中考数学一轮复习专题134 线段的垂直平分线的判定与性质【九大题型】（举一反三）（人教版）（解析版）

专题13.4线段的垂直平分线的判定与性质【九大题型】

【人教版】

♦题型梳理

【题型1利用线段垂直平分线的性质求长度】......................................................1

【题型2利用线段垂直平分线的性质求最值】......................................................5

【题型3利用线段垂直平分线的性质求角度】......................................................9

【题型4利用线段垂直平分线的性质探究角度之间的关系】.........................................13

【题型5利用线段垂直平分线的性质证明】........................................................19

【题型6线段垂直平分线的判定】...............................................................24

【题型7尺规作线段垂直平分线】...............................................................27

【题型8线段垂直平分线的判定与性质的综合运用】...............................................31

【题型9线段垂直平分线的实际应用】...........................................................38

，举一反三

【知识点1线段垂直平分线的性质】

线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.反过来，与•条线段两个端点距离相等的点，在这

条线段的垂直平分线上.

【题型1利用线段垂直平分线的性质求长度】

【例1】（2023春・辽宁阜新•八年级统考期末）如图，在A/IBC中，AB、4c的垂直平分线分别交BC于点E、口

若A48c的周长是20,AB=4,AC=7,则△AEF的周长为（）

【答案】C

【分析】先根据△48C的周长公式求得8c=9,再根据线段垂直平分线的性质得到=FA=FC,根

据A4E尸的周长公式计算，即可得到答案.

【详解】解：•••△ABC的周长是20,

+AC+BC=20

'：AB=4,AC=7,

:.BC=9,

・••EG是线段43的垂直平分线，

•••EA=EB,

同理，FA=FC,

AEF的周长=EA+EFFA=EB+EF+FC=BC=9,

故选：C.

【点睛】本题考杳的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相

等是解题的关键.

【变式1-1］（2023春•四川成都.八年级校考期中）如图，△48C中，乙4BC的角平分线8D和4C边的中垂线。E

交于点。，DMJ.的延长线于点M,DNJ.8C于点N.若=3,BC=7,则的长为

【答案】2

【分析】连接/D,CD,由“AAS”可证三/kBDN,可得BM=BN,由“HL”可证Rt△4DM三Rt△COM

可得AM=GV,即可求解.

【详解】解:连接4D,CD,

YBO是乙48c的平分线,

：.z.ABD=乙DBC,

在公80河和^BDN中,

(ADMB=乙DNB=90°

Z.ABD=Z.DBC，

(BD=BD

•MBDM会△BDN(AAS),

：,BM=BN,DM=DN,

•・・。£•是力。的垂直平分线,

：.AD=DC,

在和RtACDN中，

MD=CD

=DN'

•••RtUDMBRtACD/V(HL),

：,AM=CN,

'：AB=3,BC=7,

：.BC-AB=BN+CN-(BM-AM)=2AM=4,

/.AM=2,

故答案为2.

【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，角平分线的性质，灵活运用这些性

质解决问题是本题的关键.

【变式1-21(2023春・福建福州•八年级校考期中)如图，AABC中，平分1BC且平分BC,DE148

于E,DFlAC^F.如果48=5,AC=3,则AE二.

【答案】4

【分析】连接BD,根据角平分线的性质可得尸，根据线段垂直平分线的性质，可得BD=CD,继而可

证得Rt△BED三Rt△CFD,可得BE=CF,再证得△AEDAFDt得至l〃E=AF,设BE=x,由力B-BE=

AC+CF,即可得方程5-工二3+X,解方程求出X,进而可求得4E.

【详解】解：连接BD,CD,

A

【答案】6cm

【分析】根据线段垂直平分线的性质可得ZM=DB,EA=EC,OA=OB=OC,从而可求出BC=11cm,然

后根据△08。的周长为23cm,即可求出。8的长，即可解答.

【详解】解：••・0M是的垂直平分线，

DA=DB,0A=0B,

•••ON是力C的垂直平分线，

•••EA=EC,OA=0C»

•••OB=0C,

•••△ACE的周长为11cm,

:.AD+DE+AE=11cm,

:.BD+DE+CE=11cm,

•••BC=11cm,

•••△OBC的周长为23cm.

•••08+OC=23-11=12cm,

•••OB=OC=6cm,

•••OA=OC=6cm,

故答案为：6cm.

【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等

是解题的关键.

【题型2利用线段垂直平分线的性质求最值】

【例2】（2023春•甘肃陇南•八年级统考期末）如图，在△48。中，AB=5,AC=7,BC=10,EF垂直平

分8C,点P为直线EF上的任一点，则△4BP周长的最小值是.

AE

【答案】12

【分析】根据题意知PB=PC,故当点尸与点。重合时，AP+8P的最小值等于AC的长，根据;IB,AC的长

度即可得到△力BP周长的最小值.

【详解】解：连接PC,设4c交E户于O,

AE

•・飞/垂直平分8。，

：.PB=PC,

・••当P和。重合时，力0+BP的值最小，最小值等于4c的长，

'：AB=5,AC=7,

:.A4BP周长的最小值是AB+46=5+7=12.

故答案为：12.

【点睛】此考查了垂直平分线的性质、最短路径等知识，熟练学握垂直平分线的性质是解题的关键.

【变式2-1］（2023春•江西九江•八年级统考开学考试）如图，在△ABC中，AC=4,BC边上的垂直平分线

分别交BC、4B于点。、E,若△AEC的周长是11,则直线DE上任意一点到A、C距离和最小为（）

A.28B.18C.10

【答案】D

【分析】利用垂直平分线的性质和已知的三角形的周长计算.

【详解】解：・・・。£是的中垂线，

；・BE=EC,

^\AB=EB+AE=CE+EA,

又•••△4EC的周长为IL

故4B=ll-4=7,

直线。E上任意一点到A、C距离和最小为7.

故选:D.

【点睛】本题考查的是轴对称-最短路线问题，线段垂直平分线的性质（垂直平分线上任意一点，和线段两

端点的距离相等）有关知识.难度简单.

【变式2-2]（2023春・山东济南•八年级统考期中）如图，在△ABC中，AB=AC,分别以点A、8为圆心，

以适当的长为半径作弧，两弧分别交于E,F,作直线EF,D为8c的中点，M为直线EF上任意一点.若BC=2,

△/WC面积为3,则。M+M。长度的最小值等于.

【答案】3

【分析】连接AD,AM,利用等腰三角形的性质得到4。1BC,根据三角形面积公式求出4。=3,利用基本作

图得到Er垂直平分48,则=所以BM+MD=MA+MD2AZ）,当月.仅当4、M、。共线时取等

号，从而得到BM+MD的最小值.

【详解】解：连接力DMM,如图，

VAB=AC,。为BC的中点,

：,AD1BC,

IAABC的面积为3,

：.^x2AD=3,

解得AD=3,

由作法得E5垂直平分4B,

：.MA=M8,

•；BM+MD=MA+MD>AD,

••・当且仅当4、M、。共线时，MA+MO的最小值为3,

.•・BM+MD的最小值是3.

故答案为：3.

【点睛】本题考查了作图-基本作图-作已知线段的垂直平分线，等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质

和最短路径问题，确定出当且仅当4、M、。共线时，MA+M。取得最小值是解题的关键.

【变式2-3］（2023春・山东青岛•八年级校考期末）如图，在△4水:中，NA=54。，ZC=76°,。为AB中点,

点P在AC上从C向A运动；同时，点。在8c上从B向。运动，当/尸Z）Q=时，△PDQ的周长

最小.

【答案】28。/28度

【分析】根据两点之间线段最短，把三角形的周长转化为一条线段的长，利用三角形的内角和及平角的定义

求解.

【详解】过点。作J_4C于N,并截取Nr=OM过点。作QE_LAC于M,并截取ME=QM,连接石F,

贝lj的长为△PDQ的最小值，

根据作图知：AC垂直平分。E,8C垂直平分。F,

:.DQ=FQ,PD=PE,

DQ+DP+PQ=FQ+PE+PQ,

根据两点之间线段最短，所以七户的长是△户。。的最小值，

此时有：/FDQ=)DQP,/MDP=)DPQ,

在AA8C中有NA=54。，ZC=76°,

.\ZB=I8O°-ZA-ZC=50°,

・・・NBON=40。，NAOM=36。，

/.NPOQ=180。-ZBDN-NADM-/FDQ-NMDP

=180。-40。-36T(NDQP+NDPQ)

=(ISO0-NPDQ)

=104°-90°+1ZPDC，

解得：/尸。Q=28°.

故当NPDQ=28。时，△尸。。的周长最小.

故答案为：28°

【点睛】本题考查了最短路径问题，通过轴对称把问题进行转化是解题的关键.

【题型3利用线段垂直平分线的性质求角度】

【例3】(2023春・福建宁德•八年级统考期中)如图，在△力BC中，点M,N为AC边上的两点，AM=NM,

BM1AC,ND人BC于点D,且NM=NO,若=a,则NC=()

A

A.B.90°-；aC.120°-aD.2a-90°

22

【答案】D

［分析］根据看垂直平分线的性质可得=乙NBM=90°—a,NM=ND和BM1AC,ND1EC可得BN

平分WDM,进而得到N4BM=NO8N=4N8M=90。-。，最后由三角形内角和求出NC即可.

【详解】：AM=NM,BMLAC,匕4=a,

=乙NBM=90°-a,

•:NM=ND,BM1AC,ND1BC,

；・BN平分乙NDM,

•••//IBM=Z.DBN=乙NBM=90°-a,

：,LABC=4ABM+乙DBN+乙NBM=270°-3a,

：.LC=1800-Z.A-乙ABC=180°-(270°-3a)-a=2a-90°,

故选：D.

【点睛】本题考杳垂直平分线的性质，角平分线的判定定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学

知识解决问题，属于中考常考题型.

【变式3-1］(2023春•安徽池州•八年级统考开学考试)如图,△谢中,BD平分匕ABC,8c的中垂线交BC于

点、E,交BD于点尸，连接CF.若乙4=60。，Z.ACF=48°,则〃BC的度数为.

【答案】48°

【分析】由角平分线的定义可得=MCD,由垂直平分线的性质可得BF=CF,从而得到"8C=乙FCB,

进而得到ZABD=乙FBC=乙FCB、由三角形内角和定理进行计算即可得到答案.

【详解】解：•••80平分乙力8C,

AZ.ABD=乙BCD,

•••E"垂直平分8C,

:•BF=CF,

:•乙FBC=乙FCB,

/.ABD=乙FBC=乙FCB,

•••Z.A+/.ACF+乙ABD+乙CBD+乙BCF=180°,Z-A=60°,Z-ACF=48°,

.%Z.ABD=Z.CBD=Z.BCF=24°,

:./.ABC=2Z.ABD=48°,

故答案为：48°.

【点睛】本题主要考查了垂直平分线的性质、三角形内角和定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键.

【变式3-2］（2023春•四川甘孜•八年级统考期末）如图，在△/WC中，=32。，乙ZMC的平分线AO交3c于

点D,若DE垂直平分力8,求NC的度数.

【答案】LC=84°

【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到。4=。氏2ZM8=48=32。，再根据角平分线的定义、三角形

内角和定理计算即可.

【详解】解：・・・DE垂直平分4B,

：.DA=DB,

：.LDAB==32°,

••YD是NB4C的平分线，

：,LCAB=24DAB=64°,

：.LC=180°-/.CAB-乙B=180°-64°-32°=84°,

：,LC=84°.

【点睛】本题考杳了线段的垂直平分线的性质、三角形内角和定理、角平分线的定义.掌握线段的垂直平分

线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键.

【变式3-3］（2023春河北保定•八年级统考期中）如图，在A4BC中，4/平分43工。，3/平分乙4BC,点。是

AC.BC的垂直平分线的交点，连接A。、BO,若440B=a,则NA/B的大小为（）

【答案】B

【分析】连接C。并延长，根据线段垂直平分线的性质得到。4=0C,OB=OC,根据等腰三角形的性质得到

乙。。1=匕。力。，乙OCB="BC,根据三角形的外角性质计算，得到乙4。8二；（乙。乙4+乙。。8）=戊.根据

三角形内角和定理得到乙〃8+乙1BA=180°-41/8,根据角平分线的定义得到+乙IBA=90。一%

4

求出乙4/B.

【详解】解：连接C。并延长，

•••点0是4C、8c的垂直平分线的交点，

0A=OC,OB=OC,

Z.OCA=Z.OAC,Z.OCB=Z-OBC>

♦:(AOD是440C的一个外角,

:.Z.AOD=Z.OCA+Z.OAC=2/.OCA»

同理,Z.BOD=2Z.OCB,

:.Z.AOB=Z.AOD+乙BOD=2LOCA+2/.OCB=a,

：•Z.OCA+Z.OCB=一,

2

Z.ACB=p

-LBAC,8/平分乙ABC,

•••HAB=-Z.CAB,UBA=-Z.CBA,

22

•••Z.IAB+/.IBA=\QCAB+LCBA)=\(180°一4ACB)=90°-

:.Z.AIB=180°-(zMfi+Z-IBA)=90°++

故选：B.

【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质、角平分线的定义、三角形内角和定理，掌握线段的垂直平

分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键.

【题型4利用线段垂直平分线的性质探究角度、线段之间的关系】

【例4】(2023春♦福建三明•八年级统考期末)如图，四边形A8CO是长方形，£是边。。的中点，连接A£

并延长交边8c的延长线于凡过点£作4b的垂线交边8C于M,连接AM.

(1)请说明"DE9bFCE，、

(2)试说明4M=8C+MC；

(3)设SAAEM=S/，S&ECM=S2,S&ABM=53,试探究5/,Sz，S3三者之间的等量关系，并说明理由.

【答案】⑴见解析；(2)见解析：(3)S3=2S,-4S2,理由见解析.

【分析】(1)根据ASA可证得AADEgXFCE；

(2)由(1)可得AE=EF,AD=CF,根据垂直平分线的性质可得再由线段等量关系即可说明4M=8C+MC；

(3)由AE=EF得出SAECF=S1-S2,再由底和高的倍数关系得到&ABF=4SAECF=4S「4s2，从而根据

S3=SAAB『SAMAF得到结果.

【详解】解：(1)•・•£：是边C。的中点，

/.DE=CE,

•・•ZD=ZDCF=90°,ZDEA=ZECF,

A^ADE^AFCE(ASA):

(2)由(1)得AE=EF,AD=CF,

・••点E为AF中点，

VME±AF,

JAM二MF,

VMF=CF+MC,

VAD=BC=CF,

.\MF=BC+MC,

即AM=BC+MC；

(3)S3=2S「4s2，理由是：

由(2)可知：AE=EF,AD=BC=CF,

/.S1=SAMEF=S2+SAECF»

SAECF=SI-S2»

VAB=2EC,BF=2CF,ZB=ZECF=90°,

**•SAABF=4SAEC卜=4S「4s2，

:'SS=SAABF-SAMAF=SAABF-2SI=2S-4S?.

【点睛】本题考杳了长方形的性质，全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，勾股定理。熟记性

质并找出三角形全等的条件是解题的关键.

【变式4-1］（2023春・陕西西安•八年级西安市铁一中学校考期末）△ABC的两边AB、AC的中垂线交于边

8c上的尸点，则线段以和8c的关系正确的是（）

A-PA<>B.P//BCC.PA>lBCD.PA>^BC

【答案】B

【分析】依据线段垂直平分线的性质，即可得到AP=8P=CP,进而得出线段雨和BC的关系.

【详解】解：如图所示，△A4C的两边A3、AC的中垂线交于边4c上的。点，

A

2/7/

BC

：.AP=BP,AP=CP,

故选：B.

【点睛】本题考查垂直平分线的性质.线段垂在平分线上的点到战段两端的距离相等.

【变式4-2]（2023春•河南平顶山•八年级统考期末）如图，。尸是NMON的平分线，点A在射线OM上，P,

Q先直线ON上的两动点，点Q在点尸的右侧，且~Q=S4,作线段OQ的垂直平分线，分别交直线（开,

ON于点、B,点、C,连接/W,PB.

⑴如图I,请指出与刊?的数量关系，并说明理由.

⑵如图2,当P,Q两点都在射线ON的反向延长线上时，线段A〃，是否还存在（I）中的数量关系？若

存在，请写出证明过程：若不存在，请说明理由.

【答案】（1）48=P8,理由见解析

（2）存在，理由见解析

【分析】（1）连接8Q,根据BC垂直平分。Q,可知80=BQ,则4BOQ=4BQ。，根据。产平分4MON,

贝IJ/40B=乙BOQ,即440B=4BQO,根据。力=QP,可知△AOB珏PQB,则可知48=PB；

（2）如图，连接8Q,根据8c垂直平分OQ,可知8Q=BO,CQ=C。结合条件可证△BQCBOC,则N8Q。=

（BOQ,根据。小平分ZMON,乙BOQ=LFON,可知4/10尸==480Q,则乙4。5=48Q。，进而可知

/.AOB=/.PQB,由此可证△40B三ZkPQBCSAS）,则=PB.

【详解】（1）解：AB=PB

理由如下：

连接8Q

M

OpcQT~N

•・MC垂直平分OQ

：,B0=BQ

：,LBOQ=乙BQO

^OF^^LMON

：.LAOB=乙BOQ

：.^AOB=乙BQO

'：0A=QP

：,LAOB三APQB

：,AB=PB；

(2)存在，

理由：如图，连接BQ,

:,BQ=BO,CQ=CO

(BC=BC

在ABQC^WLHOC中，CQ=CO

BQ=BO

:・LBQC三4BOC(SSS)

:.乙BQO=乙BOQ,

乙BOQ=乙FON,

:•乙AOF=^FON=LBOQ,

J.^AOF=乙BQO,

・LAOB=乙PQB,

(OA=PQ

在△A08和△PQ8中，卜/08=4PQ8

(BO=BQ

：.LA0B三APQB(SAS),

：,AB=PB.

【点睛】本题考查了线段垂直平分线，全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问

题，学会用转化的思想思考问题，本题属于中考常考问题.

【变式4-3](2023春•山东日照•八年级统考期末)如图1,在直用A/WC中，ZC=90°,分别作ZCAZ?的平

分线AP和AB的垂直平分线OP,交点为P.

图1图2图3

(1)如图2,若点、P正好落在BC边上.

①求N8的度数；

②求证：BC=3PC.

(2)如图3,若点、C、尸、。恰好在一条直线上，线段A。、PD.8c之间的数量关系是否满足AD+PO=BC?

若满足，请给出证明；若不满足，请说明理由.

【答案】(1)①NB的度数是30。；②见解析；(2)满足，理由见解析

【分析】(1)①由垂直平分线与角平分线的性质证明：ZPAD=ZPAC=ZB,再利用直角三角形的内角和定

理即可得到答案：②先利用角平分线的性质证明POPD,再用/B=30。证明BP=2PD,进而即可得到结论；

(2)过点P作PE±AC于点E,由垂直平分线的性质可知AC=BC,ZACD=ZBCD=45°,进而证明PE=CE,

由角平分线的性质可知PE=PD,即可证明RQAEPgRQADP(HL),可得AE二AD,再利用线段的和差

性质即可证明AD+PD=BC.

【详解】（1）①:DP是AB的垂直平分线,

APA=PB,

/.ZPAD=ZB,

又7AP平分NCAB,

.\ZPAD=ZPAC,

AZPAD=ZPAC=ZB,

设NB=x。，则NCAB=NPAD+NPAC=2x。,

•・•在R£△{8C中，ZC=90°,

AZB+ZBAC=90°,

即3x=90,x=30,

・・・NB的度数是30。.

②TAP平分NCAB,ZC=90°,DP_LAB,

.\PC=PD,

•・•在R@BDP中，ZB=30°,

.\BP=2PD,

.\BC=BP+PC=3PC.

(2)如图，过点P作PE_LAC于点E,

〈CD是AB的垂直平分线，

.\AC=BC,

・•・ZACD=ZBCD=-ZACB=45°.

2

VPE±AC,

・•・ZCPE=90°-ZPCE=90°-45°=45°=ZPCE,

APE=CE,

又•JAP平分/CAB,PD_LAB,PE±AC,

APE=PD,

/.在RtAAEP和RtAADP中，

(AP=AP,

IPE=PD,

ARtAAEP^RtAADP(HL),

AE二AD,

，AC=AE+EC=AD+PE=AD+PD,

XVAC=BC,

.\AD+PD=BC.

【点睛】本题考查了角平分线的性质、垂直平分线的性质、三角形的内角和定理、锐角三角函数、等腰直角

三角形的性质、直角三角形全等的判定与性质、含30。的直角三角形的性质、线段的和差性质，解答本题的

关键是掌握并熟练运用以上知识.

【题型5利用线段垂直平分线的性质证明】

【例5】（2023春•陕西榆林•八年级校考期末）如图，在四边形片8。（7中，4。所在直线垂直平分线段8C,

过点C作CFIIBD交AB于点F,延长AB,CD交于点、E.求证：

（1）四平分/£7?户：

（2）"CF=乙E.

【答案】（1）见解析

（2）见解析

【分析】（1）由40所在直线垂直平分线段得到=CD,从而得至=再利用平行线的性

质可知=再用等量代换即可证明；

（2）由/O所在直线垂直平分线段8C得到AC=AB^ACB=乙ABC,从而得到乙E+（BCE=Z.ACB=^ACF+

乙FCB,再根据■即可得证.

【详解】（1）证明：丁力。所在直线垂直平分线段8C,

：.BD=CD,

:.乙BCD=乙CBD.

*：BD\\CF,

:.乙CBD=乙FCB,

:.乙FCB=乙BCD,

即CB平分“CF；

（2）・・ND所在直线垂直平分线段8C,

:.AC=AB,

：.LACB=乙48c.

,：/-ABC^BCE的一个外角，

/./.ABC=乙E+Z.BCE>

：,z.ABC=ZE+乙BCE=Z.ACB=^ACF+乙FCB.

又•：乙FCB=^BCD,BPZFC5=LBCE,

・••乙4CF=4".

【点睛】本题考查角平分线的定义，三角形的外角的性质，垂直平分线的性质，平行线的性质等知识，掌握

相关定理是解题的关键.

【变式5-1］（2023春・重庆泰江•八年级校联考期中）已知在△力BC中，NCAB的平分线AD与BC的垂直平

分线DE交于点D,DM_LAB与M,DN_LAC交AC的延长线FN,你认为BM与CN之间有什么关

系？试证明你的发现.

【答案】BM=GV,证明见解析.

【分析】如图（见解析），先根据角平分线的性质可得DM=DN,再根据垂直平分线的性质可得8D=CD,

然后根据直角三角形全等的判定定理与性质即可得.

【详解】BM=CN,证明如下：

如图，连接BD,CD,

：AD平分乙8AC,DMLAB.DNLAC,

：.DM=DN,

•/DE垂直平分BC,

：・BD=CD,

在RtABMD与RtACND中,幽二累

lBD=CD

；・RtABMDSCND(HL),

：.BM=CN.

【点睛】本题考查了角平分线的性质、垂直平分线的性质、直角三角形全等的判定定理与性质，通过作辅助

线，构造全等三角形是解题关键.

【变式5-2]（2023春・陕西咸阳•八年级统考期末）如图，在RtZkABC中，Z4CB=90。，点E;尸在48上，

，连接工CE,CF,MCF=BF.已知乙4=50°,^ACE=30°,试证明zCFE=iCE凡

A

【答案】证明见解析

【分析】如图所示，取BC中点G,连接/G,证明FG在线段BC的垂直平分线上，得至l"FGC=/FG8=90°,

进而证明△FGC三A/GB得至1叱只;6=2/86,利用三角形内角和定理求出N/CB==40。，再利用三角

形外角的性质分别求出/CFE、/CE/的度数即可证明结论.

【详解】证明：如图所示，取8C中点G,连接尸G,

*：CF=BF,

・・・FG在线段BC的垂直平分线上，

：.FG1BC,

：.LFGC=乙FGB=90°,

又VFG=FG,CG=BG,

：,LFGC三△FGB(SAS),

：.LFCG=乙FBG,

在在Rt△力BC中，LACB=90°,LA=50°,

:YB=180°-£.ACB-^A=40°,

:YFCB=LB=40°,

：.LCFE=乙FCB+NB=80°,

XVzCEF=z/1=50°+/-ACE=80°,

AzCFE=乙CEF.

【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，线段垂直平分线的性质，三角形外角的性质，三角形内

角和定理等等，证明乙FCG二4尸BG是解题的关键.

【变式5-3］（2023春・福建龙岩•八年级校考开学考试）已知（如图），在中，。是BC的中点，过点。的

直线GF交AC于点F,交4c的平行线8G于点G,DELGF,交48于点E,连结EF.

⑴求证：BG=CF.

（2）试判断BE+。尸与EF的大小关系，并说明理由.

【答案】（I）见解析

（2）BE+CF>EF,理由见解析

【分析】（1）先利用ASA判定486。三从而得出BG=CF；

（2）再利用全等的性质可得GO=F0,再有。£IGF,从而得出EG=EF,两边和大于第三边从而得出BE+

CF>EF.

【详解】(1)证明：•:BGIIAC,

•••Z.DBG=Z.DCF.

•••D为8c的中点，

BD=CD,

在△BGD与△CFO中，

(Z.DBG=乙DCF

BD=CD,

IxBDG=乙CDF

:MBGD三△CTO(ASA).

ABG=CF.

(2)解：BE+CF>EF.

理由如下：连接EG,

GD=FD,BG=CF.

又DE1FG,

•••。后垂直平分打；，

:.EG=EF.

二在中，BE+BG>EG,

即BE+CF>".

【点睛】本题考查三角形全等的判定和性质、线段垂直平分线的定义和性质等知识，熟练掌握全等三角形的

判定方法并根据条件灵活选择是解题的关键.

【知识点2线段垂直平分线的判定】

到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上，（这样的点需要找两个）

【题型6线段垂直平分线的判定】

【例6】（2023春.吉林长春•八年级长春外国语学校校考期中）如图,4。是的角平分线，DE,0户分别

是和△ACD的高.

（1）求证：4。垂直平分EF；

(2)若4B=3,AC=2,△4BC的面积是4,则OE=_.

【答案】（1）见解析

【分析】（1）由角平分线的性质得OE=0几再由三Rtz\/1尸D（HL）,得4E=4尸，从而证明结论;

（2）根据三角形的面积公式，代人计算即可.

【详解】（1）・・・/D是△48C的角平分线，DE.DF分别是△48D和△力CO的高，

:,DE=DF,

在RtzMED与AFD中，

（AD=AD

IDE=DF'

:.RtA/lFD^RtA/lFDCHL）,

：,AE=AF,

*：DE=DF,

・・/O垂直平分EF；

（2）*：DE=DF,

:・SXABC=S^ABD+SMCD=•ED+^AC-DF=^DE（AB+AC）=4,

*：AB=3,AC=2,

：.DE=1，

故答案为:

【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定等知识，熟练

掌握角平分线的性质是解题的关键.

【变式6-1］（2023春・陕西宝鸡•八年级统考期中）如图所示，已知AD1BC于点D,BD=DC,AB+BD=DE,

求证：点C在4E的垂直平分线上.

【答案】见解析

【分析】由AD1BC,BD=DC,得至1］力。是8c的垂直平分线，因此力B=4C.再根据力8+8。=DE,可推

l\\AC=CE,因此得证点C在AE的垂直平分线上.

【详解】'：AD1BC,BD=DC,

・•//）是BC的垂直平分线，

,,AB=AC.

TAB+BD=DE,

：.AB+BD=CD+CE=AC+CD,

：.AC=CE,

・•.点C在AE的垂直平分线上.

【点睛】本题考查垂直平分线的性质与判定，熟练掌握垂直平分线的性质与判定是解题的关键.

【变式6-2］（2023春•四川成都・八年级统考期末）如图，在A/IBC中，Z-ACB=90°,CD1AB于点D,BE平

分乙4BC交4C于点E,交。。于点F,过点E作EGIICD,交A8于点G,连接CG.

(1)求证：Z/14-Z.AEG=90°；

(2)求证：EC=EG；

(3)若CG=4,BE=5,求四边形BCEG的面积.

【答案】(1)见解析

⑵见解析

(3)四边形8CEG的面积为10.

【分析】(1)证明EGJLAB,即可证明结论成立；

(2)利用角平分线性质定理即可证明结论成立；

(3)证明RtAEBG三RtZkEBC(HL),推出BE是线段CG的垂直平分线，利用四边形的面积公式即可求解.

【详解】(1)证明：VEG||CD,CD1AB,

：,EGLAB,

J乙力+/AEG=90°；

(2)证明：・・・BE平分4ABC,EGLAB,乙4c8=90°,

；.EC=EG,

(3)解：\'EC=EG,EB=EB,

ARt△EBG三RtAE^C(HL),

:・BC=BG,

•••BE是线段CG的垂直平分线，

，四边形8CEG的面积=18ExCG=^x5x4=10.

【点睛】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定，解题的关键是灵

活运用所学知识解决问题.

【变式6-3](2023春•陕西汉中•八年级统考期末)如图，力。与BC相交于点O,AB=CD,乙48c=4ZM,

EB=ED,连接。£,BD,求证；0£垂直平分BD.

jC

【答案】见解析

【分析】先证明△力8。三△C。。得到。8=。。，再由EB=E。即可证明。£垂直平分8D.

【详解】证明：在A/WO和△CD。中，

(Z.AOB=Z.COD

1/.AB0=Z.CDO

(AB=CD

•••△4B0WACD0(AAS),

•••OB=OD,

又•:EB=ED,

OE垂直平分8D.

【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，线段垂直平分线的判定，证明△AB。三△CD。得到。8=

。。是解题的关键.

【题型7尺规作线段垂直平分线】

【例7】(2023春・山东威海•八年级统考期末)如图，在△力BC中，AB=AC,请用尺规作图法在4c上求作

一点M,使MC+MB=AC,并连接MB.(保留作图痕迹，不写作法)

【答案】见解析

【分析】根据题意，作A8的垂直平分线与4c的交点即为点M,即可解答.

【详解】•••在AC上求作一点M,

AM+MC=AC,

•••MC+MB=AC,

即点M在线段48的垂直平分线上.

如图，点M即为所求.

八

R

【点睛】本题考查了尺规作图-垂直平分线，垂直平分线的性质，熟知垂直平分线的性质是解题的关键.

【变式（2023春・湖南郴州•八年级统考期末）如图，在△力8c中，IB=4C=5,BC=8.

（I）尺规作图：作边力。的垂宜平分线交于点。，连接力0（要求：保留作图痕迹，不必写作法和证明）；

（2）在（1）作出的图形中，求△/IBO的周长.

【答案】（1）见解析

⑵13

【分析】（1）根据垂直平分线的作法，作出AC的垂直平分线；

（2）根据垂直平分线的性质得出4）=CD,进而根据A8+BD+4D=/B+BD+DC=4B+BC,即可求

解.

【详解】（1）如图，

（2）・・NC的垂直平分线交BC于点。

：,AD=CD

工A48。的周长为：AB+BD+AD=AB+BDDC=AB+BC=13

【点睛】本题考查线段垂直平分线的作法和性质，解题的关键是正确画出图形.

【变式7-2]（2023春•广东深圳•八年级深圳市福田区上步中学校考期中）如图,已知△ABC,ABVBC,用

尺规作图的方法在BC上取一点P,使得PA+PB=BC,则下列选项正确的（）

B

【答案】B

【分析】利用PB+PC=BC,PA+PB=BC,,则可判断PA=PC,根据线段垂直平分线的性质得到点P

为的垂直平分线与BC的交点，然后利用基本作图对各选项进行判断.

【详解】解：・：PB+PC=BC,PA+PB=BC,

：.PA=PC,

・••点P在线段AC的垂直平分线上，即：点。为力C的垂直平分线与的交点.

故选：B.

【点睛】此题考查了线段垂直平分线的判定以及尺规作图，解题的关键是掌握尺规作图的方法，并通过题意

确定点P的位置.

【变式7-3](2023春•上海闵行♦八年级校考期中)如图，点。在/力。8外，点。在边04上，按要求画图，

写出作图结论，并填空.

(1)过点P分别画PEJ.04,PF1OB,垂足分别是E、F.

(2)连接PQ,用尺规作线段PQ的垂直平分线MN.

(3)过P、。两点分别作04、OB的平行线交于点G；若乙408=120。，贝【JNG=

【答案】（1）见解析

Q）见解析

（3）见解析；60°

【分析】（1）先延长4。，然后再过点尸作PEJLOA于点E,过点P作PF108于点尸即可；

（2）分别以点Q和点。为圆心，大于为半径画弧，两弧交于两点“、N,连接MN即可;

（3）根据要求作图，然后根据平行线的性质进行求解即可.

【详解】（1）解：如图，PE,PF为所画的垂线；

（3）解：如图，PG、QG为所求作的平行线;

:"OQG=180°-乙AOB=60°,

・・・PG||04

・••乙PGH=乙OQG=60°.

故答案为：60°.

【点睛】本题主要考查了垂直平分线作图，作垂线，平行线的性质，解题的关键是熟练掌握基本的作图方法,

平行线的性质.

【题型8线段垂直平分线的判定与性质的综合运用】

【例8】(2023春・广东河源•八年级校考期中)如图：在A/IBC中，点。是8C的中点，点E,F分另！在48,4c边

上，旦DE1DF.

(1)猜想:EF_BE+CF(填上“<”、"=”或“>”)；

⑵证明你的猜想.

【答案】⑴v

(2)见解析

【分析】(1)根据图形直接作答即可；

(2)如图，延长F。至G,使FO=GD,连接8G,EG.证明△CDF三△BDG,推出CF=8G,得出ED垂直平

分FG,可得EF=EG,然后根据三角形的三边关系和线段间的代换即可证得结论.

【详解】(1)猜想：EF<BE+CF；

故答案为：<;

(2)证明：如图，延长FO至G,使FD=GD,连接BG,EG.

•.•点。是的中点，

:.BD=CD.

在ACOF和aBOG中，

(CD=BD,

ZCDF=乙BDG,

(FD=DG,

••△CDF=△BDG.

CF=BG.

•••DE1DF,

，£。垂直平分尸6,

EF=EG.

•••EG,BE,8G组成了一个三角形,

BE+BG>EG,

又EF=EG,CF=BG,

：•BE4-CF>EF.

【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、三角形的三边关系以及线段垂直平分线的性质，正确添加辅

助线，证明三角形全等是解题的关键.

【变式8-1](2023春•福建福州•八年级统考期末)如图,已知NA8C=NA/)C=90。，BC=CD,CA=CE.

备用图

(1)求证：^ACB=ZACD,

(2)过点E作交4c的延长线于点M,过点M作MPJ_OC,交0c的延长线于点P.

①连接P,交AM于点M证明AM垂直平分PE；

②点。是直线人石上的动点，当MO+PO的值最小时，证明点O与点石重合.

【答案】(I)见解析

(2)①见解析：②见解析

【分析】(1)用HL证明M/kABC丝心AAOC,即可得到结论;

(2)①证明△NECq^NPC(SAS)即可；

②作。点关于AE的对称点PT连接MP'交4E于点O,证明N.MP/=30。即可.

【详解】（1）证明：在用ZkABC和即△AQC中，

BC=CD,AC=AC,

ABC^RtLADC,

,ZACB=ZACD：

(2),:RmABC沿RtbADC,

：.^BAC=ZCAD,

*：CA=CE,

:・NCAE=NCED,

*/N£BA=90°,

JZBEA=ZBAC=ZCAE=30°,

VPD±AE,MPA.PD,

J.AE//MP,

/.NPMC=NM4E=30。，

♦：ME〃AB,

・•・ZMEB=90°,

AZMEA=120°,

,/NMAE=30。，

/.NEM人=30°,

•・"_LMP,CEA,ME,

：.ZMCP=ZMCE=60°t

•••△NEC丝△NPC(SAS),

:・EN=PN,

N是EP的中点，NC_LPE,

・・・4M垂直平分PE：

②作尸点关于AE的对称点P',连接MP，交AE于点O,

YAM垂直平分尸E,

；・ME=MP,

NEMP=60°,

工ZA/PE=60°,

・•・Z£PZ>30°,

，NP』30。，

/.ZMP'P=30。,

•・•NMEP=60°,

，。点与E点重合.

【点睛】此题考查了全等三角形的判定及性质定理，线段垂直平分线的判定及性质，轴对称的性质，正确掌

握全等三角形的判定及性质定理是解题的关键.

【变式8-2］（2023春・河北唐山•八年级统考期中）如图，在△48。中，^ABC=45°,八。，%分别为8C、AC

边上的高，AD.相交于点足下列结论：®^FCD=45°；®AE=EC.③，左"3.忆=力。：F。；④若

BF=2EC,则=

正确的结论序号是（）

A

BDC

A.①®B.®@®C.②③④D.①③④

【答案】D

【分析】根据垂直定义可得乙4〃%=(ADC=9。\再利用N48C=45。得到4〃=BD,从而可证明△BD卜三

△/DC,进而得到FO=CD,即可判断①；根据BE1AC,即可判断②，根据三角形面积公式和

它们有一条公共边可得#=给即可判断③，若8F=2EC,根据△8。户外40。可以得到"=",从

SRAFCCD

而可得E是4c的中点，然后可以推出EF是4c的垂直平分线，最后由线段垂直平分线的性质即可判断④.

【详解】解：♦.•AOJLBC,

:.Z.ADB=4ADC=90°,

•••Z.ABC=45°,

Z.BAD=90°-Z-ABD=45°,

•••AD=BD,

vBE1AC,

:.Z.BEC=90°,

AAEBC+zC=90。，

vZ.EBC+乙BFD=90°,

•••/BFD=乙C,

•••△BDF三△力DC(AAS),

•••DF=CD,

NFCD=4DFC=45°,故①正确；

vAB丰BC,BE±ACt

:.AEfEC,故②不正确；

...S^ABF__吗

•^AFC~\AFCD-CD'

•，•S“8F：S^AFC=AD:FD,故③正确;

,*,△BDFADC,

•••BF=AC

•••BF=2EC,

.'.AC=2EC,

・•.E为AC的中点,

vBE1AC,

BE为线段4的垂直平分线，

BA=BC,故④正确，

所以，正确结论的序号是：①③④，

故选:D.

【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握手拉手噗型-旋转型全等是解题的关键.

如图①，在△ABC中，若AB=8,AC=4,求BC边上的中线AD的取值范围是

（2）问题解决：如图②，在△ABC中D是BC边上的中点，DE_LDF于点D,DE交AB于点E,DF交AC

于点F,连接EF,求证：BE+CF>EF：

（3）问题拓展：如图③，在四边形ABCD中，ZB+ZD=180°,CB=CD,ZBCD=140°,以C为顶点作一个

70角的两边分别交AB,AD于E,F两点，连接EF,探索线段BE,DF,EF之间的数量关系，并加以证明.

【答案】（1）2<AD<6；（2）证明见解析；（3）BE+DF二EF,证明见解析

【分析】（I）如图1（见解析），先根据三角形全等的判定定理与性质得出BE=4C=4,再根据三角形的

三边关系定理即可得；

（2）如图2（见解析），先问（1）,根据三角形全等的判定定理与性质得出8M=C几再根据垂直平分线

的判定与性质得出EM=EF,然后根据三角形的三边关系定理、等屈代换即可得证；

（3）如图3（见解析），先根据角的和差得出/NBC=ZD,再根据三角形全等的判定定理与性质可得CN=CF,

乙NCB=dCD,从而可得乙ECN=70。="6,然后根据三角形全等的判定定理与性质可得EN=",最

后根据线段的和差、等量代换即可得.

【详解】（1）如图1,延长AD至E,使=连接BE

,・，AD是BC边上的中线

:,BD=CD

(BD=CD

在ABOE和△CO4中，\z.BDE=LCDA

\DE=DA

：,LBDE=^CDA(SAS)

：,BE=AC=4

在A/18E中，由三角形的三边关系得：AB-BE<AE<AB+BE

，8—4〈力E<8+4,即4VAEC12

.*.4<AD+DE<12,即4<2AD<12

・・・2<AD<6

故答案为：2<AD<6；

(2)如图2,延长PD至点M,使DM=DF,连接BM、EM

同(1)得：△BMD=△CFD(SAS)

：,BM=CF

,：DE1DF,DM=DF

•••DE是MF的垂直平分线

：.EM=EF

在ABME中，由三角形的三边关系得：BE+BM>EM

：.BE+CF>EF；

(3)BE+DF=EF；证明如下：

如图3