专题221 成比例线段【七大题型】（举一反三）（沪科版）（解析版）

专题22.1成比例线段【七大题型】

【沪科版】

【题型।成比例线段的概念】....................................................................1

【题型2成比例线段的应用】....................................................................3

【题型3比例的证明】..........................................................................5

【题型4利用比例的性质求比值】...............................................................7

【题型5利用比例的性质求参】.................................................................8

【题型6比例的性质在阅读理解中的运用】......................................................10

【题型7黄金分割】...........................................................................13

”。手三

【知识点1成比例线段的概念】

1.比例的项：

在比例式（即N=£）中，G,d称为比例外项，6C称为比例内项.特别地，在比例式

bd

（即g=2）中，力称为4C的比例中项，满足从=仇3

bc

2.成比例线段：

四条线段。，b,C,d中，如果。和b的比等于C和d的比，即:二£,那么这四条线段a,b,c,d

ba

叫做成比例线段，简称比例线段.

【题型1成比例线段的概念】

【例1】（2022秋•南岗区校级月考）不能与2,4,6组成比例式的数是（）

A.gB.3C.8D.12

【分析】利用表示两个比相等的式子，叫做比例式，然后分别求出4、B、。、。选项的比值，即可判断.

【解答】解：4、/2=4：6,故A不符合题意；

B、2：3=4：6,故4不符合题意；

C、2：4#6：8,故C符合题意；

D、2：4=6：12,故。不符合题意；

故选：C.

【变式1・1】（2022秋♦义乌市月考）己知线段。=2,6=6,则它们的比例中项线段为，百一

【分析】由题意线段c是。、b的比例中项，可知/=（而，由此即可解决问题.

【解答】解：•・•线段c是。、〃的比例中项，

.'•（r=abi

b=6,

/.C2=12,

Vc>0,

Ac=2V3,

故答案为：2V3.

【变式1-2］（2022秋•道里区期末）如图，用图中的数据不能组成的比例是（）

A.2：4=1.5：3D.3：1.5=4：2C.2：3=1.5：4D.1.5：2=3：4

【分析】根据对于四条线段。、Ac、d,如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比

相等，如"=〃（即,以=从），我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段，进而分别判断即

可.

【解答】解：42：4=1：2=1.5：3,能组成比例，错误；

B、3：1.5=2：1=4：2,能组成比例，错误；

C、2：3X1.5：4；不能组成比例，正确；

D.1.5：2=3：4,能组成比例，错误；

故选：C.

【变式1-3］（2022秋•八步区期中）如图所示,有矩形A5CD和矩形■氏CD',AB=ScmtBC=\2cm,A'B,

=4cm,8'。=6c..则线段AE,AB,B'C,BC是成比例线段吗?

【分析】求出若，塞的值判断即可.

ADDC

【解答】解：•••A8=8o〃，BC=\2cm,A'8'=4cm,B,C=6an,

.AiBi41B>Cf61

>•———=-9=—f

AB82BC122

.ArBi_BiCt

''AB~BC

AB,B,C,8C是成比例线段.

【题型2成比例线段的应用】

【例2】(2022秋•渭滨区期末)已知AABC的三边分别为〃，儿c,且(a-c)：(a+力)：(c-Z?)=-

2：7：I,试判断△ABC的形状.

【分析】设a-c=-2攵，a+b=7,c-。=1,再利用攵分别表示出a、b、c,然后利用勾股定理的逆定埋

进行判断.

【解答】解：V(a-c)：(a+h)：(c-〃)=-2：7：I,

a­c=-2ka=3k

・••设Q+b=7k，解得b=4k，

c—b=kIc=5k

•：a2+b2=(3k)2+(4k)2=25lr=(5k)2=?,

•••△ABC为直角三角形，ZC=90°.

【变式2-1](2022秋•青羊区校级月考)甲、乙两地的实际距离是400千米，在比例尺为1：500000的地

图上，甲乙两地的距离是()

A.0.8(777B.8(772C.80cmD.800cm.

【分析】设地图上，甲乙两地的距离是根据比例尺的定理列出方程，解之可得.

【解答】解：设地图上，甲乙两地的距离是

根据题意,得：』

解得：x=80,

即地图上，甲乙两地的距离是80c〃?,

故选：C.

【变式2-2](2022秋•杜尔伯特县期末)一个班有30名学生，男、女生人数的比可能是()

3：2B.1：3C.4：5D.3：1

【分析】根据人数必须是整数，所以男、女生人数占的总分数必须能被3()整除，然后进行计算即可解答.

【解答】解：4、30+(3+2)=6,能得出整数的结果，故力符合题意;

B、304-(1+3)=7.5,不能得出整数的结果，故3不符合题意;

C、304-(4+5)二学，不能得出整数的结果，故C不符合题意;

D、30+(3+1)=7.5,不能得出整数的结果，故。不符合题意;

故选:A.

【变式2-3）（2022•台湾）某校每位学生上、下学期各选择一个社团，下表为该校学生上、下学期各社团

的人数比例.若该校.上、下学期的学生人数不变，相较于上学期，下学期各社团的学生人数变化，下列

叙述何者正确？（）

舞蹈社溜冰社魔术社

上学期345

下学期432

A.舞蹈社不变,溜冰社减少

B.舞蹈社不变,溜冰社不变

C.舞蹈社增加,溜冰社减少

D.舞蹈社增加,溜冰社不变

【分析】若甲：乙：丙b：c,则甲占全部的.，乙占全部叱短，丙占全部的小•

【解答】解：由表得知上、下学期各社团人数占全部人数的比例如下:

舞蹈社溜冰社魔术社

上学期_3___9_4_12_5__15

123612361236

4_163_122_8

下学期——.....一.

936936936

・•・舞蹈社增加，溜冰社不变.

故选：D.

【知识点2比例的性质】

比例的性质示例剖析

xy

(1)基本性质：2=£=ad=hc{hdH0)—=<=>3.r=2y

bd

（2）反比性质：苫=5。2=@3力〃工0）xy23

-=7<=>-=-⑶00)

bdac23xy

(3)更比性质：丁=:0—二-；或

hdcd3=£o'=<|或)=](乃工0)

23y3x2

—=—(abedH0)

ba

,人.3Hacci+bc+d...小x2x+y2+3/八、

(4)合比性质：-=-<=>——=——(bd*0)=o=(y*0)

baba)，3y3

/、八itniazaca—bc—di八、y3y-x3-2.八、

(5)分比性质：-=—<=>——=——(bd*0)

bdbax2x2

,八人八aca+bc+d

(6)合分比性质：===

baa-bc-ax2x+y2+3

y3x-y2-3

{bdw0,〃wacwd)

(7)等比性质：

234

已知--，则当x+y+z/O时，

acm.八'xyz

—=-=•••=—(b+d-\----F，?00)

bdn2二3二4.2+3+4

a+c+--+ma,,..八、

n----------------=—(b+d+L+〃w0)xyzx+y+z*

b+d+--'+nb

【题型3比例的证明】

【例3】（2022秋•汝州市校级月考）已知线段mb,c，d（存时。），如果短冷上求证：奇=鬻

【分析】根据比例线段的性质证明即可.

【解答】证明：由

可得：a=bk,c=dk,

把片从,=或代入告=智=%,

把〃=从，「以代入鬻=*=匕

可得：言=篝

【变式3/】（2022春•江阴市期中）如图，点从C在线段AQ上，且4&BC=AD.CD,求证*+总=a

ABCD

【分析】由己知条件得到*=*,即$=鬻,两边同除以AC即可得到结论.

【解答】证明：・・・4=。，

谭吟，即AC-ABAD-AC

ABAD

AD

.1.12

・+—=—.

ABADAC

【变式3-2］（2022秋•秦都区校级期中）已知:如图，点。为三角形48c内部的任意一点，连接AO并延

长交于点。.

S4ABO_SA"。(^\SAAB。_BD

证明：（I）(2)

ShBODS&COD,GF

SMB。_丝也®一券，由此即可解决问题•

【分析】（1）由等高模型可知:

SAB。。ODS4COD

（2）利用等高模型以及比例的性质即可解决问题.

【解答】证明：（i）・.・22-丝瓶皿一丝

S&BOD。。S[cOD

1

•SUB。_S”c。

St.BODSACOD

(2),•S"BD_S4OBD_BD

S£.ADCSC.ODCCD

・SAABD-SAOBD_BD

SAADC-SAODCCD'

・SAA80_BD

SAACOCD

ab+cd

【变式3-3】（2022秋•岳阳县期中）若小b,c,d是非零实数且"小求证器会

b2+d2'

【分析】由于(a2+c2)(b2+d2)=cvbLjr(r}rJr(r(iLj<r(?(f-»(at汁cd)(ab+cd')=a2b2+2abcd+(rd2,根据比

例的基本性质得到仇:，可得（"+（?）（b2+d2）=（.ab+cd）（ab+cd）,从而得证.

【解答】证明：*=；

：“id=bc.

*.*(«2+c2)(b2+d2)/2d2+u",

(ab+cd)(ab+cd)=crb2+2abcd+(rd2,

■:2ahcd=(rtr+crd1

(i?2+c2)(〃+/)=(ab+cd)(ab+cd),

.a2+c2_ab+cd

ab+cdb2+d2"

【题型4利用比例的性质求比值】

【例4】（2022秋•炎陵县期末）已知3=：,则三=”.

【分析】根据鼻=：,可得禁=：,再根据比例的性质即可求解.

3a-h42b3

【解答】解：••・g==，

3a-b4

・

•3•-a-b—―4,

2b3

.3a1_4

.a11

••一=一.

b9

故答案为：获.

【变式4-1］（2022春•霍邱县期末）若等=£那么相值等于（）

A.-B.-C.--D.--

5454

【分析】把化成1，=：,即可求出2的值.

a4a4a

【解答】解：・・•等=1

・13

••I——,

a4

・b1

故选：B.

【变式4-2］（2022春.沙坪坝区校级期末）若2=5="阻人24+3尸0,则三等登的值为（）

baf3b-2a+3f

\-B-r-D-

**6326

【分析】先利用分式的基本性质得到？=葛=意然后根据等比性质解决问题.

b-2d3/3

【解答】解「•尸卜尸2

，..一a=--2-c-=—3e=—1

b-2d3/3

而〃-2dly'K0

.a-2c+3e_1

•%-2d+3/-3,

故选：B.

【变式4-3]（2022春•栖霞市期末）下列结论中，错误的是（）

A.若鸿，则泻

B.若呼/则K

C.若，=；=|（b-dWO）,则E=l

D.若£=£则a=3,b=4

【分析】分别利用比例的基本性质分析得出答案.

【解答】解：A、若：=三，则2=：,正确，不合题意；

45C5

B、若F=g则6（。-人）=b,故6a=78,则三二：，止确，不合题意；

b6b6

C、若；=；=[（〃-dW0）,则W=j正确，不合题意；

ba3n-a3

D、若£=j无法得出小沙的值，故此选项错误，符合题意.

故选：D.

【题型5利用比例的性质求参】

[ft5]（2022秋•蜀山区校级期中）已知："=上=也=A,则人=2或7.

xyZ----------

【分析】能够根据比例的基本性质熟练进行比例式和等积式的互相转换.

【解答】解：此题要分情况考虑：

当x+y+zWO时，则根据比例的等比性质，得上簧詈=2：

当x+y+z=O时，即x+y=-z,则Z=-I,故填2或-I.

【变式5-1]（2022秋•灌云县期末）已知且x+）=24.则x的值是（）

A.15B.9C.5D.3

【分析】设;=:=4，根据比例的性质求出x=3A,y=5k,根据x+），=24得出弘+54=24,求出我,再求

出x即可.

【解答】解：设g盘=%,贝「=33），=5匕

•・”+），=24.

・・・3%+5攵=24,

解得：2=3,

・・・x=3X3=9,

故选:B.

【变式5-2］（2022秋•高州市期中）已知J一5一g且3y=2>6,求x,y的值.

356

【分析】由若3=2=g可设:=马=：=匕这样用A分别表示X、>、Z,即x=3k,丫=5k,z=6k,再利

356356

用3y=2z+6,可得到关于攵的方程，解方程得到攵的值，从而可确定x的值.

【解答】解：设

则x=3k,y=5k,z=6k,

•・・3），=2z+6,

・・・3X5Z=2X6k+6,

解得：k=2,

，x=3Z=6,y=5k=\0.

【变式5-3］（2022•雨城区校级开学）我们知道：若m=9且HdKO,那么E=：=分.

bdbdb+d

（1）若b+d=O,那么a、c满足什么关系？

（2）若竺£=-=竺=匕求产-L2的值.

abc

【分析】（1）根据比例的性质即可得到结果；

（2）根据比例的性质求得/的值，把/的值代入代数式即可得到结论.

【解答】解：⑴••一=：，b+d=O,

bd

/.a+c=O；

（2）①当a+HcWO时，—=^=—=t=出等=2,

abca+b+c

・・・於-/-2=22-2-2=0,

②当a+h+c=O时，b+c=~a,a+c=-b,a+b=-c,

•b+ca+ca+b八

•--=---=----t——］,t

abc

••・尸7・2=0.

【题型6比例的性质在阅读理解中的运用】

【例6】（2022秋•渝中区期末）阅读理解:

已知：a,b,c,d都是不为0的数，且£=；，求证：手=等・

证明:

b-d

・

..-a-+b=-c-+-d

bd

根据以上方法，解答下列问题：

（1）若*=3求早的值；

（2）若f=5，且c#d,证明r二口.

bda+bc+d

【分析】（1）把要求的式子化成三饪=三+1，冉进行计算即可得出答案；

bb

（2）根据比例的性质得出?=蜉，竽=等，再分别相除即可得出答案・

baba

【解答】解：⑴—=:，

u5

a

b

•a-bc-d

••丁二T'

..a+bc+d

・丁=T，

・a-b.a+bc-d.c+d

bbdd

...-a-b=-c---d.

a+bc+d

【变式6-1】阅读材料：

已知g=?=求安的值.

346x-y+z

解：设：=3=（=%（%#（））,则x=3%,y=4匕z=64.（第一步）

,x+y-z_3k+41(-6k

x-y+z3fc-4fc+6fc5k5

(1)回答下列问题：

①第一步运用了等式的基本性质,

②第二步的解题过程运用了代入消元的方法,

由5得:利用了分式的基本性质.

(2)模仿材料解题：

已知上户z=2：3：4,求学？的值.

,x-2y+3z

【分析】(1)利用等式的基本性质，代入消元法，分式的基本性质，即可解答；

(2)仿照例题的思路，进行计算即可解答.

【解答】解：(1)①第一步运用了等式的基本性质，

②第二步的解题过程运用了代入消元的方法，

由之得:利用了分式的某本性质，

O/vD

故答案为：等式，代入消元，分式；

(2)Vx：y：z=2：3：4,

,设x=2k,y=3k,z=4k,

.x+y+z_2k+3k+4k

*'x-2y+3z2k-6k+l2k

=—9k

8k

9

一8,

【变式6-2](2022秋•椒江区校级月考)阅读下列解题过程，然后解题：

题目：已知(公b、c互不相等)，求x+Hz的值.

解：设=义=三=亿则(a-b),y=k(b-c)：z=k(c-a),

a-bb-cc-a•'

.',x+y+z=k(.a~b+b-c+c-a)=A・O=O,/.x+y+z=0.

依照上述方法解答下列问题：

a,b,c为非零实数，且4+O+cWO,当竺匕="咨=3上时，求(a+b)(b：O(c+a)的值.

cbaabc

【分析】设""£二"学=上生£=公利用比例的性质得到a+8-C=Sa-b+c=kb,-a+b+c=ka,

cba

将三式相加可以求得A=l,所以利用等量代换和约分可以求得所求代数式的值.

【解答】解：设"上=『=/£=%,

cba

所以a+b-c=kc®,

a-b+c=kb®,

-a+b+c=ka@,

由①+②+③，得

a+b+c=k(a+b+c).

•・・a+〃+cX(),

:.k=\.

.*.«+/?=2c>h+c=2(bc+a=2b.

.(a+b)(b+c)(c+a)_2cx2ax2b

••==o«

abcabc

【变式6-3](2022春•鼓楼区校级期中)阅读下面的解题过程，然后解题：

题目：已知三=六=-^(a、b、。互相不相等)，求x+广z的值.

a-bb-cc-a/

解：设-^7===工=上，贝Jx=kCa-b),y=k(b-c),z=k(c-a)于是，x+y+z=A(a-b+b-

a-bb-cc-a''

c+c-a)=k・0=0,

依照上述方法解答下列问题：己知：注=里=也(.计y+zWO),求U二的值.

xyzx+y+z

【分析】设"="="=七根据比例的性质得到x=y=z,计算即可.

xyz,

【解答】解：设比=织=9=匕

xyz

则y+z=xk,z+x=yk,x+y=zk.

：.2(x+y+z)=k(x+y+z),

解得，k=2,

.\y+z=2x,z+x=2y,x+y=2z,

解得，x=y=z,

则工£=」.

x+y+z3

【知识点3黄金分割】

如图，若线段A8上一点C,把线段48分成两条线段4C和BC(AC>8。)，且使AC是A3和BC

的比例中项(即AC2=48-8C),则称线段48被点C黄金分割，点C叫线段A8的黄金分割点，其中

AC=3」A4Q（）.618A4,/3C=三二叵44yo.382A8,AC与AB的比叫做黄金比.（注意：对于线段

22

而言，黄金分割点有两个.）

【题型7黄金分割】

【例7】（2022•青羊区校级模拟）如图，点A是正方形A8C。的4B边上线段AB的黄金分割点，且4R>

RB，S表示以AR为边长的正方形面积；S2表示以BC为长，8R为宽的矩形的面积，SB表示正方形除去

曲，上剩余的面积，则S：$2的值为I.

【分析】设AB=a,根据黄金比值用。表示出AR、8R,根据矩形的面积公式计算，得到答案.

【解答】解：设43=。,

•・•点R是边AB边上的黄金分割点，AR>RB,

,",AR=、5/8=、-Tq,

22

则BR=AB-4R=a-正工=-a,

22

・•・$：S2=（—67）2：axg=l,

22

故答案为：1.

【变式7-1]（2022秋•杨浦区期末）已知点P是线段AB上的一点，线段AP是P8和48的比例中项，下

列结论中，正确的是（）

APBV5+1nPB\/5+1厂AP再-1、AP75-1

A•而=hB-^F=-C.而==D.而=h

【分析】根据黄金分割的定义判断即可.

【解答】解：•・,点户是线段A8上的一点，线段是依和/W的比例中项，

:.AP2=PB・AB,

・•・点夕是A3的黄金分割点，

.APVs-l

••9

AB2

故选：C.

【变式7-2］（2022秋•江都区校级月考）已知，点。是线段AB的黄金分割点，若4。＞/犯

（1）若A8=10cm,则AQ