著名机构八年级数学秋季班讲义第20讲：期末复习教师版

八年

期末复习

内容分析

本讲整理了八年级上学期的四个章节内容，重点是二次根式的混合运算、一元二次方程

的求解及应用、正反比例函数的综合及几何证明，难点是二次根式的混合运算及几何证明中

需要添加辅助线和直角三角形的性质及推论的综合运用，希望通过本节的练习，可以帮助大

家把整本书的内容串联起来，融会贯通，更快更好的解决问题.

知识结构

二次根式的

性质

—

二次

根式

二次根式的运

算

八年

选择题

【练习1】下列二次根式中，最简二次根式是（）

A.£B.亚C.后

D.同

【难度】★

【答案】B

［解析］:J0.5=；V50=5-72.

【总结】本题考查了最简二次根式的定义.

【练习2】若一元二次方程依2-2x+1=0有两个实数根，则。的取值范围正确的

是()

A.a>\B.a<\C.且ax()D.()<a<l

【难度】★

【答案】C

【解析】因为方程有两个实数根，故△=/-4ac=(-2)2-4x420,则

又因为一元二次方程的二次项系数不为零，即。工0:故aVl且a*0.

【总结】本题考查了一元二次方程根的情况.

【练习3】如果正比例函数图像与反比例函数图像的一个交点的坐标为(2,3),那么另一个

交点的坐标为().

A.(-3,-2)B.(3,2)C.(2,-3)D.(-2,-3)

【难度】★

【答案】D

【解析】反比例函数的图像与正比例函数图像的两个交点关于原点对称.

【总结】本题考查了反比例函数图像的性质.

【练习4】下列命题中，哪个是真命题()

A.同位角相等

B.两边及其中一边所对的角对应相等的两个三角形全等

C.等腰三角形的对称轴是底边上的高

D.若PA=PB,则点尸在线段A8的垂直平分线上

【难度】★

【答案】D

【解析】A中只有两条直线平行，同位角相等；8中'S-5-A'不能证明三角形全等;

C中等腰三角形的对称轴是底边上的高所在直线，对称轴应该是直线；

。中是垂直平分线的性质.

【总结】本题考查了平行线性质，全等三角形的判定，对称轴及垂直平分线性质.

【练习5】以下说法中，错误的是()

A.在AABC中，ZC=ZA-ZB,则AASC为直角三角形

B.在AABC中，若NA：NB：ZC=5:2:3,则AABC为直角三角形

C.在^ABC中，若a=2c,b=+c,则△A8C为直角三角形

55

D.在AABC中，若a:6:c=2:2:4,则AABC为直角三角形

【难度】★

【答案】D

【解析】选项力、8均由三角形内角和定理可求得NA=90。；C由勾股定理可得AABC为直

角三角形；。中有三边关系知构造不了三角形，故错误.

【总结】本题考查了直角三角形的判定.

【练习6】关于x轴上有一点A到点B(-3,4)的距离是5,则点A的坐标是()

A.(-6,0)B.(0,0)

C.(-6,0)或(0,0)D.以上都不对

【难度】★

【答案】C

【解析】过点8作x轴的垂线交x轴为点C,则点C的坐标为(-3,0),又因为点8到x轴

的距离为4,所以由勾股定理可得点A的坐标为(-6,0)或(0,0).

【总结】本题考查了勾股定理的应用.

【练习7】二J化简成最简二次根式后等于()

格-1)一

Xyf-X

l-xl-x'x-l

【难度】★★

【答案】C

3

【解析】•••7^720,:.-x>0,即X40,x—1<0,故原式.故选C.

(x-l)2l-x

【总结】本题考查了二次根式的化简.

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【练习8】某同学做了以下四题，其中做错的有()

①7^7=4/；®75a-710a=5a®\!3a--Jlci=y/a.

③"出=犷1=&；

A.1个B.2个C.3个D.4

【难度】★★

【答案】B

【解析】①③正确；②④错误；②中国•阿=屈？=5后。：

④中7^7=(当-,故选B.

【总结】本题考查了二次根式的运算及化简.

【练习9】如果关于x的方程(x+〃)(x+/?)+(x+b)(x+c)+(x+c)(x+々)=0(学।。、b、

均为正数)有两个相等的实数根，则以。、力、c为长的线段促成的是().

A.等腰非等边三角形B.等边三角形

C.直角三角形D.不能确定形状

【难度】★★

【答案】B

【解析】原方程可以整理为3x?+2(iz+/?+c)x+(ah+hc+ac)=0

,・,方程有两个相等的实数根，「•△=[2(〃+b+c)(一4x3x(〃人+be+〃c)=。

整理得：4c/+4/?2+4c2-4ab-4bc-4ac=0

即2(a-b)2+20-c)2+2(a-c)2=0

a-h=0,Z?-c=0,a-c=0,a=b=c

・•.三角形为等边三角形.

【总结】本题考查了一元二次方程根的判别式及配方的运用.

【练习10]已知一直角三角形ABC的三边为a、b、c,NB=90。，那么关于x的方程

a(f-l)-2cx++1)=0的根的情况是().

A.有两个相等的实数根B.有两个不相等的实数根

C.没有实数根D.无法确定

【难度】★★

【答案】A

【解析】解：•.•N8=90°,.•./+°2=/?2

化简原方程为：(a+b)x2-2cx+b-a=0,z.A=4c2-4(/?2-a2)=4c2-4c2=0,

，方程有两个相等的实数根，故选项A正确.

【总结】本题考查了勾股定理的应用及根的判别式的综合运用.

【练习11】多项式4*2+8x7进行因式分解正确的是()

A.(x+^^)(x+^^)B.(4X+4+2A/5)(4X+4-2V5)

22

C.(2x+2+石)(2x+2-6)D.4(x+2+q(x_2-«)

22

【难度】★★

【答案】C

【解析】解：44X2+8X-1=0,由A=82-4X4X(-1)=80>0

2+逐2-石

由公式法得：引,Xj-

2-2

所以4f+8x-I=4x+^^-x+^^-=(2x+2+6)(2x+2-造),

22

故选C.

【总结】本题考查了一元二次方程的应用一-二次三项式的因式分解的运用.

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八年

【练习12］己知函数y=fct（%HO）中y随X的增大而增大，那么它和函数丫=与火工0）在

X

同一直角坐标系平面内的大致图像可能是（）.

【难度】★★

【答案】D

【解析】•.,函数丫=Z总片0）中y随x的增大而增大；

.•.函数丫=去（我片0）和函数丫=&卜*0）的图像都在一、三象限，故。正确.

X

【总结】本题考查了正反比例函数的图像和性质.

【练习13】如图,4、C是函数y的图象上任意两点，过点A作y轴的垂线，垂足为B,

X

过点C作y轴的垂线，垂足为。，记Rt/VlOB的面积为,RtACOD的面积为S2,

则S］和邑的大小关系是（）.

A.St>S2B.S,<S2

C.St=S2D.由A、C两点的位置确定

【难度】★★

【答案】C

【解析】•.•点A和点C都在反比例函数图像上,

，Si=S2=g网=g，故选C.

【总结】本题考查了反比例函数的性质的运用.

【练习14]如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC=6cm,BC^cm,现将直角边

AC沿直线折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，则CZ）等于（）

A.2cmB.3cmC.4cmD.5cm

【难度】★★

【答案】B

【解析】解：在用A43c中，由勾股定理得：AB=U）cm,再由折叠

的性质可得C£>=0£,AE^AC=6cm,所以8£=/lB-AE=4t7〃，且OELAB；

设CD为x,则3Z)=8—x,DE=x,在RADEB中,WBE2+DE2=BD2,

即4?+r=（8-x）2,解得：x=3cm.故B项正确.

【总结】本题考查了图形的折叠和勾股定理的应用，注意翻折的性质的运用.

【练习15】在AABC中，AB=15,AC=13,BC边上的高A£>=12,则AABC的周长

是（）

4.42B.32C.42或32D.37或33

【难度】★★

【答案】A人

【解析】AO_L3C,.•.在&AM）。中，由勾股定理得：CO2=AC2-A£>2,/；\

所以CO=5,同理可得：BD2=AB--AD-,所以%>=9.

当AABC为锐角三角形时，8c=80+8=5+9=14,则A48C的周长=13+14+15=42；

当AA8C为钝角三角形时，BC=BD-CD=9-5=4,则AABC的周长=13+4+15=32；

故选C.

【总结】本题考查了勾股定理的应用，注意当涉及到三角形一边上的高时，要分两种情况讨

论.

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填空题

【练习16](1)若J7=T-Ji==(x+y)2,则尤―y的值为；

(2)使J(2-x)(x+l)=点=7•而T成立的条件是

(3)二次根式>/〃?+〃的有理化因式是.

【难度】★

【答案】(1)2；(2)-14x42；(3)-Jm+n.

【解析】(1)由题意得：x-1>0,l-x>0,所以x=l,

把x=l代入Jx-1-Jl-x=(x+y)2,可得：y=-1,故x-y=2；

(2)由题意，得：解得：-l<x<2；

[x+l>0

(3)J〃?+〃的有理化因式是+”等.

【总结】本题考查了二次根式的有意义的条件及有理化因式的概念，注意任何一个二次根式

的有理化因式是不唯一的.

【练习17](1)方程犬一4=0的根是；

(2)已知关于x的一元二次方程。"-后)/+3"7"2一2=0的一个根为0,则〃?的

值是.

【难度】★

【答案】(1)X,=2,々=-2；(2)-血.

2

【解析】(1)X-4=0,则占=2,X2=-2.

(2)把x=0代入方程得：〃?2一2=。且胆-血/。，则计算得出机=一五.

【总结】本题考查了一元二次方程的解法及一元二次方程成立的条件.

【练习18](1)已知正比例函数y=(2m—l)x的图像上两点A(玉，,)，8(々，当)，当

王<当时，X>%那么m的取值范围是；

(2)反比例函数的图像经过直线y=-3x上的点(-，〃，机+2),则,"=

反比例函数的解析式为.

【难度】★

13

【答案】(1)m<--.(2)1；y=--.

2x

【解析】(1)•.•点A和点8都在正比例函数图像上，当巧<巧时,必>刈；

二y随x的增大而减小，即2优-1<0；故

2

(2)•.•点(一小，，”+2)在函数y=-3x图像上，，机+2=-3(-根)，即m=1：

此点坐标为(-1,3),.•.反比例函数解析式为y=-q.

【总结】本题考查了正反比例函数的性质及解析式的求法.

【练习19](1)定理“直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方'’的逆命题是

(2)命题"等腰三角形两腰上的高相等”的逆命题是.

【难度】★

【答案】见解析

【解析】(1)如果三角形两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形就是直角三角

形.

(2)如果一个三角形两边上的高相等，那么这个三角形是等腰三角形.

【总结】本题考查了互逆命题的应用.

【练习20](1)已知直角坐标平面内两点A(3,-1)和8(-1,2),那么A、8两点间的距离

等于;

(2)已知直角坐标平面内的HMABC三个顶点的坐标分别为A(4,3)、8(1,2)、C(3,-4),

则该直角三角形的直角顶点是.

【难度】★

【答案】(1)5；(2)点B.

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【解析】(1)由两点间距离公式，可得：?"(-1_3)2+(2+1)2=5；

(2)4(4,3),2(1,2)、C(3,-4),

AB2=(1-4)2+(2-3)2=10,BC2=(3-1)2+(-4-2)2=40,

/lC2=(3-4)2+(-4-3)2=50,

AC2=AB2+BC2,所以NB=9O°,故直角顶点为点8.

【总结】本题主要考查了两点间距离公式的应用及勾股定理逆定理的应用.

【练习21](1)经过己知点A、3的圆的圆心的轨迹是；

(2)到点A的距离等于2厘米的点的轨迹.

【难度】★

【答案】(1)线段4?的垂直平分线；(2)以点A为圆心2厘米为半径的圆.

【解析】(1)由题意知，圆心应满足到点A和点8的距离相等，从而根据线段的垂直平分

线画出即可；

(2)到定点的距离等于定长的轨迹为圆.

【总结】本题考查了基本图形的画法.

【练习22](1)某地2016年4月份的房价平均每平方米为96000元，该地2014年同期的

房价平均每平方米为76000元，假设这两年该地房价的平均增长率均为x,则关于x的

方程为:

(2)某厂计划今年的产值为a比前年翻一番，且这两年的增长率相同，则这三年的总

产值是.

【难度】★★

【答案】(1)76000(1+x)2=96000；(2)+.

【解析】根据平均增长率问题的方程类型〃(l±x)"=8来列方程：

(1)76000(1+x)2=96000；

(2)设增长率为x,则(l+x>=2,解得：%=72-1,

故这三年的总产值为：-a+—a(y+'j2-\)+a=—a+^La.

2222

【总结】本题考查了一元二次方程中平均增长率问题的类型，注意对总产值的理解.

【练习23】(1)在实数范围内分解因式：3/-6x+l=；

(2)若一元二次方程〃V+2x-l=0在实数范围内有实数根，则根的取值范围

是.

【难度】★★

【解析】（1）令3/一6x+l=0,由△=（-6『-4x3=24>0,

所以由公式法得：占=也尼，%=三巫，故3X2-6X+1=3

3-3

(2)由题意得：△=4+4620且；解得：他之一1且mwO.

【总结】本题考查了二次三项式的因式分解及根的判别式的运用.

【练习24】计算：3x/i8+1V50-4j1U4x/2

【难度】★★

【答案】2.

【解析】13而+］同一46+4行=回行+后-2⑷+4收=2.

5

【总结】本题考查了二次根式的混合运算，注意进行化简.

【练习25］如图，R/AABC中，ZACB=90,ZA=40,。为45中点，CE1AB,

则4>CE=

【难度】★★

【答案】10°.

【解析】•.•NACB=90°,。为AB中点，:.AD=CD,

ZACD=ZA=40°,-.-CEA-AB,ZAC£=180°-90°-ZA=50°,

ZDCE=ZACE-ZACD=50°-40°=10°.

【总结】本题考查了直角三角形的性质及等腰三角形性质的综合运用.

【练习26】（1）如果正比例函数y=（原0）的自变量取值增加7,函数值相应减少4,

那么当x=4时，y=；

（2）若x与-3y成反比例函数关系,y与-4z成反比例函数关系，则x与z成

比例函数.

【难度】★★

【答案】（1）；（2）反.

7

【解析】（1）由题意得：（y-4）=Z（x+7）,即y-4=kx+7々，代入^=履中，解得：Z=-g,

所以正比例函数为y=-：x，故当x=4时，y=~-

（2）由题意得：x=_h,y=_k,所以x=——L=^LZ,

3y4z3.（43e

4z

故X与Z成反比例函数.

【总结】本题考查了正反比例函数的概念.

【练习27]（1）如图，已知在AABC中，CD平分/AGO,ZA=2ZB,BC=a,AD=h,

则AC=（用含“、b的代数式表示）；

（2）在AABC,AB=BC,BD=DC,BC=CE,则图中一定相等的角（小于平角）

有对.

【难度】★★

【解析】（1）如图所示，在BC上截取CE,使得CE=AC,连接DE

•••CO平分ZACD,ZACD=ZECD,

又：AC=CE,CD=CD,/.MCDsAECD,

:.AD=DE=b；ZA=NCE£),

XvZA=2ZB,NCED=NB+NEDB,..ZB^ZEDB,

:.BE=DE=AD=b,又,：BC=a,:.AD=CE=BC-BE=a-b.

(2)Zfi4C=ZBC4；ZBAD=ZBEA；ZDAC=ZCAE.

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【练习28](1)如图，在即AABC中，NC=90度，BC=24cm,N8AC的平分线AD交

BC于点。，BD：DC=5：3,则点。到AB的距离为..cm；

(2)等腰直角三角形ABC的斜边BC=4,AOBC为等边三角形，那么A、。两点的距离

是.

(3)在矩形ABCD中，AB:AD=1:2,将点A沿折痕DE对折，使点A落在BC上的F点,

则ZADE=..度.

【难度】★★

【答案】(1)9；(2)26+2或2&-2；(3)15.

【解析】(1)作力于E,

BD:DC=5:3,BC=24a??,/.DC=9cm,

•・・AD是NS4C的平分线，ZC=90°,DELAB.

;.DE=DC=9cm.

(2)分两种情况：①连接4),交BC于E,

•••\DBC为等边三角形，:.BD=CD=BC=4,

•/AB=AC,AD垂直平分3C,AE=-BC=2,ZDEB=9Q,

2

OE=>/42-22=273,AD=DE+AE=273+2；

②如图示，由①得：DE=2^,AE=2,

AD=DE-AE=2y/3-2i

所以AL>=2石+2或26-2.

(3)如图所示：由题意可得钻:4)=1:2,

由翻折性质£>F=AD,则在WACOMOC:CE=1:2,故NOFC=30°；

在矩形"CD中，AD//CF,所以NA。/=NO9C=30°,A___________________D

・・・••;・、-

1..............

故ZADE=N£»C=—NADFu15°.£...........

2,•••

【总结】本题考查了直角三角形的性质，及分情况讨论.B

【练习29】一元二次方程仕-1)/+2丘+々+3=0有两个不相等的实数根，求火的最大整

数值______________.

【难度】★★★

【答案】0.

【解析】由题意得：A=(2k)2-4(k-l)(Z+3)=-8k+12>0,解得：且女-1x(),即女工1,

所以k的取值范围为上<3且后*1.所以％的最大整数值为0.

2

【总结】本题考查了一元二次方程的定义及根的判别式的运用.

【练习30】方程(2016x)2—2015x2017x-l=0的较大根，”，方程2015/-2016x+l=0较

小根为〃，则团-〃的值.

【难度】★★★

2014

【答案】

2015.

【解析】v(2016X)2-2015X2017X-1=0,(2016x)2-(2016-1X2016+l)Lr-1=0,

(2016x)2-20162x+x-1=0,B|J20162x(x-l)+(x-l)=0,

(x-l)(20162x+l)=0,解得：X,=1,x2=——:.m=l,

八'120162

又•••2015X2-2016X+1=0,(2015x-lXx-l)=0,

国军得：x=---,x=1,/.n=---

1201522015

用112014

cixm—n=1------=-----•

20152015

【总结】本题考查了一元二次方程的解法.

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【练习31】AAOC与ZkOCE均为等边三角形，点A、。均在双曲线丫=也。＞0)上，点。

X

为坐标原点，点C、E在X轴上，4、力的坐标分别是

【难度】★★★

【答案】A(l,g)；D(V2+1,X/6-A/3).

【解析】如图，过点4作轴于点H,过点。作

。尸J_x轴于点F.

•.•AAOC为等边三角形，.•.设A(a，Ga)

又•点A在双曲线＞,=—(x＞0)±,

X

43a2=V3»解得：。=1或a=—1(舍)，则点A的坐标为(1,石)；

同理，设。仅，60-2)),则麻(6-2)=行，解得：人=痣+1(负值舍去),

则点O的坐标为(应+1,后-G).

【总结】本题考查了反比例函数图像上点的特征及等边三角形的性质.

【练习32]已知三角形ABC为等腰直角三角形，且A(2,3),B、C分别在坐标轴上,

则点B的坐标分别是.

【难度】★★★

【答案】见解析.

【解析】如图所示：4(-1,0);B式2,0)；员(5,0)；B4(O,5)；耳(0,3)；线(0,1).

【总结】本题考查了简单的‘数形结合’思想.

16/33

解答题

【练习33](1)已知。=——r=,求4〃+4的值;

1-V2y/a2-2a+l

(2)己知：5,2-x+3jx-2=y+l,求Jx+y的值.

【难度】★★

【答案】（1）4-272；（2）1.

【解析】⑴•.•a=^==-2(l+⑸<0,

1—5/2

，原式与学舞

y1(a-l)2l-a1+2(1+V2)

(2)V2—x>0,x—2之0,:.x=2y/.y+1=0,y=-1,

Jx+y=J2-1=1.

【总结】本题考查了二次根式的化简和运算.

【练习34］解方程：

（1）6=0；(2)-2X2-3(X-1)=(X+1)2.

【难度】★★

【答案】（1）西=且且亘，々=弟二叵5;（2）XL=~,X2=-2

663

【解析】⑴A/3X2-X-7V3=0,△=l+4gx7百=85>0,解得：xJ士写,

2V3

y/3+y/255^/3-^/255

.•.原方程的解为士=

66

(2)-2X2-3(JC-1)=(X+1)2,化简得：3X2+5X-2=0,(3x-l)(x+2)=0

原方程的解为X1=g,x2--2

【总结】本题主要考查一元二次方程的解法.

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【练习35】证明：无论，"，〃取任何实数时，方程/nr?+(m+〃)x+〃=O都有实数根.

【难度】★★

【答案】见解析.

【解析】①当《?=()时，原方程可化为《%+”=(),解得：x=-l:

②当机工0时，方程为一元二次方程，△=(切+")2-4〃?"=(机-")220,

故方程有两个实数根.

所以无论根、〃取任何值，方程都有实数根.

【总结】本题考查了方程跟的情况，注意分类讨论.

【练习36】某商店将进价为8元的商品每件按10元出售，每天可买出200件，现在采取

提高商品售价的办法来增加利润，如果这种商品每件的销售价每提高0.5元销售量

就减少10件，问应将每件售价定为多少元时，才能使每天利润为640元.

【难度】★★

【答案】见解析

【解析】解：设每件售价定为x元(x>10)，

由题意得：(x-8){200-10[(x-10"0.5]}=640

2

化简得：%-28%+192=0,解得：%,=12,x2=16

当x=12时，{200-10[(x-10)-0.5]}=160；

当x=16时，{200-10[(x-10)+0.5]}=80.

所以售价定为12元时每天可售160件，售价定为16元时每天可售80件，利润可达每天

640元.

【总结】本题主要考查利用•元二次方程解决利润问题.

【练习37】已知正比例函数y=(匕+1)%的图像经过A(2,-4)、8(”,2)两点.

(1)求团的值；

(2)如果点8在反比例函数y=?(exO)的图像上，求反比例函数的解析式.

【难度】★★

【答案】(1)/n=-l；(2)y=--.

x

【解析】(1)因为正比例函数图像经过A(2,-4),所以2依+1)=T,解得：用=-3,

所以正比例函数解析式为y=-2x,由题意得，当y=2时，-2m=2,得：加=-1；

(2)由点B在反比例函数图像，得：k2=-lx2=-2,

所以反比例函数解析式为y=-

x

【总结】本题考查了利用待定系数法求正反比例函数的解析式.

【练习38]如图，在AABC中，NC=90度，AC=BC,AO平分NCA8,AB=20cm.

求AC+CQ的长.

【难度】★★

【答案】20cm.

【解析】过。作£>E_L49,垂足为点E,

"ZC=90°.：.ZC=ZDEA.平分NC4B,:.ZCAD=ZEAD.

ZC=ZAED

在AACD和AAED中，-NC4。=^DAE,

AD=AD

:.MCD=MED,：.AC=AE,CD=DE.

又AC=BC,ZACB=90,r.AABC是等腰直角三角形,

ZB=ZCAB=45°)NBDE=180°-90°-45=45°，

ZEDB=ZB,:.CD=DE=EB,

AC+CD=AE+EB=AB=20cm.

【总结】本题考查了构建全等三角形证明线段相等.

19/33

【练习39]如图：在四边形中，ZC=90°,8c=3,CD=4,AD=\2,AB=\3,求

四边形A8CQ的面积.A.

【难度】★★

【答案】36.\

【解析】NC=90°,8c=3,8=4,\

由勾股定理得：BD=7BC2+£）C2=5,1/

BC

vAB=13,AD=\2,AD2+BD2=AB2,ZADB=90，,,

四边形ABC。的面积5=5.8+S1MM>=gx3x4+gx5xl2=36.

【总结】本题考查了勾股定理逆定理的应用，从而快速求出几何图形的面积.

【练习40】小智和小方沿同一条路同时从学校出发到图书馆查阅资料，学校与图书馆的路

程是4千米，小智骑自行车，小方步行，当小智从原路回到学校时，小方刚好到达图

书馆，图中折现O———B——C和线段OD分别表示两人离学校的路程y（千米）

与所经过的时间x（分钟）之间的函数关系，请根据图像回答下列问题：

（1）小智在图书馆查阅资料的时间为分钟，小智返回学校的速度为

千米/分钟；

（2）请你求出小方离开学校的路程y（千米）与所经过的时间x（分钟）之间的函数

关系.

【难度】★★

【答案】（1）15.—；（2）y=—X0<x<45）.

1545

【解析】（1）30-15=15（分钟）,

4

4+15=—（km/min）,

15

所以小智在图书馆查阅资料的时间为15分钟，

小智返回学校的速度为上千米/分钟.

15

（2）由图像可知，y是x的正比例函数，设所求函数的解析式为），=米々W0）,

4

代入（45,4）,得：4=45%,解得：k=—,

所以y与x的函数关系式为："[乂04X445）.

【总结】本题考查了正比例函数解析式的求法，注意数形结合的理解.

【练习41]如图，在四边形ABC。中，NABC=N4DC=90。，对角线AC与8。相交于点

O,M、N分别是边AC、8。的中点.

(1)求证：MNLBD；A

(2)当/BC4=15。，AC^Scm,OB=OM时，求MN的长.

【难度】★★

【答案】见解析.

【解析】(1)证明：连接8似、DM.

ZABC=ZADC=90：点、M、煎N分别是边AC,8。的中点,

BM=DM=-AC.

2

・••N是的的中点，

MN±BD.

(2)vZBCA=15°,BM=CM=-AC,

2

ZBC4=ZCBM=15°,

:.ZBMA=30°.

•：OB=OM,

AC=8,BM--AC,

2

在RfABMN中,ZBNM=90°,NNBM=30°,

:.MN=-BM=2.

2

【总结】本题考查了等腰三角形及直角三角形的性质的综合运用.

【练习42]已知：如图（a）,在等腰三角形ABC中，ZC=90°,AO是NC48的平分线.

（1）求证：AB=AC+CD；

（2）把原题中的“NC=90。”改为“/C=100。"，其余条件不变，如图他），请说出AB、

【答案】见解析.

【解析】（1）在边AB上截取AE=AC；

：4）是NC4£>的角平分线，ZCAD=ZDAB,

:ADAD,AE=AC,..A4CD=A4£Z）,

:.CD=DE,ZAED=NC=90°,

-.AB^AC,；.NCAB=NB=45°,NBDE=NB=45°,

/.DE=BE=CD,AB=AE+BE=AC+CD；

（2）AB=AD+CD.

证明：在AB上截取AE=AC,AF=ADf

AC=BC,ZC=100,...NR4C=N8=40°,

又•・•4）平分ZC4B,Z.CAD=/BAD=20°,

由（1）得AACDMMEO,:.DE=CD,ZAED=NC=100°,:.NDEB=80°,

vAF=ADfZMD=20°,?.ZADF=ZAFD=80°f:.DF=DE=CD,

vZBFD=100°,N8=40°,ZFDB=40°,则用=0尸=8,

..AB=AF+BF=AD+CD.

【总结】本题考查了辅助线的添法--截长补短法的运用，注意对题目条件的有效分析.

【练习43]己知：在AABC中，AB=AC,AD1BC,垂足为。，BE±AC,垂足为E,M为

AC的中点，联结。E,0M设NC=a.

(1)当AABC时锐角三角形时(如图)，试用a表示/E£)M；

(2)当AABC时钝角三角形时•，请画出相应的图形，并用a表示NEOM(可直接写出).

【难度】★★

【答案】（1）N£»M=3a-180°；（2）NE£>〃=180°-3a.

【解析】（1）VAB=AC,ADVBC,:.BD=CD,

■：BEVAC,

：.CD=DE=-BC,

2

NCDE=180°-2ZC=180°-2a,

又；ADA.BC,M为AC中点，

CM=DM=-AC,

2

ZCDM=ZC=a,

ZEDM=ZCDM-NCDE=a-（180。-2a）=3a-180。.

（2）如图，同（1）可得：

NCOE=180。-2NC=18（T-2a,

ZCDM=ZC=a,

ZEDM=ZCDE-ZCDM=1800-2a-a=180°-3a.

【总结】本题考查了等腰三角形和直角三角形的性质，注意角度之间的关系.

八年

【练习44]如图，在气象站台A的正西方向240千米的8处有一台风中心，该台风中心

以每小时20千米的速度沿北偏东60。的BD方向移动，在距离台风中心130千米内的地

方都要受其影响.

(1)台风中心在移动的过程中，与气象台A的最短距离是多少？

(2)台风中心在移动的过程中，气象台将受台风的影响，求台风影响气象台的时间

会持续多长？

【难度】★★

【答案】(1)120%加；(2)5小时.

【解析】(1)如图，过点A作A£_LBD于E,

♦.•台风中心在3力上移动，

他就是气象台距离台风中心的最短距离,

在RAABE中,AB=240km,ZABE=30,

AE=-AB=120km,

2

所以台风中心在移动过程中，与气象台A的最短距离为12()切?;

(2)由题意得：线段CD就是气象台A受到台风影响的路程，

在RtMCE中，AC=130%〃4AE=120km,

CE=ylAC2-AE2=V1302-1202=50km,

•••AC=AD,AEVCD,

：.CE=ED=50km,

CD=1QOkm,

.,・台风影响气象台的时间会持续l(X)+2()=5(小时).

【总结】本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题的运用.

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【练习45]如图，在平面直角坐标系中，已知第一象限内的点力的坐标为（1,，〃）0A=2,

正比例函数y=主和反比例函数），=匕的图像都经过点A,过点A作0A的垂线交

mx

X轴于点B.

（1）求〃，和A的值；（2）求点8的坐标.

【难度】★★

【答案】（I）百；&=Q+1；（2）8（4,0）.

【解析】（1）•••第一象限内的点A的坐标为（1,机），

在正比例函数y=必的图像上，

m

m=3xl,解得：m=±-\/3,

m

•.•正比例函数经过第一、三象限,

tn=>[?>,

则A（1,G）,代入y=—~,解得：k=-y/3+1.

（2）由（1）得A（l,6），设点B的坐标为（。，0）,

AO=2,BO=a,A8=-+(6/,

由题意得：BAYOA.

则在RrAOW中，由勾股定理：AB2+AO2=BO2,

所以-1）~+3+4=a~,解得：a—4,

所以8（4,0）.

【总结】本题考查了正反比例函数性质及勾股定理的运用.

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八年

【练习46]如图，细心观察，认真分析各式，如何解答问题:

(71)2+1=2S,=y

(何+1=3S,=—

2

(6)2+1=4S、=g

2

(1)用含有〃(〃是正整数)的等式表述上述的变化规律;

(2)推算出0Ao的长；

(3)求出5：+邑2+$32+...+品：的值.

【难度】★★

【答案】(1)S“=乎(〃eN)；

(2)。/=加；

(3)—.

4

【解析】(1)由己知式子可得：(册1+1=〃+1,

S"="N)；

(2)由图可得：<?A=VI,O4=2x=>[2,04=2x,

所以OAo=J市;

(3)由(I)、(2)得：S；+s1+S(+...+S*=；(l+2+...+10)=^.

【总结】本题考查了勾股定理的运用.

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【练习47]如图，在平面直角坐标系中，已知AAOB是等边三角形，点A的坐标是

（0,3）,点B在第一象限，点尸是x轴正半轴上的一个动点，连接AP,并把AAOP

绕着点A按逆时针方向旋转，使边A。与A8重合，得到AA8D.

（1）当点P运动到点（6,0）时，求此时OP的长及点。的坐标；

A

（2）若△。尸。的面积等于土，请求出符合条件的点尸.

.•.旋转角=/。45=/皿＞=60°,AD=AP,

AAPD是等边二角形，.二DP=AP.

A（o,3）,p（6o），

AP=1㈣2+32=2百，

NOAP=30,DP=AP=20

ZOAD=ZOAP+ZPAD=90°.

.•.点O坐标为（26,3）,DP=243.