】77【分析】先根据题意得到数列有多少个数，再根据即可计算数列的前20项的和.【详解】在之间插入个1，构成数列，所以共有个数，当时，，当时，，由于，所以.故答案为：.15．甲、乙两位同学玩游戏，对于给定的实数，按下列方法操作一次产生一个新的实数：由甲、乙同时各掷一枚均匀的硬币，如果出现两个正面朝上或两个反面朝上，则把乘以2后再减去12,；如果出现一个正面朝上，一个反面朝上，则把除以2后再加上12，这样就得到一个新的实数，对实数仍按上述方法进行一次操作，又得到一个新的实数，当时，甲获胜，否则乙获胜，若甲获胜的概率为，则的取值范围是【答案】【分析】按要求操作一次产生一个新的实数，列举得到新的实数的途径，列出不等式，根据所给的甲获胜的概率为，解出a1的结果．【详解】a3的结果有四种，每一个结果出现的概率都是，1．a1→2a1﹣12→2（2a1﹣12）﹣12＝4a1﹣36＝a3，2．a1→2a1﹣12→12＝a1+6＝a3，3．a1→12→+1218＝a3，4．a1→12→2（12）﹣12＝a1+12＝a3，∵a1+6＞a1，a1+12＞a1，∴要使甲获胜的概率为，即a3＞a1的概率为，∴4a1﹣36＞a1，18≤a1，或4a1﹣36≤a1，18＞a1，解得a1≤12或a1≥24．故答案为：.【点睛】本题考查新定义问题，考查概率综合，意在考查学生的读题审题能力，考查转化能力，是中档题16．在中，，，当取最大值时，．【答案】【分析】用正弦定理将转化求得最大值，根据用余弦定理联立方程组即可求解.【详解】设，，，，，，，，，，，其中，，，，当时取最大值，，，，，即的值为.四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。17．（10分）在中，内角所对的边分别为.现有如下两个条件：条件①；条件②.请从上述两个条件中选择一个作为已知，完成本题解答.你选择的条件是__________.(1)求角；(2)若为边上一点，且，.当的面积取到最大值时，求角.注：若多选条件，则按选择第一个条件解答计分.【详解】（1）选条件①：由，及正弦定理，. 1分又为内角，所以，从而，即， 3分则，或（舍去），从而. 4分选条件②：由，及正弦定理，. 1分又为内角，所以，代入上式即得，而，所以，从而. 3分则，或（舍去），因此，. 4分（2）由为边上一点，且，从而，即.平方，得，即， 6分由基本不等式，，等号当且仅当时成立，此时有最大值，从而面积为也有最大值. 8分当时，由余弦定理，可得由正弦定理，，又，所以. 10分

18．（12分）已知数列满足，(1)判断数列是否是等比数列？若是，给出证明；否则，请说明理由；(2)若数列的前10项和为361，记，数列的前n项和为，求证：.【详解】（1）数列成等比数列. 1分根据得； 3分，，，即数列成等比数列. 5分（2）由（1）得，，， 6分故由，得. 8分显然，，单调递增，且，故，，.，，, 10分当时，,，综上，知. 12分19．（12分）如图，在四棱锥中，平面，底面为直角梯形，，为棱上异于的点．(1)求证：平面；(2)若三棱锥的体积为，求平面与平面夹角的余弦值．【详解】（1）如图所示：取中点，连接，则由题意有， 1分因为由题意，所以四边形为平行四边形，所以，又因为四边形为直角梯形，所以，所以， 2分因为，，所以，又因为平面，平面，所以， 4分因为，所以，又因为，所以，从而， 5分又因为，面，且，所以平面. 6分（2）由题意不妨设点到面的距离为，所以三棱锥的体积为，所以解得， 7分如图所示：设点到面的距离为，则平面，又因为平面，平面所以，所以为的中位线，即分别为的中点，因为底面为直角梯形，所以， 8分所以以为坐标原点，方向分别为轴正方向建立空间直角坐标系，由题意，所以，由（1）可知平面，故可取平面的一个法向量为， 9分不妨设平面的一个法向量为，则，即，令，解得，即可取， 10分不妨设平面与平面的夹角为，则， 11分即平面与平面的夹角的余弦值为. 12分20．（12分）从今年起，我国将于每年5月第四周开展“全国城市生活垃圾分类宣传周”活动，首届全国城市生活垃圾分类宣传周时间为2023年5月22日至28日，宣传主题为“让垃圾分类成为新时尚”，在此宣传周期间，某社区举行了一次生活垃圾分类知识比赛.要求每个家庭派出一名代表参赛，每位参赛者需测试A，B，C三个项目，三个测试项目相互不受影响.(1)若某居民甲在测试过程中，第一项测试是等可能的从三个项目中选一项测试，且他测试三个项目“通过”的概率分别为.已知他第一项测试“通过”，求他第一项测试选择的项目是的概率；(2)现规定：三个项目全部通过获得一等奖，只通过两项获得二等奖，只通过一项获得三等奖，三项都没有通过不获奖.已知居民乙选择的顺序参加测试，且他前两项通过的概率均为，第三项通过的概率为.若他获得一等奖的概率为，求他获得二等奖的概率的最小值.【详解】（1）记事件“第一项测试选择了项目”，“第一项测试选择了项目”，“第一项测试选择了项目”，记事件“第一项测试合格”， 1分由题意知，，， 3分又事件互斥，则，即， 5分所以在居民甲第一