专题225 相似三角形的应用【七大题型】（举一反三）（沪科版）（解析版）

专题22.5相似三角形的应用【七大题型】

【沪科版】

【题型।相似三角形的应用（九章算术）】.......................................................1

【题型2相似三角形的应用（影长问题）】.......................................................5

【题型3相似三角形的应用（杠杆问题）】.....................................................10

【题型4相似三角形的应用（建筑物问题）】....................................................13

【题型5相似三角形的应用（树高问题）】.....................................................18

【题型6相似三角形的应用（河宽问题）】......................................................20

【题型7相似三角形的应用（内接矩形问题）】..................................................24

”。手三

【知识点相似三角形的应用】

在实际生活中，我们面对不能直接测量物体的高度和宽度时，可以把它们转化为数学问题，建立相似

三角形模型，再利用对应边的比相等来达到求解的目的。同时，需要掌握并应用一些简单的相似三角形模

型。

【题型1相似三角形的应用（九章算术）】

【例I】（2021•北京大兴•九年级期中）《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，在“勾股”章中有这样

一个问题："今有邑方二百步，各中开门，出东门十五步有木，问：出南门儿步而见木？〃用今天的话说，大

意是：如图，QEFG是一座边长为200步（“步〃是古代的长度单位）的正方形小城，东门，位于G。的中点，

南门K位于的中点，出东门15步的A处有一树木，求出南门多少步恰好看到位于A处的树木（即点。

在直线AC上）.

【答案】学步

【分析】本题只需要证HlACDKsafMH,利用相似三角形的性质可以得到：亮=詈，然后可以求出CK

的信，得出答案.

【详解】解：由题意可知：OE=DG=200,AH=15

团〃为G。的中点，K为。石的中点

Q〃=100,QK=100

^AI^DK

配1CQK=IM

而

(?!△CD"△DAH

胫=丝

DHAH

答：出南门誓步恰好看到位于人处的树木.

【点睛】本题考杳了相似三角形的应用：本题需要把实际问题抽象到相似三角形中，利用视点和盲区的知

识构建相似三角形，用相似三角形对应边成比例求出物体的高度.

【变式1-1J（2022•湖南株洲•九年级期末）《九章算术》中记载了一种测量古井水面以上部分深度的方法.如

图所示，在井口A处立一根垂直于井口的木杆A8,从木杆的顶端8观察井水水岸。，视线8。与井口的直

径AC交于点如果测得48=1米，4c=1.6米，4E=0.4米，那么。。为（）米.

【答案】C

【分析】由题意知：△A8E04COE,得出对应边成比例即可得出CD

【详解】解：由题意知：AB^CD,则团8A后I3C,0fi=0CDE,

团ZkA痛）△COE,

咕=

□CD=3,

经检验，CQ=3是所列方程的解，

故选：C.

【点睛】本题考查了相似三角形的应用，根据题意得出国ABE酶CDE是解决问题的关键.

【变式1-2］（2022・河北•二模）《九章算术》的“勾股”章中有这样一个问题：“今有邑方不知大小，各中开

I'J.山北门二十步有木，山南门十四步，折而西行一千七百七十五步见木.问邑方几何？”大意是：如图，

四边形EFG"是一座正方形小城，北门A位于R的中点，南门B位于E”的中点.从北门出去正北方向

20步远的C处有一树木，从南门出去向南行走14步，再向西行走"75步，恰好能看见C处的树木，则正

【答案】C

【分析】此题文字叙述比较多，解题时首先要理解题意，找到楣似三角形，利用相似三角形的性质解题,

相似三角形的对应边成比例.

【洋解】设小城的边长为x步，根据题意，

RSCAF^R小CDM,

胫=丝，

CDMD

即2°二%，

20+14+X1775

去分母并整理，

得?+34A-71000=0,

解得々=250,4=-284（不合题意，舍去），

ACE〜匕ANM.

ACEC

•••一=——・

AVMN

啜=焉

3MN屋AN.

vZ-FA,C=/-MA'N.^A'CF=匕力NM,

.*.△FA'C-△MA'N.

._FC^_

"AfN-MN，

即A'C'

A'A+AN-MN'

6085

300+AN——AN

60

解得：AN=4250

经检验：AN=4250符合题意,

CN=AN-AC=4190寸=41.9丈.

答：山谷深CN为41.9丈.

【点睛】本题考查了相似三角形的判定定理及性质，解题的关键是：熟练掌握相似三角形的判定定理及性

质，根据对应边成比例建立等式，再通过等量代换进行求解.

【题型2相似三角形的应用（影长问题）】

【例2】（2022•浙江金华•九年级期末）如图，小明在8：30测得某树的影长为16m,13：00时又测得该树

的影长为4m,若两次日照的光线互相垂直，则这棵树的高度为（）

-O:13：00

8：30

A.10mB.8mC.6mD.4m

【答案】B

【分析】根据题意，画出示意图，证明△EQQWOC,进而可得号=偿，即。孙代入数据可得答

DCFD

案.

【详解】解：根据题意，作MFC树高为CD,且回£CF=90。，ED=4m,FD=16m；

00£+0F=9O°,0E+0ECD=9O°,

00ECZX3F,

又上CDE=（FDC

^EDC^CDF,

喔二牌，即DC2=ED*FD=4X16=64,

解得CQ=8m（负值舍去）.

故选：B.

【点睛】本题考查的是相似三角形的应用，熟知相似三角形的对应边成比例是解答此题的关键.

【变式2-1］（2022•江苏徐州•中考真题）如图，公园内有一个垂直于地面的立柱48,其旁边有一个坡面CQ,

坡角NQCN=30。.在阳光下，小明观察到在地面上的影长为120cm,在坡面上的影长为180cm.同一时刻,

小明测得直立于地面长60cm的木杆的影长为90cm（其影子完全落在地面上）.求立柱A8的高度.

【答案】（170+60V5）cm

【分析】延长4力交用V于点6过点。作。成1BN于点凡根捱直角三角形的性质求出。F,根据余弦的定

义求出CR根据题意求出石凡再根据题意列出比例式，计算即可.

【详解】解：延长AD交BN于点E,过点/）作小啕BN于点F,

A

Q

在双△CO尸中，0CFD=9O0,0DCF=3O°,

贝/三。。=90(cm),CF=CD«COS(3DCF=180X^=90\/3(cm),

由题意得:畔嗡

EF90EF90

解得；环135,

0BE=^C+CF+EF=12O+9Ox^+135=(255+9OV3)cm,

则.产丝,

255+90-/390

解得：A4=170+60百，

答：立柱A3的高度为(170+60次)cm.

【点睛】此题考查了解直角三角形的应用-坡度坡角问题、平行投影的应用，解题的关键是数形结合，正确

作出辅助线，利用锐角三角函数和成比例线段计算.

【变式2-2](2022•江苏宿迁•九年级期末)如图，河对岸有一路灯杆AB,在灯光下，小明在点。处，自己

的影长DF=4m,沿方向到达点尸处再测自己的影长FG=5m,如果小明的身高为1.6m,求路灯杆为8的

高度.

【答案】8m

【分析】在同一时刻物高和影长成正比，根据相似三角形的性质即可解答.

【详解】解：BCD||EF||AB,

团可以得到△48F-△CDF,AABG〜AEFG,

乂GC〃=EF,

团OF=4,FG=5,BF=BD+DF=BD+4,BG=BD+DFFG=BD9,

团BD=16,BF=16+4=20,

解得力8=8.

答：路灯杆/B的高度为8米.

【点睛】本题主要考查了相似三角形的应用，本题只要是把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角

形的性质对应边成比例就可以求出结果.

【变式2-3］（2022•黑龙江•大庆市庆新中学八年级期末）如图，小华在晚上由路灯A走向路灯B,当她走到

。点时，发现她身后影子的顶端刚好接触到路灯A的底部，当她向前再步行12m到Q点时，发现她身前影子的

顶端刚好接触到路灯8的底部.已知小萌的身高是1.6m,两路灯的高度都是9.6m,且AP=Q8=xm.

⑴求两路灯之间的距离.

⑵当小萌在A,B之间走动时♦，在两灯光下的影子长是变化的，那么两个影子的长的和变吗?请说明理由.

【答案】（l）18m

⑵两个影子的长的和不会变，一直都是3.6m

【分析】（1）连接AC,易证△力户。团根据相似三角形对应边成比例即可求出x的值，两路灯间的距

离等于PQ+Zr；

（2）根据题意作出图形，找出其中的相似三角形，根据三角形的相思笔即可求出影子的长度和.

(1)

如图，连接AC,

回。用A3,CB^AB,

WPWCB,

^APD^ABC,

曜=笫即：粉=事

解得：x=3,

(M^=2x3+12=18(m)

(2)

如图，当小萌在A,B之间走动时，在A路灯下的影子长度为0M在B路灯下的影子长度为。历,

(L4DE1AZ?,0£0。从

^AD\\OE\\BC,

团AANDOAONE,A8MC团AOME,

则装=需登=器，整理得：ON"AN,OM={BM,

9.6AN9.6BM66

ON+OM=Z(AN+BM)

6

MN="AB+MN)

6

由(1)得：A4=18m,

团MN』(18+MN),解得：MN=3.6m,

6

故：两个影子的长的和不会变，i直都是3.6m

【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，要求学生能根据题意画出对应图形，能判定出相似三角形,

以及能利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等的原理解决求线段长的问题等，蕴含了数形

结合的思想方法.

【题型3相似三角形的应用（杠杆问题）】

【例3】（2022•山东临沂•二模）如图，稗是一个杠杆，可绕支点。自由转动，若动力F动和阻力尸阻的施力

方向都始终保持竖直向下，当阻力尸阻不变时，则杠杆向下运动时F动的大小变化情况是（）

A.越来越小B.不变C.越来越大D.无法确定

【答案】B

【分析】由图证明AM0E〜△N0F,从而得到喘=黑，即ME-NO=NF-M。，再根据题意得出答案.

NFNO

【详解】解：^Z.MOE=Z.NOF,=Z.ONF,

0AMOEs&NOF,

曜二震，即ME-NO=NF-M。,

回阻力尸阻不变，即ME不变，

又BOM,ON不变，

回由“£・/7。=%?・“。得，Nb不变，即尸,力的大小不变.

故选：B.

【点睛】本题以实际问题为背景，考查了相似三角形的判定与性质，从实际问题中抽离出数学图形，是解

题的关键.

【变式3-1］（2019•全国•九年级专题练习）加图，是用杠杆撬石头的示意图，。是支点，当用力压杠杆的4端

时，杠杆绕。点转动，另一端B向上翘起，石头就被撬动，现有一块石头，要使其滚动，杠杆8端必须向上

翘10cm,已知杠杆上的AC与8c长度之比为5:1,则要使这块石头滚动，至少要将杠杆的A端向下压多少厘

米？

【答案】50厘米

【分析】首先根据题意构造出相似三角形，然后根据相似三角形的对应边成比例求得端点A向下压的长度.

【详解】解：解：如图；AM、BN都与水平线垂直，即AM13BN；

B

易知：△ACMtmiBCN：

AC_AM

"~BC=~BN

团杠杆的动力臂AC与阻力臂BC之比为5：1,

•噎*即AM=5BN；

（3当BNNlOcm时，AM>50cm；

故要使这块石头滚动，至少要将杠杆的端点A向下压50cm.

故答案为50

【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质的实际应用，正确的构造相似三角形是解题的关键.

【变式3-2】一根均匀的木棒04所受重力G=10N,小亮以木棒的一端。为支点，竖直向上将木棒的另一端

A缓慢拉到如图所示的位置，保持不动，此时拉力为立若点3为04的中点，AC,3。分别垂直地面于点

C,。，则根据杠杆平衡原理得拉力厂的大小为（）

A.5NB.IONC.15ND.20N

【答案】A

【分析】依据8DIIAC,8是4。的中点，即可得到。是0C的中点，再根据杠杆平衡原理，可得GxOD=FxOC,

进而得出拉力F的大小.

【详解】解：团4虎。。，AC^OC,

津=丝，

BADC

又是A。的中点，即08=BA,

（30D=QC,

团。。=：0C,

2

根据杠杆平衡原理，可得Gx0D=Fx0C,

01Cx-OC=FxOC,

2

解得F=5（N）,

故选:A.

【点睛】本题主要考杳了平行线分线段成比例定理，以及杠杆平衡原理，熟练掌握平行线分线段成比例定

理并准确识图是解题的关键.

【变式3-3]（2021・甘肃白银•九年级期末）如图，以点。为支点的杠杆，在A端用竖直向上的拉力将重为

G的物体匀速拉起，当杠杆0A水平时，拉力为F；当杠杆被拉至OAi时，拉力为％,过点Bj乍BiCQOA,

过点Ai作A]D团0A,垂足分别为点C、D.在下列结论中：

①A0aC〜△。4]“；@0A*0C=0B»0D；③0C・G=0D・Fi；@F=Fi，正确的是（）

A,①②④B.②③④C.①②③D.①②③④

【答案】D

【分析】根据在同一平面内，垂直于同一直线的两直线互相平行判断出B1C0A1D,然后求出[30B1C宛OAiD,

判断出①正确；

根据相似三角形对应边成比例列式求解即可得到②正确；

根据杠杆平衡原理：动力x动力臂=阻力x阻力臂列式判断出③正确；

求出F的大小不变，判断出④正确.

【详解】0B1C0OA,AiDBOA,

回BE国AiD,

00OB1C00OA1D,故①正确；

_OB]

-OAi

由旋转的性质得，OB=OBi，OA=OAi，

0OA»OC=OB*OD,故②正确：

由杠杆平衡原理，OC・G=OD・Fi，故③正确；

］啮=舞吟是定值,

I2F1的大小不变,

故④）正确.

l?IF=F1,

综上所述，说法正确的是①②③④.

故选：D.

【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，杠杆平衡原理，熟练掌握相似三角形的判定方法和性质并

准确识图是解题的关键.

【题型4相似三角形的应用（建筑物问题）】

【例4】（2019•四川•成都市双流区立格实验学校九年级阶段练习）刘徽，公元3世纪人，是中国历史上最

杰出的数学家之一.《九章算术注》和《海岛算经》是他留给后世最宝贵的数学遗产.《海岛算经》第一

个问题的大意是：如图，要测量海岛上一座山峰A的高度AH,立两根高3丈的标杆BC和DE,两杆之间的

距离BD=1000步，点D、B、H成一线，从B处退行123步到点F处，人的眼睛贴着地面观察点A,点A、

C、F也成一线，从DE退行127步到点G处，从G观察A点，A,E,G三点也成一线，试计算山峰的高度

AH及BH的长（这里古制1步=6尺，1里=180丈=1800尺=300步，结果用步来表示）.

【分析】根据题意得出△FCBGEFAH,AEDGOSAHG,进而利用相似三角形的性质求出即可.

【详解】解：由题意,得，AH0HG,CB0HG,

团团AHF=90°,团CBF=90°,

团团AHF=®CBF,

00AFB=0CFB,

00CBFE0AHF,

段=竺

AHHF

同理可得意=瑞

团BF=123,BD=1000,DG=127,

0HF=HB+123,HG=HB+1000+127=HB+1127,BC=DE=3丈=3x^=5步，

0A=1235=127

HAHB+123'HAWB+1127

解得HB=30750,HA=1255步，

答：AH为1255步，HB为30750步.

【点睛】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是掌握相似三角形的判定和性质.

【变式4-1］（2022•陕西・武功县教育局教育教学研究室一模）千佛铁塔位于陕西省咸阳市之北杜镇，用纯

铁铸成，中空有梯可攀登，四角柱铸成金刚力士像，顶立层楼，各层环周铸铁佛多尊，故名“千佛塔”，此塔

为中国现存铁塔中最高的一座.某数学兴趣小组本着用数学知识解决实际问题的想法，欲测量该塔的高

度.如图，在点C处有一建筑物，小丽同学站在建筑物上，眼睛位于点。处，她手拿一支长0.5米的竹竿

EF.边观察边移动竹竿（竹竿石尸始终与地面垂直），当移动到如图所示的位置时，眼睛。与竹竿、塔的

顶端从A共线，同时眼睛。与它们的底端F、4也恰好共线，此时测得NBOC=63。，小丽的眼睛距竹竿

的距离为0.5米，小丽的眼睛距地面的高度CO=17米，已知力DC_LBC.请你根据以上测量结果

计算该塔的高度A4.【参考数据：tan63o《2】

【答案】该塔的高度为34米

【分析】过点。作DG_L48于点G,交£“于点〃，再根据£人取8可得出△0A8〜△OEF,由相似三角形的

对应边成比例即可求出AB的长.

【详解】过点。作DG1AB于点G,交EF于点、H,如图.

易得〃G=BC,DH1EF,DH=U.5米.

(3CD=17米,Z.BDC=63°,zC=90°,tan63°«2,

嚷=2,(3BC=34米，即DG=34米.

团£71148,

0ZDEF=LA,Z.DFE=LDBA,

（?!△DAB^△DEF,

龈=咯即竺=空

EFDH0.50.5

解得AB=34米，

即该塔的高度AB为34米.

【点睛】本题考查的是相似三角形的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键.

【变式4-2］（2022•陕西•模拟预测）延安宝塔，是历史名城延安的标志，是革命圣地的象征，坐落在陕西

省延安市主城东南的宝塔山景区内.周末，数学实践小组的同学带着测量工具测量延安宝塔的高度.测量

方案如下：首先，在A处竖立一根高4m的标杆A8,发现地面.匕的点。、标杆顶端8与宝塔顶端M在一条

直线上，测得力。=4.3m；然后，移开标杆，在A处放置测角仪，调整测角仪的高度，当测角仪高AC为1m

时，恰好测得点M的仰角为45。已知MN1ND,ABJ.ND,点D、A、N在一条直线上，点A,C、8在一

条直线上，求延安宝塔的高MM

DA

【答案】延安宝塔的高MN为44m.

【分析】根据已知条件推出AMND〜A8/10,得到黑二瞿，即可求得.

ABDA

【详解】解：过点C作CE1MN于点E,则CE=AN,EN=AC=1,

0ZWCE=45°,

121ME=Cfe.

团ME=CE=AN=MN—1,

Z.MND=Z-BADf乙MDN=iBDA,

皿IND〜MAD,

MN_DN_川］竺_MN-1+4.3

AB-DA，'4-4.3，

（3MN=44

团延安宝塔的高MN为44m.

【点睛】本题主要考查相似三角形的应用，证明AMND〜ABAD是解决本题的关键.

【变式4-3］（2022•陕西西安•一模）“揽月阁”位于西安市雁塔南路最南端，是西安唐文化的标志性建筑，

阳光明媚的一天，某校九年级一班的兴趣小组去测量揽月阁的高度.揽月阁前面有个高1米的平台，身高

1.8米的小强在台上走动，当小强走到点C处，小红蹲在台下点N处，其视线通过边缘点M和小强头顶点。

正好看到塔顶人点，测得CM=0.9米，然后小强从正前方跳下后，往前走到点£•处，此时发现小强头顶"

在太阳下的影子恰好和塔顶A在地面上的影子重合于点P处，测得NE=5米，EP=1米.请你根据以上数

据帮助兴趣小组求出揽月阁的高度.

【答案】99米

【分析】过点M作MQ148于点Q,则四边形Q8NM为矩形，设AB的长为％,则4Q=%—1,根据OC1

MQ,AQ1MQ,可得△AQMDCM,进而求得MQ的长度，即的长度，根据八可得△PEF-△PBA,

进而根据相似三角形的性质列出比例式，解方程求解即可求出揽月阁的高度.

【详解】解：如图，过点M作MQJL/1B于点Q,

A

•:AB1BN,MN1BN

•••四边形QBNM为矩形，

设的长为X,则力Q=x-1,

vDC1MQ,AQ1MQ

•••AQWDC

•••△AQMDCM

.AQ_QM_

"DC-CM

vAQ=x-l,DC=1.8,CM=0.9

AQ-CM(x-1)x0.9_%-1

QM=

-DC-1.8—2

x-1

BN=QM=

2

•••ABWEF

•••△PEFPBA

力8PB

:.--=

EFPE

x—1X+11

•・•EF=1.9,=PEINEIBN=1I5I=

x+11

1.81

解得％=99

••.揽月阁的高度为99米

【点睛】本题考查了相似三角形的应用，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键.

【题型5相似三角形的应用（树高问题）】

【例5】（2011•辽宁大连•中考真题）为了测量校园内一棵不可攀的树的高度，学校数学应用实践小组做了

如下的探索：根据光的反射定律，利用•面镜子和皮尺，设计如图所示的测量方案：把镜子放在离树（AB）8.7m

的点E处,然后观测考沿着直线BE后退到点D,这时恰好在镜子县看到树梢顶点A,再用皮尺量得DE=2.7m,

观测者目高CD=1.6m,则树高AB约是.（精确到0.1m）

DEB

【答案】5.2

【详解】如图容易知道CD团BD,AB团BE,即回CDE=®ABE=90。.由光的反射原理可知国CEDWAEB,这样可以得

到RCED胴AEB,然后利用对应边成比例就可以求出AB.

解：由题意知（3CED=（3AEB,0CDE=0ABE=9O°,

00CED（33AEB.

_AB.1.6_AB

糠-BE,,,石一砺’

0AB=5.2米.

故答案为5.2m.

【变式5-1］（2021.全国•九年级专题练习）据《九章算术》记载：“今有山居木西，不知其高.山去五十三里,

木高九丈西尺，人立木东三里，望木末适与山峰斜平.人目高七尺.问山高几何？”

大意如下：如图，今有山力8位于树的西面.山高为未知数，山与树相距53里，树高9丈5尺，人站在离

树3里的尸处，观察到树梢C恰好与山峰A处在同一斜线上，人眼离地7尺，问山AB的高约为多少丈？（1丈=10

尺，结果精确到个位）

【答案】由的高约为165丈.

【分析】由题意得80=53里，CD=95尺，EF=7尺,OF=3里，过点E作EGJ.48于点G,交CO于点H,

得BG=OH=EF=7尺，GH=80=53里，HE=DF=3里,根据相似三角形的性质即可求出.

【详解】解：由题意得8。=53里，CD=95尺，EF=7尺,=3里.

如图，过点E作EG1A8于点G,交。。于点H.

则BG=DH=EF=7尺，GH=BD=53里，HE=DF=3里,

vCD//AB,

(30ECH00EAG,

，列=里,

AGEG

95-7_3

"AG=3+53

•••4G«164.3丈，AB=AG+0.7x165丈.

答：由48的高约为165丈.

【点睛】此题主要考杳了相似三角形在实际生活中的应用，能够将实际问题转化成相似三角形是解题的关

键.

【变式5・2】（2022•全国•九年级单元测试）小明想用镜子测量一棵松树的高度，但因树旁有一条河，不能

测量镜子与树之间的距离，于是他两次利用镜子，如图所示，第一次他把镜子放在C点，人在F点时正好

在镜子中看到树尖A；第二次把镜子放在D点，人在G点正好看到树尖A.已知小明的眼睛距离地面1.70m,

量得CD=12m,CF=1.8m,DH=3.8m.请你求出松树的高.

【答案】这棵古松的高约为10.2米.

【分析】根据反射定律可以推出aXCBWECF,0ADB=0DGH,所以可得用BA5团FEC、国ADB团团GDH,再根据相似

三角形的性质解答.

【详解】解：根据反射定律可以推出I3ACB=[3ECF,0ADB=0GDH,

0AB0BC,EF0BC,GHmBC,

0OBACE0FEC.0ADBE0GDF,

设AB=x,BC=y

得仔=10.2

即付卜=10.8.

答；这棵古松的高约为10.2米

【变式5-3]（2021•陕西宝鸡•一模）傍晚，小张和妈妈在某公园散步，发现公园的一路灯旁有一棵古老的

大树，小华激动地说：妈妈，我可以通过测量您的影长，测得妈妈的影长QP=1.6m.妈妈沿8。的方向到

达点尸处，此时小华测得妈妈的影长打7=2^1.已知妈妈的身高为1.6m（即CQ=EF=16〃），AI^BG,

CQ犯G,求这棵大树的高度.

【答案】8米

【分析】在同一时刻物高和影长成正比，根据相似三角形的性质即可解答.

【详解】解：0COTF/1MB,

^CDI^BABF,^ABG^EFG,

爬=竺，变="，

ABBFABBG

又BCQ=ERCD=DF

龈二q

ABAB+GF

0DF=1.6/H,FG=2m,

碎=

ABABI2

解得，AB=3.

答：这棵大树的高度是

【点睛】本题考查了相似三角形的有关知识，能够借助两组三角形相似求解是解决问题的关键.

【题型6相似三角形的应用（河宽问题）】

【例6】（2021・河北•石家庄市第川十一中学九年级期中）为了估计河的宽度，我们可以在河对岸的岸边选

定一个目标记为点力，再在河的这一边选点8和点C,使得CE1BC,设8c与AE交于点O,如图所

示测得8。=120m,DC=40m,EC=30m,那么这条河的大致宽度是（）

A

C.100mD.120m

【答案】B

【分析】证明△OEBZkQ/W即可.

【详解】西81BC,CE1BC,

回团。/M=(3QCE,

WDA-^CDE,

团△DECI3AD4B,

0DC：DB=EC：4B,

^BD=120m,DC=40m,EC=30m,

04C：120=30：AB,

048=90（〃?），

故选艮

【点睛】本题考查了三角形相似的判定和性质，熟练掌握三角形相似的判定定理和性质是解题的关键.

【变式6-1］（2019•全国•九年级单元测试）如图，为了估计河的宽度，在河的对岸选定一个目标点A,在

近岸取点B,C,D,E,使点A,B,D在一条直线上，且AD13DE,点A,C,E也在一条直线上且DE阴C.如

果BC=24m,BD=12m,DE=40m,则河的宽度AB约为（）

A.20mB.18mC.28mD.30m

【答案】B

【分析】证明国ABC胴ADE,利用相似比得到能）缁，然后根据比例的性质求AB的长度.

DeADBD

【详解】0BC0DE,

配1ABC励ADE,

DEAB^BD

0AB=18m.

故选B.

【点睛】本题考查了相似三角形的应用：利用影长测量物体的高度；利用相似测量河的宽度（测量距离）；

借助标杆或直尺测量物体的高度.

【变式6-2］（2022•贵州毕节,二模）如图，一条河的两岸有一段是平行的，在河的南岸岸边每隔5m有一棵

树，小华站在离南岸20m的点。处看北岸，在两棵树之间的空隙中，恰好看见一条龙舟的龙头和龙尾（假

设龙头、龙尾和小华的眼睛位于同一水平平面内），已知龙舟的长为18.5m,若龙舟行驶在河的中心，且龙

\/南岸

7P

【答案】108

【分析】根据题意画出示意图，过点P作PF1CD于点F,交AB于点证明aP/lB〜△PCD,再借助相

似三角形的性质计算尸尸的长，再由题意计算河宽即可.

【详解】解：根据题意画出示意图，过点。作P""£CD于点F,交A8于点E,

由题意可知,两树之间的距离48=5m,龙舟的长。。=18.5m,点P到南岸的距离PE=20m,

中AB〃CD,

0APABPCD,

0^=—,K|J—=—

PFCDPF18.5

0PF=74m,

BEF=PF-PE=74-20=54m,

团龙舟行驶在河的中心,

团河宽为54x2=108m.

故答案为：108.

【点睛】本题主要考查了利用相似三角形解决实际问题，解题关键是根据题意作出示意图，构建相似三角

形.

【变式6-3］（2022•陕西・西安工业大学附中九年级期中）为了加快城市发展，保障市民出行方便，某市在

流经该市的河流上架起一座桥，连通南北，铺就城市繁荣之路.小明和小颖想通过自己所学的数学知识计

算该桥4尸的长.如图，该桥两侧河岸平行，他们在河的对岸选定一个目标作为点A,再在河岸的这一边选

出点8和点C,分别在AB、AC的延长线上取点。、E,使得。EII8C.经测量，BC=120米，。石=210米,

且点上到河岸8c的距离为60米.已知八砥8c「点F,请你根据提供的数据，帮助他们计算桥人斤的长度.

A

【答案】桥A尸的长度为80米.

【分析】过E作EG3BC于G,依据△4BEMOE,即可得出替二：,依据MC而3ECG,即可得到会=第

EC3EGEC

进而得出4b的长.

【详解】解：如图所示，过E作£G她。于G,

0DEHBC,

的钻CmAOE,

^AC_BC1204

0------=---=一，

AEDE2107

嗜/

（MFIIEG,

^CF^ECG,

/="，即竺=士,

EGEC603

解得A尸=80,

（3桥AF的长度为80米.

【点睛】本题主要考查了利用相似测量河的宽度（测量距离）.测量不能直接到达的两点间的距离，常常

构造，7r型或“『型相似图，三点应在一条直线上.必须保证在一条直线上，为了使问题简便，尽量构造直角

三角形.方法是通过测量易于测量的线段，利用三角形相似，对应边成比例可求出河的宽度.

【题型7相似三角形的应用（内接矩形问题）】

【例7】（2020•江苏无锡•九年级期中）一块直角三角形木板，它的一条直角边4c长为1C771,面积为1。7九2,

甲、乙两人分别按图①、②把它加工成一个正方形桌面，则①、②中正方形的面积较大的是（）

A

G

①②

A.①B.（2）C.一样大D.无法判断

【答案】A

【分析】分别利用平行线分线段成比例及相似三角形的判定及性质求出两个正方形的边长，然后利用正方

形的面积公式求出面积，然后进行比较即可.

【详解】解：由4c长为1cm,△4BC的面积为lcm2,可得8c=2cm,

如图①，设加工桌面的边长为%cm,

vDE//CB,

.DE_AD

,•丽-AC"

即弓=二

21

解得：X=|(cm)；

如图②，设加工桌面的边长为ycm,

过点C作分别交。£、4?于点N、M,

AC=1cm,BC=2cm,

•••AB=\/AC2+BC2=V5,

•••△4BC的面积为Ie/,

••.CM=誓cm,

•••DE//AB,

.**△CDECAB,

DE_CN

AB~CM'

解得：y=^C7H,

:.x2>y2,

即&>S2,

故选:A.

【点睛】本题主要考杳相似三角形的判定及性质，掌握平行线分线段成比例及相似三角形的判定及性质是

解题的关键.

【变式7・1】（2021•辽宁•沈阳市第七中学九年级期中）如图有一块直角边AB=4cm,BC=3cm的RtAABC

的铁片，现要把它加工成一个正