专题216 二次函数图象与系数的关系选填压轴专项训练（30道）（举一反三）（沪科版）（解析版）

专题21.6二次函数图象与系数的关系选填压轴专项训练（30道）

【沪科版】

考卷信息:

本套训练卷共3（）题，选择15题，填空15题，题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可强化学生对二次函

数图象与系数之间关系的理解！

选择题（共15小题）

1.（2022•葫芦岛一模）如图，抛物线y=ar2+bx+c的对称轴为X=-1,且过点0，0）,有下列结论：

①Mc>0；@a-2/?+4c>0：③25a-100+4c=0；④38+2c>0；

其中所有正确的结论是（）

【分析】①根据抛物线的开口方向、对称轴、与y轴的交点即可得结论；

②根据抛物线与x轴的交点坐标即可得结论；

③根据对称轴和与x轴的交点得另一个交点坐标，把另一个交点坐标代入抛物线解析式即可得结论;

④根据点《，0）和对称轴方程即可得结论.

【解答】解：①观察图象可知：

（7<0,b<0,c>0,»\abc>0,

所以①正确；

②当时，）=0,

即工a+4+c=0,

42

a+2/?+4c=0.

.*.a+4c=-2b,

••a-2b+4c=-4/?>0,

所以②正确；

③因为对称轴x=-l,抛物线与x轴的交点0,0),

所以与％轴的另一个交点为(-?,0),

当人=一：时，-«-^+=0,

242c

A25a-1()〃+4c=0.

所以③正确：

④当.v=3时，a+2h+4c=0,

又对称轴：一?=一1，

2a

•\b=2a,a-2-b,

-2b+2b+4c=0f

・・,Kb=-8-c.

2414

3/?+2(?=——c+2c=—yc<0,

：,3b+2c<0.

所以④错误.

或者•・•当％=1时，a+b+c<0,

Ac<-a-bi

又•：b=2a,

•，a=

cV-

：.2c<-3b,

.,.2c+3Z><0,

・•・结论④错误

故选：C.

2.(2022•恩施市一模)二次函数尸加+区+c(g0)的大致图象如图所示，顶点坐标为(-2,-9a),

下列结论：①abcVO；②4a+26+c>0；®5a-/?+c=0；④若方程a(x+5)(x-1)=-1有两个根xi和

应，且为VM，则・5<汨<]2<1;⑤若方程|aF+以+d=l有四个根，则这四个根的和为-8,其中正确的

C.②③④⑤D.®@®⑤

【分析】①抛物线对称轴在y轴左侧，则。。同号，而cVO,即可求解;

②x=2时，y=4a+2Hc>0,即可求解；

@5a-b+c=5a-4a-5a^0,即可求解；

④y=a(x+5)(A-I)+1,相当于由原抛物线,向上平移了1个单位，即可求解；

⑤若方程laP+bx+cLI,即：若方程加+/?x+c=±I,当a^+Ar+c-1=0时，由韦达定理得：其两个根的

和为-4,即可求解.

【解答】解：二次函数表达式为：y=a(x+2)2-9a=ar+4ar-5a=a(x+5)Cx-1),

①抛物线对称轴在)，轴左侧，Qija〃同号，而cVO,则RMVO,故正确；

②函数在y轴右侧的交点为％=1,x=2时，y=4a+2b+c>0,故正确；

③5a・A+c=5a・4a・5aW0,故错误；

④y=a(x+5)(x-1)+L相当于由原抛物线丁=加+泳+。向上平移了1个单位，故有两个根由和治，

且Xi<X2f则-5<即<必<1,正确；

⑤若方程|加+法+。|=I,即：若方程加+A+c=±1,当加+/»x+c-I=0时，用韦达定理得：其两个根的

和为-4,同理当ar2+云+91=()时，其两个根的和也为-%故正确.

故选：D.

3.(2022春•崇川区校级期末)二次函数y=af+Ar+c(小b,c是常数，a#0)的自变量x与函数值)，的

部分对应值如下表：

x-2-I012

A4t/-4>y,

・••③错误.

故选：B.

4.（2022春•东湖区校级期末）如图，已知二次函数），=-『+氏-c,它与x轴交于A、B,且A、B位于原

点两侧，与y的正半轴交于C,顶点。在y轴右侧的直线/：），=4上，则下列说法：①儿VO；@0<b<

4；③AA=4；®5,MBD=«.其中正确的结论有.（）

C.①②③D.®®®®

【分析】先由抛物线解析式得到。=-1<0,利用抛物线的对称轴得到》=-2aV0,易得cVO,于是可

对①进行判断；由顶点。在），轴右侧的直线/：y=4上可得力的范围，从而可判断②是否正确；由。=-

1及顶点。在y轴右侧的直线!：y=4上，可得抛物线与x轴两交点之间的距离AB为定值，故可取8=2

进行计算，即可求得AB的长度及S..ABD的大小.

【解答】解：•••抛物线开口向下,

：.a=-1<0,

•・•抛物线的对称轴为直线尸-白>0,

2a

；・b>0,

而抛物线与y轴的交点在x轴上方，

，-c>0,则c<0,

.,./?（,<0»故①正确；

由顶点。在y釉右侧的直线/：），=4上可得:

4x（_l）x（_c）_bZ_4

4x（-1）一

・・・b2=4c+16

V0<-c<4

/.-16<4c<0

/.0<4c+16<16

A0</?<4

・••②正确；

'：a=-1,

・••该抛物线的开口方向及大小是一定的

乂•・•顶点。在y轴右侧的直线/：y=4上

・•・该抛物线与x轴两交点之间的距离AB是定值，

故可令b=2

则c=-3

此时抛物线解析式为：y=-『+2¥+3

由-丁+2什3=0

得明=-1,X2=3

故A8=4

・••③正确；

S„=4X4+2=8

故④正确；

综上，故选：

5.(2022•丹东)如图，抛物线力x+c(aWO)与x轴交于点A(5,0),与y轴交于点C,其对称

轴为直线工=2,结合图象分析如下结论：①"c>0：②b+3〃<()：③当工>0时，y随x的增大而增大；

④若一次函数)，=依+〃awo)的图象经过点A,则点E(A,b)在第四象限；⑤点"是抛物线的顶点，

【分析】①正确，根据抛物线的位置判断即可;

②正确，利用对称轴公式，可得〃=-4m可得结论；

③错误，应该是x>2时，y随x的增大而增大；

④正确，判断出心>0,可得结论；

⑤正确，设抛物线的解析式为(x+1)(x-5)=«(x-2)2-9a,可得M(2,-9a),C(0,

5a),过点M作轴于点”，设对称轴交入轴于点K.利用相似三角形的性质，构建方程求出

即可.

【解答】解：•・•抛物线开口向上，

：.a>0,

•.•对称轴是直线x=2,

:.b=-4。V0

•・•抛物线交y轴的负半轴，

.*.c<0,

/.abc>0,故①正确,

・"=-4。，〃>0,

.*.b+3a=-t/<0»故②正确，

观察图象可知，当0VxW2时，y随工的增大而减小，故③错误，

一次函数丁="+〃axo)的图象经过点A,

•"vo,

・・・攵>0,此时Ea,b)在第四象限，故④正确.

•・•抛物线经过(・1,0),(5,0),

，可以假设抛物线的解析式为y=a(x+l)(x-5)=a(x-2)2-9a,

：,M(2,-9a),C(0,-5a),

过点M作轴于点H,设对称轴交x轴『点K.

AZAMC=ZKMH=9(r,

:・/CMH=NKMA,

VZM/7C=ZM/C4=90°,

：.4MHCS4MKA、

.MH_CH

…MK-AKf

.2-4a

.•---=----

-9a3

Va>0,

a=萼，故⑤正确♦

6

故选：D.

6.(2022•鹤峰县二模)如图，二次函数,，=加+饭+c(“WO)的图象与x轴交于A,B两点，点B位于(4,

0)、(5,0)之间，与y轴交于点C,对称轴为直线4=2,直线)，=-x+c与抛物线)，=aP+bx+c•交于C,

D两点，。点在x轴上方且横坐标小于5,则下列结论：@4a+/?+c>0：②a-匕+cVO；③zn(am+Z?)<

4〃+2〃(其中机为任意实数)；④〃V-1,其中正确的是()

D.®®®

【分析】利用抛物线与y轴的交点位置得到c>0,利用对称轴方程得到b=-4a,则4a+2>c=c>0,

于是可对①进行判断；利用抛物线的对称性得到抛物线与x地的另一个交点在点(-1,0)右侧，则当

.r=-1时，y<(),于是可对②进行判断；根据二次函数的性质得到x=2时，二次函数有最大值，则

门"尸+〃〃i+cW4a+2b+c,即，miam+b)W4a+26,于是可对③进行判断；由于直线y=-x+c与抛物线y

=ad+儿He交于C、D两点,。点在x轴上方且横坐标小于5,利用函数图象得工=5时，一次函数值比

二次函数值大，即25a+5HcV・5+c,然后把〃=-4代入解a的不等式，则可对④进行判断；

【解答】解；•・•抛物线与)，轴的交点在x轴上方，

Ac>0,

•・•抛物线的对称轴为直线x=2.M=-4a,

.•・44+》+c=4a-4a+c=c>0,所以①正确：

•・•抛物线的对称轴为直线x=2,与x轴的一个交点8位于（4,0）、（5,0）之间，

・•・抛物线与工轴的另一个交点位于（0,0）、（-1,0）之间，

却当x=-1时，yVO,也就是。->cVO,因此②正确；

•・•对称轴为x=2,

・・・x=2时的函数值大于或等于x=m时函数值，即，当K=2时，函数值最大，

:.am2+bm+c^4a+2b^c,

即，〃？（am+h）W4a+2〃，因此③不正确；

•・•直线尸・x+c与抛物线产加+bx+c交于C、。两点，。点在x轴上方且横坐标小于5,

・・.,v=5时，一次函数值比二次函数值大，

即25a+5b+c<-5+c,

而b=-4a,

・・・254-20a<-5,解得a<-l,因此④正确；

综上所述，正确的结论有①②④，

故选：C.

7.（2022秋•朝阳期中）如图，抛物线），=加+云+°（4#0）与x轴交于点（-3,0）,其对•称轴为直线x=-；,

结合图象分析下列结论：①。蛇>0；②3a+c>0；③当％vo时，y随上•的增大而增大；④一元二次方程

小+公+〃=0的两根分别为X1=—g,X2=⑤若〃（〃?V〃）为方程。（%+3）（%・2）+3=0的两个

根，则mV-3且〃>2,其中正确的结论有（）个.

x=-4

A.2B.3C.4D.5

【分析】根据抛物线开口方向，对称轴位置，抛物线与y轴交点位置判断①.由对称轴为直线.尸-：可

得。=从根据抛物线经过点（-3,0）可得6a+c=0,再由aVO可判断②.由图象对称轴及开口方向③.由

2

他物线经过（）可得抛物线经过（）进而可得士比竺=30因为cx+hx-^a

-3,02,0,2a-3,孔2a"=2,

=0的根为x=3三远和工=士竺三近，将。与C的关系代入求解可判断④.将a（x+3）（X-2）+3

2C2C

=0转化为抛物线与直线），=-3的交点可判断⑤.

【解答】解：•••抛物线开口向下，

Aa<0,

•・•抛物线对称轴为直线工=一5=一；，

2a2

b=a〈O,

•・•抛物线与y轴交点在x轴上方，

/.c>0,

.•・a0c>0,①正确，符合题意.

・・•抛物线经过点（-3,0）,

・•・加-3b+c=（）,

•:a=b,

6〃+c=3a+3〃+c=0,

••ZVO,

3a+c>0,②正确,符合题意.

由图象可得工V一：时，y随x增大而增大，

・••③错误，不符合题意.

由cf+法+°=0可得方程的解为A=*等远和x=上笋,

•・•抛物线产加+公+c•经过（-3,0）,对称轴为直线.1=-5

・••抛物线与x轴另一个交点为（2,（））,

.3=-3和x=2是方程ax1+bx+c=O的根，

.-b->/b2-4ac令-b+\b2-4ac-

••——3,=2,

V6r/+c=0,

••c=-6”，

...士宇远上等酶④正确，符合题意.

4COCC乙

•・•抛物线经过（-3,0）,（2,0）,

•'.y=a（x+3）（x-2）,

将。（x+3）（x-2）+3=0化为。（x+3）（x-2）=-3,

由图象得抛物线与直线y=-3交点在x轴下方，

•'•m<-3且n>2,⑤正确，符合题意.

故选：C.

8.（2022•河东区二模）已知抛物线y=aF+A+c开口向下，与x轴交于点4（-1,0）,顶点坐标为（1,

〃），与），轴的交点在（0,2）,（0,3）之间（包含端点），则下列结论：①2。+〃=0；②-1WH③对

于任意实数in,a（nr-1）+〃（机-1）W0总成立；④关于A的方程a^+bx+c-n+1=0有两个不相等的

实数根，其中结论正确的个数是（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【分析】由抛物线开口方向判断。与。的关系，由抛物线与X轴交点坐标判断4、仄C的关系，由顶点

坐标及顶点坐标公式推断的关系及〃与。、力、C的关系，由抛物线与），轴的交点坐标判断C的取值

范围，进而对所得结论进行推断.

【解答】解：•.•抛物线），=a，+法+。的顶点坐标为（1,〃）

.b44ac-b2

..-----=---------=n

2a4a

：.2a+h=0

故①正确.

•・•抛物线与x轴交于点（-1,0）

：.a-b+c=O

:・c=b-a

由①知：2“+〃=0,g|Jb=-2a

，c=-2a-a=-3a

又•・•抛物线与），轴的交点（0,c）在（0,2）,（0,3）之间（含端点）

・・2«

・・・2W-3aW3

2

A-l<a<-^

故②正确.

抛物线y=a.r+bx+c开口向下

・・・。<0

又“：aCm2-1)+%(/〃-1)=anr+bm-a-b(aWO)

令g=am2+bm-a-b

关于根的二次函数且二加户+加”--8开口向下

若对于任意实数m,a(m2-I)+b(m-1)WO总成立

故需判断△=b2-4a(-a-b)与0的数量关系

由以上分析知：b=-2a

，△=(・2。)2・4。(・a+2a)=0

故③正确.

由以上分析知:a<*0,b=—2a,c=—3a,n=一一勤

4a

.4a(-3a)-(-2a)2.

..n=-------------------=-4a

4a

:.A=b2~4a((?-?:+!)=(-2a)2-4〃(-3a+4a+1)=-4a>0

・•・关于x的方程a^+bx+c-«+1=0有两个不相等的实数根

故④正确

故选：

9.(2022•辽宁)抛物线y=aP+M+c的部分图象如图所示，对称轴为直线x=-1,直线y=h+c与抛物线

都经过点(・3,0).下列说法：①加>0：②4a+c>0；③若(-2,y.)与0”)是抛物线上的两个

点，则④方程aF+8x+c：。的两根为内=-3,X2=1：⑤当x=-l时，函数)，=以2+(〃-A)x

A.2B.3C.4D.5

【分析】利用图象的信息与已知条件求得a，力的关系式，利用待定系数法和二次函数的性质对每个结论

进行逐•判断即可得出结论.

【解答】解：•・•抛物线的开口方向向下，

••・aVO.

•・•抛物线的对称轴为直线x=-1,

——=—1,

2a

:・b=2a,0VO.

•・ZV0,bVO,

：.ab>0,

・••①的结论正确；

:抛物线>=加+6+。经过点（-3,0）,

/.9a-3Z?+c=0,

••・9a-3X2a+c=0,

3a+c=（）.

.•・4a+c=aV0,

・•・②的结论不正确；

•・•抛物线的对称轴为直线x=-1，

・••点（・2,y）关于直线x=-1对称的对称点为（0,>'i）,

Va<0,

・••当x>-1时，y随X的增大而减小.

•.<>0>-1,

2

-明

・•・③的结论不正确：

•・•抛物线的对称轴为直线x=-1，抛物线经过点（-3,0）,

・•・抛物线一定经过点（1,0）,

；・抛物线y=ajr+bx+c与x轴的交点的横坐标为-3,1,

方程ax2+bx+c=O的两极为用=-3,X2=1，

・••④的结论正确：

•.,直线y=2r+c经过点（-3,0）,

:.-3k+c=0,

:・c=3k.

*/3a+c=0,

c=-3a,

：・3k=-3a,

：,k=-a.

；・函数y=af+（b-k）x

=cur+（2a+a）x

=ajc+3ax

=a{x+1）2-/

Va<0,

・••当人=一|时，函数尸加+⑦-左）%有最大值，

，⑤的结论不正确.

综上，结论正确的有：①④，

故选：A.

10.（2022•济南二模）已知抛物线），=〃/+员+c（a、b、c是常数，fl<0）经过点（・2,0）,其对称轴为

直线x=l,有下列结论：

①c>0；

②9a+3Hc>0；

③若方程ad+bx+c+l=0有解ii、X2，满足Ki〈X2，则为V-2,X2>4；

④抛物线与直线y=x交于产、（2两点，若PQ=则。=-I；

其中，正确结论的个数是（）个.

A.4B.3C.2D.1

【分析】利用数形结合的方法解答，依据已知条件画出函数的大致图象，依据图象直接得出结论可判定

①②③的正确；分别过点P,。作坐标轴的平行线，则△P”Q为等腰直角三角形，设点P,Q的横坐标

分别为，小小则〃?，〃是方程加+（〃・l）x+c=0的两根，利用韦达定理和待定系数法可得到用。的代

数式表示PQ,利用。。=假，列出方程，解方程即可求得。值，即可判定④的结论不正确.

【解答】解：•・•〃＜（）,

抛物线y=ayr+bx+c的开口方向向下.

•・•抛物线），=加+6+c经过点（-2,0）,其对称轴为直线x=l,

・••由抛物线的对称性可得抛物线经过点（4,0）.

综上抛物线y=cur+bx+c的大致图象如下：

由图象可知：抛物线与），轴交于正半轴（0,c）,

・••①的结论正确；

由图象可知：当-2VxV4时，函数值）＞0,

/.当x=3时，y=9a+3h+c-＞0.

・••②的结论正确.

作直线y=-l,交抛物线于两点，它们的横坐标分别为为，工2,如图,

则X],也是方程aP+加计c=-1的两根，

即方程ar+bx+c+\=0的解为x\、为，

由图象可知；满足X|Vk2，则xi＜-2,花＞4,

・••③的结论正确；

如图，分别过点P,Q作坐标轴的平行线，它们交于点H,

则△P〃Q为等腰直角三角形，

:.PH=HQ,PQ=y/2HQ.

.(y=ax2+bx+c

**ly=x.

，加+(Z?-I)x+c=O.

设点尸，Q的横坐标分别为in,n,

:.m,n是方程(vr+(Z>-1)x-c=O的两根，

.,i-匕c

..m+n=—a,mn=a

HQ=\m-川=y/(m—n)2—^/(ni+n)2—4mn=~

•・•抛物线产加+以+c经过点(-2,0),其对称轴为直线x=l,

(4a—2b+c=0

A(--=1

I2a

,(b=-2a

Yc=-8a-

:・HQ=J(詈尸+32.

•?PQ=V66,

・•・戈・J(等y+3：=V66.

解得：a=-1或一，.

・•・④的结论不正确；

综上所述，正确结论有：①②③,

故选:B.

11.（2022•宁远县模拟）如图，二次函数,，=卬2+法+。（aHO）的图象与x轴负半轴交于（一：，0）,对称

4

轴为直线X=1.有以下结论：①Hc>0；②3a+c>0；③若点（-3,yi）,（3,L），（0,券）均在函

数图象上，则④若方程a（2r+l）（2.r-5）=1的两根为内，长且片〈心，则V：<r2；

⑤点M,N是抛物线与4轴的两个交点，若在x轴下方的抛物线上存在一点P,使得尸M1PM则。的

范围为旧-4.其中结论王确的有（）

A.2个B.3个C.4个D.5个

【分析】根据题意和函数图象，可以判断各个小题中的结论是否成立，本题得以解决.

【解答】解：•・•对称轴为直线x=l，函数图象与x轴负半轴交于（一右0）,

Ax=一==1,

2a

:・b=-2。，

由图象可知4>0，c<0,

:.b=-2aV0,

•*.abc>0,故①正确；

由图可知，当x=-1时，y=a-b+c>0,

・・.a+2a+c>0,即3o+c>0,故②正确；抛物线开口向上，离对称轴水平距离越大，y值越大;

又1-3-1|=4,|3-1|=2,|0-1|=1,

・・・6>），2>”；故③错误；

由抛物线对称性可知，抛物线与工轴另一个交点为G，0）,

・•・抛物线解析式为：）=〃（A-+b（x-1）,

令。（x+-）（.r—-）=-）

224

则。(2xH)5)=1,

由图形可知，X,<-1<|<V2：故④正确；

由题意可知：M，N到对称轴的距离为3

当抛物线的顶点到X轴的距离不小于T时，

在X轴下方的抛物线上存在点P,使得

即处至v"

4Q—2

a'y=a（x+；）（x—=ar-2ax--a,

224

--a,

.*.c=40=-2a,

.4a（-1）a-（-2a）23

••

解得：a>l，故⑤错误；

故选:B.

12.（2022•惠城区二模）如图，已知抛物线丁=加+以+。的对称轴在），轴右侧，抛物线与x轴交于点4（・

2,0）和点B,与），轴的正半轴交于点C,且。8=2。。，则下列结论：<0；②4ac+2b=7；③

47--3④当b>\时，在x轴上方的抛物线上一定存在关于对称轴对称的两点M,N（点M在点N左边），

4

使得其中正确的有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【分析】首先根据函数图象可判断a,b,。的符号，心0,c>0,从而可判断①正确；由O4=2OC

可推出点3(2c,0)代入解析式化简即可判断②正确；由抛物线与x轴的交点A(-2,0)和点4(2c,

0)，再结合韦达定理可得汨・工=£=(・2)X(2c)=-4c,可得。=一；，即可判断③正确；根据。=一；，

a44

2〃+4ac=-1,可得c=2力+1,从而可得抛物线解析式为y=-kr+bx+(2/?+1),顶点坐标为(2b,b2+2b+\),

所以对称轴为直线x=2R要使由对称性可知，NAP〃=90°,且点P一定在对称轴上，则4

4P8为等腰直角三角形，PQ=^AB=2+2b,得P(242。+2),且2什2Vb2+23+1,解得方>1或〃V-I,

故可判断④正确.

【解答】解：:A(-2,0),OB=2OC,

AC(0,c),B(2c,0).

由图象可知，aVO,b>0,c>0,

①;aVO,b>0,

：.a-b<0,

A—c<0.故①正确；

②把B(2c,0)代入解析式，得：

4。/+2次、+。=0,又c#0,

.•.4ac+2b+l=0,

即2H4ac=-1,故②正确；

③：抛物线与x轴交于点A(-2,0)和点B(2c,0),

，片=-2和xi=2c为相应的一元二次方程的两个根，

由韦达定理可得：xi*X2=-a=(-2)X(2c)=-4c,

.*.«=-74.故③正确；

©Va=-42b+4ac=~1>

.*.c=2/?+l.

故原抛物线解析式为)=-¥+加:+(2Z?+1),顶点坐标为(加，序+2/升1).

・•・对称轴为直线X=2〃.

要使AN_LBM,由对称性可知，NAPB=9（）°,且点P一定在对称轴上，

:△A尸8为等腰直角三角形，Q是AB中点，

：.PQ=豺8=1[4/?+2-（-2）]=2b+2,

・••尸（28,2。+2）,且有2〃+2Vb2+20+1,

整理得:b2>\,

解得：OA1或。<-1,故④正确.

综上所述，正确的有4个，

故选：。.

13.（2022秋•大石桥市期末）如图所示是抛物线y=o?+加+c（«#0）的部分图象，其顶点坐标为（1,〃），

且与x轴的一个交点在点（3,0）和（4,0）之间，则下列结论：①a-b+c>0；②3a+c>0：③序=4。

（c・〃）：④一元二次方程队+c=〃+l没有实数根.其中正确的结论个数是（）

【分析】根据图象开口向下，对称轴为直线x=l可得抛物线与x轴另一交点坐标在（・1,0）,（-2,

0）之间，从而判断①.由对称轴为直线x=1可得》与。的关系，将〃=-2a代入函数解析式根据图象

可判断②由加+以+。=〃有两个相等实数根可得A=及-4。（c-〃）=0,从而判断③.由函数最大值为

尸〃可判断④.

【解答】解：•・•抛物线顶点坐标为（1,〃），

・•・抛物线对称轴为直线x=l,

•・•图象与％轴的一个交点在（3,0）,（4,0）之间，

・•・图象与％轴另一交点在（-1,0）,（-2,0）之间，

Ax=-1时,y>0,

即a・b+c>0,

故①正确，符合题意.

•・•抛物线对称轴为直线k-?二I,

za

:・b=-2a,

/.y=ax2-2ar+c»

.*.x=-1时,y=3a+c>0,

故②正确，符合题意.

♦・•抛物线顶点坐标为（1,〃），

・•・加+云+c=〃有两个相等实数根，

:.A=b2-4。（c-n）=（）,

一从=4a（c-n）,

故③正确，符合题意.

,.,y=ajr+bx+c的最大函数值为y=〃，

a^+bx+c=〃+1没有实数根，

故④正确，符合题意.

故选：D.

14.（2022•恩施州）如图，已知二次函数），=加+/>+。的图象与X轴交于（-3,0）,顶点是（-1,〃?），

则以下结论：①。权》0；②4a+2/?+c>0；③若y2c,则启-2或x20；④/?+c=其中正确的有（）

【分析】①由抛物线的开口方向、对称轴以及与y轴的交点，可得。、b、c的符号，进而可得。儿的符

号，结论①错误；

②由抛物线与x轴交于（-3,0）,顶点是（-1,机），可判断出抛物线与x轴的另一个交点为（1,0）,

当x=2时，y=4a+2Z?+c>0,结论②正确；

③由题意可知对称轴为：直线x=-l,即一白=一1,得方=2〃，把尸c,〃=2〃代入尸加+/次+。并化

简得：f+2.r=0,解得x=0或-2,可判断出结论③正确;

④把（-1,/〃），（1,0）代入产加+以+（?并计算可得〃=一夕九，由对称轴可得/?=2a,，a=-加,

由a+b+c=O可得。再计算加c的值，可判断④错误.

【解答】解：①•・•抛物线开口向上，对称轴在y轴左边，与］，轴交于负半轴，

A«>0,b>0,c<0,

abc<Ot

故结论①错误；

②•・•二次函数产加+版+。的图象与x轴交于（-3,0）,顶点是（-1,而，

・••抛物线与无轴的另一个交点为（1,0）,

•・•抛物线开口向上，

・•・当x=2时，y=4a+2b+c>0,

故结论②正确；

③由题意可知对称轴为：直线》=-1,

AA―――2a=—1,

**•b=2a,

把y=c,h=2a代入），=a^+Zu+c得：

加+加什―。，

/.jr+2.¥=0,

解得x=0或-2,

・•・当），2c,贝UxW-2或x20,

故结论③正确；

④把（-1,,〃）,（1,0）代入尸加+6+c得：

a-b+c=in,«+/?+（?=0»

・・

b=—2m,

°：b=2a,

・

・・。=—im,

4

•・•抛物线与X轴的另一个交点为（1,0）,

.*.a+h+c=(),

・3

..c=-?n,

4

b+c=--m+-m=-m,

244

故选：B.

15.（2022•开福区模拟）如图，是抛物线），产加+法+c（aHO）图象的一部分，抛物线的顶点坐标是A（1,

3）,与x轴的一个交点3（4,0）,直线”="a+〃（川*0）与抛物线交于4,B两点,下列结论：①2"方

=0；②抛物线与x釉的另一个交点是（-2,0）；③方程a*+/u-+c=3有两个相等的实数根；④当1

<4时，有yzVyi；⑤若32+历；］=3；22+以2，且X|#X2；则X|+%2=1.则命题正确的个数为（）

A.5个B.4个C.3个D.2个

【分析】①根据对称轴可以判断；②根据已知交点坐标和对称轴可以判断；③根据图象性质向下平移3

个单位即可判断；④根据图象性质即可判断；⑤根据图象对称性即可判断.

【解答】解：①•・•对称轴为直线门一2=1,

2a

则：2〃+6=0正确；

②•・•对称轴是直线x=l,与x铀的一个交点是8（4,0）,则与x轴的另一个交点是（・2,0）,

故②正确；

③将抛物线％=ax2+bx+c向下平移3个单位，得到y=a*+队+c-3,

・•・顶点坐标变为（1,0）,

・•・此时抛物线与x轴只有一个交点，

・•・方程&*+云+°=3有两个相等的实数根正确；

④当1VXV4时，有图象可知也<），|正确；

⑤若ax\2+bxi=axr^bxi♦

则ax^+bxy+c=ax21+bx2+c,

即》=”，

・・・k、也关于函数的对称轴对称，

由①知函数对称轴为直线x=-?=1，

2a

故:（X|+X2）=1，

・•・⑤不正确，

故选：B.

二.填空题（共15小题）

16.（2022秋•朝阳区校级期末）如图，已知二次函数尸加+云+c（a#0）的图象与x轴交于点A（-1,

0）,与y釉的交点B在（0,-2）和（0,-1）之间（不包括这两点），对称轴为直线x=l.下列结

论：①abc>0；②4〃+2%、>0；©4ac-b2<-4«；©1<«<|；®b>c.其中正确结论有①③④⑤（填

写所有正确结论的序号）.

【分析】根据对称轴为直线x=l及图象开口向下可判断出以〃、c的符号，从而判断①；根据对称轴得

到函数图象经过（3,0）,则得②的判断；根据图象经过（-1,0）可得到〃、〃、。之间的关系，从而

对②⑤作判断；利用牛更<-1,可判断③；从图象与），轴的交点8在（0,-2）不口（0,-1）之间可

以判断。的大小得出④的正误.

【解答】解：①•・•函数开口方向向上，

・・・。>0；

•・•对称轴在y轴右侧

ab异号，

•・•抛物线与y轴交点在y轴负半轴,

Ac<0,

故①正确：

②•・•图象与工轴交于点A（-L0）,对称轴为直线x=l,

・•・图象与x轴的另一个交点为（3,0）,

・••当x=2时，y<0,

4d+2Z?+c<0,

故②错误;

③•・,二次函数.y=a*+/犹+c•的图象与y轴的交点在（0,-I）的下方，对称轴在.V轴右侧，。＞0,

J最小武答

4ac-Z?2<-4d；

・••③正确:

④•・•图象与y轴的交点8在（0,-2）和（0,-1）之间,

；・-2<c<-1

:.-2<-3a<-1,

・・.|>〃斗

故④正确

：.b-c>0,即〃>c；

故⑤正确.

综上所述，正确的有①@④⑤,

故答案为：①③④⑤.

17.（2022秋•金牛区期末）已知一次函数y=〃F+hx+c（aWO）的图象如图所示，有下列5个结论：①abc

<0：@a-b+c>(h③4〃+26+c>()：®2c<3h；®a+b<m(am+b)(m#l的实数)，其中正确结论的

序号有①③④.

【分析】由抛物线的开口方向判断。的符号，由抛物线与），轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及

他物线与X轴交点情况进行推埋，进而对所得结论进行判断.

【解答】解：①由图象可知：fl<o,c>0,

・・・"x）,

2a

AZ>>0,

.,.«Z?c<0,故此选项正确：

②当;v=-1时，y=a-b+c<Q,故a-〃+c>0,错误；

③由对称知，当x=2时，函数值大于0,BPy=4a+2b+c>0,故此选项正确；

④当x=3时函数值小于0,y=9a+3b+c<0,且

即。=一会代入得9（一9+3b+c<0,得2cV3〃，故此选项正确；

⑤当工=1时，y的值最大.此时,y=a+b+c,

而当x=，〃时.），=anr+bm+c,

所以a+b+c>am2+bin+c,

a+b>anr+bm,BPa+b>mtam+b）,故此选项错误.

故①③④正确.

故答案为：①③④.

18.（2022•宜宾）如图，二次函数（〃H0）图象的顶点为D,其图象与x轴的交点A,B的横

坐标分别为-1，3,与y轴负半釉交于点C.下面五个结论：

①2〃+/?=0；②a+%>0；③4口+加（>0；④只有当：时，△ABO是等腰直角三角形；⑤使△ACB为

等腰三角形的〃的值可以有三个.

那么，其中正确的结论是①④.

【分析】先根据图象与x轴的文点A,8的横坐标分别为-1,3确定出A8的长及对称轴，再由抛物线的

开口方向判断〃与。的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与。的关系，然后根据对称轴及抛物线与x

轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断.

【解答】解：①•・•图象与x轴的交点A,8的横坐标分别为-1,3,

・・・A4=4,

•**对称轴=

x——2a=1»

即2a+Z?=0；

故①正确；

②由抛物线的开口方向向上可推出4>0,而-白>0

2a

•・•对称轴x=l,

当x=1时，｝,<0,

a+b+c<()：

故②错误；

③•・•图象与工轴的交点4,8的横坐标分别为-1,3,

*.a-b+c=0,9〃+3/?+c=0,

:.10t?+2Z?+2c==0>

/.5a+/;+c=0，

/.a+4a+A+c=0,

Va>0,

/.4a+b+c<0,

故③错误；

④要使△A8。为等腰直角三角形，必须保证D到x轴的距离等于AB长的一半；

D到x轴的距离就是当x=\时），的值的绝对■值.

当x=l时，y=a+b+c,

即|a+Hc|=2,

•・•当x=l时），VO,

a+b+c=-2,

又•・•图象与x轴的交点A,8的横坐标分别为-1,3,

当x=-I时y=O即a-/?+（1=0；

,v=3时y=0.

・・・9a+3〃+c=0,

解这三个方程可得：b=-l,c=-*

⑤要使aACB为等腰三角形，则必须保证AB=BC=4或AB=AC=4或AC=BC,

当48=8C=4时，

•；AO=1,△80C为直角三角形，

又・・・。（7的长即为|小

工=16-9=7,

,/由抛物线与y轴的交点在,y轴的负半轴上，

c=-y/7,

与2a+b=0、。・〃+。=0联立组成解方程组，解得。="；

同理当AB=AC=4时，

•・・AO=1,△AOC为直角三角形，

又・・・0C的长即为用,

••"=16-1=15,

•・•由抛物线与y釉的交点在.y轴的负半轴上，

c=—yflS

与2a+b=0、a-b+c=O联立组成解方程组，解得。=手；

•J

同理当4c=4C时

在△AOC中，AC2=1+?,

在△BOC中8c2=/+9,

•・・AC=4C,

・・.1+/=，+9,此方程无解.

经解方程组可知只有两个。值满足条件.

故⑤错误.

19.（2022•荆门）如图，抛物线产加+取+c（aWO）与x轴交于点A、B,顶点为C,对称轴为直线％=1,

给出下列结论：①abcVO；②若点。的坐标为（1,2）,则aABC的面积可以等于2：③M（为，》），

N（M，”）是抛物线上两点（用＜也），若为+及＞2,则》＜），2；④若抛物线经过点（3,-1）,则方程

ox2+法+c+l=0的两根为-1,3.其中正确结论的序号为①④.

【分析】根据函数的图象和性质即可求解.

【解答】解：①抛物线的对称地在），轴右侧，则而＜0,而c＞0,故abcVO,正确，符合题意；

②△ABC的面积=/8・.yc=TxA8X2=2,解得：AB=2,则点A（0,0）,即c=0与图象不符，故②

错误，不符合题意；

③函数的对称轴为x=l,若可+制＞2,则g（xi+x2）＞1，则点N离函数对称轴远，故故③错误，

不符合题意：

④抛物线经过点（3,-1）,则），'=加+也计c+1过点（3,0）,

根据函数的对称轴该抛物线也过点（7,0）,故方程0F+法+c+l=O的两根为・1,3,故④正确，符

合题意;

故答案为：①④.

20.(2022•霍林郭勒市模拟)如图，二次函数)，=加+&+。QW0)的图象过点(・2,0),对称轴为直

线x=l,下列结论中一定正确的是一①@@(填序号即可).①出心>0：②若A(x,,〃?),BS，m)

是抛物线上的两点，当X=X1+K2时，y=c；③若方程“(x+2)(4-x)=-2的两根为X1，必且X1〈X2,

【分析】根据二次函数的图象与性质即可求出答案.

【解答】解：①函数的对称轴在y轴右侧，则"<0,而c<0,故出7c•>(),故①正确，符合题意;

@VA(xi，m),B(x2,m)是抛物线上的两点，

由抛物线的对称性可知：XI+X2=IX2=2,

当工=2时，y=4a+2b+c=4a-4〃+c=c,故②正确，符合题意；

③抛物线与.1轴的另外一个交点坐标为(4.0),

；・y=ajr+hx+c=a(x+2)(x-4)

若方程a(x+2)(4-x)=-2,

即方程。(x+2)(x-4)=2的两根为汨，x2,

则月、也为抛物线与直线y=2的两个交点的横坐标，

*.*X|<X2,

Z.X1<-2<4<X2，③错误，不符合题意；

④当x=I时，y=a+b+c<0,

当x=-1时，y=a-b+c<0,

故(a+c)2-b2=Ca+h+c)(a-b+c)>0,

故④正确，符合题意；

故答案为：①②④.

21.（2022春•蔡甸区校级月考）如图，二次函数尸加+必+c（〃>（））的图象与x轴交于A,8两点,与），

轴的正半轴交于点。，它的对称轴为直线x=-1,有下列结论：

①〃力cVO；②4ac・从<0：③c-a>0；④当x=・1・2时，了2c；⑤若内，力（xiVx?）是方程aF+加计c

=0的两根,则方程a（xn）（X-X2）-1=0的两根小，"