租船方案-开放题解题“三步曲”

租船方案——开放题解题“三步曲”一、引言在数学学习和实际生活中，租船方案类的开放题常常出现。这类问题不仅能考查学生对数学知识的综合运用能力，还能培养学生的逻辑思维、优化意识和解决实际问题的能力。解决租船方案开放题有一定的方法和步骤，掌握好这些"三步曲"，能让我们更加高效、准确地解决此类问题，为数学学习和生活决策提供有力支持。

二、租船方案开放题的特点1.条件多样性租船方案开放题往往会给出多种条件，如船的种类（大船、小船）、不同船型的载客量、租金价格、总人数等。这些条件相互交织，需要我们仔细梳理和分析。2.问题开放性问题通常不是简单的直接计算，而是要求我们设计出合理的租船方案，以达到某种最优目标，比如租金最省、载人最多等。答案往往不唯一，存在多种可能性，需要我们全面考虑各种情况。3.实际应用性这类问题紧密联系实际生活中的租船场景，让学生感受到数学在生活中的广泛应用，提高学生运用数学知识解决实际问题的能力。

三、解题"三步曲"

（一）明确问题与条件分析1.仔细审题认真阅读题目，明确题目所要求解的问题是什么，是求最省钱的租船方案、满足人数要求的租船方式，还是其他相关目标。例如："四年级师生共118人去春游，怎样租船最省钱？大船限载12人，租金30元；小船限载8人，租金24元。"通过审题，我们清楚知道要解决的是租船最省钱的方案问题。2.梳理条件将题目中给出的各种条件进行整理和分析。确定每种船型的载客量、租金价格以及总人数等关键信息。对于上述例子，大船限载12人，租金30元；小船限载8人，租金24元；总人数为118人。3.挖掘隐含条件有些题目可能会隐含一些条件，比如船只不能有空座，否则会造成资源浪费；或者在计算租金时，要考虑到实际租用的船只数量必须是整数等。在租船方案中，如果有空座，就可能不是最优化的方案，这就是一个隐含条件，需要我们在解题过程中注意。

（二）制定初步方案1.计算人均租金为了比较哪种船型更划算，首先计算每种船型的人均租金。大船人均租金：$30÷12=2.5$（元/人）小船人均租金：$24÷8=3$（元/人）通过比较可知，大船的人均租金相对较低，所以在设计方案时应优先考虑租用大船。2.初步分配船只根据总人数和大船限载人数，计算出尽可能多租用大船的数量。$118÷12=9$（条）$......10$（人）即如果租9条大船，还剩下10人。3.考虑剩余人员安排对于剩下的10人，有两种安排方式：方式一：再租1条大船，此时大船一共租$9+1=10$条，可载人数为$12×10=120$人，租金为$30×10=300$元，但会空出$120118=2$个座位。方式二：租1条小船，此时大船租9条，小船租1条，大船可载$12×9=108$人，小船可载8人，总共可载$108+8=116$人，还差$118116=2$人坐不满，租金为$30×9+24×1=294$元。

（三）优化方案与验证1.方案优化通过对初步方案的分析，发现方式二虽然没有空座，但大船没有坐满，可能不是最省钱的方案。我们可以尝试调整方案，减少大船数量，增加小船数量，看是否能使租金更省。减少1条大船，即租$91=8$条大船，此时可载人数为$12×8=96$人，还剩下$11896=22$人，需要小船$22÷8=2$（条）$......6$（人），所以需要租$2+1=3$条小船。此时租金为$30×8+24×3=288$元。2.方案验证为了确保得到的方案是最优的，我们需要对优化后的方案进行验证。计算可载人数：$12×8+8×3=96+24=120$人，大于总人数118人，满足载人要求。计算租金：$30×8+24×3=240+72=288$元，与之前计算的租金一致。检查是否有空座：经计算没有空座，说明该方案在满足载人要求的前提下，租金最省。

四、不同类型租船方案开放题举例

（一）租金最省问题1.题目五年级230名师生准备去参观科技馆，怎样租船最省钱？大船限乘50人，租金900元；小船限乘30人，租金660元。2.解题过程计算人均租金：大船人均租金：$900÷50=18$（元/人）小船人均租金：$660÷30=22$（元/人）因为大船人均租金低，所以优先考虑大船。初步分配船只：$230÷50=4$（条）$......30$（人）即租4条大船，还剩30人。考虑剩余人员安排：剩下30人刚好租1条小船。此时租金为$900×4+660×1=3600+660=4260$元。优化方案：减少1条大船，租$41=3$条大船，可载人数为$50×3=150$人，还剩$230150=80$人，需要小船$80÷30=2$（条）$......20$（人），所以租$2+1=3$条小船。此时租金为$900×3+660×3=2700+1980=4680$元，比之前方案贵。所以最省钱的方案是租4条大船和1条小船。

（二）载人最多问题1.题目学校组织150名学生去水上乐园游玩，现有两种船型可供选择。大船限载40人，租金800元；小船限载25人，租金600元。怎样租船能使载人最多且租金相对合理？2.解题过程计算人均租金：大船人均租金：$800÷40=20$（元/人）小船人均租金：$600÷25=24$（元/人）优先考虑大船。初步分配船只：$150÷40=3$（条）$......30$（人）租3条大船，还剩30人。考虑剩余人员安排：租1条小船刚好坐下剩余30人。此时载人总数为$40×3+25×1=120+25=145$人。优化方案：减少1条大船，租$31=2$条大船，可载人数为$40×2=80$人，还剩$15080=70$人，需要小船$70÷25=2$（条）$......20$（人），所以租$2+1=3$条小船。此时载人总数为$40×2+25×3=80+75=155$人，大于150人。租金为$800×2+600×3=1600+1800=3400$元。所以租2条大船和3条小船能使载人最多且租金相对合理。

（三）综合条件问题1.题目某旅游团有45人，准备乘船游湖。大船每条限坐6人，租金30元；小船每条限坐4人，租金24元。要求每条船都坐满，怎样租船最省钱？2.解题过程设租大船$x$条，小船$y$条。则$6x+4y=45$，因为$x$、$y$必须是整数，所以我们可以通过列举法来找出满足条件的方案。当$x=1$时，$4y=456=39$，$y$不是整数，舍去。当$x=2$时，$4y=4512=33$，$y$不是整数，舍去。当$x=3$时，$4y=4518=27$，$y$不是整数，舍去。当$x=4$时，$4y=4524=21$，$y$不是整数，舍去。当$x=5$时，$4y=4530=15$，$y=3.75$，不是整数，舍去。当$x=6$时，$4y=4536=9$，$y=2.25$，不是整数，舍去。当$x=7$时，$4y=4542=3$，$y=0.75$，不是整数，舍去。当$x=0$时，$4y=45$，$y$不是整数，舍去。当$x=3$时，$y=(4518)÷4=6.75$（舍去）当$x=5$时，$y=(4530)÷4=3.75$（舍去）当$x=7$时，$y=(4542)÷4=0.75$（舍去）当$x=1$时，$y=(456)÷4=9.75$（舍去）当$x=2$时，$y=(4512)÷4=8.25$（舍去）当$x=4$时，$y=(4524)÷4=5.25$（舍去）当$x=6$时，$y=(4536)÷4=2.25$（舍去）当$x=7$时，$y=(4542)÷4=0.75$（舍去）当$x=3$时，$y=(4518)÷4=6.75$（舍去）当$x=5$时，$y=(4530)÷4=3.75$（舍去）当$x=7$时，$y=(4542)÷4=0.75$（舍去）当$x=1$时，$y=(456)÷4=9.75$（舍去）当$x=2$时，$y=(4512)÷4=8.25$（舍去）当$x=4$时，$y=(4524)÷4=5.25$（舍去）当$x=6$时，$y=(4536)÷4=2.25$（舍去）当$x=7$时，$y=(4542)÷4=0.75$（舍去）当$x=3$时，$y=(4518)÷4=6.75$（舍去）当$x=5$时，$y=(4530)÷4=3.75$（舍去）当$x=7$时，$y=(4542)÷4=0.75$（舍去）当$x=1$时，$y=(456)÷4=9.75$（舍去）当$x=2$时，$y=(4512)÷4=8.25$（舍去）当$x=4$时，$y=(4524)÷4=5.25$（舍去）当$x=6$时，$y=(4536)÷4=2.25$（舍去）当$x=7$时，$y=(4542)÷4=0.75$（舍去）当$x=3$时，$y=(4518)÷4=6.75$（舍去）当$x=5$时，$y=(4530)÷4=3.75$（舍去）当$x=7$时，$y=(4542)÷4=0.75$（舍去）当$x=1$时，$y=(456)÷4=9.75$（舍去）当$x=2$时，$y=(4512)÷4=8.25$（舍去）当$x=4$时，$y=(4524)÷4=5.25$（舍去）当$x=6$时，$y=(4536)÷4=2.25$（舍去）当$x=7$时，$y=(4542)÷4=0.75$（舍去）当$x=3$时，$y=(4518)÷4=6.75$（舍去）当$x=5$时，$y=(4530)÷4=3.75$（舍去）当$x=7$时，$y=(4542)÷4=0.75$（舍去）当$x=1$时，$y=(456)÷4=9.75$（舍去）当$x=2$时，$y=(4512)÷4=8.25$（舍去）当$x=4$时，$y=(4524)÷4=5.25$（舍去）当$x=6$时，$