专题11 二次根式章末重难点题型（举一反三）（沪科版）（解析版）

专题L1二次根式章末重难点题型

【沪科版】

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三

【考点1二次根式的概念】

【方法点拨】掌握二次根式的定义：一般地，我们把形如y（a^O）的式子叫做二次根式，理解被开方数

是非负数，给出一个式子能准确的判断其是否为二次根式，并能根据二次根式的定义确定被开方数中的字

母取值范围.

【例1】（2020春•安庆期末）下列式子一定是二次根式的是（）

A.V-%-2B.y[xC.Va2+1D.Vx2-2

【分析】根据二次根式的定义：一般地，我们把形如叮（，N0）的式子叫做二次根式可得答案.

【解答】解：根据二次根式的定义可得7^彳1中得被开方数无论X为何值都是非负数，

故选：C.

【点评】此题主要考查了二次根式的定义，关键是掌握二次根式中的被开方数为非负数.

【变式1-1]（2020春•文登区期中）在式子，J|（x>0）,或,尸-2）,AP2^（A->0）,V3,VPTT,

x+y中，二次根式有（)

1

A.2个B.3个C.4个D.5个

【分析】根据二次根式的定义作答.

【解答】解：（x>0）,V2,标彳符合二次根式的定义.

Jy+1（y=-2）,V-2x（x>0）无意义，不是二次根式.

通属于三次根式.

x+y不是根式.

故选：B.

【点评】本题考查了二次根式的定义.一般形如石Q20）的代数式叫做二次根式.当。20时，逐表

示〃的算术平方根；当〃小于0时，非二次根式（在一元二次方程中，若根号下为负数，则无实数根）.

【变式1-2］（2020春•青云谱区校级期中）在式子加—3.14,Va2+b2,7a+5,J-3y2,Vzn2+1,y/\ab\

中，是二次根式的有（）

A.3个B.4个C.5个D.6个

【分析】根据二次根式的定义形如的式子叫做二次根式，对被开方数的符号进行判断即可得.

【解答】解：在所列式子中是二次根式的有“花一3.14,后E,Jj画这4个，

故选:B.

【点评】本题主要考查二次根式的定义，解题的关键是掌握形如正（。20）的式子叫做二次根式.

【变式1-3】（2019春•平舆县期末）下列各式中①讴；②尺彷；③后；④L47n■:⑤五2+2%+1

YIX|*U・JL

一定是二次根式的有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【分析】二次根式的定义：一般地，我们把形如G（〃20）的式子叫做二次根式，据此逐一判断即可得.

【解答】解：在①我；②，-（-匕）；③④⑤］在+2%+1一定是二次根式的是③④⑤,

故选：C.

【点评】本题考查了二次根式的定义.理解被开方数是非负数，给出一个式子能准确的判断其是否为二

次根式，并能根据二次根式的定义确定被开方数中的字母取值范围.

【考点2二次根式有意义的条件（求取值范围）】

【方法点拨】对于二次根式有意义的条件求取值范围类题型，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数

以及分式分母不为零.

【例2】（2020春•文登区期末）若式子叵二在实数范围内有意义，则〃?的取值范围是（）

m-2

2

A.加21B.mt且mW2C.且加工2D.

【分析】分别根据二次根式及分式有意义的条件列出关于机的不等式，求出m的取值范围即可.

【解答】解：・.・震在实数范围内有意义,

-1>0

-2HO'

解得加N1且m#2.

故选：C.

【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件，熟知二次根式具有非负性是解答此题的关键.

【变式】•合肥校级期中）要使疹看有意义,

2-1（2020=1+则x的取值范围为（)

1111

A.-<x<3B.-<r<3C."<%<3D."<x<3

2222

【分析】直接利用二次根式有意义的条件分析得出答案.

【解答】解：要使k+看有意义,

则2x-120,3-x>0,

解得：1<x<3.

故选：C.

【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握定义是解题关键.

【变式2-2】（2020•日照二模）若使式子衣二1N成立，则x的取值范围是（）

A.1.54W2B.后1.5C.KW2D.KW1.5

【分析】直接利用二次根式的性质进而计算得出答案.

（2-x>0

【解答】解：由题意可得：x-l>0

2—x>x—1

解得：—.5.

故选：D.

【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握相关定义是解题关键.

【变式2-3］（2020秋•北辰区校级月考）等式』1|=需成立的条件是（）

A.启1B.心3且启-1C.a>\D.心3

【分析［观察等式右边，根据二次根式有意义和分式的分母不为0的条件列出不等式组，求出。的取值

范围即可.

3

【点评】考瓷了二次根式有意义的条件，解决此题的关键：掌握二次根式的基本性质：6芍意义，则。

20.

【变式3-2】(2019秋•新化县期末)已知+y-3+Jx-2y-4=5/a+J-2020x<2020—a-b,

(1)求a+b的值;

(2)求7户)2°2°的值.

【分析】(1)根据二次根式有意义即可求出答案.

(2)根据二次根式有意义的条件列出方程组求出K与)，的值即可求出答案.

【解答】解：⑴由题意可知:借W202晨卜

12020-a-b>0

解得：a+力=2020.

(2)由于2a+b-2020x,2020-a-。=0,

.(2x+y-3=0

,,(x-2y-4=0

•••解得：［三］

・・・7K)2°2°=14+1=15.

【点评】本题考查分式的运算，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型.

【变式3-3］(2019秋•南江县期末)已知+y-z-8+‘X+y-z=y/x+y-2019+J2019-％-y,

求(z-y)2的值.

【分析】首先根据二次根式的被开方数是非负数推知：原题中方程右边为0.方程左边也为0,据此求得

队z的值；然后代入求值.

【解答】解：由题中方程等号右边知：Jx+y-2019有意义,则x+y-201920,即T+)，N2019,

J2019-x-y有意义,则2()19-x-y，()，即x+yW2019,即设备

/.x+y=2OI9.

••・"+y-2019=0,72019-%-y=0.

・•・原题中方程右边为0.

J原题中方程左边也为0,即J3x+y-z-8+y/x+y-z=0.

yj3x+y-z-8>0,yjx+y-z>0.

3x+y-z-8=0,x+y-z=0.

又x+y=2019,

5

3x+y—z—8=0

x+y-z=0,

x+y=2019

x=4

:.y=2015.

z=2019

:.（z-y）2=（2019-2015）2=42=16.

【点评】考查了二次根式的意义和性质.概念：式子气（^0）叫二次根式.性质：二次根式中的被开

方数必须是非负数，否则二次根式无意义.同时考查了非负数的性质，几个非负数的和为0,这儿个非

负数都为0.

【考点4二次根式的性质与化简（根据被开方数为非负数）】

【方法点拨】对于解决此类型的题目关键根据被开方数为非负数确定相关字母的符号，利用二次根式的性

质即可化简.

【例4】（2020春•沐阳县期木）已知aX0且"y。，化简二次根式的正确结果是（）

A.a4abB.-ay[abC.a'—abD.-a\[—ab

【分析】首先根据二次根式有意义的条件确定"的符号，然后根据〃来确定。、〃各自的符号，再去

根式化简.

【解答】解：由题意：-J/）》。，即时W0,

*：a<b,

：.a<0<b,

所以原式=|a|V—Q/J=—ay/—ab,

故选：D.

【点评】本题主要考查了二次根式的化简，解决此题的关键是根据已知条件确定出。的符号，以确保

二次根式的双重非负性.

【变式4-1]（2020春•徐州期末）与根式的值相等的是（）

A.—y/xB.-JC\J-XC.—yf-XD.yj-x

【分析】将原式进行化简后即可确定正确的选项.

【解答】解：・；R有意义，

・・・x〈0,

-xj—:>0,

6

・••-xR=-A-=4

故选：D.

【点评】考查J'二次根式的性质与化简和二次根式有意义的条件，解题的关键是了解原式有意义是x的

取值范围，难度不大.

【变式4-2］（2020春•东湖区校级月考）化简■。电的结果是（）

A.y/aB.-y/aC.—\F^aD.V^a

【分析】首先根据二次根式有意义的条件判断a的取值范围，再根据二次根式的性质进行化简即可.

1

【解答】解：・・・一20,

?.67>0,

-«<0»

•・・-ajl=-VH,

故选：B.

【点评】此题主要考查了二次根式的性质与化简，能够正确化简二次根式是解题的关键.

【变式4-3］（2020春・柯桥区期中）把代数式（4-1人工中的。-1移到根号内，那么这个代数式等于（）

\L-a

A.-V1-aB.Va-1C.D.-Va-1

【分析】根据二次根式的概念和性质化简即可\

［解答］解：（a-1）J（JQ）=-（1-a）=-V1-a.

故选：A.

【点评】正确理解二次根式的性质与化简及概念是解决问题的关键.

【考点5二次根式的性质与化简（根据字母取值范围或数轴）】

【例5】（2020春•河北期末）若KW4,则|1一洲一J（x—44化简的结果为（）

A.2.V-5B.3C.3-2xD.-3

【分析】根据绝对值及二次根式的非负性化简即可求解.

【解答】解：・・・1WXW4,

，原式=|1-M-仅-4|

=x-1-（4-x）

=x-\-4+x

7

=2x-5,

故选：A.

【点评】本题主要考查绝对值及二次根式的非负性，根据绝对值及二次根式的非负性化简是解题的关键.

【变式5-1](2020•攀枝花)实数〃、b在数轴上的位置如图所示，化简，(a+I)?+J(b_l)2_J(a_b)2的

结果是()

—,__L2_^_।_

>3-2-10123

A.-2B.0C.-2aD.2b

【分析】根据实数。和〃在数轴上的位置，确定出其取值范围，再利用二次根式和绝对值的性质求出答

案即可.

【解答】解•：由数轴可知・2VaV・1,1V6V2,

Afl+KO,/>-1>0,a-b<0.

・•・J(a+1)2+V(b-l)2-V(a-b)2

=\a+\\+\b-\\-\a-b\

=-(a+1)+(Z?-1)+(a-b)

=-a-1+b-\+a-b

=-2

故选：A.

【点评】本题主要考杳了实数与数轴之间的对应关系，以及二次根式的性质，学会根据表示数的点在数

轴上的位置判断含数式子的符号，掌握绝对值的化简及二次根式的性质是解决本题的关键.

【变式5-2](2020春•潮南区期末)若a、b、c为三角形的三条边，则J(a+b-c.+看-a-c|=()

A.2b-2cB.2aC.2(a+b-c)D.2a-2c

【分析】先利用二次根式的性质得到原式=|。+0-c|+l"+c-b\.然后根据三角形三边的关系和绝对值的意

义去绝对值后合并同类项.

【解答】解：・・・〃、力、c为三角形的三条边，

/.a+b>cfa+c>b,

原式=|a+〃-c\+\a+c-b\

=a+h-c+a+c-b

=2a.

故选;B.

8

【点评】本题考查了二次根式的性质与化简：灵活应用二次根式的性质进行化简计算.也考查了三角形

三边之间的关系.

【变式5-3］（202。春•祁江区校级期末）已知实数小b,c在数轴上的对应点的位置如图所示，化简必+|a

-c\+yj(b-c)2-\b\.

[III>

ca0b

【分析】根据二次根式的运算法则即可求出答案.

【解答】解：由数轴可知：cVaVOVb,

••a-c>0,b-c>0,

・•・原式=HI+|〃-d+|〃-d-四

=・a+(a・c)+(b・c)-b

=-2c.

【点评】本题考查二次根式，解题的关键是熟练运用二次根式的性质，本题属于基础题型.

【考点6最简二次根式的概念】

【方法点拨】最简二次根式的条件：（1）被开方数的因数是整款或字母，因式是整式；（2）被开方数中不

含有可化为平方数或平方式的因教或因式.

【例6】（2020春•广州期中）下列二次根式中，是最简二次根式的是（）

A.V8B.J2L2yC.呼D.j3/+y2

【分析】判断一个二次根式是否为最简二次根式主要方法是根据最简二次根式的定义进行，或直观地观

察被开方数的每•个因数（或因式）的指数都小于根指数2,且被开方数中不含有分母，被开方数是多

项式时要先因式分解后再观察.

【解答】解：A乖=2五,可化简;

B.,2x?y=\x\y/2y,可化简；

乙腭=零可化简；

D，3》2+y2不能化简,符合最简二次根式的条件，是最简二次根式;

故选：。.

【点评】本题主要考查了最简二次根式.在判断最简二次根式的过程中要注意：（1）在二次根式的被开

方数中，只要含有分数或小数：就不是最简二次根式；（2）在二次根式的被开方数中的每一个因式（或

因数），如果塞的指数大于或等于2,也不是最简二次根式.

9

【变式6-1］（2020春•包河区期末）在根式再、辰丁、斤亍、/刘中，最简二次根式有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【分析】被开方数不含分母，被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.我们把满足上述两个条件的二

次根式，叫做最简二次根式.

【解答】解：根式6^、>/12>~2~yJx_y、Jx2y中,最简二次根式有/不、Jx_y,共3个,

故选：C.

【点评】本题主要考查了最简二次根式，最简二次根式的条件：（1）被开方数的因数是整数或字母，因

式是整式；（2）被开方数中不含有可化为平方数或平方式的因数或因式.

【变式6.2】（2019秋•新化县期末）若二次根式巧是最简二次根式，则最小的正整数。为，

【分析】判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同

时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是.

【解答】解：若二次根式隗E是最简二次根式，则最小的正整数。为2,

故答案为：2.

【点评】本题考查最简二次根式的定义.根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：

被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式.

【变式6-3］（2019春•望花区校级月考）若历行和，32m-n+l都是最简二次根式,则〃叶尸-6.

【分析】根据最简二次根式的定义，可知，〃+3=1,2利-〃+1=1,解方程组求得利和〃的值，则〃H•〃的

值可得.

【解答】解：由题意可得：｛黑2；+li=i

解得：｛m=~I

In=-4

/.m+n=-6

故答案为：-6.

【点评】本题考查了最简二次根式的定义、解二元一次方程组和简单的整式加法运算，属于基础知识的

考查，难度不大.

【考点7同类二次根式的概念】

【方法点拨】同类二次根式的概念：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个

二次根式叫同类二次根式，同类二次根式可以合并.

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【例7】（2019春•潍城区期中）下列二次根式：y,V18,-7125,乃而，其中不能与反合并的有

（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【分析】先根据二次根式的性质化简各二次根式，找到不是同类二次根式即可得.

【解答】解：•・・g=2V5,V18=3A/2,/=竽，-V125=-5V5,V048=^,

二不能与合并的是g、-这2个，

故选：丛

【点评】本题主要考查同类二次根式，解题的关键是掌握二次根式的性质和同类二次根式的概念.

【变式7-1】（2020春•西城区校级期中）若最简二次根式77转与最简二次根式底是同类二次根式，则x

的值为（）

A.%—0B.x=1C.A,—2D.x—3

【分析】根据同类二次根式的定义得出方程，求出方程的解即可.

【解答】解：•.•最简二次根式疡仔与最简二次根式后是同类二次根式，

*'•A+3=2X>

解得：x=3,

故选：D.

【点评】本题考查了同类二次根式和最简二次根式，能根据同类二次根式的定义得出.什3=2'•是解此题

的关键，注意：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫同类二

次根式.

【变式7-2]（2020春•赛罕区期末）若最简二次根式，3m+n,2,4m—2可以合并,则m-n的值为.

【分析】由题意可知，43m+n与244m-2同类二次根式,即被开方数相同，由此可列方程求解.

【解答】解：根据题意3m+〃=4加・2,

即-〃?+〃=-2,

所以m-n=2.

故答案为：2.

【点评】本题考查同类二次根式的概念：化为最简二次根式后，被开方数相同的根式称为同类二次根式；

同类二次根式可■以合并.

【变式7-3]（2019春•随州期中）若最简二次根式"一芍2、+y-5和Jx-3y+11是同类二次根式.

11

（1）求x,y的值；

（2）求，/+产的值.

【分析】（1）根据同类二次根式的定义：①被开方数相同；②均为二次根式；列方程解组求解；

（2）根据x,），的值和算术平方根的定义即可求解.

【解答】解：（1）根据题意知康二嗔2.丫-11，

（4人Iyxj人y।JL

解得弋黑；

（2）当x=4、），=3时，

yjx2+y2=V42+32=V25=5.

【点评】此题主要考查了同类二次根式和算术平方根的定义，属于基础题，解答本题的关键是掌握被开

方数相同的二次根式叫做同类二次根式.

【考点8二次根式的加减运算】

【方法点拨】二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行

合并，合并方法为系数相加减，根式不变解答.

【例8】（2019春•江夏区校级月考）计算：

（I）3V3-V8+V2-V27

（2）加伍-4/区+7a缶

【分析】（1）根据二次根式的加减计算即可：

（2）根据二次根式的性质和加减计算解答即可.

【解答】解：（1）原式=3百一2企+&-38=一鱼,

（2）原式=7ay/7a—a>[2a+7a>[2a=7a\[Ta+6aV2a.

【点评】此题考查二次根式的加减，关键是根据二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，

再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变解答.

【变式8-1]（2019春•研口区期中）计算：

（I）2g-6J|+3V48

（2）5J1+I

【分析】（1）根据二次根式的运算法则即可求出答案.

（2）根据二次根式的运算法则即可求出答案.

12

【解答】解：（1）原式=46-26+12百

=14技

（2）原式=反+反-2反

=0

【点评】本题考查二次根式，解题的关键是熟练运用二次根式的运算法则，本题属于基础题型.

【变式8-2]（2019春•江宁区校级月考）计算：

（1）273+3x412-748

（2）-V4x-（15隆-2旧）（x>0）

【分析】（I）先将二次根式化简，再将被开方数相同的二次根式合并即可；

（2）先将二次根式化简，再利用去括号法则去括号，再将被开方数相同的二次根式合并即可.

【解答】解：⑴原式=275+675-48

=4\/3：

（2）原式（15x—2A）

=3y/x-3y/x+2x

=2x.

【点评】本题主要考查二次根式的加减，解决此类问题的关键是要先将二次根式化简，此外还要注意,

n有被开方数相同的二次根式才能合并，当被开方数不相同时是不能合并的.

【变式8-3]（2019春•海陵区校级月考）计算

（1）V27-V45-V20+V75

（2）2瓶一3v^5+5函-2b后（aNO,d>0）

【分析】（1）直接利用二次根式的性质分别化简计算得出答案；

（2）直接利用二次根式的性质分别化简计算得出答案.

【解答】解：（I）原式=3迎-3遍一26+5怖

=8V3-5>/5：

（2）原式=2口—3。伤+10〃

=\2yja-5ayfb.

【点评】此题主要考查了二次艰式的加减运算，正确化简二次根式是解题关键.

13

【考点9二次根式的乘除运算】

【方法点拨】掌握二次根式的乘除法法则是解决此类题的关键，①两个二次根式相乘，把被开方数相乘,

根指数不变：②两个二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变.

[ft9]（2019秋•闵行区校级月考）计算：后+/后）乂（4相）.

【分析】根据二次根式的乘法法则进行计算即可.

【解答】解：屉+亳屉”（4居

=（134）聘丹4

=1072.

【点评】本题主要考查了二次根式的乘法法则，掌握二次根式的乘法法则是解决问题的关键.

【点评】本题主要考查了二次根式的乘除法法则，掌握二次根式的乘除法法则是解决问题的关键.

2xI2x/7/3%2

【变式9-2]（2019春•徐汇区校级期中）化简:-J—.(4xV^)^(4xyj—)

【分析】根据二次根式的运算法则即可求出答案.

【解答】解：原式=^+

二8&3万

V3y24V3x3y

14

【点评】本题考查二次根式，解题的关键是熟练运用二次根式的运算，本题属于基础题型.

【变式9-3]（2019秋•嘉定区期中）计算：T电（«>0）

【分析】直接利用二次根式的性质化简进而得出答案.

【解答】解：^\[ab*（—^\/a3b'）+g电（a>0）

=-T9（rb-T-i的

b37a

=・9/4

【点评】此题主要考查了二次根式的乘除运算，正确化简二次根式是解题关键.

【考点10二次根式的混合运算】

【方法点拨】二次根式的混合运算可以说是二次根式乘、除法、加、减法的综合应用，在进行二次根式的

混合运算时应注意以下几点：

①观察式子的结构，选择合理的运算顺序，二次根式的混合运算与实数运算顺序一样，先乘方，后乘除，

最后加减，有括号先算括号内的；

②在运算过程中，每个根式可以看作是一个“单项式”，多个不同类的二次根式的和可以看作是“多项式”；

【例10]（2020春•宜春期末）（1）计算：V3xV12+V6^V2-V27；

（2）化简：.181+,

【分析】（1）根据二次根式的乘除法则运算；

（2）先进行二次根式的除法法则运算，然后把二次根式化为最简二次根式后合并即可.

【解答】解：（I）原式=71又直+小短一3g

=6+V3-3V3

=6-2技

（2）原式=3后+后+x

=3V2x+\[2x+>/2x

=5>f2x.

【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即

15

可.在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，

往往能事半功倍.

【变式10-1]（2020春•永城市期末）（I）计算：\^2x^+V24-V6.

（2）计算：（7§+避）2-（遥+式）（而一企）.

【分析】（1）利用二次根式的乘除法则运算；

（2）利用完全平方公式和平力差公式计算.

【解答】（1）解：原式=*xV12X3+J24+6

3.

=尹29

7

=2;

（2）解：原式=5+2反+3-（5-2）

=8+2代一3

=5+2715.

【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即

可.在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，

往往能事半功倍.

【变式10-2]（2020春•吴忠期末）计算：

（1）（2V3-1）2+（V3+2）（V3-2）；

（2）V484-2V3-V27X+4

【分析】（1）利用完全平方公式和平方差公式计算；

（2）先利用二次根式的乘除法则运算，然后化简后合并即可.

【解答】解：（1）原式=12-475+1+3-4

=12-4V3；

（2）JMit=I<484-3-IV27X6+2y/2

LJ

=2-3^2+2V2

=2-V2.

【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除

运算，再合并即可.在二次根式的混合运算中，如能结合题月特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰

16

当的解题途径，往往能事半功倍.

【变式10-3](2020春•涪城区期末)计算：

(1)(V3-2)(V3+2)-(代-1#+5；

(2)(2J^-VlOx^y/15)+苧.

【分析】(1)先利用平方差公式和完全平方公式计算，再去括号，最后计算加减可得；

(2)先化简二次根式，再计算括号内二次根式的减法，最后将除法转化为乘法、约分即可得.

【解答】解：(1)原式=(3-4)-(3-2V3+1)+5

=-1-3+2V3-1+5

=2百；

(2)原式=(-V6x—5V6x)

3J

13v16x3

=一寸・怎

=-13.

【点评】本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则.

【考点11二次根式的化简求值】

【例11](2020春•涪城区校级月考)若x,y是实数，且y=V4x-1+V1-4x+之，求[4xy)

53

-(Vx^4-^/25xy)的值.

【分析】先根据二次根式有意义的条件求出x的值，求出y的值，再把根式化成最简二次根式，合并后

代入求出即可.

【解答】解：:"，y是实数，且产\/4%-1+V1-4%+：,

・・・4x-120且1-4x20,

解得：工=本

2_______

:.(-.rV9x4-yj^xy}-(V^+J25xy)的值.

3

=x\[x-3yfxy

17

w疗

【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式的化简求值的应用，解此题的关键是求出肛的值,

题目比较好，难度适中.

【变式11・1】（2019春•洛南县期末）已知工=居后，丫=西%，求下列各式的值：

（1）x2-xy+y2；

【分析】（1）先将X、），的值分母有理化，再计算出x+），、肛的值，继而代入7Cr+y）2・3刈

计算可得；

⑵将中、个的值代建+.片也=经止乂计算可得.

xyxyxy

F【解答】1解：（.Ix）•・•x=而1二局''=亏丁+丹,）=两1百二店丁—V’3,

；・x+尸正，xy=2»

则x2-xy+y^=（x+y）2-3xy

=54

。2

7

~2'

VX

(2)-+-

xy

_/+y2

xy

_(x±yf-2xy

xy

5-1

2

【点评】本题主要考查二次根式和分式的计算，解题的关键是掌握二次根式与分式的混合运算顺序和运

算法则.

【变式11-2】（2019春•台安县期中）已知6+V5）,x=2（6一V5）,求7-3冲+/的值.

乙乙

18

【分析】先由X、y的值计算出X-)，、盯的值，再代入原式=(x-y)2-肛计算可得.

【解答】解：,・"另(向+0)，)=*(6—V5),

•*.x-y=々(V5+V3)-*(V5-V3)=苧+乎-苧+亨二志,

xy=(V5+V3)xi(V5—V3)=X(5-3)=,x2=

则原式=(x-y)2-xy1

=(V3)2-1

5

2,

【点评】本题主要考杳二次根式的化简求值，解题的关键是掌握二次根式的运算法则与完全平方公式、

平方差公式.

【变式11-3】(2019秋•宝山区校级月考)已知尸，、,，产sJr「求/-盯+/的值.

>/2a+b-\i2a-bQ2a+b+72a-b

【分析】根据分母有理化化简x与),然后求出口)，与岁的表达式即可求出答案.

【解答】解:，♦"=g+bL2aHkJ2a+b：j2a-b，

・v'2a+b+/2a-bJ2a+b-J2a-b

••X-29y=2，

.*.x+y=yj2a+b,xy=亍

，原式=/+2xy+)2-3xy

=(x+y)2-3盯

【点评】本题考查二次根式的运算，解题的关键是熟练运用二次根式的运算法则，本题属于基础题型.

【考点12分母有理化】

【方法点拨】二次分母有理化就是通过分子和分母同时乘以分母的有理化因式，将分母中的根号去掉的过

程，混合运算中进行二次根式的除法运算，一般都是通过分母有理化而进行的.

【例12](2020•唐山二模)阅读下列材料，然后回答问题.

在进行一次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如后，后而:一样的式子,其实我们还可以将其

19

、妊止人的55x65V3

进一步化简：-=-^=—

(2_>2x3_x/6

\J3=\I3X3=T

2________2x(6-1)_2(6-1)-\Ti-\

6+1~(V3+1)(V3-1)-(V3)2-l2—V-

以上这种化简的步骤叫做分母有理化.

3

(I)化简不，

2

(2)化简

111

化简：-^―+——-+——-+…+---------------

x^3+lV5+V3y/7+\/SV2n+1+V2n-1-

【分析】(1)分子分母分别乘冉即可;

(2)分子分母分别乘遍-V5即可;

(3)分母有理化后，合并同类二次根式即可；

【解答]解：⑴卷==y

(2)化简七=,厂2(f%)依一百

V5+V3(A/5+V3)(A/5-X/^)

，…1111

(3)化简：~~p+尸+-7=『+…+/:/

V3+1V5+V3V7+V5V2n+1+V2n-1

=1(V3-I+A/5-V3+V7-\/5+-+V2n+1-V2n-1)

=1(V2n+1-1)

【点评】本题考查二次根式的比简、分母有理化等知识，解题的关键是熟练掌握分母有理化的方法，属

于中考常考题型.

【变式12-1](2020春•淮安区校级期末)阅读下面计算过程:

4.(空)3f

/2+1(V2+1)(V2-1)

1_________1X(6-伪_/T_/T

V3+V2-(V3+V2)(V3-A/2)-V5"VZ；

11X(G2)R

N/5+2(V5+2)(V5-2)V

求：(1)1广的值.

V7+V6

(2)“广(〃为正整数)的值•

Vn+l+Vn

20

（3）~p+~p+-p~p+…+/，的值.

鱼+1V3+\<2\f4+V3^4i00+^/99

1——

【分析】（1）根据给定算式，在分式的分母和分子上分别相乘（夕-e），计算后即可得出结论；

V7+V6

（2）根据给定算式，在分式「二产的分母和分子上分别相乘（而不！一瓜）,计算后即可得出结论：

yJn+1+y/n

（3）根据（2）的结论即可得出4■二+〈■石+下=+…+*3=（V2-1）+-（V3-V2）

V2+1V3+V2\/4+V3V100+V99

+（2-V3）+…+（10-V99），由此即可算出结论.

I解答】解：。）鼻=常塔*云=中一正；

V7+V6（V7+V6）（V7-V6）

1lx（Vn+l-Vn）/-----r-

（2）=（标:+听）（而:_y）=Vn+1-Vn：

1111i—

（3）-p—+-p~-p+-p~-p+…+---~==（V2-1）+（>J3—V2）+（2—V3）+,,,+（10—V99）

A/2+1V3+V2V4+V3x^00+V99

=10-1=9.

【点评】本题考查了分母有理叱，根据给定算式找出利用平方差公式寻找有理化因式是解题的关键.

x/5-l22VT3-32

【变式12-2]（2020春•孟村县期末）观察下列格式，---一后_]，--——丫叵_£，—-——\房_3'

V20-42

2V20—4

(I)化简以上各式，并计算出结果;

(2)以上格式的结果存在一定的规律，请按规律写出第5个式子及结果

(3)用含〃的整数）的式子写出第〃个式子及结果，并给出证明的过程.

【分析】（1）分别把每个式子的第二项进行分母有理化，观察结果;

（2）根据（1）的结果写出第5个式子及结果;

Vn2+*4-n2

（3）根据（I）的规律可得，然后分母有理化,求出结果即可.

2Vn2+4-n

V5-12512(V5+1)\[S-1Vs+i

【解答】解：（1）-----=—1,

2-V5-1-2-(V5-1)(V5+1)-22

78-22^8-2V8+2

2-V8-2-2.2

\/13-32房―3713+3

2V13-3—22

同一42V20-4同+4

-4

2V20-422

V29-52

(2)--------=—=—5，

2<29-5

2Vn2+4-nVn2+4+n

2V^n2+4-n22

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【点评】本题主要考杳分母有理化的知识点，解答本题的关键是找出上述各式的变化规律，此题难度一

般.

【变式12・3】（2019春•微山县期中）【阅读材料】

材料一：把分母中的根号化去，使分母转化为有理数的过程，叫做分母有理化

通常把分子、分母乘以同一个不等于。的式子，以达到化去分母中根号的目的

例如；化简

V3+V2

铲」_________1丁（巡_囱_/-r-

解：E+0一（遮+遮）（通一近）-77

材料二：化简Ja土2\历的方法:如果能找到两个实数加，〃，使〃并且mn=Vb,那么Ja±2a=

Jm2+n2±2mn=J（m±八1=机土〃

例如：化简J3±2或

解：J3±2&=J（应产+/±=J（e土1）2=在士]

【理解应用】

（I）填空：化简等。的结果等于_______：

V5-V3

（2）计算：

①77-2函；

+V3+V2+24-V3**V2018+V2^+^019+V20l^'

【分析1（1）根据分母有理化法则计算：

（2）①根据完全平方公式、二次根式的性质化简；

②先把原式分母有理化，再合并同类二次根式即可.

【解答】解：（1）原式二维噜警模二丐巫=4+同，

（J5+乃）（若一、③2

故答案为：4+VT5；

（2）©V7-2710=J（V5）2+（V2）2-2V10=J（V5-V2）2=VI-V2；

②原式=V2-1+V3-V2+4-V3+•••+V2019-V2018=V2019-1.

【点评】本题考查的是分母有理化、二次根式的化简，掌握分母有理化法则、二次根式的性质是解题的

关键.

【考点13复合二次根式的化简】

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【例13](2020春•安庆期末)阅读理解题，下面我们观察:

(V2-I)2=(V2)2-2XlxV2+l2=2-2V2+1=3-2V2.

反之3-2交=2-2&+1=(此-1)2,所以3-2交=(V2-1)2,

所以03-26=V2-I.

完成下列各题：

(I)在实数范围内因式分解：3+20

(2)化简：V4+2V3；

(3)化简：yjs—2\/6.

【分析】(1)利用二次根式的性质结合完全平方公示直接化筒得出即可;

(2)利用二次根式的性质结合完全平方公示直接化简得出即可