专题115 期末专项复习之选填压轴重难点题型（举一反三）（沪科版）（解析版）

专题11.5期末专项复习之选填压轴重难点题型

【沪科版】

。加千一及三

【考点1不等式组中的程序运算】

【例1】（2021春•鄂州期末）如图所示的是一个运算程序:

例如：根据所给的运算程序可知：当尸10时，5X10+2=52>37,则输出的值为52；当工=5时，5X

5+2=27<37,再把x=27代入，得5X27+2=137>37,则输出的值为137.若数x需要经过三次运算才

能输出结果，则x的取值范围是（）

A.x<7B.-1<x<7C.D.x>-^x<7

【分析】根据该程序运行三次才能输出结果，即可得出关于.X的•元•次不等式组，解之即可得出结论.

’5(5%+2)+2<37

【解答】解：依题意得:

5[5(5%+2)+2]+2>37,

1

解得：—FI.

J

故选：c.

【变式l-U（2021•南山区校级期末）如图，按下面的程序进行运算.规定：程序运行到“判断结果是否

大于28”为一次运算.若运算进行了3次才停止，则x的取值范圉是（）

A.2VxW4B.2«4C.2<x<4D.24W4

【分析1根据第二次运算结果不大于28且第三次运算结果要大于28列出关于x的一元一次不等式组,

解之即可得出工的取值范围.

3(3%-2)-2<28

【解答】解：依题意，得:

3|3(3x-2)-2]-2>28,

解得：2VxW4.

故选：A.

【变式1-2](2021春•泰江区期末)按图中程序计算，规定：从“输入一个值工”到“结果是否217”为

一次程序操作，如果程序操作进行了两次才停止，则x的取值范围为.

【分析】根据运行程序，第一次运算结果小于17,第二次运算结果大于等于17列出不等式组，然后求

解即可.

3x-K17©

【解答】解：由题意得

3(3x-l)-l>17②‘

解不等式①得，x<6,

解不等式②得，

7

<^<6»

3

7

故答案为："<r<6.

【变式1-31(2021春•庆云县期末)按如图的程序进行运算，规定程序运行到''判断结果是否大于30”为

一次运算.若某运算进行了3次才停止，则x的取值范围是.

【分析】根据该程序运行了3次才停止，即可得出关于x的一元一次不等式组，解之即可得出x的取值

范围.

f2(2x-3)-3<30

【解答】解：依题意得：｛2[2(2%_3)_3]_3>30>

解得：.《岑

故答案为：4VtM挈.

8,

【考点2不等式组中的含参问题】

fx>-2

【例2】（2021春•忠县期末）已知关于工的不等式组有且只有三个整数解，且关于），的一

,5%—4<4-a

元一次方程0-4=2），有整数解，则所有满足条件的整数a值之和是（）

A.-1B.0C.ID.2

【分析】先解出每个不等式的解集，即可得到该不等式组的解集，然后根据不等式组有且只有三个整数

解，确定。的取值范围，再解一元一次方程，根据方程有整数解确定满足条件的。的值，从而求和.

x>-2①

【解答】解:

,5x-4<4-a©

解不等式②，得：xV容，

*-Z

・•・不等式组的解集为-2V.r〈,，

又•・•该不等式组有且只有三个壑数解,

解得：-2《aV3,

ay-4=2>s

移项，得：ay-2y=4,

合并同类项,得：（〃-2）），=4,

系数化I,得：）=£，

CL—L

•・•该方程有整数解，且。-2W0,

・••符合条件的整数。有・2、0、1,

・,•满足条件的整数a值之和是-2+0+1=-1,

故选：A.

（x-1v11+%

【变式2-1］（2021春•西山区期末）若整数。使关于x的不等式组尸一方一，有且只有45个整数解,

（4x-a>x+1

则符合条件的所有整数。的和为（）

解得-6V-2,

・••符合条件的整数m的值的和为・5-3-2=-10,

故选：C.

【变式2-3]（2021春•铜梁区校级期末）数。使关于x的一元一次方程[（x-3）=〃-4的解为正数，使

ry—1>2y—a

关于y的不等式组”5~最多有一个整数解.则所有满足条件的整数a的值之和是（）

（5（y+2）<3y-4

A.25B.18C.12D.7

【分析】表示出分式方程的解，由分式方程解为正数，得到•的取值范围；不等式组变形后，根据不等

式组最多有一个整数解，确定出。的范围，进而求出。的值，得到所有满足条件的整数”的值之和.

1

【解答】解：解方程53）=〃-4得：*=2〃・5.

1

•・•关于％的一元一次方程5（X-3）=。・4的解为正数，

/.2«-5>0,

解得：4>楙；

不等式组整理得：0,5-2。，

[y<-7

（y-1>2y-a

•・•关于y的不等式组25最多有一个整数解.

（5（y+2）<3y-4

-9W5-2a,

即aW7,

5

・•・一VaW7,

2

・••满足条件的整数a的值为3,4,5,6,7,其和为25,

故选:A.

【考点3不等式的应用】

【例3】（2021春•息县期末）某市居民用电的电价实行阶梯收费，收费标准如下表：

一户居民每月用电量x（单位：度）电费价格（单位：元/度）

0VxW2000.48

200<A<4000.53

x>4000.78

七月份是用电高峰期，李叔计划七月份电费支出不超过200元，直接写出李叔家七月份最多可用电的度

数是（）

A.100B.396C.397D.400

【分析】先判断出电费是否超过400度，然后根据不等关系：七月份电费支出不超过200元，列不等式

计算即可.

【解答】解：0.48X200+0.53X200

=96+106

=202（元），

故七月份电费支出不超过200元时电费不超过400度，

依题意有0.48X200+0.53（x-200）<200,

12

解得xW396口.

答：李叔家七月份最多可用电的度数是396.

故选：B.

【变式3-1]（2021•铁锋区期末）某中学三年一班组织了一次数学、语文、英语竞赛，其中获得数学一等

奖的有8人次，二等奖的16人次：获得语文一等奖的有3人次、二等奖的有13人次：获得英语一-等奖

的7人次、二等奖的21人次.如果只获得一个学科奖项的同学有50人，那么三个学科都获奖的学生最

多有（）

A.3人或6人B.3人C.4人D.6人

【分析】假设三个学科都获奖的学生有x人，根据：只获得一个奖项的人数+同时获得两个奖项的人数2

50,列不等式求解可得.

【解答】解：假设三个学科都获奖的学生有人人，

则（8+16-x）+（3+13-x）+（7+21-x）250,

解得:后6,

故三个学科都获奖的学生最多有6人，

故选：D.

【变式3-2]（2021春•阳新县期末）为了加强学生的交通安全意识，某中学和交警大队联合举行了“我当

一日小交警”活动，星期天选派部分学生到交通路口值勤，协助交通瞥察维护交通秩序.若每一个路口

安排4人，那么还剩下78人；若每个路口安排8人，那么最后一个路口不足8人，但不少于4人.则这

个中学共选派值勤学生人.

【分析】设星期天选派同学值勤的交通路口有x个，则这个中学共选派值勤学生（41+78）人，根据“若

每个路口安排8人，那么最后一个路口不足8人，但不少于4人”，即可得出关于x的一元一次不等式

组，解之即可得出x的取值范围，结合x为正整数即可得出x的值，再将其代入（4.W78）中即可求出结

论.

【解答】解：设星期天选派同学值勤的交通路口有x个，则这个中学共选派值勤学生（4x+78）人,

4X4-78>8(x-1)+4

依题意得:

4%+78<Bx

3941

解得:—<x<

2T-

又为正整数,

・•・4X+78=4X20+78=80+78=158.

故答案为：158.

【变式3-3]（2021春•黄冈期末）如图，用锤子以相同的力将铁钉垂直钉入木块，随着铁钉的深入，铁钉

所受的阻力也越来越大.当铁钉进入木块部分长度足够时，每次钉入木块的铁钉长度是前一次的去己知

这个铁钉被敲击3次后全部进入木块（木块足够厚），且第一次敲击后，铁钉进入木块的长度是。“小

若铁钉总长度为5cm,则。的取值范围是.

【分析】根据这个铁钉被敲击3次后全部进入木块（木块足够厚），即可得出关于。的一元一次不等式

组，解之即可得出。的取值范围.

<1

a+-a<5

I2

【解答】解：依题意得：，_111

a+-a+-X-a>5

xL222-

解得：y<a

故答案为：—<a

75

【考点4整式中的相关求值问题】

【例4】（2021春•高新区期末）若〃/=〃+2021,〃2="7+2021（〃话〃），那么代数式"J-2/wi+n3的值

【分析】将两式刑2=〃+2021,?=W+2021相减得出m+n=-1,将加2=〃+2021两边乘以利,/=〃任2021

两边乘以〃再相加便可得出.

【解答】解：将两式〃?2=〃+2021,〃2=〃汁2021相减，

得/n2-〃2=〃-m,

(〃?+〃)(m-n)=n-m,(因为mW",所以/w・〃W0),

m+n=-1*

解法一：

将nr=/7+2021两边乘以加，得m3=mn+2021加①，

将/?=m+2021两边乘以〃，得〃3=〃0+2021〃②，

由①+@得：苏+〃3=2〃?〃+2021(机+〃)，

?M3+n3-2mn=2021(m+n),

"/十〃3,2,〃〃=2021X(-1)=-2021.

故答案为-2021.

解法二：

,〃尸=”+2021,〃2=/〃+2021(〃话〃)，

/.nr・“=2021,n2-m=202](相为z),

-2mn+n3

=〃?3-tnfj-，〃〃+〃3

=minr-〃)+〃(AZ2-in)

=2021〃?+2021〃

=2021(m+n)

=-2021,

故答案为-2021.

【变式4-1](2021春•高邮市校级期末)己知(2021-a)2+1a・2019)2=7,则代数式(2021・。)(a

-2019)的值为.

【分析】先根据完全平方公式得出(2021-〃”+(。-2019)2=[(2021-a)+(a-2019)12-2(2021-a)(a

-2019)=7,再求出答案即可.

【解答】解：V(2021-a)之+(a-2019)2=7,

.*.[(2021-a)+(a-2019)]2-2(2021-«)(«-2019)=7,

A22-2(2021-a)(a-2019)=7,

，2(2021-a)(a-2019)=-3,

3

-

・•・(2021-a)(o-2019)2

故答案为:

乙

【变式4-2](2021秋•仁寿县期末)己知〃=2021x+2()20,/?=202Lr+2021,e=202Lv+2022,那么j+/J+d

-ab-be-ac的值等于.

【分析】对d+zAh?-"-仇提公因式点进而进行因式分解，再将“、b、C的值代入即可.

【解答】解：Vd=2021x+2020,/?=2021A+2021,c=202Lr+2022,

cr+lr+c1-ab-be-ac

=1(2/+2庐+2。2-2ab-2bc-2ac)

=(〃-/?)2+(b-c)2+(a-c)2]

=1[(-I)2+(-1)2+(-2)2]

=jx6

=3.

故答案为：3.

【变式4-3](2021春•新都区期末)已知f・3x+l=0,则/-7-54+2021的值为.

【分析】先将/-/-5X+2021变形凑出『-3%然后利用»-3x=-I化简即可.

【解答】解：?-?-5x+2021=？-3X2+2X2-6x+x+202\=x(炉-3x)+2(9-3K)+X+2021,

V?-3x+l=0,

-3x=-1,

・•・原式=-x-2+x+2O2l=2OI9,

故答案为2019.

【考点5整式混合运算的应用】

[ft5](2021春•泰兴市期末)4张长为m,宽为〃(〃?>〃)的长方形纸片，按如图的方式拼成一个边长

为(/〃+〃)的正方形，图中空白部分的面积为Si,阴影部分的面积为S2,若3sI=2S2,则"1,〃满足的

关系是()

?nn

A.///—4.5/?B.ifi—4//C.m—3.5ftD.m—3n

【分析】先用含有〃?、〃的代数式分别表示Si和S2,再根据3sI=2S2,整理可得结论.

【解答】解：Si=i/?(m+n)X4=2/2(m+n)>

S2=(m+n)2-Si=(m+n)2-27z(m+n)=w?2+2/??7z+/r--2772=w2-n2,

V3SI=2S2,

6n(.m+n)=2(nr-n2)，

3n(〃？+〃)=m~-n~,

/.3〃(m+n)=(〃？-〃)(m+n),

'：/??+/?>0,

/.3n=m-n,

m=4〃.

故选:B.

【变式5-117张如图1的长为a,宽为〃(a>b)的小长方形纸片，按图2的方式不重叠地放在矩形A4CO

内，未被覆盖的部分(两个矩形)用阴影表示.设左上角与左下角的阴影部分的面枳的差为S,当4C的

长度变化时，按照同样的放置方式，S始终保持不变，则”，〃满足()

A.a=B.a=3bC.a=ibD.a=4b

【分析】表示出左上角与右下带部分的面积，求出之差，根据差与BC无关即可求出。与。的关系式.

【解答】解：左上角阴影部分的长为AE,宽为A尸=3。，右K角阴影部分的长为「C,宽为小

'：AD=BC,&PAE+ED=AE+a,BC=BP+PC=4b+PC,

：.AE+a=4b+PC,即AE-PC=4b-a,

••・阴影部分面积之差5=4日人尸一夕。・。6=3必£：-"。=3力(2。+4。-。)-aPC=(3b-a)PC+\2b2-

3ab,

则3》・a=0,BPa=3b.

解法二：既然5c是变化的，当点夕与点C重合开始，然后8C向右伸展，

设向右伸展长度为X,左上阴影增加的是初X,右下阴影增加的是“X,因为S不变,

・•・增加的面枳相等，

：.3bX=aX,

故选：B.

【变式5・2】（2021秋•祁江区期末）如图，用三个同（1）图的长方形和两个同（2）图的长方形用两种方

式去覆盖一个大的长方形ABCD,两种方式未覆盖的部分（阴影部分）的周长一样，那么（1）图中长方

形的面积Si与（2）图中长方形的面枳S2的比是

H

(1)(2)

【分析】先表示周长,再求面积的比值.

【解答】解：设（1）中长方形的长为小宽为b,（2）中长方形的长为y,宽为x.

则AD=3b+2y=a+x.

第一种覆盖方式中阴影部分的周长为：2（28+2y+OC-x）=6b+4y+2DC-2x=2a+2DC.

第二种覆盖方式中有一部分的周长为：2（“+X+OC-3。）=2a+2x+2DC-6b=2a+2x+2DC-2（a+x-2y）

=2DC+4y.

•・•两种方式周长相同.

：.2a+2DC=2DC+4y.

■:3b+2y=a+x»

,.x=3b.

（x2

.,.Si：S2=ab：xy=2yx（jy）=可.

故答案为:|.

【变式5-3]（2021春♦姜堰区期末）如图，48=5,C为线段上一点（ACV8C）,分别以AC、BC为

边向上作正方形4CDE和正方形BCFG,SABEF-S^AEC=|,贝USMEC=.

【分析】设正方形AEOC的边长是小正方形8CFG的边长是〃，根据正方形的性质得出AE=OE=QC

=AC=a,CF=FG=BG=BC=b,根据・S”EC=/得出S正方形ACOE+S正方形8cbG+S/SOFE-S^ABE-S

^BGF-SMEC=I，求出4,即求出AC,再根据46=5求出BC,再根据三角形的面积公式求出答案即可.

【解答】解：设正方形人石/）。的边长是。，则则正方形8。叩的边长是5-小

则AE=DE=DC=AC=a,CF=FG=BG=BC=5-a,

■:SdBEF=S正方形ACOE+S正方形BCFG+S△。尸E-SAABE-S&BGF,

***S&BEF-S&AEC=2,

JS正方形ACDE+S正方形BCFG+S/^DFE-S^ABE-S&BGF-S^AEC=

11215

------

222

2T

即-104+20=0,

解得：〃=2,

当a=2时，AE=2,BC=5~2=3,

S^BCE=ix3x2=3,

即△4£C的面积是3,

故答案为：3.

【题型6分式的求值问题】

[例6]（2021秋•弋江区期末）若工一工=5,则3771+^-371的值为______.

mnm+3mn-n

【分析】将工--=5变形为m-n=-5mn,再将原式变形为:⑺整体代入计算即可.

mn（m-n）+3mn

【解答】解：,:一—一二5,即----=5»

mnmn

n-m=5mn,BPm-n=-Stnn,

3(zn-7i)+mn_-15nm+nm_—147九九

•,乐队一（m-n）+3mn--5?nn+3?nn一-2mn-'

故答案为：7.

ba

【变式6-1]（2020秋•淮南期末）若而=1,。-〃=4,则一+1=

ab

2

【分析】先通分，再利用完全平方公式得到原式=（。-%+22然后利用整体代入的方法计算.

【解答】解：原式=噜廿

_（a-b）2+2ab

2

当。》=1,a-b=4,原式=4珠，1=]8.

故答案为18.

【变式6-2]（2021春•南开区期末）已知5a=26=10,那么々的值为______.

a+b

【分析】根据哥的乘方与积的乘方法则，得到1砂=14叫所以〃〃=〃+/%从而求得代数式的值.

【解答】解：V50=2^=10,

.・.（5«）b=iM（2〃）。=10〃，

・・・5a/'=ia,2帅=10",

：,5ahX2ab=\0hX\0a,

:.10曲=10"",

*.ab=a+b,

・•・原式=1,

故答案为：1.

2000x+2000y+2000z

【变式6-3］（2021•宁波期末）若x、y、z满足3x+7y+z=lft4x+l0y+z=2001,则分式

x+3y

的值为________

—,2000x+2000y+2000z2000(x+y+z)

【分析】分式----------1-------------=--------------------,视尸3），与x+y+z为两个整体，对方程组进行整

x--+--3-yx+3y

体改造后即可得出答案.

【解答】解：由X、），、z满足3x+7），+z=l和4x+10y+z=200l,

附中］2(%+3y)+Q+y+z)=1x+3y=2000

得出：l3Q+3y)+(x+y+z)=2001'解得.x+y+z=-3999'

.2000x+2000y+2000z2000(x+y+z)

x+3yx+3y

-2000x(-3999)__

一2000一

故答案为：・3999.

【题型7分式方程的解及增根问题】

【例7】（2021春•双流区期末）若关于x的一元一次不等式组2*2（：+2）的解集为且关于

的分式方程”当+学过=2的解是正整数，则所有满足条件的整数a的值之和是______.

y-11-y

【分析】解一元一次不等式组的解集，根据不等式组的解集为x26,列出等V6,求出〃的范围。＜7；

解出分式方程的解，根据方程的解是正整数，列出等＞0,求得。的范围。＞-5；检验分式方程，列

出等W1,即-3,求得。的范围-5V〃V7,且aW-3,最后根据方程的解是正整数求得满足条件

的整数。的值，求和即可.

.回心（3%-2＞2（%+2）①

【解答】解：〜，

（a-2xV-5②

解不等式①得：xN6，

解不等式②得：x＞竽

•・•不等式组的解集为x26,

a+5

——<6,

2

:.a<7,

分式方程两边都乘（y-1）得：y+2a-3y+8=2（y-1）,

解得：>'=

•方程的解是正整数,

a+5

•a>-5；

•y-1W0,

a+5

------01,

2

・aK-3,

・-5V〃V7且g-3,

•能是正整数的〃是：-1,1,3,5,

.所有满足条件的整数。的值和为8,

故答案为：8.

【变式7-1X2021春•锦江区期末）己知不等式组产”一°<1的解集为-|Vx<l,且关于），的方程咨^+1=

{x-2b>31+by

品的解为正数，则〃?的取值范围是.

【分析】先解不等式，求出解集，进行比对，列出关于小〃的方程，求出〃、人的值.然后解分式方程,

根据解为正数和方程最简公分母不等于零，可以确定m的取道范围.

【解答】解：不等式组产一"〈I

ix-2b>3

1a+l

解得”r.

x>2b+3

即2b+3cxV嘤，

-I<x<1,

a+1

：.2b+3=-1,——=1,

2

解得：a=1,h=-2.

2—vm

・•・分式方程为：—+1=,

l-2yl-2y

去分母得：2->H-1-2y=mf

解得：）=空,

•・•解为正数，

3-771L3-m

——X),且1-2X^工0.

33

.3

.,./??<3>m2,

Q

故答案为，〃V3,且m*21

【变式7-2］（2021秋•高青县期末）如果关于x的分式方程1二•;-的解为整数，且关于），的不

x-55-xx-5

f6y+19.5

等式组、丫一2无解，则符合条件的所有负整数机的和为（）

（y+4<2（y-m）

A.-12B.-8C.-7D.-2

【分析】先解分式方程，再由不等式组无解确定〃［的范围，最后求出满足条件的所有整数的的和即可.

【解答】解：分式方程去分母，得：〃“=1-3%

解得：k%，

岁勺一擀①，

rh

I-4<2(y-m)@

解不等式①，得：y<-6,

解不等式②，得：），24+2机,

•・•不等式组无解,

.•・4+2〃?2-6,

解得：52-5,

•・•分式方程的解为整数，且

・••符合条件的所有负整数机有-5；-2；-1；

它们的和为（-5）+（-2）+（-1）=-8,

故选：B.

it-3a<-2

【变式7-3］（2021秋•渝中区校级期末）若关于x的不等式组.无解，且关于、，的分式方程

12（x-l）>x+2

等十六一有正整数解，则符合条件的所有整数。的和为（）

-2B.-1C.0D.1

【分析】根据不等式组和分式方程的解列出4符合的条件.

x—3aV—2(T)

【解答】解:

.2(x-l)>x+2@，

由①得：x<3a-2.

由②得：2x-2>x+2.

••x4•

•・•不等式组无解，

・・・3〃-2W4.

.••“W2.

..(a+2)y5

.------------=—

y-5y-5

(«+2)y-5=5-yf

/.(。+3)y=10.

•・•方程有正整数解，

••・a+3>0.

10

产a+3-

•・♦)，是正整数，〉学5

a+3=1,5,10.

••ci=-2>2,7.

•・ZW2,

；・。=-2,2.

(-2)+2=0.

故选：C.

【考点8平行线中构造辅助线】

【例8】（2021春•碑林区校级期末）如图所示，已知CD上BC于点、C,若/。=92°,则下列成

立的是（）

B

D

A.Z£=20°B.NE=NBC.NE-NB=2°D.NE+NB=38°

【分析】过点。作CM〃/W,过点D作DN〃EF,根据平行线的性质和CO_L4c于点C,ZD=92°,

由等量代换即可得出结论.

【解答】证明：过点。作CM〃A8,过点。作。N〃£凡如图所示，

,:AB〃CM,DN//EF,

：.CN//DN,

AZ1=ZB,Z2=Z3,Z4=Z£,

又・・・CO_18c于点C,ZD=92°,

Zl+Z2=90°,Z3+Z4=92a,

AZ2=90°・/B,Z3=92°-ZE,

.,.90°-NB=92°-ZE,

AZE-Z5=2°,

故选：C.

【变式8-1](2021春•新洲区期末)如图，直线上〃/,Z3-Z2=Z2-Z\=d>().其中N3V90°,Z1

【分析】根据平行线的性质和三角形外角性质求出N4-N3=N3-N2,根据已知求出/3=空空,

根据N3V90。求出N4的范围，即可得出答案.

【解答】解：延长。。交直线》于立延长。C交直线〃于凡如图所示：

B

1k

,・“〃/,

・•・4ABC=/DFE,

VZA«C=Z2-Zl,ZDFE=Z4-Z3,

Z4-N3=N3-N2,

・•・Z4=2Z3-Z2,

又・・・/3・N2=N2・Nl,Zl=40°,

・・・2N2=N3+40°,

A2Z4=4Z3-2Z2=4Z3-Z3-40°=3/3-40°,

2z4+40°

，

Z3=3

而N3V900,

214+40。

<90°

3

AZ4<115°,

・・・N4的最大可能的整数值是114°.

故选：C.

【变式8-2](2021春•浦江县期末)如图，AD//BE,AC与相交于点C,且Z2=

EBA.若NC=45°,贝ij〃=()

A.2B.3C.4D.5

【分析】过C点作C尸〃8E，根据平行线的性质可得CF//AD//BE,再根据平行线的性质可得N1+N2

=45°,/OABiNER4=180°,依此即可求解.

【解答】解：如图，过C点作C/〃

•:RD"BE,

：.CF//AD//BE,

：.Z\=ZACF,/2=NBCF,ZDAB+ZEBA=\8OC,

AZ1+Z2=ZACF+ZBCF=ZC=45°,

VZ1=-ZDA«,Z2=-ZEI3A,

nn

：.Z\+Z2=-ZDAB+-ZEBA=-(ZDAB+ZEBA)=45°,

nnn

7?=4.

故选：C.

【变式8-3](2021春•焦作期末)已知48〃CQ,ZEAF=\zEAB,NECF=3/ECD,若NE=66°,则

NF为()

【分析】连接AC,设/£4/=.1°,ZECF=y°,ZEAB=3x°,NECO=3y°,根据平行线性质得出

ZBAC+ZACD=180°,求出/C4E+NACE=180°-(3x°+3y°),求出NE=3(x°+y°),ZF=

2(x°+y°),即可得出答案.

【解答】解：连接AC,

设NE4F=x°,ZECF=ya,则NE43=3x。，ZECD=3y°,

*：AB//CD,

・・・N8AC+/ACO=180°,

ZCAEi3x°IZACE\3y°=180°,

AZCAE+ZACE=I8O°-(3x°+3y°),ZFAC+ZFCA=\^)°-(2r°+2y°),

.*.ZE=180°-(ZCAE+ZACE)

=180°-[1800-(3x°+3y°)]

=3x0+3y°

=3(x°+v°),

N尸=180°-(ZFAC+ZFCA)

=180°-[180°-(2.v°+2y°)]

=2x0+2y°

=2(x°+)，°),

2

:.乙F=W乙E,

VZE=66°,

・•・/尸=44°,

故选：C.

【考点9平行线中的折叠问题】

【例9】(2021春•蛛州市期末)如图，将长方形纸片沿EB,CF折叠成图1,使人8,CQ在同一直线上，

再沿〃户折叠成图2,使点。落在点沙处，8〃交CF于点P,若NCE8=37°,则/CP4的度数为()

A.110°B.111°C.112°D.113°

【分析】由题意可得：EG//HF,利用平行线的性质可得：4BCG=/CBH,ZHBE=ZCEB=37°,Z

FCG=4BFC,再结合折叠的性质可得：ZCBE=ZBCF=ZBFC=ZCEB=31°,/CBH=74：利用

三角形的外角性质可求解.

【解答】解：如图所示

图1

由题意得；EG//HF,

:./BCG=NCBH,NHBE=/CEB=37°，NFCG=NBFC,

由折叠性质得：ZHBE=ZCBE=^ZCBH,/FCG=4BCF二/BCG,

乙乙

AZCBE=ZBCF=ZBFC=ZCEB=37°,ZCBH=74°,

：.ZDBF=ZCBH=14°,

在图2中，由折叠的性质得：/BFP=/BFC=37°,NFBD，=/DBF=74°,

：.zc™=ZFHD+ZB卜”lir.

故选:B.

【变式9-1]（2021春•诸暨市期末）如图，将一条对边互相平行的纸带进行两次折叠，折痕分别为A8、

CD,若CD〃BE,且N2=66",则N1的度数是（）

A.48°B.57°C.60°D.66°

【分析】利用平行线的性质以及翻折不变性即可得到N5=NOb=N4=N3=Nl,再根据同旁内角互

补可得N4,进而得出N1.

【解答】解：如图，延长BC到点F,

•・•纸带对边互相平行，

・•・Z4=Z3=Z1,

由折叠可得，ZZ)CF=Z5,

'.'CD//BE,

AZDCF=Z4,

・•・Z5=Z4,

VZ2+Z4+Z5=180<>,

/.66°+2/4=180°,即N4=57°,

r.Zl=57°.

故选：B.

【变式9-2］（2021春•庐山市期末）如图，已知长方形纸片ABC。，点£,厂在4c边上，点G,H在AD

边上，分别沿EG,尸"折叠，点8和点。恰好都落在点。处.若a+0=UO°,则NEP尸的度数为（）

【分析】根据四边形ABC。是长方形，可得AQ〃4C,得NBEG=NEGH=a,NFHG=NCFH=B，所

以可得N8EG+Na7/=110°,由折叠可得£G,777分别是N8EP和NCPP的角平分线，可得

ZPFE=360°-(ZBEP+ZCFP)=140°,进而可得N£P"的度数.

【解答】解：•・•四边形A4C。是长方形，

：,AD//BC,

：./BEG=/EGH=a,4FHG=NCFH=B，

ZBEG+^CFH=a+p=110°,

由折置可知：

EG,FH分别是NBEP和NC尸产的角平分线，

:.ZPEG=ZBEG,ZPFH=ZCFH,

/.ZPEG^-ZPFH=ZBEG+ZCFH=110°,

AZBEP+ZCFP=2(ZBEG+ZCFH)=220°,

AZPEF+ZPF£：=360o-(ZBEP+ZCFP)=360°-220°=140°,

：.ZEPF=180°-(/PEF+NPFE)=180°-140°=40°.

故选：A.

【变式9-3］（2021春♦零陵区期末）如图（1）所示为长方形纸带，将纸带沿E尸折叠成图（2）；再沿8”

折叠成图（3）；继续沿EF折叠成图（4）按此操作，最后一次折叠后恰好完全盖住NEFG,整个过程

共折叠了9次，问图（1）中NQEF的度数是（）

A.20°B.19°C.18°D.15°

【分析】根据最后一次折叠后恰好完全盖住NEPG；整个过程共折叠了9次，可得与GF重合，依据

平行线的性质，即可得到的度数.

【解答】解：设NDEF=a,则NEFG=a,

•・•折叠9次后CF与G/重合，

:・NCFE=9NEFG=9a,

如图（2）,,:CF//DE,

AZDEF+ZCFE=180°,

.*.a+9a=180°,

；・a=18°,

即NOEr=18°.

故选：C.

【考点10平行线中的多结论问题】

【例10】（2021春•渝北区期末）如图，AB//CD.。尸J_C。交AB于点尸.交C。于点O,。/平分/AOO,

OE1OF,NBAO=50°,有下列结论：①N4O/=65°；②NAOE=NCOE；③NPOF=NCOE；④N

AC）P=2ZCOE.其中正确的结论有（）

A.①②®®B.①②③C.①③④D.®@®

【分析】根据平行线的性质可求得乙40。=130°,结合0"平分NAO。，从而得到NAO产=65°；由平

行线的性质可得NAOC=50°,再由NAOE=90°-NAOF=25°,从而可得/人OE=NC0E；队NDOF

=ZAOF=65°,可求NPOb=90°-ZDOF=25°,从而可判断；NAOP=90°-ZPOF-ZAOE=

40°,而NCOE=250,故可判断.

【解答】解：,:AB"CD,ZBAO=50°,

，NAOO=18(T-ZBAO=nO°,ZCOA=ZBAO=50a,

•・•。产平分NAO£>,

Z.ZAOF=ZDOF=^ZAOD=65°,故①正确；

ROELOF,

・・・N4OE=90°-NA。尸=25°,

：,ZCOE=ZCOA-ZAOE=25°,

：・4A0E=4C0E,故②正确；

•••0尸_1_。。交人"于点〃，

AZPOF=900-ZDOF=25",

/.ZPOF=ZCOE,故③正确；

VZAOP=ZEOF-ZPOF-ZAOE

=90°-25°-25°

=40°,

2NCOE=50°,

•••NAOPW2NCOE,故④错误.

综上所述，正确的有①②③.

故选:B.

【变式10-1】（2021春•北需区校级期末）如图，AB//CD,点、E,〜在宜线上（。在E的右侧），点、G

在直线CO上，EFSG,垂足为RM为线段切上的一动点，连接GP,GM,NPGP与N4PG的角平

分线交于点Q，且点Q在直线AB,CO之间的区域，卜列结论：

①NAEF+/CG产=90°

@ZAEF+2ZPQG=270°

③若/MGF=2NCGF,则3NAEF+NMGC=270°

④若ZMGF=nZCGF,则ZAEF+士NMGC=90°

•IIJL

A.4B.3C.2D.1

【分析】①过点尸作出〃A8,利用平行线的性质可得NI=/4E/，N2=NCGF,由NEFG=Nl+/2,

等量代换可得结论；

②根据角平分线的定义NQPGq乙/EPG,/QGP二乙NFGP,由三角形内角和定理得NPQG=180°-

ZQPG-ZQGP,由①可得/CG尸=90°・/AEF,利用平行线的性质计算即可得出N4EF+2NPQG=

270°；

③设NCG”=