数学（上海高考01）（全解全析）

2024年上海高考数学第一次模拟考试数学·全解全析（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2.本试卷分设试卷和答题纸．试卷包括试题与答题要求．作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分．3.答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号码等相关信息．4．测试范围：高考全部内容5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一．填空题（共12小题）1．若关于x的不等式|x+1|＜6﹣|x﹣m|的解集为∅，则实数m的取值范围是（﹣∞，﹣7]∪[5，+∞）．【分析】利用绝对值的几何意义求得|x+1|+|x﹣m|的最小值为|m+1|，结合题意可得|m+1|≥6，由此求得实数m的取值范围．【解答】解：由于关于x的不等式|x+1|+|x﹣m|＜6的解集为∅，而|x+1|+|x﹣m|表示数轴上的x对应点到﹣1、m对应点的距离之和，它的最小值为|m+1|，故有|m+1|≥6，∴m+1≥6，或m+1≤﹣6，求得m≤﹣7，或m≥5，故答案为：（﹣∞，﹣7]∪[5，+∞）．【点评】本题主要考查绝对值的意义，绝对值不等式的解法，体现了等价转化的数学思想，属于基础题．2．在△ABC中，AB＝8，AC＝6，∠A＝60°，M为△ABC的外心，若，λ，μ∈R，则＝7．【分析】令边AB，AC中点分别为D，E，将分别用和表示，再与求数量积即可列式计算作答．【解答】解：如图，设边AB，AC中点分别为D，E，连接DM，EM，因为点M为△ABC的外心，于是DM⊥AB，EM⊥AC，所以，，，所以，，依题意，，，解得，所以＝7．故答案为：7．【点评】本题主要考查了向量的数量积运算，属于中档题．3．各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，S3＝7a3，则使成立的n的最小值为8．【分析】先由题设条件求出公比q，再代入求Sn，然后解不等式，求出结果．【解答】解：设数列{an}的公比为q，由题设条件知：q＞0，∵a1＝1，S3＝7a3，∴a1（1+q+q2）＝7a1q2，解得q＝．∴Sn＝＝2[1﹣（）n]．由解得n＞7，∴n的最小值为8．故填：8．【点评】本题主要考查等比数列的基本量的计算及指数不等式的解法，属于基础题．4．若4sin（x﹣）＝1，则cos（2x﹣）＝．【分析】由已知结合二倍角公式即可求解．【解答】解：由题意得sin（x﹣）＝，则cos（2x﹣）＝1﹣2sin2（x﹣）＝1﹣2×＝．故答案为：．【点评】本题主要考查了二倍角公式，属于基础题．5．若函数的值域为（﹣∞，3]，则实数m的取值范围是（2，5]．【分析】根据指数函数的单调性可得出，x≤1时，0＜f（x）≤3；根据二次函数的单调性可得出，x＞1时，f（x）＜m﹣2，再根据f（x）∈（﹣∞，3]即可得出0＜m﹣2≤3，解出m的范围即可．【解答】解：∵x≤1时，0＜3x≤3；x＞1时，﹣2x2+m＜m﹣2，且f（x）的值域为（﹣∞，3]，∴0＜m﹣2≤3，∴2＜m≤5，∴实数m的取值范围是：（2，5]．故答案为：（2，5]．【点评】本题考查了指数函数、二次函数的单调性，根据函数单调性求函数值域的方法，函数值域的定义及求法，考查了推理和计算能力，属于基础题．6．已知i为虚数单位，设z1＝x+2i，z2＝3﹣yi（x，y∈R），且z1+z2＝5﹣6i，则z1﹣z2＝﹣1+10i【分析】由z1+z2＝x+3+（2﹣y）i＝5﹣6i可求得x＝2，y＝8，从而求解．【解答】解：∵z1＝x+2i，z2＝3﹣yi（x，y∈R），∴z1+z2＝x+3+（2﹣y）i＝5﹣6i，∴x+3＝5且2﹣y＝﹣6，解得x＝2，y＝8，故z1﹣z2＝2+2i﹣（3﹣8i）＝﹣1+10i，故答案为：﹣1+10i．【点评】本题考查了复数的四则运算的应用，属于基础题．7．圆x2+y2﹣2x﹣3＝0的半径为2．【分析】由圆的一般方程化为标准方程，可得圆的半径的值．【解答】解：圆x2+y2﹣2x﹣3＝0的标准方程为（x﹣1）2+y2＝4，可得圆的半径为2，故答案为：2．【点评】本题考查圆的半径的求法，属于基础题．8．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a2＝2b2，sinC＝sinB，则cosA＝．【分析】由已知结合正弦定理可得a，b，c的关系，然后结合余弦定理求解．【解答】解：∵a2＝2b2，∴a＝，∵sinC＝sinB，∴c＝，∴cosA＝＝＝．故答案为：．【点评】本题主要考查了正弦定理和余弦定理的应用，属于基础题．9．已知一组数据为﹣3，5，7，x，11，且这组数据的众数为5，那么该组数据的中位数是5．【分析】根据题意，由数据的众数为5可得x的值，由中位数的定义把这组数据从小到大排列，分析可得答案．【解答】解：根据题意，数据为﹣3，5，7，x，11的众数为5，即5出现的次数最多，则x＝5，把这组数据从小到大排列，得﹣3，5，5，7，11，则数据的中位数是5，故答案为：5．【点评】本题考查众数、中位数的计算，关键是求出x的值，属于基础题．10．在（x﹣2y+3z）7的展开式中，x4y3项的系数为﹣280．【分析】利用二项式定理，展开式的通项，即可解出．【解答】解：x4y3项的系数为：C＝﹣280．故答案为：﹣280．【点评】本题考查了二项式定理，学生的数学运算能力，属于基础题．11．下列说法中，正确的个数为0．（Ⅰ）有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥；（Ⅱ）有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台；（Ⅲ）底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥；（Ⅳ）棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥可能是正六棱锥．【分析】根据棱锥的概念可判断（Ⅰ）；根据棱台的概念可判断（Ⅱ）；根据正三棱锥的概念可判断（Ⅲ）；根据正六棱锥的侧棱长一定大于底面边长可判断（Ⅳ）．【解答】解：对于（Ⅰ），棱锥的定义是：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥，故错误；对于（Ⅱ），有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体不一定是棱台，只有当四个等腰梯形的腰延长后交于一点时，这个六面体才是棱台，如图1，侧棱延长线可能不交于一点，故错误；对于（Ⅲ），底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥不一定是正三棱锥，只有当三棱锥的顶点在底面的射影是底面中心时，才是正三棱锥，故错误；对于（Ⅳ），因为正六棱锥的底面是正六边形，侧棱在底面内的射影与底面边长相等，所以正六棱锥的侧棱长一定大于底面边长，故错误．故答案为：0．【点评】本题考查了棱锥，棱台的结构特征，属于中档题．12．已知△ABC的边AC＝2，且，则△ABC的面积的最大值为．【分析】首先根据三角恒等变形和正弦定理变形得到，再利用三角形面积公式得，再转化为三角函数的性质，求函数的最大值．【解答】解：由题意，设△ABC中角A，B，C所对应的边长度分别为a，b，c，则有b＝2，由，可得，整理得3cosAsinB+2sinAcosB＝sinAsinB，∴cosAsinB+2sin（A+B）＝sinAsinB，∵A+B+C＝π，∴cosAsinB+2sinC＝sinBsinA，∴2sinC＝sinB（sinA﹣cosA），由正弦定理可得2c＝b（sinA﹣cosA）＝2（sinA﹣cosA），∴c＝sinA﹣cosA＞0，则有．故△ABC的面积＝sinA（sinA﹣cosA）＝sin2A﹣sinAcosA＝．∵，∴，当时，△ABC的面积S取得最大值．故答案为：．【点评】本题考查三角函数和解三角形相结合的综合应用，本题的关键是利用三角恒等变形和正弦定理得到，为后面转化为关于A的三角函数求最值奠定基础，属中档题．二．选择题（共4小题）13．设集合A＝{x|x＞3}，则（）A．∅∈A B．0∈A C．2∈A D．4∈A【分析】根据集合A的元素的范围对应各个选项即可判断求解．【解答】解：因为集合A＝{x|x＞3}，则∅⊆A，且0∉A，2∉A，4∈A，故选：D．【点评】本题考查了集合元素的性质，考查了学生的分析问题的能力，属于基础题．14．对三组数据进行统计，获得以下散点图．关于其相关系数依次是r1，r2，r3，则它们的大小关系是（）A．r1＞r3＞r2 B．r1＞r2＞r3 C．r2＞r1＞r3 D．r3＞r1＞r2【分析】由图分析得到正负相关即可．【解答】解：由题意得，第一组数据线性相关，且正相关，第二组数据线性相关，且负相关，第三组数据无相关关系，故r1＞r3＞r2，故选：A．【点评】本题考查了变量相关关系的判断，属于基础题．15．关于曲线C：x2﹣xy+y2＝1有下列四个结论：①曲线C关于y轴对称；②曲线C关于原点对称；③曲线C上任意一点的横坐标不大于1；④曲线C上任意一点到原点的距离不超过．其中所有正确结论的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】由题意，根据曲线方程，利用对称性设点代入检验是否符合曲线方程可判断①②，结合判别式可取特殊点代入排除③，根据两点距离公式及基本不等式可判定④．【解答】解：不妨设曲线上一点A（x0，y0），此时，设A关于y轴对称的点为B（﹣x0，y0），将点B代入曲线C可得，随x0变化的值不一定始终为1，故①错误；同理，设A关于原点对称的点为B（﹣x0，﹣y0），将点B代入曲线C可得恒成立，故②正确；易知曲线方程y＝，可得﹣≤x≤，令，可得，解得y＝，即曲线C上有一点，故③错误；易知，整理得，故④正确．综上，结论正确的有②④．故选：B．【点评】本题考查曲线与方程，考查了逻辑推理和运算能力．16．设函数在区间上的最大值为M，最小值为m，则M﹣m的最小值为（）A． B． C． D．【分析】求出的范围，把它作为整体，结合正弦函数性质得最大值M与最小值m并分析它们的差最小时结论．【解答】解：时，，令，则问题转化为g（t）＝sint在[上的最大值是M，最小值是m，由正弦函数性质，g（t）＝sint的周期是2π，要使得M﹣m最小，则g（t）的最大值或最小值点是区间[的中点，由周期性，不妨取或，或，时，，时，，故选：B．【点评】本题考查了三角函数的性质和最值问题，属于中档题．三．解答题（共5小题）17．由四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1截去三棱锥C1﹣B1CD1后得到的几何体如图所示，四边形A1ADD1和ABCD是全等的边长为2的菱形，且∠A1AD＝∠ABC＝，A1C＝3．（1）求三棱锥A1﹣ACD的体积；（2）求直线CD1和平面B1BC所成角的正弦值．【分析】（1）取AD中点O，连接A1O，CO，可得AD⊥平面A1OC，进而可求三棱锥A1﹣ACD的体积；（2）以O为原点，以OC，OD所在直线分别为x，y轴，建立如图所示空间直角坐标系．利用向量法求直线CD1和平面B1BC所成角的正弦值．【解答】解：（1）取AD中点O，连接A1O，CO，则A1O⊥AD，CO⊥AD，则AD⊥平面A1OC，则＝••AD，∵，，A1C＝3，，＝A1O•CO•sin＝×××＝，＝••AD＝•2•＝；（2）以O为原点，以OC，OD所在直线分别为x，y轴，建立如图所示空间直角坐标系．∵AD⊥平面A1OC，AD⊂平面ABCD，∴平面A1OC⊥平面ABCD，交线为CO，过点A1作A1H⊥OC，则A1H⊥平面ABCD，∵，∴H点在CO的延长线上，，A（0，﹣1，0），D（0，1，0），，，，，＝（0，2，0），，，设平面CBB1的法向量为＝（x，y，2），则，即，令，则，设直线CD1和平面B1BC所成角为θ，则sinθ＝＝．【点评】本题考查空间几何体的体积的计算，考查线面角的正弦值的求法，属中档题．18．已知f（x）是定义在R上的奇函数，当时x＜0时，f（x）＝x2+2x﹣1．（1）求f（x）解析式；（2）画出函数图像，并写出单调区间．（无需证明）【分析】（1）由奇函数的定义和性质，结合已知f（x）的解析式，可得所求解析式；（2）由分段函数的图象画法可得f（x）的图象，由图象可得f（x）的单调区间．【解答】解：（1）f（x）是定义在R上的奇函数，可得f（0）＝0，当x＜0时，f（x）＝x2+2x﹣1，当x＞0时，﹣x＜0，f（﹣x）＝x2﹣2x﹣1＝﹣f（x），可得x＞0时，f（x）＝﹣x2+2x+1，所以f（x）＝；（2）由分段函数的图象画法，可得f（x）的图象如右：f（x）的减区间为：（﹣∞，﹣1），（1，+∞）；增区间为：（﹣1，0），（0，1）．【点评】本题考查函数的奇偶性的定义和运用，以及分段函数的图象和单调性，考查转化思想和运算能力，属于基础题．19．在某校开展的知识竞赛活动中，共有A，B，C三道题，答对A，B，C分别得1分、1分、2分，答错不得分．已知甲同学答对问题A，B，C的概率分别为，乙同学答对问题A，B，C的概率均为，甲、乙两位同学都需回答这三道题，且各题回答正确与否相互独立．（1）求乙同学恰好答对两道题的概率；（2）运用你学过的知识判断，谁的得分能力更强．【分析】（1）利用二项分布可求乙同学恰好答对两道题的概率；（2）利用独立事件和二项分布可求甲同学在本次竞赛中得分和乙同学在本次竞赛中得分的数学期望，从而可求判断谁的得分能力更强．【解答】解：（1）设“乙同学恰好答对两道题”为事件为A，所以P（A）＝＝．（2）设甲同学本次竞赛中得分为X，则X的可能取值为0，1，2，3，4分，则P（X＝0）＝＝，P（X＝1）＝＝，P（X＝2）＝＝，P（X＝3）＝+＝，P（X＝4）＝＝，所以X的概率分布列为：X01234P所以E（X）＝0×+1×+2×+3×+4×＝；设乙同学本次竞赛中得分为Y，由Y的可能取值为0，1，2，3，4分，P（Y＝0）＝＝，P（Y＝1）＝＝，P（Y＝2）＝＝，P（Y＝3）＝×＝，P（Y＝4）＝＝，所以Y的概率分布列为：Y01234P所以E（Y）＝0×+1×+2×+3×+4×＝，所以，所以乙的得分能力更强．【点评】本题主要考查离散型随机变量的期望，是中档题．20．设椭圆是椭圆Γ的左、右焦点，点在椭圆Γ上，点P（4，0）在椭圆Γ外，且．（1）求椭圆Γ的方程；（2）若，点C为椭圆Γ上横坐标大于1的一点，过点C的直线l与椭圆有且仅有一个交点，并与直线PA，PB交于M，N两点，O为坐标原点，记△OMN，△PMN的面积分别为S1，S2，求的最小值．【分析】（1）结合已知条件，将可得到一个关系式，然后再结合求出半焦距c，最后再结合a2﹣b2＝c2即可求解；（2）首先设出直线MN的方程x＝my+t，然后利用直线与椭圆相切求出m与t的关系，再通过联立直线间的方程表示出直线M与N点的纵坐标，并表示出S1和S2，进而表示出，最后利用换元法和均值不等式即可求解．【解答】解：（1）因为点在椭圆Γ上，所以，①因为点P（4，0）在椭圆Γ外，且，所以，即a2﹣b2＝c2＝3，②由①②解得a2＝4，b2＝1，故椭圆Γ的方程为．（2）设点M（x1，y1），N（x2，y2），设直线MN：x＝my+t，由椭圆性质以及点C的横坐标大于1可知，t＞2，将直线MN代入方程并化简可得，（my+t）2+4y2﹣4＝0，即（m2+4）y2+2mty+t2﹣4＝0，因为直线l与椭圆有且仅有一个交点，所以Δ＝4m2t2﹣4（m2+4）（t2﹣4）＝0，即t2＝m2+4，直线AP的方程为：；直线BP的方程为lBP：，联立方程得，同理得，所以，所以，，所以＝，令9t+8＝λ（λ＞26），则，当且仅当λ＝28，即时，不等式取等号，故当时，取得最小值．【点评】本题主