专题245 点和圆、直线和圆的位置关系【九大题型】（举一反三）（人教版）（解析版）

专题24.5点和圆、直线和圆的位置关系【九大题型】

【人教版】

♦题型梳理

【题型1判断点和圆的位置关系】.................................................................1

【题型2根据点和圆的位置关系求半径】..........................................................4

【题型3判断直线和圆的位置关系】..............................................................7

【题型4根据直线和圆的位置关系求半径的取值范围】............................................10

【题型5根据直线和圆的位置关系求圆心到直线的距离】...........................................14

【题型6根据直线与圆的位置关系确定交点个数】.................................................17

【题型7求圆平移到与直线相切时圆心经过的距离】...............................................22

【题型8求直线平移到与圆相切时运动的距离】...................................................26

【题型9利用直线与圆的位置关系求最值】.......................................................31

，举一反三

【知识点1点和圆的位置关系】

1.点与圆的位置关系有：点在圆外，点在圆上，点在圆内三种。

2.川数量关系表示：若设的半径就是r,点P到圆的距离OP二d,则有：

点P在圆外，则d>r；点p在圆上则d=r；点p在圆内则dVr,反之也成立。

【题型1判断点和圆的位置关系】

【例1】(2023春・四川自贡・九年级统考期末)在平面直角坐标xOy中，。。的半径为5,以下各点在0。内

的是()

A.(-2,3)B.(3,-4)C.(-4,-5)D.(5,6)

【答案】A

【分析】先根据勾股定理求出各点到。的距离，再与。。的半径5相比较即可.

【详解】解：A、点(一2,3)到。的距离为e2+32=旧<危=5,则点(一2,3)在。。内，本选项符合题意;

B、点(3,-4)到。的距离为“42+32=5,则点(3,-4)在。0上，本选项不符合题意；

C、点(一4,一5)到。的距离为，42+52=同>侬=5,则点(-4,一5)在O。外，本选项不符合题意；

D、点(5,6)到。的距离为a2+52=夜>后=5,则点(5,6)在。。外，木选项不符合题意；

故选：A.

【点睛】本题考查的是点与圆的位置关系，熟知点与圆的三种位置关系是解答此题的关键.

【变式1-1】（2023春・吉林通化・九年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，4（0,4）、8（2,4）、。（4,2）.

（I）经过4、B、。三点的圆弧所在圆的圆心M的坐标为；

（2）这个圆的半径为；

（3）点。（3,-1）与0M的位置关系为点。在OM（填内、外、上）.

【答案】（1,1）同内

【分析】（1）作线段AB,BC的垂直平分线交于点M,点M即为所求；

（2）根据点M的位置写出坐标即可，利川勾股定理求出半径：

（3）根据点与圆的位置关系判断即可.

【详解】解：（1）如图，

•・•点M是线段48,8C的垂直平分线的交点，

/.MA=MB=MC,

・••点M是经过A、B、C三点的圆弧所在圆的圆心，

・••点M（L1）即为所求.

故答案为：（1，1）.

（2）VM（1,1）,点4在OM上,

JAM=Vl?+32=710.

故答案为：\4Io.

（3）VD（3,-1）,M（l,1）,

:.MD=V（3-l）2+（-l-l）2=2V2,

V2A/2<A/T0,

：.MD<MA,

工点。（3,—1）在0时的内部.

故答案为：内.

【点睛】本题考查作图一复杂作图，坐标与图形的性质，垂径定理，点与圆的位置关系，勾股定理，三角形

的外接圆与外心等知识，解题的关键是掌握线段的垂直平分线的性质.

【变式1-2]（2023春・山东滨州•九年级统考期末）已知。。的半径是8,点P到圆心。的距离d为方程/一■一

5=0的一个根，则点P在（）

A.O0的内部D.。。的外部

C.。0上或。。的内部D.0。上或0。的外部

【答案】A

【分析】解一元二次方程根据点与圆的关系直接判定即可得到答案.

【详解】解：解方程可得，

X1=5,%2=—1，

•・•点P到圆心。的距离d为方程-4x-5=0的一个根，

.*.d=5<8,

・••点P在。。的内部，

故选A.

【点睛】本题考查解一元二次方程及点与圆的关系，解题的关键是正确解方程及掌握点到圆心距离与圆半径

关系判断点与圆的关系.

【变式1-3]（2023春•浙江宁波•九年级统考期末）如图，△48。中，AB=AC=10cm,=12cm,/ID1BC

于点。，点P为A。上的点，DP=2,以点P为圆心6cm为半径画圆，下列说法错误的是（）

A

BDC

最小距离为2cm,则。。的半径为cm.

【答案】5或3

【分析】分点户在圆内或圆外进行讨论.

【详解】解：①当点P在圆内时，。。的直径长为8+2=10(cm),半径为5cm：

②当点P在圆外时,。。的直径长为8-2=6(cm),半径为3cm；

综上所述：。。的半径长为5cm或3cm.

故答案为：5或3.

【点睛】本题考杳了点与圆的位置关系：点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到

圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系.

【变式2-1](2023春•浙江宁波♦九年级校考期中)已知。0的半径为4cm,点P在。。上，则OP的长为()

A.2cmB.4cmC.5cmD.8cm

【答案】B

【分析】根据点在圆上，点到圆心的距离等于圆的半径求解即可.

【详解】解：・.・0。的半径为4cm,点P在0。上，

：.0P=4cm.

故选:B.

【点睛】本题考查了点与圆的位置关系：设。。的半径为r,点P到圆心的距离OP=d,则有：点P在圆外

时，d>r；点P在圆上时，d=r；点P在圆内时，d<r.

【变式2-2](2023春・浙江嘉兴•九年级校考开学考试)已知。。的圆心与坐标原点重合，半径为广,若点力(2,0)

在0。内，点P(2,2)在。。外，则r的取值范围是.

【答案】2<r<2V2

【分析】由题意知，。力=2,OP=](2—0尸+(2-0)2=2四,由点4(2,0)在。。内，点P(2,2)在。。外，

可得2<rV2V2.

【详解】解：由题意知，。力=2,OP=7(2-0)2+(2-0)2=2V2,

•・•点4(2,0)在。。内，点P(2,2)在。0外，

A2<r<2V2,

故答案为：2<r<2V2.

【点睛】本题考查了点与圆的位置关系，勾股定理.解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用.

【变式2-3](2023春•九年级单元测试)如图，矩形/8C0中AB=3,力。=4.作OE1AC于点£作

于点F.

(1)求AF、4E的长；

(2)若以点4为圆心作圆，B、C、D、E、尸五点中至少有1个点在圆内，且至少有2个点在圆外，求04的

半径「的取值范围.

【答案】(1乂?=£，AE=^

(2)2.4<r<4

【分析】⑴根据勾股定理求出〃'=BZ)=V^*至=5,根据等积法求出力根据勾股定理

求由4E=/z—管)2=枭

(2)根据人尸<AB<AE<AD<AC,结合点与圆的位置关系进行判断即可.

【详解】Q)解：..•矩形48co中48=3,4。=4,

：.AC=BD=V32+42=5,

*：^AF-BD=^AB-AD,

..3X412

•»AFr=——=——，

55

同理可得：DE

在Rt△ADE中，AE=J42-(y)2=蔡：

(2)解：\'AF<AB<AE<AD<AC,

・•・若以点A为圆心作圆，B、C、D、E、/五点中至少有1个点在圆内，且至少有2个点在圆处，即点尸在

圆内，点。、C在圆外，

・・・04的半径，的取值范围为2.4<r<4.

【点睛】本题主要考查了矩形的性质，点与圆的位置关系，勾股定理，三角形面积的计算，解题的关键是熟

练掌握点与圆的位置关系.

【知识点2直线和圆的位置关系】

1.直线与圆的位置关系有：相交、相切、相离三种。

2.直线与圆的位置关系可以用数量关系表示：

若设。O的半径就是r,直线1与圆心。的距离为d,则有：

直线1与00相交则d<r：直线1与。0相切则d=r；直线1与。O相离则d>r,反之也成立。

【题型3判断直线和圆的位置关系】

【例3】(2023春•九年级课时练习)已知在矩形4BCD中，AB=3,BC=4,以点力为圆心，r为半径作

(1)当半径7■为何值时，04与直线BC相切；

(2)当半径r为何值时，。4与直线BD相切：

(3)当半径r的取值范围为何值时，OA与直线9c相交且与直线CD相离.

【答案】(1)当半径r为3时，OA与直线BC相切

(2)当半径r为2.4时，OA与直线BD相切

(3)当半径r的取值范围为3<r<4时，O4与直线BC相交且与直线CC相离

【分析】(I)根据圆心到直线的距离等了半径时，圆与直线相切，结合矩形的性质进行求解即可;

(2)连接80,过点4作4EJ.8。，等积法求出4E的长，即为所求；

(3)根据圆心到直线的距离和圆的半径之间的关系，进行求解即可.

【详解】(1)解：•••四边形/18C。为矩形，

/.z5=zD=90°,

：,AB1BC,AD1DC,

•.•圆心/到8C边的距离为48=3,04与直线BC相切，

.*.r=AB=3,

则当半径r为3时，04与直线8c相切；

(2)连接80,过A作4EJ.B0,交BD于点、E,

•・•在中，AB=3,AD=4,

；・BD=\/AB2+AD2=5,

XVSA4BD=^BDAE=IAB-AD,

工圆心力到80边的距离4E=Y=2.4,

又0力与直线80相切，

：.r=AE=2.4,则当半径r为2.4时，OA与直线BD相切；

(3)•••。4与直线BC相交，圆心4到BC边的距离为HB=3,

r>3,

又0A与直线CD相离，圆心4到CD的距离为4。=4,

：.r<4,

则当半径r的取值范围为3<r<4时，O4与直线BC相交且与直线CD相离.

【点睛】本题考杳直线与圆之间的位置关系.熟练掌握圆心到直线的距离等于半径时，直线与圆相切，小于

半径时，直线与圆相交，大于半径时，直线与圆相离,是解题的关键.

【变式3-1](2023春•九年级课时练习)已知。。的半径是一元二次方程3一7%+12=0的一个根，圆心0

到直线，的距离d=3,则直线I与。。的位置关系是.

【答案】相交或相切

【分析】利用因式分解法求得一元二次方程的两个根，再根据直线与圆的位置关系求解即可.

【详解】解：由/一7x+12=0可得(％—3)(无一4)=0

解得无1=3,&=4

即00的半径是3或4

当O。的半径是3时，3=3,即r=d,直线与圆相切，

当。。的半径是4时，4>3,即r>d,直线与圆相交，

故答案为：相交或相切

【点睛】此题考查了一元二次方程的求解以及直线与圆的位置关系，解题的关键是掌握一元二次方程的求解

以及直线与圆的位置关系.

【变式3-2]（2023春・全国•九年级专题练习）已知。。的直径为12,点。到直线/上一点的距离为2同,

则直线/与。。的位置关系（）

A.相交B.相切C.相离D.不确定

【答案】D

【分析】根据圆心到直线的距离与圆半径之间的大小关系，判断直线与圆的位置关系即可.

【详解】解：・・・。。的直径为12,

••・0。的半径为6,

•・•点。到直线/上一点的距离为2同，无法确定点。到直线/的距离，

，不能确定直线/与。0的位置关系，

故选D.

【点睛】本题考杳直线与圆的位置关系.熟练掌握圆心到直线的距离与圆半径之问的大小关系，判断史线与

圆的位置关系，是解题的关键.

【变式3-3X2023春•九年级课时练习）如图所示,正方形ABCD的边长为2,AC和BD相交于点0,过0作EF||AB,

交BC于E,交AD「F,则以点B为圆心，我为半径的圆与直线AC,EF的位置关系分别是什么？

【答案】见解析

【分析】求点B到力C的距离，即BO,可知与OB的半径相等，故圆与直线AC相切；点B到E尸的距离

小于08的半径，故圆与直线EF相交.

【详解】由题中已知条件，得B0J.AC,BO=[BD='BC?+CD2=&,

即点B到力。的距离为或，与08的半径相等，

・•・直线4C与08相切.

*：EF\\AB,LABC=90°,

：.BE1EF,垂足为E,且BE==gx2=1<四,

・•・直线E尸与08相交.

【点睛】本题考查正方形的性质，直线与圆的位置关系判定，根据点到直线的距离与半径的大小关系判定直

线与圆的位置关系是解题的关键.

【题型4根据直线和圆的位置关系求半径的取值范围】

【例4】(2023春•九年级课前预习)在平面直角坐标系中，以点4(4,3)为圆心、以R为半径作恻A与x轴相

交，且原点O在圆A的外部，那么半径R的取值范围是()

A.0</?<5B.3</?<4C.3<R<5D.4</?<5

【答案】C

【分析】分别根据原点。在圆A的外部，圆人与x轴相交，可得半径R的取值范围.

【详解】解："(4,3),

/.0A=V324-42=5,

•・,原点。在圆A的外部,

.'.R<OA,即R<5,

•・•圆A与％轴相交，

:・R>3,

/.3</?<5»

故选C.

【点睛】本题考杳了坐标与图形性质，勾股定理，直线、点与圆的位置关系等知识点，能熟记直线、点与圆

的位置关系是解此题的关键.

【变式4」】(2023春.全国.九年级专题练习)对于OP及一•个矩形给出如下定义：如果OP上存在到此矩形

四个顶点距离都相等的点，那么称0P是该矩形的“等距国如图，在平面直角坐标系％0y中，矩形A8CD的

顶点力的坐标为(4,6),顶点C、。在％轴上，且0C=0>若矩形A8CC的“等距圆”0P始终在矩形内部(含

边界)，则OP的半径，•的取值范围是

A

BA

CO。i

【答案】0<r<7-2V6

【分析】先确定最大圆的位置，再根据勾股定理列方程求解即可.

【详解】解：•••矩形力BCD的顶点A的坐标为(4,6),顶点C、。在X轴上，且OC=OD.

•••它的中心E点坐标为(0,3),如图,

一5-4-3-20。_1啰34561

经过点E且在矩形内部（含边界）的最大圆为过点E且和4D,CD相切的圆P,

设切点分别为G,H,如图，

连接尸G,PH,PE,过点尸作P尸_Ly轴于点F,设OP的半径为r,

则PG=PH=P£=r,PF=4-r,EF=3-r,

在Rt

-PE2=EF2+PF2,

八二（3一丁）2+（4一厂）2,

解得■=7-2瓜r2=7+2V6,

由题意，r<3,而7+2通>3,

•••丁2=7+2通应舍去，

故答案为：0VrW7-2遍.

【点睛】本题考查矩形的性质，直线与圆的位置关系，勾股定理，一元二次方程的解法，解题的关键是确定

出最大圆的位置，利用勾股定理解答.

【变式4-2］（2023春・上海徐汇・九年级统考期中）如图，在梯形48CQ中，AD//BC,NB=90。,AD=2,

AB=4,BC=6,点。是边8c上一点，以。为圆心，0c为半径的。O,与边A。只有一个公共点，则0C

C.4Voe若14D.4<0C<y

【答案】B

【分析】作DE_LBC于E,当。。与边A。相切时，圆心。与E重合，即OC=4；当0A=0C时，。。与

A。交于点4，设OA=OC=x,贝！O/?=6-x,在A8O中，由勾股定理得出方程，解方程得出0。=日；

即可得出结论.

【详解】作DE_LBC于E,如图所示：

则DE=48=4,BE=AD=2,

；・CE=4=DE,

当。。与边相切时，切点为"，圆心。与七.里合，即OC'=4；

当。A=OC时，。。与交于点4,

设OA=OC=x,则04=6-%,

在RSA00中，由勾股定理得：42+（6-x）2=f,

解得：x=f;

・•・以。为圆心，0C为半径的。O,与动AQ只有一个公共点，则OC的取信范闱是4☆号：

【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系、直角梯形的性质、勾股定理等知识；熟练掌握直角梯形的性质

，分情况讨论是解题的关键.

【变式4-3］（2023•全国•九年级专题练习）如图，在矩形A8CZ）中，对角线AC与8。相交于点。，AB=5,BC=

12.分别以点。、D为圆心画圆，如果。。与直线力Z）相交、与直线CD相离，且0D与。。内切，那么。。的

半径长r的取值范围是（）

A.|<r<4B.|<r<6C.9<r.D.9<r<13

【答案】C

【分析】过点。作OE力。，勾股定理求得8D=13,进而根据平行线分线段成比例得出OE=：姐。户="D,

根据题意，画出相应的图形，即可求解..

【详解】解：如图所示，当圆。与力D相切时，过点。作0E14D,

•・•矩形A8CD中，对角线4c与BC相交于点0,AB=5,BC=12.

：,AD1CD,CD=AB=5,AD=BC=12,BD=>/AB2+AD2=13,

：.0HWC

：.0E=^AB=1，

22

当圆。与CO相切时，过点。作。/J_CD于点F,如图所示,

则0/=6

则r若+6若

，0。与直线/1O相交、与直线CD相离，且OD与。。内切时，9<r<y,

故选:C.

【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，平行线分线段成比例，直线与圆的位置关系，圆与圆的位置关

系，根据题意画出图形是解题的关键.

【题型5根据直线和圆的位置关系求圆心到直线的距离】

【例5】(2023•河北唐山・统考一模)如图，。。的半径是5,点A在。。上.夕是。。所在平面内一点，且

4P=2,过点。作直线/,使LL出.

(I)点。到直线/距离的最大值为一;

(2)若M,N是直线/与00的公共点，则当线段MN的长度最大时，OP的长为.

【答案】7V21

【分析】(1)如图1,当点。在限外且。，A,。三点共线时，点。到直线/距离的最大，于是得到结论;

(2)如图2,根据已知条件得到线段MN是。。的直径，根据勾股定理即可得到结论.

【详解】(1)如图1,V/1B4,

・•・当点尸在圆外且O,4,2三点共线时，点。到直线/距离的最大，

最大值为4。+”=5+2=7；

(2)如图2,・.・M,N是直线/与。。的公共点，当线段MN的长度最大时，

线段是。。的直径，

V/1E4,

ZAPO=90°,

VXP=2,04=5,

OP=y/OA2-PA2=苗,

故答案为7,V21

【点睛】此题主要考查点到直线的距离以及勾股定理的运用，熟练掌握，即可解题.

【变式5-1］（2023春・全国•九年级专题练习）已知。。的半径为5,直线［与。。有2个公共点，则点。到直

线，的距离可能是（）

A.3B.5C.7D.9

【答案】A

【分析】根据题意得点。到直线/的距离小于圆的半径，即可解答.

【详解】:。。的半径为5,直线［与。。有2个公共点，

・•・点。到直线I的距离0Wd<5.

故选：A.

【点睛】本题考杳了点、直线、圆的位置关系.熟练掌握直线与圆相交时，圆心到直线的距离小于半径，是

解题的关键.

【变式5-2】（2023春・全国•九年级专题练习）如图，已知。0是以数轴原点。为圆心，半径为1的圆，乙408=

45%点P在数釉上运动，若过点P且与。力平行的直线与。。有公共点，设OP-x,贝以的取值范围是（）

C.-1<x<1D.x>V2

【答案】B

【分析】根据题意，知直线和圆有公共点，则相切或相交，相切时，设切点为C,连接OC,根据等腰直角三

角形的直角边是圆的半径I,求得斜边是近，所以x的取值范隹是04%工企.

【详解】解：设切点为C,连接OC,则

圆的半径OC=1,OC1PC,

'：^AOB=45°,OAWPC,

：.LOPC=45。，

：,PC=OC=1,

・・・OP=VL

同理，原点左侧的距离也是遮，且线段是正数

所以x的取值范围是0<x<y[2

故选：B.

【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系，以及直径所对的圆周角是直角等知识，解题关键是求出相切

的时候的x值，即可分析出x的取值范围.

【变式5-3]（2023春•全国•九年级专题练习）如图，。。的半径是3,点人在。。上，点P是0。所在平面

内一点，且力P=2,过点。作直线/,使IIP4

（1）点。到直线/距离的最大值为;

（2）若点M,N是直线/与。。的公共点，则当线段MN的长度最大时，0P的长为.

【答案】5V5

【分析】（1）如图1,当点P在圆外且。，4P三点共线时，点0到直线，距离的最大，于是得到结论;

（2）如图2,根据已知条件得到线段MN是。。的直径，根据勾股定理即可得到结论.

图1

-ILPA,

.•・当点P在圆外且0,力，P三点共线时，点。到直线，的距离最大,

最大值为4。+4P=3+2=5；

（2）如图2,N是直线/与。。的公共点，当线段MN的长度最大时,

线段MN是。。的直径，

v/lPzl,

:.Z.APO=90。，

vAP=2,OA=3,

・•・OP=yJOA2-PA2=V5,

故答案为：5,遥.

【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，勾股定理，正确的作出图形是解题的关键.

【题型6根据直线与圆的位置关系确定交点个数】

【例6】（2023春・全国•九年级统考期末）已知，RtzsMBC中，ZC=90°,斜边48上的高为5m,以点C为

圆心，4.8为半径的圆与该直线48的交点个数为（）

A.0个B.1个C.2个D.3个

【答案】A

【分析】根据直线和圆的位置关系与数量之间的联系进行判断.若dVr,则直线与圆相交；若d=r,则直线

于圆相切；若d>r,则直线与圆相离.

【详解】解：:5cm>4.8cm,

d>r.

二圆与该直线AB的位置关系是相离，交点个数为0,

故选A.

【点睛】考杳了直线和圆的位置关系与数量之间的联系，关键是掌握d与r的大小关系所决定的直线马圆的

位置关系.

【变式6-1]（2023春•九年级课时练习）在RtaABC,/-BAC=90°,48=8,AC=6,以A为圆心，4.8长

度为半径的圆与直线8C的公共点的个数为个.

【答案】1

【分析】根据直线和圆的位置关系与数显之间的联系进行判断，若dvr,则直线与圆相交，若d=r,则直

线于圆相切，若d>r,则直线与典相离.

【详解】解：Z8AC=90°，AB=8,AC=6,

BC=10,

・•・斜边上的高为：蜉=4.8,

•••d=r=4.8,

•••圆与该直线8C的位置关系是相切，交点个数为I.

故答案为：I.

【点睛】考查了直线和圆的位置关系与数量之间的联系，难度一般，关键是掌握d与r的大小关系所决定的直

线与圆的位置关系.

【变式6-2］（2023春・湖北武汉•九年级校考阶段练习）如图，NACB=30。，点O是CB上的一点，且OC

=6,则以4为半径的。O与直线CA的公共点的个数为（〕

【答案】C

【分析】过O作OD_LOA于D,求出CD的长，根据直线和圆的位置关系判断即可.

【详解】解：过O作OD_LOA于D,

.\OD=k）C=3<4,

2

・••以4为半径的。O与直线CA的公共点的个数为2个，

故选：C.

【点睛】本题主要考查直线与圆的公共点个数，会判断直线与圆的位置关系是解题的关键.

【变式6-3］（2023春•江苏馍江•九年级统考期中）如图，在中，AB=4,BC=8,=60。.点

P是射线BC上一动点，作△P/B的外接圆00.

(1)当。。与4PAB的外接圆G)。相切时，求。。的半径；

(2)直接写出。。与和18CD的边的公共点的个数及对应的BP长的取值范围.

【答案】(I)竽

(2)当0<3PW4时，。。与圈A8C0的边的公共点的个数为3个；当4V8PV8时，。。与巴48C。的边的公

共点的个数为4个；当BP=8时，。。与团ABC。的边的公共点的个数为3个：当BP>8时，点。在。。的

内部，。。与固48CD的边的公共点的个数为2个.

【分析】(1)取BC的中点M,连接AM,证明ZMBM是等边三角形，得出484c=90。,4c=y/BC2-AB2=473,

依寇意。点在AB的垂直平分线上，作48的垂直平分线交DC的延长线于点E,交AB于点心连接0B,0P,在

Rt△40/中勾股定理即可求解；

(2)分特殊点讨论，①当。。与4D相切时，②②当。。经过点。时，分别求得BP的长，结合图形即可求解.

【详解】(1)解：如图，取8c的中点M,连接力M,

\*AB=4,BC=8,LABC=60°.

="C=4,

2

：,AB=BM=4,

・•・AABM是等边三角形，

：,£BAM=^LAMC=60°,

乂;AM=AfC=4,

：.LMAC=/.MCA=30°,

・"84C=90。，

：.AC=>JBC2-AB2=4>/3

设0。的半径为r,

丁点尸是射线BC上一动点，作仆P48的外接圆O0.

，0点在4B的垂直平分线上，

：,0A=0B=0P=r

如图，作/IB的垂直平分线交OC的延长线于点E,交48千点凡连接。8,。2

：.DC1EF

・•・四边形EF4C是矩形，

/.£F=i4C=4>/3,

当00经过点E时，CD是。。的切线，

在RtZiA。/中，AF=^AB=2,AO=r,OF=EF-0E=4遍一丫

,：AO2=AF2+OF2

：.r2=22+(4V3-r)2

解得：r二半

o

(2)解：①如图,

AD

当0。与AD相切时，。。与718。）有3个交点，

此时4。1BC,根据对称性可知乙4PB=乙48P=60°

••・A/IBP是等边三角形，

：.BP=AB=4

即当0VBP44时，O。与回48CD的边的公共点的个数为3个;

②当O0经过点D时，如图，连接P。，

•・•四边形48co是平行四边形

：.AB\\CD,ADWBC

：.DP=AB=4

又乙ABC=60°

・・・ADCP是等边三角形

:.CP=4

:・BP=8+4=12

:.当4V8PV8时，O。与即48CD的边的公共点的个数为4个;

当BP=8时，。。与时48C。的边的公共点的个数为3个；

当8,>8时，点〃在0。的内部，。。与EMyC〃的边的公共点的个数为2个;

综上所述，当0<8PW4时，。。与瓦4BCD的边的公共点的个数为3个；

当4vBpc8时，O。与回4BCD的边的公共点的个数为4个；

当BP=8时，O。与皿48CD的边的公共点的个数为3个；

当BP>8时，点。在。。的内部，。。与团4BCD的边的公共点的个数为2个.

【点睛】本题考查了切线的性质与判定，垂径定以及垂径定理的布论，三角形的外心，勾股定理，平行四边

形的性质，直线与圆的位置关系，分类讨论是解题的关键.

【题型7求圆平移到与直线相切时圆心经过的距离】

【例7】（2023春•黑龙江齐齐哈尔・九年级统考期末）如图，直线AB,CD相交于点O,ZAOC=30°,半径

为1cm的。P的圆心在直线AB上，开始时，PO=6cm.如果。P以lcm/s的速度沿由A向B的方向移动，

那么当（DP的运动时间t（s）为时，（DP与直线CD相切.

【答案】4或8

【分析】利用。P的圆心在直线AB上，分别得出OP在O点左边和右边两种情况，并根据直角三角形的性

质即可计算出结果.

【详解】解解•：当点P在射线0A上时。P与CD相切，如图

过P作PE_LCD与E,

/.PE=1cm,

VZAOC=30°,

・・・OP=2PE=2cm,

・•・OP的圆心在直线AB上向右移动了（6-2）cm后与CD相切,

・・・QP移动所用的时间t=?=4（秒）；

当点P在射线OB时。P与CD相切，

如图，过P作PF_LCD与F,

PF=1cm,

VZAOC=ZDOB=30°,

・・・OP=2PF=2cm,

・•・OP的圆心在直线AB上向右移动了（6+2）cm后与CD相切，

・・・0P移动所用的时间1=彳=8（秒）.

综上所述，t=4秒或8秒.

故答案为：4或8.

【点睛】此题上要考杳了直线与圆的位置关系，利用数形结合的思想并能利用直角三角形的性质得出结论是

解题的关键.

【变式7-1］（2023春・山东临沂・九年级统考期中）如图，00的半径OU5cm,直线LL0C,垂足为“，且

/交。。于4、B两点,AB=8cm,则/沿0C所在直线平移后与。0相切，则平移的距离是（）

A.1cmB.2cmC.8cmD.2cm或8cm

【答案】D

【详解】试题分析：连接0A,如图:

C

V0H1AB,AB=8cm,・・・AHq48=4cm,•/0A=0C=5cm,・•・山勾股定理可得0H=3cm,工当直线向下平

移到点H与点C重合时，宜线与圆相切，・・・CH=OC-OH=2cm；同理：当直线向上平移到与圆相切时，平移

的距离=5+3=8cm,所以直线在原有位置移动2cm或8cm后与圆相切，故选D.

考点：垂径定理、勾股定理、直线与圆的位置关系.

【变式7-2］（2023春・天津宝城•九年级校联考期末）如图，已知/APB=30。，OP=3cm,。0的半径为1cm,

若圆心O沿着BP的方向在直线BP上移动.

（I）当圆心O移动的距离为1cm时，说明。O与直线PA的位置关系.

（II）若圆心O的移动距离是d,当00与直线PA相交时，求d的取值范围

【答案】相切;1cmVdV5cm

【详解】试题分析♦：（1）如图，当点O向左移动1cm时，POZ=PO-O'O=3-l=2cm,

A

：

p\•••o••\•.\ojB

作OC_LPA于C,

・•,NP=30度，

・・・ocWpcr=icm,

2

•••圆的半径为1cm,

:.OO与直线PA的位置关系是相切；

(2)如图：当点O由0,向右继续移动时，PA与圆相交,

当移动到C"时，相切，

此时C"P=PO'=2,

，点O移动的距离d的范围满足lcm<d<5cm时相交

考点：直线与圆的位置关系.

【变式7-3](2023・天津・九年级统考期中)如图，ZAPB=30°,圆心在PB上的。O的半径为1cm,OP=3cm,

若00沿BP方向平移，当。0与PA相切时，圆心0平移的距离为—cm.

【答案】1或5

【分析】首先根据题意画出图形,然后由切线的性质,可得NO，CP=90。,又由NAPB=30。，O分=lcm,即可

求得0T的长，继而求得答案.

【详解】解—：有两种情况:

（I）如图I,当0平移到O,位置时，O与雨相切时，且切点为c,

连接0匕则OC_L雨，即/。CP=90。，

图1

•・•NAPB=30°,O'C=lcm,

・・・O，P=2O，C=2cm,

：0P=3cm,

，OO，=OP-Og(cm).

(2)如图2,同理可得：0，P=2cm,

0'0=5cm.

图2

故答案为1或5.

【点睛】本题主考考查圆与直线相切.本题要应用分类讨论思想分别画出G）O与直线PA相切时■的图形，利

用切线性质即可求出答案.

【题型8求直线平移到与圆相切时运动的距离】

【例8】（2010•四川南充・中考真题）如图，直线"II%，O。与。和，2分别相切于点力和点8.点M和点N分别

是。和。上的动点，MN沿。和h平移.。。的半径为1，41=60。.下列结论错误的是（）.

A.M-B.若MN与。0相切，则/M=V5

C.若NMON=90。，则MN与o。相切D.。和。的距离为2

【答案】B

【分析】根据直线与圆的相关知识，逐一判断.

【详解】解：A、平移MN使点B与M重合，Nl=60。，AB=2,解直角三角形得MN=竽，正确；

B、当MN与圆相切时，M,N在48左侧以及M,N在A,B右侧时，4M=通或弓，错误；

C、若NM0N=90。，连接N。并延长交MA于点C,^i^AOCBON,故CO=NO,△MONwzxMOC,故MN

上的高为1,即。到MN的距离等于半径.正确；

D、I.||12,两平行线之间的距离为线段48的长，即直径48=2,正确.

故选:B.

【点睛】本题考查了直线与圆相切的判断方法和性质，全等三角形的判定及性质，平行线间的距离，熟练掌

握直线与圆相切的判断方法和性质是解题的关键.

【变式8-1］（2023春・江苏无锡・九年级校联考期中）如图，直线），=%+8（加＞0）与x轴、），轴交于点4、B,

在直线AB上取一点C,过点C作x轴的垂线，垂足为日若点E（4,0）.

（1）若EC=BC,求〃的值；

（2）在（1）的条件下，有一动点P从点8出发，延着射线8c方向以每秒1个单位的速度运动，以点尸为

圆心，作半径为，勺圆，动点。从点O出发，在线段OE上以每秒1个单位的速度作来回运动，过点。作直

线；垂直x轴，点尸与点。同时从点B、点。开始运动，问经过多少秒后，直线/和。P相切.

【分析】（1）作出辅助线,求出点B、C坐标代入解析式即可求解,

（2）分类讨论，利用圆心到切线的距离等于半径即可解题.

【详解】作BH_LCE.：E（4,0）,

・・・,把代入产与〃・・・〃.：，.在/?/△中,，

OE=BH=4x=44+b=3+,CE=3+3（0,b）,EH=O84,C”=3BCHBC=5=CE,C

（4.5）代入尸斗+b,得b=2

4

（2）设点尸到直线/的距离为d.作轴于点“，则PH=*

①当0<二4时,O0=f,#L次机，由，号得Z=1;

②当4<性8时,OQ=8-&8-L2喝或%一（8-力弓，解得片急斗!；

③当8y<12时,OQ=/-8,4土一（L8）4解得片算由于?一4，,舍去.（第3种情况酌情给分,舍去的理由合

情描述即可）

综上所述，武或号或工

2610

【点睛】本题考查求解一次函数参数，直线与圆的位置关系，分类讨论是解题关键.

【变式8-2]（2023春・全国•九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，。。的半径是1,直线A8与x

轴交于点P（x,（））,且与x轴的正半轴夹角为45。，若直线人8与。。有公共点，则x值的范围是（）

A.-1<X<1B.-V2<x<V2C.-42<X<42D.0<X<^

【答案】B

【分析】设直线AB的解析式为）=i+A当直线与圆相切时切点为C,连接OC,则0C=l,由于直线AB与x

轴正方向夹角为45。，所以△人（%;是等腰直角三角形，故0C=PC=l再根据勾股定理求出0A的长即可.

【详解】:直线48与x轴正方向夹角为45。,

・•・设直线A4的解析式为尸x+〃，切点为C,连接0C,

•••0CL48,

•••。。的半径为1,

.••△A0C是等腰直角三角形,

：.OC=PC=\,

:.OA=V12+12=y/2»

:・P(V2,0),

同理可得，当直线与x轴负半轴相交时，P(-V2,0),

：--\/2<x<\f2.

故选:B.

【点睛】本题考查的是直线与圆的位置关系，熟知直线和圆的三种位置关系是解答此题的关键.

【变式8-3]（2023・河北・统考模拟预测）等腰RMABC和。O如弱放置，已知AB=BOI,ZABC=90°,OO

的半径为1,圆心O与直线AB的距离为5.

（1）若^ABC以每秒2个单位的速度向右移动，。0不动，则经过多少时间^ABC的边与圆第一次相切？

（2）若两个图形同时向右移动，△ABC的速度为每秒2个单位，。。的速度为每秒1个单位，则经过多少

时间△ABC的边与圆第一次相切？

（3）若两个图形同时向右移动，△ABC的速度为每秒2个单位，OO的速度为每秒1个单位，同时△ABC

的边长AB、BC都以每秒0.5个单位沿BA、BC方向增大.△ABC的边与圆第•次相切时，点B运动了多

少距离？

【答案】（1）于；（2）5-或；（3）至萨

【详解】分析：（1）分析易得，第一次相切时，与斜边相切，假设此时，△ABC移至△处，与。O

切于点E,连OE并延长，交于F.由切线长定理易得CC，的长，进而由三角形运动的速度可得答案；

（2）设运动的时间为t秒，根据题意得：CCf=2t,DDr=t,则CD，=CD+DD：CC=4+t-2t=4-3由第（1）的结

论列式得出结果;

（3）求出相切的时间，进而得出B点移动的距离.

详解：（1）假设第一次相切时，△ABC移至△处，

如图1,AC，与。0切于点E,连接OE并延长，交于F,

图1

设。0与直线1切于点D,连接0D,贝lJOE_LA，C,OD_L直线1,

由切线长定理可知CE=CD,

设CD=x,则C，E=x,

•••△ABC是等腰直角三角形，

/.ZA=ZACB=45°,

・・・NACB=NACB=45。，

•••△EFC是等腰直角三角形，

ACT=V2x,ZOFD=45°,

/.△OFD也是等腰直角三角形，

AOD=DF,

:.x/2x+x=l»则x=V2-l,

・・・CC=BD-BCCD=5-1-（V2-1）=5-V2,

・••点C运动的时间为警；

则经过等秒，△ABC的边与圆第一次相切；

⑵如图2,设经过I秒△ABC的边与圆第一次相切，△ABC移至△ABC，处，0O与BC所在直线的切点

D移至D，处，

图2

AC与。0切于点E,连OE并延长，交于F,

VCCf=2t,DDK

,CD=CD+DD，-CC'=4+t-2l=4-t,

由切线长定理得C'E=CTT=4-t,

由(1)得：4-t=V2-l,

解得：t=5-VL

答：经过5-四秒△ABC的边与圆第一次相切;

(3)由(2)得CC'=(2+0.5)t=2.5t,DDF

则C'D'=CD+DD'-CC'=4+t-2.5t=4・1.5t,

由切线长定理得CE=CD=4-1.5t,

由(1)得：4-1.5t=V2-I,

解得：1=里立，

点睛：本题要求学生熟练掌握圆与直线的位置关系，并结合动点问题进行综合分析，比较复杂，难度较大,

考查了学生数形结合的分析能力.

【题型9利用直线与圆的位置关系求最值】

【例9】（2023•湖北随州•统考中考真题）如图，在矩形4BCD中，AB=5,AD=4,M是边力8上一动点（不

含端点），将△力DM沿直线DM对折，得到^NDM.当射线CN交线段A8于点尸时，连接DP,则ACDP的面

积为;0P的最大值为

【答案】102眄

【分析】(I)根据等底等高的三角形和矩形面积关系分析求解；

(2)结合勾股定理分析可得，当4P最大时，DP即最大，通过分析点N的运动轨迹，结合勾股定理确定力P的

最值，从而求得OP的最大值.

【详解】解•：由题意可得aCDP的面积等于矩形ABCD的一半，

JZiCDP的面/只为•力。=1x4x5=10,

在Rt△力PD中，PD=yjAD2+AP2,

，当4P最大时，OP即最大，

由题意可得点N是在以。为圆心4为半径的圆上运动，当射线CN与圆相切时，/1P最大，此时C、N、M三

点共线，如图:

由题意可得：AD=ND,AMND=/.BAD=zF=90°,

：,/.NDC+Z.DCN=90°,Z,DCN4-LMCB=90°,