正余弦定理的应用举例教案

正余弦定理的应用举例教案一、教学目标1.知识与技能目标能够运用正余弦定理解决一些与测量、几何计算相关的实际问题，如测量距离、高度、角度等。掌握将实际问题转化为三角形问题，并利用正余弦定理求解的一般方法。2.过程与方法目标通过实际问题的分析与解决，培养学生观察、分析、归纳和转化的能力，提高学生运用数学知识解决实际问题的能力。经历从实际问题中抽象出三角形模型，再利用正余弦定理求解的过程，体会数学建模的思想方法。3.情感态度与价值观目标通过解决实际问题，让学生感受到数学与生活的紧密联系，激发学生学习数学的兴趣和积极性。在合作交流中，培养学生的团队合作精神和勇于探索的精神。

二、教学重难点1.教学重点运用正余弦定理解决实际问题的步骤和方法。如何将实际问题转化为可解的三角形问题。2.教学难点实际问题情境的理解和分析，准确找出已知条件和所求量。根据不同的实际问题，灵活选择正余弦定理及合适的解题策略。

三、教学方法讲授法、讨论法、练习法相结合，通过引导学生自主思考、小组合作交流，让学生在解决问题的过程中掌握知识和方法。

四、教学过程

（一）导入新课（5分钟）1.复习回顾请学生回顾正余弦定理的内容。正弦定理：\(\frac{a}{\sinA}=\frac{b}{\sinB}=\frac{c}{\sinC}=2R\)（\(R\)为三角形外接圆半径）。余弦定理：\(a^{2}=b^{2}+c^{2}2bc\cosA\)，\(b^{2}=a^{2}+c^{2}2ac\cosB\)，\(c^{2}=a^{2}+b^{2}2ab\cosC\)。2.情境导入展示一些实际生活中需要测量距离、高度、角度等的图片，如测量河对岸两点间的距离、建筑物的高度、山顶的仰角等，引出本节课要解决的实际问题。

（二）例题讲解（25分钟）1.例1：测量距离问题如图，设\(A\)、\(B\)两点在河的两岸，要测量两点之间的距离。测量者在\(A\)的同侧，在所在的河岸边选定一点\(C\)，测出\(AC\)的距离是\(55m\)，\(\angleBAC=51^{\circ}\)，\(\angleACB=75^{\circ}\)，求\(A\)、\(B\)两点间的距离（精确到\(0.1m\)）。分析：本题已知两角及其夹边，求对边，可先利用三角形内角和求出\(\angleABC\)，再根据正弦定理求解。解：由三角形内角和定理得\(\angleABC=180^{\circ}51^{\circ}75^{\circ}=54^{\circ}\)。根据正弦定理\(\frac{AB}{\sin\angleACB}=\frac{AC}{\sin\angleABC}\)，可得：\(AB=\frac{AC\sin\angleACB}{\sin\angleABC}=\frac{55\times\sin75^{\circ}}{\sin54^{\circ}}\)。因为\(\sin75^{\circ}=\sin(45^{\circ}+30^{\circ})=\sin45^{\circ}\cos30^{\circ}+\cos45^{\circ}\sin30^{\circ}=\frac{\sqrt{2}}{2}\times\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}\times\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}\)，\(\sin54^{\circ}\approx0.809\)。所以\(AB=\frac{55\times\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}}{0.809}\approx65.7m\)。总结：解决测量距离问题的关键是根据已知条件，确定三角形的已知元素，然后选择合适的定理求解。2.例2：测量高度问题如图，为了测量河对岸电视塔\(AB\)的高度，在河这边选取一点\(C\)，测得\(\angleBCA=30^{\circ}\)，\(BC=60m\)，并在\(C\)点测得塔顶\(A\)的仰角为\(45^{\circ}\)，求电视塔\(AB\)的高度。分析：本题可通过在\(\triangleABC\)中利用正弦定理求出\(AB\)与\(BC\)的关系，再结合已知条件求解。解：在\(Rt\triangleACD\)中，\(\angleACD=45^{\circ}\)，\(CD=BC=60m\)，所以\(AD=CD\tan45^{\circ}=60m\)。在\(\triangleABC\)中，\(\angleBCA=30^{\circ}\)，\(\angleABC=90^{\circ}\)，由正弦定理\(\frac{AB}{\sin\angleBCA}=\frac{BC}{\sin\angleBAC}\)，可得：\(AB=BC\sin\angleBCA=60\times\sin30^{\circ}=30m\)。所以电视塔\(AB\)的高度为\(30+60=90m\)。总结：对于测量高度问题，要善于找到与高度相关的直角三角形和斜三角形，通过正余弦定理建立联系求解。3.例3：测量角度问题如图，一艘海轮从\(A\)出发，沿北偏东\(75^{\circ}\)的方向航行\(67.5nmile\)后到达海岛\(B\)，然后从\(B\)出发，沿北偏东\(32^{\circ}\)的方向航行\(54.0nmile\)后到达海岛\(C\)。如果下次航行直接从\(A\)出发到达\(C\)，此船应该沿怎样的方向航行，需要航行多少距离（角度精确到\(0.1^{\circ}\)，距离精确到\(0.01nmile\)）？分析：本题要求从\(A\)到\(C\)的航行方向和距离，可先利用余弦定理求出\(AC\)的长度，再利用正弦定理求出\(\angleBAC\)，进而确定航行方向。解：在\(\triangleABC\)中，\(\angleABC=180^{\circ}75^{\circ}+32^{\circ}=137^{\circ}\)。由余弦定理可得：\(AC^{2}=AB^{2}+BC^{2}2AB\cdotBC\cos\angleABC\)\(=67.5^{2}+54.0^{2}2\times67.5\times54.0\times\cos137^{\circ}\)\(\approx67.5^{2}+54.0^{2}+2\times67.5\times54.0\times0.7314\)\(\approx4556.25+2916+5263.35\)\(\approx12735.6\)所以\(AC\approx112.86nmile\)。由正弦定理\(\frac{BC}{\sin\angleBAC}=\frac{AC}{\sin\angleABC}\)，可得：\(\sin\angleBAC=\frac{BC\sin\angleABC}{AC}=\frac{54.0\times\sin137^{\circ}}{112.86}\)\(\approx\frac{54.0\times0.682}{112.86}\approx0.325\)所以\(\angleBAC\approx19.0^{\circ}\)。\(75^{\circ}19.0^{\circ}=56.0^{\circ}\)。所以此船应该沿北偏东\(56.0^{\circ}\)的方向航行，需要航行约\(112.86nmile\)。总结：解决测量角度问题，关键是利用正余弦定理求出三角形的边和角，进而确定所求角度。

（三）课堂练习（15分钟）1.如图，为了测量两座山峰上两点\(A\)，\(B\)之间的距离，在山脚下取一点\(C\)，测得\(\angleACB=120^{\circ}\)，\(AC=60m\)，\(BC=40m\)，求\(A\)，\(B\)之间的距离。2.如图，在山顶铁塔上\(B\)处测得地面上一点\(A\)的俯角\(\alpha=54^{\circ}40'\)，在塔底\(C\)处测得\(A\)处的俯角\(\beta=50^{\circ}1'\)。已知铁塔\(BC\)部分的高为\(27.3m\)，求出山高\(CD\)（精确到\(1m\)）。3.如图，甲船在\(A\)处，乙船在\(A\)处的南偏东\(45^{\circ}\)方向，距\(A\)有\(9nmile\)并以\(20nmile/h\)的速度沿南偏西\(15^{\circ}\)方向航行，若甲船以\(28nmile/h\)的速度航行，应沿什么方向，用多少小时能尽快追上乙船（精确到\(0.01h\)）？

（四）课堂小结（5分钟）1.请学生回顾本节课所学内容，总结运用正余弦定理解决实际问题的步骤：分析实际问题，找出已知条件和所求量。根据已知条件，画出相应的三角形图形，将实际问题转化为三角形问题。确定三角形的已知元素，选择合适的正余弦定理求解。对结果进行检验，看是否符合实际意义。2.强调在解决实际问题时，要注意将实际问题与数学知识紧密结合，善于运用数学建模的思想方法，提高解决问题的能力。

（五）布置作业（5分钟）1.课本习题1.2A组第3、4、5题。2.思