乘法公式七年级数学下册举一反三（沪科版）

专题8.3乘法公式【九大题型】

【沪科版】

型

题

।乘法公式的基本运算】..................................................................1

型

题

2利用完全平方式确定系数1.........................................................................................................................2

型

题

3乘法公式的运算】......................................................................4

型

题

4利用乘法公式求值】....................................................................5

型

题

5利用面积法验证乘法公式】..............................................................6

型

题

6乘法公式的应用】......................................................................8

型

题

7平方差公式、完全平方公式的几何背景】................................................11

型

题

整式乘法中的新定义问题】.............................................................

型

题816

9整式乘法中的规律探究】..............................................................18

【知识点1乘法公式】

平方差公式：(a+b)(a-b)=a2・b2。两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差。

这个公式叫做平方差公式。

完全平方公式：(a+b)z=a2+2ab+b2,(a・b)2=a2・2ab+b2。两个数的和(或差)的平方，等于它们

的平方和，加上(或减去)它们积的2倍。这两个公式叫做完全平方公式。

【题型1乘法公式的基本运算】

【例1】(2022春•青川县期末)下列各式中计算正确的是()

A.(a+2b)(A-2/?)=a2-2b2

B.(-a+2b)Ca-2b)=(r-4b2

C.(-a-2b)(«-2b)=-a2+4b2

D.(-a-2b)(a+2b)=cr-4h2

【分析】根据平方差公式对各选项分析判断后利用排除法求解.

【解答】解：A、应为(fl+2/?)(4-2Z?)=a2-(2b)2,故本选项错误；

8、应为(-a+2Z?)(a-2Z?)=-a2+4ab-4b2,故本选项错误；

C、(-a-2b)(a-2b)=-a2+4h2,正确；

。、应为(-a-2b);a+2b)=-a2-4ab-4b2,故本选项错误.

故选：C.

【变式1-1](2022春•六盘水期中)下列各式中能用平方差公式计算的是()

A.(-x+2y)(.X-2y)B.(3x-5y)(-3x-5v)

C.(1-5，〃)(5m-1)D.(“+〃)(b+a)

【分析】根据平方差公式的特征：(1)两个两项式相乘，(2)有一项相同，另一项互

为相反数，对各选项分析判断后利用排除法求解.

【解答】解：《不存在相同的项，不能运用平方差公式进行计算；

B、-5y是相同的项，互为相反项是3x与-3x,符合平方差公式的要求；

C、不存在相同的项，不能运用平方差公式进行计算；

。、不存在互为相反数的项，不能运用平方差公式进行计算；

故选：B.

【变式1-2](2022春•巴中期末)下列运算正确的是()

A.(jr+y)(y-x)=JT-y2B.(-x+y)2=-jr+lxy^+y2

C.(-x-y)2=-x2-2xy-y1D.(x+y)(-y+x)-y2

【分析】根据完全平方公式和平方差公式逐个判断即可.

【解答】解：A、结果是故本选项不符合题意；

8、结果是f-Zry+y2,故本选项不符合题意；

。、结果是PiZyyiy2,故本选项不符合题意；

。、结果是f-J?,故本选项符合题意.

【变式1-3](2022秋•天心区校级期中)下列各式中，能用完全平方公式计算的是()

A.(a-b)(-b-a)B.(-ir-ni2)(m2+n2)

C.(-1+q)(q+1)D.(2i-3y)⑵+3y)

【分析】A、原式利用平方差公式化简得到结果，不合题意；

从原式第一个因式提取-1变形后利用完全平方公式计算得到结果，符合题意；

C、原式利用平方差公式化简得到结果，不合题意；

。、原式利用平方差公式化简得到结果，不合题意.

【解答】解：A、原式=从―/,本选项不合题意；

B、原式=-("尸+〃2)2,本选项符合题意；

。、原式=/一]2,本选项不合题意；

。、原式=4.d-9)2,本选项不合题意，

故选：R.

【题型2利用完全平方式确定系数】

【例2】(2022秋•望城区期末)若二项式/+4加上一个单项式后成为一个完全平方式，则

这样的单项式共有()

A.1个B.2个C.3个D.5个

【分析】本题考杳运用完全平方式进行因式分解的能力，式子x2和4分别是x和2的平

方，可当作首尾两项，根据完全平方公式可得中间一项为加上或减去X和2的乘积的2

倍，即±4X，同时还应看到.P+4加上-4或或三后也可分别构成完全平方式，所以

1b

可加的单项式共有5个.

【解答】解：可添加±4工，-4,或W等5个.

16

故选：D.

【变式2-1](2022•南通模拟)如果多项式f+2x+上是完全平方式，则常数&的值为()

A.1B.-1C.4D.-4

【分析】根据完全平方公式的乘积二倍项和已知平方项先确定出另一个数是1，平方即可.

【解答】解：・・2=2X1・x,

：,k=\-=\,

故选A.

【变式2-2](2022秋•青县期末)若9/-(K-1)x+l是关于x的完全平方式，则常数K

的值为()

A.0B.-5或7C.7D.9

【分析】根据完全平方式的定义解决此题.

【解答】解：9f-(K-1)x+l=(3x)2-CK-1)x+12.

(K・1)x+1是关于工的完全平方式，

・・・9f-(K-1)x+l=(3x)2±2*3X*1+12=(3X)2±6A+12.

・•・-(K-1)=±6.

当・(K-1)=6时,K=-5.

当-(K-1)=-6时，K=7.

综上：K=-5或7.

故选：B.

【变式2-3](2022秋•崇川区校级月考)(x+a)(x+〃)+(x+b)(x+c)+(x+c)(x+a)

是完全平方式，则a,b,c的关系可以写成()

A.a<b<cB.(a-b)2+(b-c)2=0

C.c<a<bD.a=b"

【分析】先把原式展开，合并，由于它是完全平方式，故有3『十2"十必十反+C7C)

=[V3x+Y(。+〃+。)]2»化简有ab+bc+ac=a2+h2+ci,那么就有(a・6)2+Ch-c)2+

(c-〃)2=0,三个非负数的和等于0,则每一个非负数等于0,故可求。=A=c.故选

答案

【解答】解：原式=3f+2(a+b+c)x+Ccib+bc+ac),

V(x+«)(x+b)+(x+b)(x+c)+(x+c)(x+a)是完全平方式，

・\3『+2(.a+b+c)x+(ab+bc+ac)=[V3x+—(a+b+c)]2,

§

【解答】解：(1)20I92-2018X2020

=20192-(2022-1)X(2022+1)

=20®-(20222-1)

=1;

(2)1P+13X66+392

=112+13X2X3X11+392

=ll2+2XUX39+392

=(11+39)2

=5O2

=2500.

【变式3-3](2022春•顺德区校级月考)计算：(2+1)(22+1)(24+1)•••(2^+1)

【分析】原式变形后，利用平方差公式计算即可得到结果.

【解答】解:原式=(2-1)(2+1)(22+1)(24+1)-(264+1)

224

=(2-I)(2H)C2»l)—(2M4-1)

=(24-1)(24+1)-(264+1)

=•••

=C264-I)(264+l)

=2,28-1.

【题型4利用乘法公式求值】

【例4】(2022秋•九龙坡区校级期中)若[6,(〃+力)2=8,则时的值为()

A.一：B.：C.-6D.6

22

【分析】根据，-》2=16得到(。+力)2(4-8)2=256,再由(〃+力)2=8,求出(6,-b)

』32,

最后根据ab=妇安"处求出答案.

【解答】解：・・・。2■从=16,

(a+b)(a-b)=16»

:.(a+b)2(«-Z?)2=256,

,:(a+b)2=8,

:.(a-b)2=32,

•>(a+b)2—(a-b)28-32/

44

故选：C.

【变式4-1](2022春•姜堰区校级月考)已知4m+〃=9(J,2w-3n=10,求(〃?+2〃)2-(3〃?

-〃)2的值.

【分析】原式利用平方差公式分解，变形后将已知等式代入计算即可求出值.

【解答】解：V4m+n=90,2m-3n=10,

:.("1+2〃)2-(3m-n)2

=[(m+2n)+(3〃？-〃)][(m+2n)-(3m-n)]

=(4〃i+〃)(3n-2m)

=-900.

【变式(春•峰具期中)若、满足求下列各式的值.

4-2]2022XSxy4xy=—Z

(1)(x+y)2

(2).?+/.

【分析】(I)原式利用完全平方公式化简，将各自的值代入计算即可求出值；

(2)原式利用完全平方公式变形，将各自的值代入计算即可求出值.

【解答】解：⑴・・・/+)，2=京工产一点

:.原式jF+V+Zyyu：-1=[；

2,2

(2)Vx+>=p4xy=—2

:.原式=Cj^+y1)2-2rV==1Z,

【变式4-3](2022春•包河区期中)己知(2022-m)(2022-m)=2021,那么(2022-

m)2+(2022-m)?的值为()

A.4046B.2023C.4042D.4043

【分析】利用完全平方公式变形即可.

222

【解答】解：*.*(。・解=a-2ab+bf

/.cT+lr=(a-b)2+2ab.

・•・(2022-/w)2+(2022-in)2

=[(2022-m)-(2022-m)]2+2X(2022-m)(2022~/n)

=4+2X2021

=4046.

故选:A.

【题型5利用面积法验证乘法公式】

【例5】(2022春•新泰市期末)将图甲中阴影部分的小长方形变换到图乙位置，你能根据

两个图形的面积关系得到的数学公式是()

A.Ca~b)(a+b)=cr-b2B.(a+b)2=a2+2ab+b2

C.(a-b)2=a2-IcMrD.(2a-b)2=4a2-4ab+lr

【分析】利用两个图形面积之间的关系进行解答即可.

【解答】解：如图，图甲中①、②的总面积为(。+。)(a-b),

图乙中①、②的总面积可以看作两个正方形的面枳差，即

因此有(a+b)(a-b)=(r-b2,

故选：A.

【变式5-1](2022春•乐平市期末)如图所示，两次用不同的方法计算这个图的面积，可

验证整式乘法公式是()

A.(a+b)(a-b)=a2-b2

B.(a+b)(a+2b)=cr+3ab+2b2

C.(a+b)2=a2+2ab+b2

D.(a-b)2=a1-lab+b1

【分析】用代数式表示各个部分以及总面积即可得出答案.

【解答】解：大正方形的边长为因此面积为(a+b)2,四个部分的面积分别为标、

ab、absb1,

由面积之间的关系得，(a+〃)2=〃+2"+护，

故选：C.

【变式5・2】(2022春•锦州期末)如图1,在边长为。的大正方形中，剪去一个边长为3

的小正方形，将氽卜的部分按图中的虚线剪开后，拼成如图2所示的长方形，根据两个

图形阴影部分面积相等的关系，可验证的等式为（）

图1图2

A.-3）三。2B.（a+3）2=/+64+9

C.a（。+3）=a2+3aD.（〃+3）（。・3）=标・9

【分析】用代数式分别表示图1、图2中阴影部分的面积即可.

【解答】解：图I中，阴影部分的面积可以看作是两个正方形的面积差，即,-32=〃

-9,

图2是长为"3,宽为〃-3的长方形，因此面积为＜/+3）（d-3）,

所以有（〃+3）（a-3）=々2-9.

故选：D.

【变式5-3]（2022•耶都区模拟）如图，在边长为（x+a）的正方形中，剪去一个边长为。

的小正方形，将余下部分对称剪开，拼成一个平行四边形，由左右两个阴影部分面积，

C.（x+d）2-x1=a（a+2x）D.x2-a2=（x+a）（x-a）

【分析】根据阴影部分面积相等得到恒等式即可.

【解答】解：第一幅区阴影部分面积=（X+。）2・/,

第二幅图阴影部分面机=（x+a+a）x=x（x+2〃），

:.（x+a）2-cr=x（x-2n）,

故选：A.

【题型6乘法公式的应用】

[例6]（2022春•榆次区期中）如图I,从边长为（"5）cm的大正方形纸片中剪去一个

边长为（a+2）a〃的小正方形，剩余部分（如图2）沿虚线剪开，按图3方式拼接成一个

长方形（无缝隙不重合）则该长方形的面积为（）

【分析】由图形可知K方形的长为两正方形的和，宽为两K方形的差，据此可得答案.

【解答】解：根据题意，长方形的面积为[(〃+5)+(，廿2)][(。+5)-(〃+2)]=3(2a+7)

=(6a+21)cm,

故选：D.

【变式6-1](2022秋•西峰区期末)如图，正方形ABCO和正方形和MFNP重叠，其重

叠部分是一个长方形，分别延长AZ)、CD,交NP和MP于H、Q两点,构成的四边形

NGOH和MEQQ都是正方形，四边形PQQ”是长方形.若正方形48CO的边长为x,AE

=10,CG=20,长方形EFGD的面积为200.求正方形MFNP的面积(结果必须是一个

具体数值).

【分析】设。E=a，DG=b,则a=x-10,b=x-20,a-b=\0,又由必=200,所以

正方形MFNP的面枳为(〃+/?)2=(a-b)2+4d/?=9(X).

【解答】解：)设DG=b,则a=x-10,b=x-20,a-b=\0,

又由ab=200,

22

・•・正方形MFNP的面积为：(a+b)2=(a-b)+4ab=10+4X200=900.

【变式6-2](2022春•湖州期末)如图，把一块面积为100的大长方形木板被分割成2个

大小一样的大正方形①，1个小正方形②和2个大小一样的长方形③后，如图摆放，且每

个小长方形③的面积为16,则标号为②的正方形的面积是()

②

①

A.16B.14C.12D.10

【分析】设标号为①的正方形的边长为x,标号为②的正方形的边长为y,根据图形及己

知条件可将③长方形的长和宽表示出来，再根据每个小长方形的面积均为16及大长方形

的面积为100,得出『与V的数量关系，然后解得即可.

【解答】解：设标号为①的正方形的边长为x,标号为②的正方形的边长为户则标号为

③的长方形长为（x+y）,宽为（x-y）,

•・•每个小长方形③的面积均为16,

（x+y）（x-y）=16,

Ax2-）2=16,

Ax2=16+/

•・•大长方形的长等于标号为③的小长方形的长与标号为①的正方形的边长的和，宽等于

标号为③的小长方形的宽与标号为①的正方形的边长的和，

・••大长方形的长为：［（工+y）+/］=2x+y,宽为：［（x-y）+x］=2x-y,

•・•大长方形的面积为100,

J（2x+y）（2v-y）=100,

••・4f-产=100,

A4（16+）2）-/=100,

A/=12,

即标号为②的正方形的面积为）2=12.

故选：C.

【变式6-3］（2022秋•杏坊区校级期中）如图，我校一块边长为2x米的正方形空地是八年

级1-4班的卫生区，学校把它分成大小不同的四块，采用抽签的方式安排卫生区，下图

是四个班级所抽到的卫生区情况，其中1班的卫生区是一块边长为（x-2），）米的正方形,

其中0<2yVx.

（1）分别用x、），的式子表示八年3班和八年4班的卫生区的面积；

（2）求2班的卫生区的面积比I班的卫生区的面积多多少平方米？

【分析】（1）结合图形、根据平方差公式计算即可；

（2）根据图形分别表示出2班的卫生区的面积和1班的卫生区，根据平方差公式和完全

平力公式化询、求差即可.

【解答】解：(1)八年3班的卫生区的面积=(x-2y)[2x-(x-2)，)]二1-4广

八年4班的卫生区的面积=(x-2y)[2x-(x・2y)]=f・4广

(2)12x-(x-2y)J2-(x-2y)2=Sxy.

答：2班的卫生区的面积比I班的卫生区的面积多8xv平方米.

【题型7平方差公式、完全平方公式的几何背景】

【例7】(2008秋•上海校级期中)我们己经知道利用图形中面积的等量关系可以得到某些

数学公式，如图一，我们可以得到两数差的完全平方公式：(〃-方)三片_2帅+从

(1)请你在图一中，标上相应的字母，使其能够得到两数和的完全平方公式2=

cr+lab+try

(2)图三是边长为。的正方形中剪去一个边长为。的小正方形，剩下部分拼成图四的形

状，利用这两幅图形中面积的等量关系，能验证公式从=而+力)(a-b)；

(3)除了拼成图四的图形外还能拼成其他的图形能验证公式成立，请试画出一个这样的

图形，并标上相应的字母.

【分析】(I)此题只需将大正方形的边长表示为小小正方形的边长表示为匕即可,

(2)此题只需将两个图形的面积表示出来写成等式即可：

(3)此题还可以拼成一个矩形来验证公式的成立.

【解答】解：(1)

(2)根据两图形求得两图形的面积分别为：S产层.b2.s?=1(2。+2力)(a-b)=(a+〃)

(a-b)

(3)拼成的图形如下图所示：

【变式7-1](2022春•西城区校级期中)阅读学习：

数学中有很多恒等式可以用图形的面积来得到.

如图I,可以求出阴影部分的面积是层-护；如图2,若将阴影部分裁剪下来，重新拼成

一个矩形，它的长是"乩宽是比较图1,图2阴影部分的面积，可以得到恒等

式(a+Z>)(a-b)=a2-b2.

(A)观察图3.请你写出(eb>2,(a-2,ah之间的一个恒等式(a-b)2=

2-4ab.

(2)观察图4,请写出图4所表示的代数恒等式：(2。+及(。+力)=2^+3他+庐

(3)现有若干块长方形和正方形硬纸片如图5所示，请你用拼图的方法推出一个恒等式

(〃+〃)2=/+2帅+乩仿照图4画出你的拼图并标出相关数据.

图4四5

【分析】(I)利用完全平方公式找出(”+力)入(a-b)2、帅之间的等量关系即可；

(2)根据面积的两种麦达方式得到图4所表示的代数恒等式；

(3)由已知的恒等式,画出相应的图形即可.

【解答】解：(1)(肝为2,(4-m2,时之间的一个恒等式(〃_〃)2="+})2-

4ab.

(2)图4所表示的代数恒等式：(2a+b)(a+b)=2a2+3alHb2.

(3)如图所示:

故答案为：(a-b)2=(a+b)2-(2a+b)(a+b)=2cr+3ab+b2.

【变式7-2］(2022春•武侯区校级期中)［知识生成］通常，用两种不同的方法计算同一个图

形的面积，可以得到一个恒等式.

例如：如图①是一个长为2a,宽为2b的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形，

然后按图②的形状拼成一个正方形.请解答下列问题：

(1)观察图②，请你写出(a+b)2、(a-b)2、必之间的等量关系是(a+b)2・(〃

-/?)2=4〃〃；

(2)根据(I)中的等量关系解决如下问题：若x+y=6,xy=y,求(x-y)2的值；［知

识迁移］类似地，用两种不同的方法计算同一几何体的体积，也可以得到一个恒等式.

(3)根据图⑤，写出个代数恒等式：(a+b)R=;

(4)已知。+。=3,ab=1,利用上面的规律求直尹的值.

【分析】（1）观察图②大正方形面积减中间小正方形面积等于4个长方形面积;

（2）灵活利用上题得出的结论，灵活计算求解.

（3）利用两种方式求解长方体的体积，得出关系式.

（4）利用上题得出得关系式，进行变换，最终求出答案.

【解答】解：（1）用两种方法表示出4个长方形的面积：即大正方形面积减中间小正方

形面积等于4个长方形面积，可得：（〃+8）2-（〃-%）2=4",

（2）由题（1）可知：（x+），）2-（x-j）2=的，，

:.-（.X-y）2=2-4.¥）,=36-4xy=14.

（3）利用两种方式求解长方体得体积，即可得出关系式：（〃+〃尸=/+3a2H3加+〃.

（4）由（3）可知/+/=（a+b）3-3a2b-3ab2=（.a+b）3-3ab（a+b）,

把q+/?=3,帅=1代入得:

〃+〃=33・3X1X3=18.

【变式7-3］（2022春•贺兰县期中）在前面的学习中，我们通过对同一面积的不同表达和

比较，利用图①和图②发现并验证了平方差公式和完全平方公式，不仅更清晰地“看到”

公式的结构，同时感受到这样的抽象代数运算也有直观的背景.这种利用面积关系解决

问题的方法，使抽象的数量关系因几何直观而形象

请你利用上述方法解决卜.列问题：

（1）请写出图（1）、图（2）、图（3）所表示的代数恒等式

XX

（1）（2）（3）

（2）试画出一个几何图形，使它的面积能表示（x+y）（x+3y）=x2+4xy+3,y2

【拓展应用】

提出问题：47X43,56X54,79X71,……是一些十位数字相同，且个位数字之和是10

的两个两位数相乘的算式，是否可以找到一种速算方法？

几何建模：

用矩形的面枳表示两个正数的乘积，以47X43为例：

（1）画长为47,宽为43的矩形，如图③，将这个47X43的矩形从右边切下长40,宽3

的一条，拼接到原矩形的上面.

（2）分析：几何建模步骤原矩形面积可以有两种不同的表达方式，47X43的矩形面积或

（40+7+3）X40的矩形与右上角3X7的矩形面积之和，即47X43=（40+10）X40+3

X7=5X4X100+3X7=2021,用文字表述47X43的速算方法是：十位数字4加1的和

与4相乘，再乘以100,加上个位数字3与7的积，沟成运算结果.

请你参照上述几何建模步骤，计算57X53.要求画出示意图，写出几何建模步骤（标注

有关线段）

归纳提炼：

两个十位数字相同，并且个位数字之和是10的两位数相乘的速算方法是（用文字表述）：

十位数字加1的和与十位数字相乘，再乘以100,加上两个个位数字的积，构成运算结果

证明上述速算方法的正确性.

【分析】（1）利用面枳法即可解决问题：

（2）模仿例题，构建几何模型，利用面积法计算即可；

拓展应用：模仿例题计算57X53即可；

探究规律，利用规律解决问题即可：

【解答】解：（1）图（I）所表示的代数恒等式：（.r+y）-2X=2『+2A》

图（2）所表示的代数恒等式：（x+y）（2x+y）=21+3冲+,2

图（3）所表示的代数恒等式：（x+2y）（2A-+J）=21+5入尹2广

（2）几何图形如图所示:

Xyy

拓展应用：

（1）①几何模型:

②用文字表述57X53的速算方法是：十位数字5加1的和与5相乘，再乘以100,加上

个位数字3与7的积，构成运算结果；

即57X53=（50+10）X50+3X7=6X5X100+3X7=3021；

十位数字加1的和与十位数字相乘，再乘以100,加上两个个位数字的积，构成运算结果；

故答案为十位数字加1的和与十位数字相乘，再乘以100,加上两个个位数字的积，构成

运算结果；

【题型8整式乘法中的新定义问题】

【例8】（2022春•嘉兴期中）定义：对于三个不是同类项的单项式A,B,C,若A-B+C

可以写成（a+b）2的形式，则称这三项为“完全搭配项"，若单项式4和〃7是完全

搭配项，则加可能是4x或或m4.（写出所有情况）

16

【分析】分为三种情况：①〃?为第二项时，②当，〃为第一项时，根据完全平方式求出〃?

即可.

【解答］解：①f±4x+4,此时〃i=±4x,

②（；『）？+/+4,此时（-X2）2=七一,

4416

故答案为：4x或-4%或9a

16

【变式8-1］（2022春•成华区月考）如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那

么称这个正整数为“神秘数”，如：4=22-02,12=42-22,20=62-42,因此4、12、

20都是这种“神秘数”.

（1）28和2012这两个数是“神秘数”吗？试说明理由;

（2）试说明神秘数能被4整除；

(3)两个连续奇数的平方差是神秘数吗？试说明理曰.

【分析】(1)根据“神秘数”的定义，只需看能否把28和2012这两个数写成两个连续

偶数的平方差即可判断；

(2)运用平方差公式进行计算，进而判断即可；

(3)运用平方差公式进行计算，进而判断即可.

【解答】解：(1)是，理由如下：

V28=82-62,2012=5042-5022,

・・・28是“神秘数”；2012是“神秘数”：

(2)“神秘数”是4的倍数.理由如下：

(2A+2)2-(2&)2=(2-2+2&)C2k+2-2k)=2(4&+2)=4(2&+I),

・・・“神秘数”是4的倍数；

(3)设两个连续的奇数为：2H1,2k-则

(2&+1)2-⑵-1)』8出,

而山(2)知“神秘数”是4的奇数倍，不是偶数倍，但8不是4的偶数倍，

所以两个连续的奇数的平方差不是神秘数.

【变式8-2](2022春•博山区期末)定义：如果一个正整数能表示为两个连续正奇数的平

方差，那么称这个正整数为：“奇异数”.如8,16,24都是“奇异数”.

(1)写出两个奇异数(8,16,24除外)；

(2)试问偶数6050是不是奇异数？为什么？

【分析】(I)根据奇异数的定义判断即可；

(2)偶数6050不是奇异数，根据两个连续正奇数的平方差，即(〃+2)2-〃2=6050,求

出〃的值,判断即可.

【解答】解:(1)奇异数可以为32,40；

(2)不是奇异数，理由为：

假设偶数6050为奇异数，即为两个连续正奇数的平方差，

可设(〃+2)2-/=6()50,

分解因式得：2(2«+2)=6050,

解得：77=1511.5,

可得〃不是奇数，不符合题意，

则偶数605()不是奇异数.

【变式8-3](2022•永川区模拟)如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，那么称

这个正整数为“智慧数”，否则称这个正整数为“非智慧数”.例如：2?・产=3；32・

22=5；32-12=8；42-32=7；42-22=12；42-12=15；…，等等.

因此3,5,8,…，都是“智慧数”；而1,2,4,…，都是“非智慧数”.

对于“智慧数”，有如下结论：

①设A为正整数(k22),则必・(h1)占2h1..••除1以外，所有的奇数都是“智

慧数”；

②设&为正整数(女23),则产--2)2=43:-1).・••都是“智慧数”.

(1)补全结论②中的空缺部分；并求出所有大于5而小于20的“非智慧数”：

(2)求出从I开始的正整数中从小到大排列的第103个“智急数”.

【分析】(1)由平方差公式即可得出答案，根据①©的结论除去奇数及4的正整数倍数,

即可得所有大于5而小于20的“非智慧数”；

(2)根据①②可判断出在1,2,3,4四个数中，只有1个“智慧数”3；攵为正整数时，

则4%+1,4什3是奇数,4/2,4a4是偶数，而是+2是“非智慧数”,4&+L4A+3,4k+4

是“智慧数”.从而根据循环规律判断出结果.

【解答】解：(1)(攵・2)2=(k+k-2)Ck-k+2)=2(22-2)=4(A-1)；

智慧数是除4以外，所有4的正整数倍数.

根据①，除去奇数；7,9,II,13,15,17,19；

根据②，除去4的正整数倍数：8,12,16.

则所有大于5而小于20的“非智慧数”有.：6,10,14,18.

(2)在I,2,3,4匹个数中，只有1个“智慧数”3.

当左为正整数时，则4计1,4k+3是奇数，4A-+2,4k+4是偶数，而4好2是“非智慧数”，

4R1,42+3,4X4是“智慧数”.

・•・在从I开始的正整数中前4个正整数只有3为“智慧数”，此后每连续4个数中有3

个“智慧数”.

7100=1+3X33,

A4X(33+1)=136.

又136后面的3个“智慧数”为137,139,140,

・••从1开始的正整数中从小到大排列的第103个“智慧数”是140.

【题型9整式乘法中的规律探究】

【例9】(2022春♦江阴市期中)观察下列各式(X-1)(x+l)=f-l,(x-1)(f+x+l)

=?-1,(x-1)(Jr2+x+l)=x4-1……根据规律计算：(・2)20,8+(-2)20,7+(-

2)刘6+…+(-2)3+(-2)2+(-2)'+1的值为()

A.22*1B.-22S9-1C.空士D.空也

33

【分析】先计算(-2-1)[(-2)238+(-2)237+(_2)2016+...+(-2)(-2)

2+(-2),+1]=(-2)2019-1,然后再计算所给式子.

3

【解答】解：V(-2-1)[(-2)2018+(-2)2017+(.2)2016+...+(-2)+(-2)

2i(-2)hl],

=(-2)20,9-1,

=-220,9-i,

/.(-2)2018+(-2)2017+(-2)2°i6+…+(-2)(-2)2+(-2),+1=空

3

故选：£).

【变式9-1](2022•丰顺县校级开学)解答下列问题.

(1)观察下列各式并填空：32-12=8X1；52-32=8X2；①72-5?=8X3；②92・

72=8X4；⑤-92=8X5；@132-112=8X6；…

(2)通过观察、归纳，请你用含字母〃(〃为正整数)的等式表示上述各式所反映的规

律；

(3)你能运用平方差公式来说明(2)中你所写规律的正确性吗？

【分析】(1)观察算式，补全空白即可；

(2)观察算式，归纳总结得到一般性规律，写