著名机构九年级数学寒假班讲义第1讲：数与式-学生版

数与式

$缪知识结构

模块一：实数与运算

1、整数的意义和分类:

自然数：零和正整数统称为自然数;

整数：正整数、零、负整数，统称为整数.

2、整除:

⑴整数。除以整数儿如果除得的商是整数而余数为零，我们就说。能被6整除；或者说力

能整除a.

(2)整除的条件(两个必须同时满足):

①除数、被除数都毡整数；②被除数除以除数，商是整数且余数为零.

3、除尽与整除的异同点:

相同点：除尽与整除，都没有余数，即余数都为0；除尽中包含整除;

I20

习复考中

不同点：整除中被除数、除数和商都为整数，余数为零；

除尽中被除数、除数和商不一定为整数，余数为零.

4、因数和倍数：

整数。能被整数匕整除，。就叫做b的倍数，力就叫做。的因数（也称为约数）.

注意：（1）在整除的条件下，才有因数和倍数的概念；

（2）倍数和因数是相互依存的，不能单独存在.

5、求一个数的因数的方法：

（1）列乘法算式：根据因数的意义，有序地写出某数的所有两个数乘积的乘法算式，乘法算

式中的因数就是该数的因数.

（2）列除法算式：用此数除以任意整数，所得商是整数而无余数，这些除数和商就是该数的

因数.

6、求一个数的倍数的方法：

求一个数的倍数，就是用坟个数，依次与非零自然数相乘，所得方数就是这个数的倍

数.

7、因数和倍数的性质（规律总结）：

1是任何一个整数的因数，任何整数都是1的倍数：

0是任何一个不等于0的整数的倍数，任何一个不等于0的整数都是0的因数；

一个正整数既是它本身的最大因数，也是它本身的最小倍数.

8、2的倍数的特征：

个位数字是0,2,4,6,8的数.

9、偶数、奇数的意义以及它们的运算性质：

在自然数中，是2的倍数的数是偶数（即个位是0,2,4,6,8的数）；

在自然数中，不是2的倍数的数是奇数（即个位是1,3,5,7,9的数）

注：最小的偶数是没有最大的偶数：最小的奇数是1,没有最大的奇数：

一个整数不是奇数就是偶数，奇数的个位上的数是奇数.

10、5的倍数的特征：

个位数字是。或5的整数，都是5的倍数.

11、3的倍数的特征：

一个整数各个数位上的数字相加的和是3的倍数的数是3的倍数.

注：（1）既能被2整除又能被5整除的整数的特征：个位上数字是0的数（或者说是10的倍数

的整数）;

（2）既能被3整除又能被5整除的整数的特征：个位上数字是。或5,且各个位上数字相加之

和是3的倍数（或者说是15的倍数的整数）；

（3）既能被2整除又能被3整除的整数的特征：个位上数字是0,2,4,6,8且各个位上数

C12/20C

中考复习

字相加之和是3的倍数（或者说是6的倍数的整数）；

（4）既能被2整除又能被3和5整除的整数的特征：个位上数字是0,且各个位上数字相加之

和是3的倍数（或者说是30的倍数的整数）.

12、素数与合数：

素数：一个正整数，如果只有1个和它本身两个因数，这样的数叫做素数.

合数：一个正整数，如果除了1和它本身以外还有别的因数，这样的数叫做合数.

正整数按照含因数的个数分类，可以分为1、素数与合数.

13、素因数和分解素因数：

素因数：每个合数都可以写戌几个素数相乘的形式，其中每个素数都是这个合数的因

数，叫做这个合数的素因数.

分解素因数：把一个合数用素因数相乘的形式表示出来，叫做分解素因数.

注：素因数相对于合数而言，不能单独存在；一个数分解素因数的形式是唯一的；书

写时，一般写成“合数=索因数相乘”的形式.

14、分解素因数的方法：

分解素因数的方法通常有以下两种：

树枝分解法：利用树形图逐步把合数分解成素因数相乘的形式.

短除法：先用一个能整除这个合数的素数（通常从最小的开始）去除；得出的商如果是合

数，再按照上面的方法继续下去，直到得出的商是素数为止；然后把各个除数和最后

的商按从小到大的顺序写成连乘的形式.

二、分数

1、分数的意义：

把一个总体平均分成若干份之后，其中的1份或若干份可以用分数表示.

2、分数和除法的关系：

两个正整数相除,他们的商可以用分数表示，具体关系如下：

被除数+除数=饕普二筋，即：p+q=L其中〃为分子，夕为分母.

除数分母q

读法：K读作g分之p.特别地，当夕=1时，£=1.

<74

3、用数轴上的点表示分数：

任何一个分数可以用数轴上的点来表示.

4、分数的基本性质：

分数的分子和分母都乘以或除以同一个不为零的数，所得的分数与原分数的大小相

等.即：—=----=----（640,A=0,〃H0）

bbxkb-i-n

5、最简分数：

分子和分母互素的分数，叫做最简分数.

习复考中

6、约分：

把一个分数的分子与分母的公因数约去的过程，称为约分.

7、通分：

将异分母的分数分别化为与原分数大小相等的同分母的分数，这个过程叫做通分.

(1)两个分数的公分母：两个分数的分母的公倍数叫做这两个分数的公分母，通常取最小公

倍数作公分母.

(2)通分的依据：分数的基本性质，所以通分后分数值保持不变.

(3)通分的方法：一般先求出几个分数的分母的最小公倍数，把这个最小公倍数做分母，分

子扩大相应的倍数.

8、分数的大小比较：

(1)同分母的分数，分子大的那个分数较大.

(2)同分子分数，分母大的那个分数反而小.

(3)异分母的分数，先通分，化成同分母后再按照同分母分数的大小比较的方法确定分数的

大小关系.

三、比和比例

1、比的定义：

b是两个数或两个同类的量，为了把b和a相比较，将。与6相除，叫做。与。的

比.记做。也或写成色，其中。工0,读作：。比b,或。与6的比.

b

“:”叫做比号，读作“比”；比号前的数〃叫做比的前项；比号后面的数人叫做比的后

项.前项。除以后项。所得的商叫做比值.

2、比与分数、除法之间的关系：

比的前项相当于分数的分子和除式中的被除数；比的后项相当于分数的分母和除式中

的除数；

比号相当于分数线和除号；出值相当于分数值和除式的商.

求两个同类量的比值时，如果单位不同，必须把这两个量化成相同的单位.

3、比的基本性质：

⑴比的基本性质：比的前项和后项同时乘以或除以相同的数(0除外)，比值不变.即

a:b=ma.mb=-:-(m/0).运用比的性质可以把比化成最简整数比.

mm

⑵三项连比的性质：若p:q=fn:〃,q:r=n:k,则=,若AwO,则

,,iPqr

p:q;=plcqk仁妙-?t.

kkK

4、比例：

(1)表示两个比相等的式子，叫做比例.式子表示为：a：b=c:d；

(2)内项、外项：b、c叫做比例的内项；a、力叫做比例的外项；

中考复习

(3)比例中项:当b=c时，a:b=c:d,b叫做比例中项.

5、比例的基本性质：

若q：8=c:d或q=£，则dh.反之若a,5,c,d都不为零，且ad=Ac,则a:)=c:d

bd

或g=£.即：内项之积等于外项之积.

bd

6、比例尺：

⑴图上距离与实际距离的比叫做比例尺；

(2)图上距离：实际距离二比例尺；

(3)比例尺是一个比，是一个图上距离与实际距离的比.

四、实数

1、有理数、无理数及数轴表示：

有理数：整数与分数统称为有理数

无理数：无限，不循环小数

数轴：规定了原点、正方向和单位长度的一条直线叫做数轴.数轴的三要素：原点、

正方向、单位长度.

有理数在数轴上的表示：

①任何一个有理数都可以用数轴上的点来表示；反之不然，数轴上的点不一定都用来表示

有理数；

②在数轴上，原点左边是负有理数，原点右边是正有理数，原点为0；

③数轴上右边的点所表示的数大于左边的点所表示的数.

2、相反数：

(1)相反数：只有符号不同的两个数，我们称其中的一个数为另一个数的相反数，也称这两

个数互为相反数.

(2)正数的相反数是负数，负数的相反数是正数，零的相反数是零.

(3)互为相反数的两数和为0；反之，如果两数和为0,那么这两个数互为相反数.即如果。、

匕互为相反数，那么。+b=0.反之，如果a+b=0,那么〃、。互为相反数.

(4)互为相反数的两个数的几何意义：

在数轴上，互为相反数的两个点位于原点两侧且到原点的距离相等.

3、倒数：

乘积为1的两个有理数互为倒数.

倒数是本身的数是1和-1,而0没有倒数.

4、绝对值：

(1)绝对值：一个数在数轴上所对应的点与原点的距离，叫做这个数的绝对值.

习复考中

一般用符号M表示。的绝对值.

（2）任何一个数的绝对值都大于或等于零，即时20.

（3）一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；零的绝对值是零.反过

来：绝对值是它本身的数是正数和零，即非负数；绝对值是它相反数的数是负数和零，

即非正数；

a（a>0）

即时=，0（a=0）（互为相反数的两个数，它们的绝对值相等）.

一4（4<0）

5、平方根、立方根、〃次方根：

平方根：若一个数X的平方等于。，即丁=。，那么这个数X就叫做。的平方根，一个

正数有两个平方根，它们互为相反数；0有一个平方根，就是它本身；负数没有平方根.

立方根：如果个数的立方等丁a,那么这个数叫。的立方根，也称为三次方根；也就

是说，如果/=〃，那么％叫做a的立方根•任何实数有唯一确定的立方根.正数立方

根是一个正数；负数立方根是一个负数；。的立方根是0.

〃次方根：如果一个数的〃次方（〃是大于1的整数）等于a,那么这个数叫做。的〃次方

根；

奇次方根性质：实数。的奇次方根有且只有一个，用“标”表示.

偶次方根性质：正数。的偶次方根有两个，它们互为相反数，用“土幅”表示：0的

偶次方根是0,负数没有偶次方根.

6、实数及运算：

正有理数

有理数•0•有限小数或无限循环小数

实数•负有理数

‘正无理数,

无理数•，无限不循环小数

负无理数,

运算：力口、减、乘、除、乘方、寨运算.

7、近似数、有效数字及科学记数法：

近似数：一个数与准确数相近（比这个准确数略多或略少），这个数称为近似数.

有效数字：是指从左边第一个不是零的数字起往右到末位数字为止的的所有数字.

科学计数法：N=axlO"（lMavlO,〃为正整数）

【例1】（2015学年,奉贤区二模.第1题）如果两个实数a,b满足〃+b=0,那么a、b一定

是（）

A.都等于0B.一正一负C.互为相反数D.互为倒数

【例2】（2015学年•浦东新区二模•第1题）2016的相反数是（）

A.」一B.-2016C.———D.2016

20162016

【例3】（2015学年•宝山区、嘉定区二模•第1题）-2的倒数是（）

A.-5B.2C.-D.」

22

【例4】（2014学年•黄浦区二模•第1题）F列分数中,可以化为有限小数的是（）

3

A.—B.—C.D.—

15181518

【例5】（2015学年•松江区二模.第1题）卜列各数是无理数的是（）

A.—B.75C.79D.16

7

【例6】（2015学年•黄浦区二模•第1题）拒的整数部分是（）

A.0B.1C.2D.3

【例7】（1）（2015学年•浦东新区二模•第7题）计算：--1=______.

3

⑵（2015学年•黄浦区二模，第7题）计算：|-2|=___■

（3）（2015学年•虹口区二模第7题）当，=】时，|。-3|的值为一•

【例8】（1）（2015学年•长宁区、金山区二模•第7题）计算：3二=

（2）（2015学年.静安区二模.第7题浒算：（-21=.

4"7720^?^

习复考中

（3）（2015学年闵行区二模第7题）计算：卜22卜.

【例9】（2015学年•闸北区二模•第2题）"的值为（）

A.2B.-2C.±2D.不存在

【例10】（2015学年•杨浦区二模•第1题）下列等式成立的是（）

A.y/4=±2B.—=C.向=2*D.\a+b\=a+b

【例11】（2014学年•闸北区二模•第1题）-8的立方根是（）

A.2B.-2C.±2D.41

【例12】（2014学年普陀区二模•第9题）计算：73+727=______.

【例13】（2015学年•徐汇区二模•第2题）实数〃、加是连续整数，如果〃＜回vm,那么m+n

的值是（）

A.7B.9C.11D.13

【例14】（2015学年•静安区二模•第1题）F列各数中，与8；-2；相等的是（）

1II

A.VB.6iC."D.3

【例15】（1）（2015学年•普陀区二模•第1题）据统计，2015年上海市全年接待国际旅游入境

者共80016000人次，80016000用科学记数法表示是（）

A.8.0016x1（）6B8.0016xl07C.8.0016xlO8D.8.0016xl09

（2）（2015学年•宝山区、嘉定区二模•第7题）据统计，今年上海“樱花节”活动期间顾村

公园入园赏樱人数约312万人次，用科学记数法可表示为人次.

中考复习

【例16】⑴(2015学年•松江区二模•第19题浒算：(；尸一卜一码十(万一3.14)0+g而.

⑵(2015学年•崇明县二模,第19题)计算：27U(^-1)2-W+一一.

⑶V3+1

【例17】⑴(2015学年长宁区、金山区二模•第19题)

1£

计算：(sin450)2+(--)°-122(x/3-l)-'+cot30°.

(2)(2015学年•闸北区二模.第19题)

计算:cos30°+

(3)(2015学年♦杨浦区二模,第19题)

计算：(x/3-2)°+(^)-1+6cos300-15/3-x/271.

9/20

习复考中

模块二：式与运算

一、代数式

用运算符号和括号把数或表示数的字母连接而成的式子叫做代数式.单独一个数或一

个字母也是代数式.如：〃一2、0.8。、2〃+500、abc、2ab+2ac+2bc.巳、0、万等.

x

二、整式

1、整式概念：单项式和多项式统称为整式.

单项式：由数与字母的积或字母与字母的积所组成的代数式叫做单项式(单独的一个数

字或者字母也叫做单项式).如：代数式加、T初、f、2、71、它们都是单项式.

单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数.

单项式的系数：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数.

多项式：由几个单项式的和组成的代数式叫做多项式.

多项式的次数：多项式中次数最高项的次数就是这个多项式的次数.

2、整式加减，乘除，乘方运算：

(1)加减运算：合并同类项

同类项：所含的字母相同，并且相同字母的指数也相同的单项式叫做同类项.几个常

数项也叫同类项.(①所含字母相同；②相同字母的次数也相同.)

(2)乘法，除法，鼎的乘方，积的乘方

好△=aP"=aPF,(叫。=产,(ab)P-apbp,

3、乘法公式：

平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2.

完全平方公式：(a±Z?)2=a2±lab+b2.

4、因式分解：

把一个多项式化为几个整式积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多

项式分解因式.

常用方法：提公因式法，公式法，十字相乘法，分组分解法.

三、分式

中考复习

1、分式有关概念及基本性质：

(1)概念：一般地，如果两个整式A、△相除，即4+B时，可以表示为A.如果△中含有字

B

母，那么4叫做分式.4叫做分式的分子，8叫做分式的分母.

B

(2)分式有意义、无意义的条件：

①分式4有意义的条件是：8=0；②分式4无意义的条件是：8=0.

BB

(3)分式的基本性质：分式的分子与分母都乘以(或除以)同一个不等于D的整式，分式的值不

变.

AAszA/fAqN

用式子表示是：C==其中M、N为整式，且8=0,MxO,NxO.

BBxMB+N

2、分式加减，乘除，乘除运算

3、分数指数塞，负指数器及有关运算：

分数指数塞：am=\fa"(a>G,m、〃为正整数，〃?>1)

。“>0,机、〃为正整数，/n>1)

服"

负指数寒：〃5=口(〃=0,m为正整数)

a

四、二次根式

1、二次根式有关概念：

形如右(420)的式子叫做二次根式.

(1)满足下列两个条件的二次根式叫做最简二次根式.

①被开方数中各因式的指数都为1；②被开方数不含分母

(2)同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，则这几个二次

根式叫做同类二次根式.

2、二次根式的性质及运算：

2a(a>0)

⑴(而)=a(a>0)；(2)V?=|。|=,O(«=O)；

-a(«<0)

[a&/

(3)\[ab=\[a\fb(a>0,>0)；(4)b>0)

11/20

*5>-

习复考中

例题解析

【例18】（2015学年•闵行区二模•第1题）如果单项式2a"62c是六次单项式,

那么〃的值取（）

A.6B.5C.4D.3

【例19】（2014学年金山区二模•第2题）卜列代数式中是二次二项式的是（）

A.孙—1B.-3—C.^+xy2D.&+1

x'+1

【例20】（2015学年•崇明县二模•第7题）购买单价为a元的笔记本3方和单价为b元的铅笔

5支应付款元.

【例21】（2014学年•静安区、青浦区二模•第2题）某公司三月份的产值为。万元，比二月份

增长了〃?%,那么二月份的产值（单位：万元）为（）

A.+B.d（l-m%）C.一--D.一-一

1+m0/o

【例22】（2015学年•奉贤区二模•第2题）若x=2,产-1,那么代数式f+加+/的值是（）

A.0B.1C.2D.4

【例23］（（2015学年.静安区二模.第8题）下列计算结果正确的是（）

A.a4a2=asB.（t?4）2=a6C.（^）2=a2Z?2D.ia-b^cT-tr

【例24】1）（2015学年•闸北区二模•第7题）计算：

（2）（2015学年•徐汇区二模,第7题）计算：4苏从+2ab=

（3）（2015学年徐汇区二模第8题浒算：2m（m-3）=.

中考复习

（4）（2014学年•长宁区、金山区二模•第8题）计算：（-.

【例25］（1）（2015学年•闸北区二模•第8题）分解因式：3X2-6X=.

（2）（2015学年•长宁区、金山区二模•第8题）分解因式：X2-9J2=

（3）（2015学年•普陀区二模，第7题）分解因式：ma2-mb2=.

（4）（2015学年•奉贤区二模.第8题）分解因式：x2-2x-15=.

【例26】（2015学年•闸北区二模•第1题）下列代数式中，属于分式的是（）

A.-3B.-a-bC.-D.-4a3b

2x

【例27】叫5学年,静安区二模•第8题）如果分式北的值为零，那么x的值为一

【例28】⑴（2015学年杨浦区二模•第7题）计算：—+—=

a—hh-a

（2）（2015学年•闸北区二模,第9题）化简分式：/-2=______

x'+x-6

【例29】（2015学年•松江区二模♦第2题）下列式子中，属于最简二次根式的是（）

A.祗B.曲C.79D.x/7

【例30】（2015学年•奉贤区二模•第7题H匕简：而:

【例31】（2015学年•长宁区、金山区二模•第1题）在下列二次根式中，与血是同类二次根

式的是（）

A.\（2aD.Vl2

习复考中

【例32】⑴（2015学年杨浦区二模•第7题）写出的一个有理化因式：

（2）（2015学年•闵行区二模.第2题）在下列各式中，二次根式，TT的有理化因式是（）

A.Ja+1B.\/u—1C.yfci+1D.\[u—1

【例33】（2015学年•浦东新区二模•第2题）如果最简二次根式《73与A是同类二次根式,

那么x的值是（）

A.-1B.0D.2

【例34】（2015学年•闵行区二模•第1题）在实数范围内分解因式：标-2〃=

【例35]（2015学年•黄浦区二模•第19题）化简求值：—4一4上±，其中％—1.

x-2xx+x

(T-lab+b1(\n

【例36】（2015学年•静安区二模,第19题）先化简，再求值:

a2-b2\ba)

其中。=逐+1,Z?=x/5-l.

(rxx-4x

【例37】（2015学年•宝山区、嘉定区二模•第19题）化简，再求值:

其中工=2+0.

14/20

中考复习

【习题1】下列分数中，能化为有限小数的是（）

【习题2】（2。14学年•闵行区二模•第1题）下列各数中，是无理数的是（）

A.MB.-C.—D.我

27

【习题3】（2015学年♦虹口区二模•第1题）计算（-2＞的结果是（）

A.6B.-6C.8D.-8

【习题4】（1）（2014学年•长宁区、金山区二模•第7题）计算：9T=.

（2）（2014学年•闸北区二模,第7题）计算：2-2=.

（3）（2014学年•闵行区二模,第7题）计算：4；=.

（4）（2014学年•浦东新区二模•第7题）计算：2-2|=.

【习题5】（2014学年•闸北区二模•第8题）用科学记数法表示：3402000=.

【习题6】（2014学年•浦东新区二模•第1题）下列等式成立的是（）

A.2~2=-22B.2=23=22C.（23）2=25D.2°=1

【习题7】（2015学年•浦东新区二模•第2题）下列各整式中，次数为5次的单项式是（）

A.xy4B.xy5C.x+y4D.x+ys

习复考中

【习题8】（2015学年•黄浦区二模•第2题）下列计算中，正确的是（）

A.（叫3=。5Ba~-i-a2=1C.a2+a2=a4D.4a-3a=a

【习题9]（2014学年,奉贤区二模,第7题）用代数式表示：a的5倍与b的工的差:

7

【习题10】⑴（2015学年•宝山区、嘉定区二模•第8题）计算：-2x（%-2）=.

（2）（2015学年•黄浦区二模•第9题）计算：（2a+»（2a-b）=.

【习题11】（1）（2015学年•奉贤区二模•第8题）因式分解：a2-a=.

（2）（2014学年•黄浦区二模,第8题）因式分解：2x2-8x4-8=.

（3）（2014学年•金山区二模,第9题）因式分解：/7=.

（4）（2014学年•静安区、青浦区二模•第8题）

分解因式：x2-6xy+9y2=.

【习题12】（2015学年•黄浦区二模•第3题）下列根式中，与而互为同类二次根式的是（）

A.x/2B.x/3C.75D.石

【习题13】（2014学年•闵行区二模•第2题）二次根式石的有理化因式是（）

A.（^+yfb）2B.（a—y/b）2C.ci—\[bD.a+>Jb

【习题14】（1）（2014学年•黄浦区二模•第19题）计算：40+85-（V2-l）-1+|l->/2|.

（2）（2015学年•徐汇区二模,第19题）

2

计算:J(3—乃尸+7T°-|cot300-tan45°|+

6+1

中考复习

（3）（2015学年•普陀区二模,第19题）

【习题15】（2014学年•金山区二模•第19题）化简：（二士—）+_!_+上千

Vx-xx-2x+1）x（x-1）

【习题16】（2014学年•宝山区、嘉定区二模•第19题）先化简，再求值:

W-2K+1f-41

其中x=x/5-l.

x2-xx2+2xx

课后作业

【作业1】（2014学年•宝山区、嘉定区二模•第1题）下列实数中，属无理数的是（）

A.—B.1.010010001C.>/27D.cos60°

7

【作业2】（1）（2014学年•宝山区、嘉定区二模•第7题）计算:

（2）（2014学年•金山区二模,第7题）计算:|-^|-V3=

（3）（2014学年•岸安区、黄浦区二模•第7题）计算：（应）T=

习复考中

【作业3】（2014学年•普陀区二模•第2题）下列说法中，不正确的是（）

A.10的立方根是师B.-2是4的一个平方根

C.3的平方根是2D.0.01的算术平方根是0.1

93

【作业4】（2014学年•崇明县二模•第2题）下列运算中，正确的是（）

1,1

A.92=±3B.V=27=3C.（-3）°=0D.3-2=-

9

【作业