专题44 相似三角形的判定与性质（二）【九大题型】（举一反三）（浙教版）（解析版）

专题4.4相似三角形的判定与性质（二）【九大题型】

【浙教版】

♦题型梳理

【甩型1尺规作图与相似三角形综合运用】........................................................1

【题型2三角板与相似三角形综合运用】.........................................................5

【题型3裁剪与相似三角形综合运用】..........................................................13

【题型4折叠与相似三角形综合运用】..........................................................21

【题型5判断与相似有关结论的正误】..........................................................29

【题型6用相似三角形的判定与性质证明】......................................................37

【题型7用相似三角形的判定与性质求线段比值】................................................44

【题型8利用相似三角形的判定与性质求最值】..................................................52

【题型9利用相似三角形的判定与性质解决几何动点问题】.......................................59

，举一反三1

【题型1尺规作图与相似三角形综合运用】

[ft1]（2023春•福建福州•九年级校考阶段练习）已知菱形A8C。中，E是8c边上一点.

⑴在BC的右侧求作△%命,使得£7」|且E尸二'0；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）

⑵在（1）的条件下，若""="/18C,求证：AE=>/2EF.

【答案】⑴见解析；

⑵见解析.

【分析】（1）连接AC交8。于。，在8c右侧作（SCEFWCB。，再在射线EF截取£F=O8,连接AE、AF,

即可得AAEF；

（2）延长E/交人。延长线于点G,先证明四边形是平行四边形，可得EG=BD=2EF,0G=QCTD,

【详解】（1）解：如图，连接人。交/切于。，在8c右侧作团。石四3。5。，再在射线石r截取E/=OB,连

接AE、AF,则aA"即为所要求作的三角形，再证〜△EG4,可得笠=芸,

AEEG

最后证得结果；

（2）证明：延长稗交A。延长线于点G,

回四边形A8C。是菱形，

mAD//BC.

双EF”BD,EF=^BD,

团四边形BEG。是平行四边形，

0FG=BD=2EF,3G=0CBD,

又®在菱形A8CQ中，^CBD=^ABC,

--AABC,

AAEAF2

Z.EAF=Z.G,

又（344EF=4GE/，

£71"〜△EGA,

AEEG

AE2=EF-EG=EF•2EF=2EF2,

AE=V2EF；

【点睛】本题考查作图•复杂作图、相似三角形的性质与判定、菱形的性质、平行四边形的判定等知识，解

题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型.

【变式1-1］（2023•陕西•九年级校考阶段练习）如图，国48c中，AB=AC,04=108°,请你利用尺规在3c

边上求一点尸，使团以施财8。（不写画法，保留作图痕迹）

【答案】详见解析

【分析】直接作出AB的垂直平分线，进而得出P点位置，利用相似三角形的判定方法得出即可.

【详解】解：如图所示：点P即为所求，

团AB=AC,0A=1O8\

团团B=13C=36°,

团EP是AB的垂直平分线，

0PA=PB,

™=0PAB=36°,

【点睛】此题主要考查了尺规作图和相似三角形的判定，正确掌握相似三角形的判定方法是解题关键.

【变式1-2］（2023•陕西西安•西安行知中学校考模拟预测）如图，在△48C中，AMWBC.请用尺规作图法,

在射线4M上求作一点。，使得△DC4〜△ABC.（保留作图痕迹，不写作法）

【答案】见详解

【分析】作乙ACO=乙8,交AM于点点。即为所求.

【详解】如图所示，作乙/1C0=M，交AM于点。，点。即为所求,

HzD/lC=Z.ACB,

^z.ACD=乙B,

[SADCA-△ABC.

【点睛】本题考杳了相似三角形的判定，作•个角等于已知角，掌握以上知识是解题的关键.

【变式1-3]（2023春・河北保定•几年级统考期末）在△ABC中，乙4c8=90。，用直尺和圆规在边AB上确定

一点D,使△4C。〜△48C,根据下列作图痕迹判断，正确的是（）

【答案】C

【分析】根据△4COSA/RC,可得zCZM==90。，即CD是4口的垂线，根据作图痕迹判断即可.

【详解】解：当。。是A5的垂线时，△/CD-a/lBC,

•••CD1AB,

Z.CDA=Z.BCA=90°,

^/.CAD=“AB,

0AACDABC.

根据作图痕迹可知，

A选项中，CO是N4C8的角平分线，不符合题意；

B选项中，乙乙4。WZ_&48,不符合题意；

C选项中，CO是48的垂线，符合题意；

D选项中，C。不与A8垂直，乙ADCH乙ACB,不符合题意.

故选:C.

【点睛】本题考查了相似三角形的判定，直角三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键.

【题型2三角板与相似三角形综合运用】

【例2】（2023春・上海・九年级专题练习）等边3c边长为6,P为上一点，含30。、60。的直角三角板

60。角的顶点落在点户上，使三角板绕P点旋转.

⑴如图1,当。为8c的三等分点，旦夕£044时，判断△放”的形状；

⑵在（1）问的条件卜\FE、P/3的延长线交于点G,如图2,求AEGB的面积;

⑶在三角板旋转过程中，若CF=AE=2,（CFoBP）,如图3,求PE的长.

【答案】（1）等边三角形

⑵国

（3）4

【分析】（1）要证三角形EP户是等边三角形，已知了用石尸尸=63。，主要再证得PE=P尸即可，可通过证三

角形以明和PPC全等来得出结论，再证明全等过程中，可通过证明和来实现；

（2）由（1）不难得出团CFG=9（T,那么在团CFG中，有回C的度数，可以根据CF的长求出GC的长，从而

求出G8的长，下面的关键就是求G8边上的高，过£作EH08C,那么即就是所求的高，在直角回8£「中，

有BP的长，有四18c的度数，可以求出BE、EP的长，再根据三角形面积的不同表示方法求HIE”的长，

这样有了底和高就能求出团GBE的面积；

（3）由相似三角形的判定定理得出团BP£03C”,设研=%,则CP=6-x,由相似三角形的对应边成比例

可求出x的值，再根据勾股定理求出PE的值即可.

【详解】（1）阴函48,05=60°,

因此直角三角形PE8中，BE=QP=：BC=PC,

团圆BPE=30°,

00EPF=60°,

在后BEP和团CP厂中，

(Z.B=Z.C

BE=PC，

【乙PEB=Z.FPC=90°

WBE^CPF,

0EP=PF,

酬EPF=60°,

I3I3£P尸是等边三角形.

(2)过上作于〃,

由(1)可知：FP^BC,FC=BP=^BC：4,BE=CP=^BC=2,

在三角形尸CP中，0PFC=9O°-EC=30°,

团团PF石=60°,

团团G尸C=90°,

直角三角形FGC中，团C=60。，Cr=4,

0GC=2CF=8,

^GB=GC-BC=2,

直角三角形BEP中回/尸=60°,BP=4,

0P£=2V3,BE=2,

⑦EH=BE*PE+BP=®

此GBE==^BG-EH=V3；

(3)国在BPE中,团4=60°,

团团。£0+团8户£=120°,

^EPF=60°,

0E1Z?PE+0FPC=12OO,

乂画8=13C,

团团6P£0团CFP,

喘点

设BP=x,则CP=6・x.

听占

解得：x=2或4.

当上=2时，在西8EP中，团8=60°,BE=4,BP=2,

过E作EM38C于〃，

W

BHPC

贝IJE〃=2A/5,BH=2,

0P/7=O,

即P与〃重合，与CFwBP矛盾,故工=2不合题意，舍去；

当工=4时，在田2石户中，（38=60。，BE=A,RP=A,

则加/P是等边三角形，

0PE=4.

故PE=4.

【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和等边三角形的性质以及相似三角形的判定与性质，注意对全

等三角形和等边三角形的应用.

【变式2-1]（2023春•全国•九年级专题练习）如图，在矩形〃中，AB=点,AD=1U,宜角三角板

的直角顶点P在A。上滑动，（点尸与力，。不重合），一直角边经过点C,另一直角边与射线48交于点E.

(2)当/CP。=30°时,求PE的长；

⑶是否存在这样的点P,使AOPC的周长等于△4EP周长的2倍？若存在，求出8E的长；若不存在，请说明

理由.

【答案】(1)详见解析

(2)8

(3)5-尊

【分析】(1)根据矩形的性质，推出/〃=24=90。，再由直角三角形的性质，得出4PCD+2OPC=90。,

又因4CPE=90。，推出NEP4+/OPC=90。，Z.PCD=^EPAf从而证明△CDP团△/ME；

(2)根据含30。角的直角三角形的性质和勾股定理可得结论；

⑶假设存在满足条件的点P,设=贝|J0P=1O—由△CDP(3"/4E知器=2,解献的值，从而

得结论.

【详解】(1)证明：••・四边形力8co是矩形，

Z.D=z.A=90°,

••・/PCD+乙DPC=90°,

又乙CPE=90°,

Z.EPA+Z.DPC=90。，

/.PCD=Z.EPA,

/1FP0ADPC；

(2)解：在RtAPCD中,乙DPC=30°,CD=AB=2遮,

ACP=2CD=4百，

22

APD=y/PC-CD=(46)2-(2㈣2=6,

VAD=10,

•••AP=10-6=4,

vLCPE=90°,

/APE=60°,

Rt^APE^P，LAEP=30°,

PE=2AP=8；

（3）解：假设存在满足条件的点P,

设?IP=x,则PD=10-x,

•••△CDP0APAE,

根据△COP的周长等于△PAE周长的2倍，得到两三角形的相似比为2,

二且=丝，即2=*=2,

APAEXAE

解得％=V3,

Ar10-V3

•••AE=-2--,

BE=AE-AB=-273=5--.

22

【点睛】此题是相似三角形的综合题，考查了矩形的性质，含30。角的直角三角形的性质，相似三角形的性

质和判定等知识，根据△COP的周长等于△/ME周长的2倍，得到两三角形的相似比为2是解题的关键.

【变式2-2］（2023春•江苏泰州•九年级校考阶段练习）（1）如图1,将直角三角板的直角顶点放在正方形

A4CO上，使直角顶点与。重合，三角板的一边交43于点P,另一•边交8c的延长线于点Q.则。P0Q（填

或"=〃）.

（2）将（1）中“正方形ABCQ〃改成“矩形48CD”,且AO=2,CO=4,其他条件不变.

①如图2,若PQ=5,求4P长.

【答案】（1）=;（2）①1,②乎

【分析】(1)先证明0/1QPE0C。。，即可求解：

(2)①先证明团4。阳团CQQ,可得芸=管=2=3设AP=x，则CQ=2x,

CQCD42

再由勾股定理，即可求解：

②过点8作B£IM)P交。尸延长线于点E,MWQ于点F,根据射。厢3CDQ,可得财?。=%,芸=穿=：=

p从而得到鲂尸E=QQ,再由角平分线的性质定理可得8代BF,进而证得(3B“013BFQ,得至ljBP=8Q,从而

得到4P二|,再由勾股定理，即可求解.

【详解】解团(1)在正方形/WC7)中，

^A=^BCD=WCQ=^ADC=90°,AD=CD,

物PQQ=90°,

^PDQ^ADC=90°,

团财OP+回产。。=团。。。+酎。。=90°,

配L4OPWCQQ,

^ADP^CDQ,

回。P=Z)Q；

故答案为葬

(2)①团四边形ABC7)是矩形，

回财=酎。。=团4c0=90°.

回斯。P+团POC=(3COQ+国POC=90°,

团财。P=12COQ.

又回。CQ=90°.

^ADP^CDQ,

c4PAD21

CQCD42

设AP=.i,则CQ=2x,

团尸8=4-x,8Q=2+Zt.

由勾股定理得，在用加有。中，PB2+BG=PQ2,

代人得(4—x)2+(2+2A)2=52,

解得x=l,即4P=1.

财户的长为1.

②如图，过点4作四M）。交。。延长线于点£,/"同。。于点尸,

由①得：^ADP^CDQ,

E5cC八APAD21

国3AP£>=团Q,——=——=-=一，

上CQCD42

回CQ=Z4P,

回财PD=（38P£,

酿囹Q,

团8£>平：分团尸。Q,BE^DE,B蜘DQ,

©BE=BF,

回回E=Z8FQ=90°,

团团BE用⑶8/。，

OBP=BQ,

设AP=/〃，则/?。=80=4-〃?，CQ=2m,

回2+2/〃=4-〃?，解得：m=

3

BPZP=-,

3

0DP=y/AD2+AP2=J22+Q）2=竽

【点睛】本题主要考查了正方形的性质，相似三角形和全等三角形的判定和性质，角平分线的性质定理，

勾股定理等知识，熟练掌握相关知识点是解题的关键.

【变式2-3］（2023春・广东广州•九年级校考阶段练习）一副三角板按如图1放置，图2为简图，D为AB

中点，E、〃分别是一个三角板与另一个三角板直角边AC8C的交点，已知A石=2,CE=5,连接。七，M为

8c上一点，且满足回CM£>20AQE,EM=.

【分析】由。£=5,AE=2,得AC=7,利用勾股定理，得到AQ的长度，过七作£陵4）于N,求出硒和

QN的长度，由于回CM£=2[MDE,延长MB至P,是可以证明^DNE-△PCE,MP=x,在Rt△MCE

中，利用勾股定理列出方程，即可求解.

【详解】解：如图，过E作EMM。于N,

•••Z.END=LENA=90°,

：.4NEA=Z/4=45°,

田NE=NA,

-AE=yjNE2+NA2=>/2NA,

AE「

NE=NA=—=V2,

同理，40=保二苧，

DN=AD-NA=―,

延长至P,使MP=ME,连接户£,

自可设4MPE=乙MEP=x,

...Z.EMC=乙MPE+乙MEP=2x,

v/.EMC=2/-ADE,

LADE=Z-MPE=X,

又乙DNE=乙PCE=90°,

:心DNEPCE.

CENE_V2_2

''PE='DN=5??=5*

2

25

：•PC=

设MP=ME=%则CM=y

在法△MCE中，ME2=CM2+CE2,

.GT+25=*

29

•••x=—,

4

29

ME—.

4

【点睛】本题考查了勾股定理，二倍角的辅助线的构造，方程思想求线段，熟练掌握二倍角辅助线是解决

问题的关键.

【题型3裁剪与相似三角形综合运用】

【例3】（2023春•全国•九年级期中）如图1所示，一个木板余科由一个边长为6的正方形和一个边长为2

的正方形组成，甲、乙两人打算采用剪拼的办法，把余料拼成一个与它等积的正方形木板.

甲：如图2,沿虚线剪开可以拼接成所需正方形，并求得4M=2.

乙：如图3,沿虚线剪开可以拼接成所需正方形，并求得

卜列说法正确的是（）

图3

A.甲的分割方式不正确

B.甲的分割方式正确，AM的值求解不正确

C.乙的分割方式与所求AM的值都正确

D.乙的分割方式正确，AM的值求解不正确

【答案】D

【分析】根据题意画出相应的图形，再逐个验证拼图是否符合题意，再利用全等二角形的性质，正方形的

性质以及相似三角形的判定与性质求解即可.

【详解】解：如图所示，将团行平移至将团M8C平移至回/石M

由此可得AM=QC=2,FA=ND=6,NE=BC=2,

团DE=ND-NE=4（符合题意），

回甲的分割方式正确，4M的值求解也正确，

故选项A、选项B的说法都是错误的，不符合题意；

如下图所示，将MEG平移至团VB，，连接G”，交AB于点M,将HGAM平移至团EDP,将团尸C8平移至团

由此可得G4=E£>=6-2=4,AM=DP,MN=PC,NB=EF,

回OP+PC+EF=2+6=8=A8,

（3当尸G=M7=8C=2时，G4=ED=4（符合题意），

田砌=（3〃NM=90°,SAMGFNMH,

^AMG^NMH,

廷=丝

MNNH

啜泻，

解得：4M=/

回乙的分割方式正确，AM的值求解不正确，

故选项C的说法是错误的，不符合题意，选项D的说法是正确的，符介题意，

故选：D.

【点睛】本题主要考查了平移的性质，全等三角形的性质，正方形的性质以及相似三角形的判定与性质，

熟练掌握相似三角形的判定与性质是解决本题的关键.

【变式3-1]（2023•河北保定•统考二模）如图为三角形纸片A8C,其中。点和E点将4B三笔分，尸点为

DE中点.若小慕从A8上的一点P,沿着与直线8c平行的方向将纸片剪开后，剪下的小三角形纸片面积为

△4BC的点则下列关于。点位置的叙述正确的是（）

B

A.在此上，但不与厂点也不与E点重合B.在。尸上，但不与。点也不与尸点重合

C.与£点重合D.与。点重合

【答案】A

【分析】根据题意确定出剪下来的三角形与三角形ABC相似，面积比为%得到相似比苧，逐一判断各选项

即可.

【详解】解：由题意得，剪下来的三角形与三角形ABC相似，面积比为成

故相似比为

y33

即竺=乌

AB3

选项A：\AB<AP<\AB,则：<笠<；，符合题意；

232A83

诜项B：之AB<AP<-AB,则;<啜<不符合题意：

选项C：AP,则嵋=j不符合题意；

\3AB=AR3

选项D：以8=4P,则喘=；,不符合题意；

3AB3

故选：A.

【点睛】本题考查了相似三角形性质的实际应用，对•于操作类题目，要对每个选项逐一分析，解题的关键

是利用相似三角形的面积比等于相似比的平方.

【变式3-2］（2023•福建泉州•中考真题）（1）如图1是某个多面体的表面展开图.

①请你写出这个多面体的名称，并指出图中哪三个字母表示多面体的同一点：

②如果沿BC、G”将展开图剪成三块，恰好拼成一个矩形，那么138MC应满足什么条件？（不必说理）

（2）如果将一个三棱柱的表面展开图剪成四块，恰好拼成一个三角形，如图2,那么该三棱柱的侧面积与

表面积的比值是多少？为什么？（注：以上剪拼中所有接缝均忽略不计）

【答案】（1）①直三棱柱，点A、M、D三个字母表示多面体的同一点.②团8WC应满足的条件是:a、勖MC=90。，

且BM=DH,或CM=DH；b、0MBC=9O°,且/3M=Q〃，或BC=DH：。、团4cM=90°,且8C=Q〃，或CM=。”；

⑵-2

【分析】（1）①根据多面体的侧面展开图可以判断，且A、M、。是一点；②要使最后的图形为矩形，必

须使团BMC是百角三角形，且团BMCB3//GM

（2）连接AA、BC、CA,可知矩形ACKL、H1JC、AGUN为棱柱的三个侧面，且四边）胫/X7AL、EIBH.卜KCJ

须拼成与底面财BC全等的另一个底面的三角形，然后根据三角形相似的判定和相似比可确定结果.

【详解】解：（1）①根据这个多面体的表面展开图，可得这个多面体是直三棱柱，

点A、M、。三个字母表示多面体的同一点.

②同8MC应满足的条件是：

〃、团3MC=90°,且8M=。"，或CM=DH；

b、0MBC=9O°,且8M=。"，或BC=DH；

c、回BCM=90°,且8C=OH,或CA/=。”；

（2）如图2,连接AB、BC、C4,

团皿犯〃是由一个三棱柱表面展开图剪拼而成，

但矩形ACKL、BUC.AG48为棱柱的三个侧面，

且四边形ZXML、EIBH、/KCZ须拼成与底面财BC全等的另一个底面的三角形,

（MC=LK,且AOOL+FK,

那一，

DF2

同理，可得

AB^_B£_A£_1

DE~EF~DF~2f

SADEF4

即S3EF=4SAABC，

_S4DEF-2S&ABC_2sMBC_1

-1—.............——,

S&DEF4SAABC2

即该三棱柱的侧面积与表面积的匕值是也

【点睛】此题主要考查了几何变换综合题，考查了分析推理能力，考查了空间想象能力，考查了数形结合

方法的应用，要熟练掌握.此题还考杳了相似三角形的判定和性质的应用，要熟练掌握.同时此题还考杳

了直三棱柱的表面展开图的特征和应用，要熟练掌握.

【变式3-3](2023・吉林长春•一模)综合与实践

折纸是同学们喜欢的手工活动之「通过折纸我们既可以得到许多美丽的图形，同时折纸的过程还蕴含着

丰富的数学知识.

折一折：把边长为2的正方形纸月ABCD对折，使边4B与CD重合，展开后得到折痕E只如图①；点M为CF上

一点，将正方形纸片ABC。沿直线DM折叠，使点C落在上的点N处，展开后连接DN,MN,AN,如图②.

图②

；线段NF=

(2)图②中，试判断△AND的形状，并给出证明.

剪一剪.、折一折：将图②中的AHND剪下来，将其沿直线GH折叠，使点A落在点A处，分别得到图③、图

⑷.

⑶图③中，阴影部分的周长为.

（4）图③中，若41'GN=80。，则Z/'HO=。.

⑸图③中，相似三角形（包括全等三角形）共有对.

⑹如图④，点力'落在边ND上,若A'N=2A'D,则煞=

【答案】（1）75°,2-V3；

（2）44ND是等边三角形，理由见解析；

（3）6；

（4）40；

⑸4对;

4

【分析】（1）由折叠知DE==贝吐EON=60。，ACDM=Z.NDM=15°,EN=%N=G可

得答案；

（2）由折叠知EF是AO的垂直平分线，得AN=DN,由（1）得4EDN=60。，从而得出答案；

（3）由折叠知AG=AG,ArH=AH,则图③中阴影部分的周长=AADN的周长=3x2=6；

（4）由折叠知乙4GH=50。,则4）HG=2知”G=70。,再利用平角的定义可得答案;

（5）根据两组角相等可说明ANMG〜AAMP〜AOHP,由折叠知，A/1GH三A4ZH,从而得出答案；

（6）设HN=2x,ArD=x,说明ANGN〜AAM'。，则半=”=竽，设4G=4G=m,AH=AH=n,

AHDHAD

则GN=2—m,DH=2—n,得出解得：rn.=得出竺=—==2+2^3=

n2-nxx+2AHnx+22+3--34

【详解】（1）解：由折叠的性质得，四边形CDEF是矩形，••.EF=CD,4EOF=90。，DE=AE=^AD,

•••将正方形纸片4BCD沿直线DM折叠，使点C落在EF上的点N处，

：.DN=CD=2DE,MN=CM,

:.乙EDN=60°,

Z.CDM=乙NDM=15°,EN=—DN=V3,

2

•••LCMD=75°,NF=EF-EN=2-y[3,

故答案为：75°；2-V3：

（2）解：AADN是等边三角形，理由如下：

由第•次折叠知，£尸是4。的垂直平分线,

AN=DN,

vZ.EDN=60°,

••・A/WN是等边三角形；

（3）解：•••将图②中的A/1NO剪下来，将其沿直线G，折置，使点A落在点4处,

AG=AG,ArH=AH,

，医③中阴影部分的周长=A4DN的周长=3x2=6,

故答案为：6；

（4）解：将图②中的A/INO剪下来，将其沿直线G”折叠，使点4落在点4,处，

Z.AGH=,Z.AHG=Z.AHG,

•・•NAGN=80,

:./.AGH=50°,

乙AUG=^A/HG=70°,

:.ZA'HG=180°-70°-70°=40°,

故答案为：40；

（5）解：如图③，•••ZNMG=Z/TMP,4A'PM=4DPH,

A

由折叠知，A/1GH三A/rGH,

・•・图③中的相似三角形（包括全等三角形）共有4对,

故答案为：4对；

（6）解：•••AN=271'D,设力'N=2x,A'D=x,

vND=NA'+A'D,

2=2x+%=3x»

2

X="

vz/V=Z.D=Zi4=ZTT=60°,

4NA'G+乙A'GN=乙NAG+£DA'H=120°,

：.WGN=Z.DA'H,

•••MGN〜△，"，

•_K_G=A,'N—_G_N

,，H~DH-AfDr

设A'G=AG=m,A'H=AH=n»

:.GN=2—m,HD=2—n,

m2x2-m

:.—=----=------,

n2-nx

故答案为:

4

【点睛】本题是相似形综合题，主要考查了等边三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，折叠的

性质，全等三角形的判定与性质，利用相似三角形的周长比等于相似比是解决问题的关键.

【题型4折叠与相似三角形综合运用】

【例4】（2023•辽宁鞍山•统考一模）如图,在矩形4BC。中，点£是BC边上一点,连接将AOCE沿DE所

在直线翻折得到仆DC'E,C'E与AD交于F,点N为OE中点，射线AN交CO边于点G,连接4E,若4凡4E=乙FEC,

AB=V15,BC=6,则DG长为

6危

【答案】

7

【分析】过点E作EH1AD,延长AG交BC延长线于7,由垂直证明四边形为矩形，设BE=4H=%,

由角相等推出E4=EF,因为AH=HF=x,即可表示出DF=6-2x,用HL证明△ABEwa

DCF,FC1=x,由勾股定理求出第=1,再由N为DE中点，可由AAS证明△ZMN三△ETN,可求得CT=1,

再利用角相等证明△DAG八CTG,相似三角形对应边成比例可求得0G的长度.

（详解］解：过点E作EH1AD,延长4G交BC延长线于T,

•••NB=LBAF=Z.AHE=90°,

••.四边形力BE"为矩形，

:.BE=AH,

设BE=4H=x,

v/ID||FC,

:.Z.FEC=Z.AFE,

vZ.FAE=Z.FEC,

:.Z.AFE=LFAE,

EA=EF,

•:EH1AF,

•••AH=HF=x,

:.AF=2x,

:.DF=6—2x,

vAD\\BC,

Z.ADE=乙DEC,

由折叠可知：乙FED=LDEC,

:.Z.ADE=乙FED,

•••EF=FD,

EA=FD,

vAB=CD=V15,

vZ.ABE=乙DC'E=90°,

.•.△ABE三△OC'尸(HL),

FC=BE=x,

在Rt△C'F。中由勾股定理可得:

z,2,2

FD=FC+CDf

2

(6-2x)2=r2+(>/15).

解得：x=1或x=7（舍去），

:.BE=1,

•••/V为。£中点,

：.DN=NE,

-ADWBC,

•••Z.DAN=Z.T,

又♦•4ADE=iDEC,

.••△n4N三△ETN(AAS),

:.AD=ET=6,

vAD=BC=6,

:.BE=CT=1,

VAD\\BC,

AZ.ADG=Z-GCT=90°,

•••Z.DAG=乙T,

**•△DAG〜△CTG,

ADDGDG6

crCG反一DG1

解得：DG=巫.

7

故答案为：半

【点睛】本题考查了矩形的性质，折叠的知识，相似三角形判定和性质，正确做出辅助线是解答本题的关

键.

【变式4-112023•上海•九年级假期作业）如图，在矩形ABCD中，48=3,点E在边AB上，AE=2,连接

DE,将△力DE沿着DE翻折，点A的对应点为P,连接EP、DP,分别交边BC于点F、G,如果=

4

那么CG的长是

【答案】警

【分析】延长EP交。C于点Q,根据已知得出皆=/证明凡求得CQ=3,根据折叠的性质以

及平行线的性质得出QE=QD,在Rt△PDQ中，PD=y/DQ2-PQ2=V62-42=2通,进而得出8c=AD=

P0=26，证明根据相似三角形的性质即可求解.

【详解】解：如图所示，延长EP交0。于点Q，

理“，

FC3

回四边形力BCD是矩形，

团4BIICD,AB=CD=3,AD=BC

0AEBF〜XQCFt

EBBF1

%=员=正=7

回BE=1,

团CQ=3BE=3,

WQ=DC+CQ=6,

团折叠,

(L4D=PD,Z.AED=乙QED,AE=EP,

则8c=PD,

又a4B||CD,

^LAED=乙EDQ

^Z-DEQ=乙EDQ,

(3QE=QD=6

(ME=EP=2,

^PQ=EQ-EP=6-2=4,

在Rtz\POQ中，PD=^DQ2-PQ2=A/62-42=2A/5,

(BBC=AD=PD=2而，

0BF="BC=—,

42

0ZFFF=90°-乙BFE,乙BFE=Z-PFG=90°-乙PGF,Z.PGF=Z.DGC=90°-乙GDC

团/BEF=乙DGC,

又用乙B=zC=90°,

团4EBF〜&GCD»

挹BF

%=茄，

、后

即上=工，

CG3

^CG

D

故答案为：”.

【点睛】本题考查了矩形的折叠问题，相似三角形的性质与判定，熟练掌握折叠的性质以及相似三角形的

性质是解题的关键.

【变式4-2](2023•安徽・九年级专题练习)如图，将矩形A8CD沿A广折叠，使点。落在8c边的点E处,

过点E作EG0CO交于点G,连接。G.

(1)求证：四边形EFQG是菱形;

(2)求证EG2=Zb・AF：

2

（3）若AG=3,EG=V5,求BE的长.

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）8£=竽.

【分析1（1）先依据翻折的性质和平行线的性质证明［3OGFR］。尸G,从而得到GQ=OF,接下来依据翻折的

性质可证明DG=GE=DF=EF；

（2）连接OE,交力产于点0.由菱形的性质可知GR3OE,OG^OF^GF,接下来，证明团。0g财。凡由

相似三角形的性质可证明。F2=F0・AF,于是可得到GE、AF,只7的数量关系；

（3）过点G作GZ/aOC,垂足为H.利用（2）的结论可求得〃G=4,然后再助/）产中依据勾股定理可求得

人。的长，然后再证明团PGM亚mW,利用相似三角形的性质可求得GH的长，最后依据4E=/1Q-G〃求解即

可.

【详解】（1）证明：团G旗。凡

00£GF=0DFG.

因由翻折的性质可知：GD=GE,DF=EF,WGF^EGF,

00DGF=0DFG.

0GD=DF.

6DG=GE=DF=EF.

国四边形KF/）G为菱形.

（2）证明：如图1所示：连接交AF于点。

回四边形EFDG为菱形，

0G=OF=-GF

0GM3DE,2f

00DOF=0ADF=9O°,HOF£>=0DM,

^DOF^ADF.

爬=丝，即。产=P0・4P.

AFDF

^FO=^GF,DF=EG,

^EG2=-GF-AFt

2

（3）如图2所示：过点6作6版。C,垂足为，.

^EG2=^GF-AF,AG=3,EG=V5,

团5=^FG（FG+3）,整理得：FG2+3FG-1O=O.

解得：FG=2,FG=-5（舍去）.

WF=GE=yf5,AF=5

团4D=>/AF2-DF2=2V5

0G/70DC,AD^DC,

0GMMD.

00FGH03MD.

啜，即豺，

团G"=容.

团BE=-G”=2代-竽=誓.

【点睛】本题主要考查的是四边形与三角形的综合应用，解答本题主要应用了矩形的性质、菱形的判定和

性质、相似三角形的性质和判定、勾股定理的应用，利用相似三角形的性质得到。尸=尸。1尸是解题答问题

（2）的关键，依据相似三角形的性质求得G”的长是解答问题（3）的关键.

【变式4-3］（2023・安徽•模拟预测）如图，将矩形A8CO折叠，使点。落在上点。处，折痕为AE;再

次折叠，使点C落在EO上点。处，连接FC并延长交AE于点G.若A8=8,AD=5,则FG长为（）

A.5V2B.V29C.yD.4

【答案】C

【分析】过点G作GEW,GMEiy,垂足分别为/、H,由折叠的性质可得C£>5-4=1,在KaEFC中,设

FC=x,则EF=3-x,由勾股定理得：12+(3-x)2=f,解得：户工再证明△4CQ国CGH,设CH=3m,则GH=4m,

3

CG=5rn,则“Q'=G/=A/=4-3〃?，ZD'=5-(4-3/M)=l+3m=GH=4m,可得到CG=5〃?=5,从而解决问题.

【详解】解：由折叠的性质得，040^=0^=90°,AO=A。'，

又观D4B=90°,

团四边形AOE。是矩形，

^AD=AD',

国四边形AOEQ'是正方形，

过点G作GGH^ED',垂足分别为/、H,

a4D=DE=ED'=AD'=5,BC=BC=5,(3C=0«CF=9OO,FC=FC,

田。足£08-5:3,

在QQC4。'中，CD"

0C£=5-4=1,

在R/0ER7中，设R7=x,则Er=3-X,由勾股定理得:

12+(3-x)2=f,

解得：V

团团8CZT+团GC77=90°,回GC77+SCG”=90°,

^BCD'^CGH,

又（33G”C'=[3BQ'C=90°,

昵8c77瞠C'G”，

0CW：GH：CG=BD'：CD'：BC=3：4：5,

设CH=3m,则GH=4m,C'G=5m,

a/7D'=G7M/=4-3/n,Z/7=5-（4-3"）=l+3m=GH=4m,

解得：*1,

团CG=5〃?=5,

囹尸G号;

故选:C.

【点睛】本题主要考查了矩形的性质，正方形的判定与性质，翻折的性质，勾股定理，相似三角形的判定

与性质等知识，作辅助线构造三角形相似是解题的关键.

【题型5判断与相似有关结论的正误】

【例5】（2023春•湖北襄阳•九年级统考期中）如图所示，边长为4的正方形.ABCD.中，对角线，BD交

于点。，E在线段OD上，连接CE,作EF_LCE交4B于点F,连接CF交8。于点，，则下列结论：©EF=EC；

②C产=CG-C4③BE・DH=16；④若=1,则DE=卜2,正确的是（）

A.①②④B.①③④C.①②③D.①②③④

【答案】C

【分析】①由"SAS〃可证△/WE=ACDF,可得4E=EC,乙DAE=△DCE,由四边形的内角和定理可证

Z-AFE=Z.BCE=LEAF,可得=EF=EC；

②通过证明△/CG〜AACF,WWCF2=CG-CA；

③通过证明〜△CDH,可得生=”，通过证明△ECH八EBC,可得生=丝，可得结论;

ECCDECBE

④通过证明△AFC八DEC,可得携=今,即可求解.

【详解】解：如图，连接AE,

•••四边形力BCD是正方形，

:.AD=CD,Z.ADB=乙CDB=^3AC=4。AC=45°,

又♦.DE=DE,

•••△ADE三△CDE(SAS),

:.AE=EC,Z.DAE=乙DCE,

•••Z.EAF=Z-BCE,

vZ.ABC+Z-FEC+Z-EFB+4BCE=360°,

:.乙BCE+乙EFB=180°,

X*.LAFE+乙BFE=180°,

•••Z.AFE=乙BCE=LEAF,

•••AE=EF,

：.EF=EC,故①正确；

•••EF=EC,Z.FEC=90°,

Z.EFC=Z-ECF=45°,

Z.FAC=Z.EFC=45°,

又•.Z.ACF=ZFCG,

FCGsxACF,

.CF_CA

,・CG~CF'

CF2=CG-CA,故②正确;

.V(ECH=乙CDB.,Z.EHC=乙DHC,

:AECHS&CDH,

.CH_EC

“而一CD,

.CH_DH

'''EC_CD*

VZ.ECH=Z.DBC,乙BEC=LCEH,

•••△ECH〜AEBC,

CHEC

BCBE

CUBC

:.—=一,

ECBE

DHBC

:.BC-CD=DH-BE=16,故③正确：

BF=1,AB=4,

A/4F=3,AC=4V2,

•:乙ECF=^LACD=45°,

:.Z.ACF=Z-DCE,

XvZ.FAC=乙CDE=45°,

AFCs4DEC,

.•.竺=”，

DECD

—=\/2»

DE

.•.DE=芋，故④正确，

故选：D.

【点睛】本题是四边形综合题，考杳了全等三角形的判定和性质，正方形的性质，相似三角形的判定和性

质，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键.

【变式5-1］（2023•内蒙古赤峰•统考中考真题）如图，把一个边长为5的菱形48C0沿着直线DE折叠，使

点C与48延长线上的点Q重合.DE交BC于点、F,交48延长线于点七.DQ交BC『点P,0M_L/8丁点M,

AM=4,则下列结论，®DQ=EQ,@BQ=3,③3P=”，@BD||FQ.正确的是（）

8

C.①③④D.①②③④

【答案】A

【分析】由折叠性质和平行线的性质可得根据等角对等边即可判断①正确；根据

等腰三角形三线合一的性质求出MQ=AM=4,再求出8Q即可判断②正确：由^CDPBQP得啜=^=

BPBQ

3求出BP即可判断③正确；根据黑工器即可判断④错误.

3DeDC

【详解】由折叠性质可知：乙CDF=£QDF,CD=DQ=S,

^CDWAB,

团乙。。尸=乙QEF.

0Z(?DF=乙QEF.

WQ=EQ=5.

故①正确;

回OQ=CD=AD=5,DM1AB,

团MQ=/1M=4.

回MB=/IB-/1M=5-4=1,

回BQ=MQ-MB=4-1=3.

故②正确;

^CDWAB,

0ACDPBQP.

QCD5

0CP+BP=BC=S,

助P*BC吟

故③正确;

^CDWAB,

0ACDFBEF.

DF_CD_CD__5__5

EF~BE~BQ+QE~3+5~~8*

近8

%=7?

嗡，

^DE'BE，

I?IAEFQ与A七NN不相彳以.

国乙EQF工Z.EBD.

回8D与5Q不平行.

故④错误；

故选A.

【点睛】本题主要考查了折叠的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，菱

形的性质等知识，属于选择压轴题，有一定难度，熟练掌握相关性质是解题的关键.

【变式5-2](2023•山东泰安・统考二模)如图，正的边长为2,沿的边4C翻折得ZMDC,连接

BD交AC于点、O,点M为BC上一动点,连接力M,射线4M绕点A逆时针旋转60。交8c于点N,连接MN、OM.以

下四个结论：①△4MN是等边三角形：②MN的最小值是V5：③当MN最小时S.MN=：S菱形.CD；④当

OM1BC时，0炉=ON-48.正确的是()

CND

A.①②③B.①②④C.①③④D.①②③④

【答案】D

【分析】先证明△打力”三△G4N(A5A),可得4M=AN,结合4AM/V=60。，可判断△力M/V是等边三角形，

故①正确；因为MN=/M,即MN的最小值为力M的最小值，所以当4M1.8C时，4M最小，求出此时71M的

长即可判断②正确；可证明此时乂村为48C0的中位线，再得△CMNC8D,相似比为1:2,S"MN：S△谢=

1:4,即SACMN=3SAC8。，结合=[s菱形A8CD，可证明SACMN=菱形A8CD，故③正确；证明△BOC〜

△0MC,由相彳以的性质得好=—,即。。2=BC•MC,结合。力=OC,BC=AB,MC=DN,即可证明。力2=

DNAB,故④正确.

【详解】解：团正△48C的边长为2,沿△ABC的边4C翻折得△耳八,

团48=AC=AD=CD=BC,Z-ABC=Z.BAC=Z.ACB=Z.ACD=60°,

回4BAC=乙MAN=