专题23.6相似三角形的性质-2021-2022学年九年级数学上册尖子生同步培优题典（解析版）【华师大版】

2021-2022学年九年级数学上册尖子生同步培优题典【华师大版】专题23.6相似三角形的性质姓名：__________________班级：______________得分：_________________注意事项：本试卷满分100分，试题共24题，选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2020秋•邵阳县期末）若△ABC∽△DEF，且S△ABC：S△DEF＝5：4，则△ABC与△DEF的周长比为（）A．5：4 B．4：5 C．2：5 D．5：2【分析】根据相似三角形的性质求出相似比，根据相似三角形周长的比等于相似比解答．【解析】∵△ABC∽△DEF，S△ABC：S△DEF＝5：4，∴△ABC与△DEF的相似比为5：2，∴△ABC与△DEF的周长比为5：2，故选：D．2．（2020秋•盐城期末）两个相似三角形面积比是4：9，其中一个三角形的周长为18，则另一个三角形的周长是（）A．12 B．12或24 C．27 D．12或27【分析】根据相似三角形的性质求出相似比，得到周长比，根据题意列出比例式，解答即可．【解析】∵两个相似三角形面积比是4：9，∴两个相似三角形相似比是2：3，∴两个相似三角形周长比是2：3，∵一个三角形的周长为18，设另一三角形周长为x，∴18：x＝2：3或x：18＝2：3，解得：x＝12或27，∴另一个三角形的周长是12或27，故选：D．3．（2021•西湖区二模）如图，在△ABC中，DE∥BC，ADBD=23，若DEA．6 B．8 C．9 D．10【分析】因为DE∥BC，可△ADE∽△ABC，根据相似三角形的性质即可求出BC的长．【解析】∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴DEBC=又∵ADBD=∴ADAB=∴4BC=∴BC＝10．故选：D．4．（2021•鄞州区模拟）如图，在△ABC中，E是线段AC上一点，且AE：CE＝1：2，过点C作CD∥AB，交BE的延长线于点D．若△BCE的面积等于4，则△CDE的面积等于（）A．8 B．16 C．24 D．32【分析】由△BCE中CE边上的高和△ABE中AE边上的高相等可求得S△ABE＝2，根据相似三角形的判定证得△ABE∽△CDE，根据相似三角形的性质即可求得结果．【解析】∵△BCE中CE边上的高和△ABE中AE边上的高相等，且AE：CE＝1：2，∴S△BCE＝2S△ABE，∵S△BCE＝4，∴S△ABE=12∵CD∥AB，∴△ABE∽△CDE，∴S△ABES△CDE=（AE∴2S△CDE=（12）∴S△CDE＝8，故选：A．5．（2020秋•丽水期末）如图，在△ABC中，∠AED＝∠B，若AB＝10，AE＝8，DE＝6，则BC的长为（）A．403 B．245 C．154 【分析】由已知得出△ABC∽△AED，根据对应边成比例列出方程即可得到答案．【解析】∵∠AED＝∠B，∠A＝∠A，∴△ABC∽△AED，∴AEAB=∵AB＝10，AE＝8，DE＝6，∴810=∴BC=152故选：D．6．（2021春•海淀区校级期末）如图，四边形ABCD是平行四边形，点E在BA的延长线上，点F在BC的延长线上，连接EF，分别交AD，CD于点G，H，则下列结论错误的是（）A．FHEH=CFAD B．EGGH=AG【分析】由平行四边形的性质可得AB＝CD，AD＝BC，AB∥CD，AD∥BC，利用相似三角形的性质依次判断即可求解．【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AD＝BC，AB∥CD，AD∥BC，∴△CHF∽△BEF，∴FHEH=∴FHEH=CFAD∵AB∥CD，∴△AGE∽△DGH，∴EGGH=AGGD∵AD∥BC，∴△AEG∽△BEF，∴AEBE=EGEF=AG故选：D．7．（2019秋•河南期末）如图，△ABC中，点D，E分别是边AB，AC上的点，DE∥BC，点H是边BC上的点，连接AH交线段DE于点G，且BH＝DE＝12，DG＝8，S△ADG＝12，则S四边形BCED＝（）A．24 B．22.5 C．20 D．25【分析】由相似三角形的判定与性质求出BC的长为18，△ADG与△AGE同高不同底求出S△AGE的面积为6，最后根据图形的面积的和差法求出S四边形BCED的面积为22.5．【解析】如图所示：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴DEBC=又∵BH＝DE＝12，DG＝8，∴BC=BH⋅DEDG又∵DE＝DG+GE，∴GE＝12﹣8＝4，又∵△ADG与△AGE的高相等，∴S△ADGS又∵S△ADG＝12，∴S△AGE=又∵S△ADE＝S△ADG+S△AGE，∴S△ADE＝12+6＝18，又∵S△ABCS∴S△ABC=18×(又∵S四边形BCED＝S△ABC﹣S△ADE，∴S四边形BCED=故选：B．8．（2021•大庆）如图，F是线段CD上除端点外的一点，将△ADF绕正方形ABCD的顶点A顺时针旋转90°，得到△ABE．连接EF交AB于点H．下列结论正确的是（）A．∠EAF＝120° B．AE：EF＝1：3 C．AF2＝EH•EF D．EB：AD＝EH：HF【分析】由已知可得△ABE≌△ADF，从而得到∠EAB＝∠DAF，AE＝AF；由∠EAF＝∠BAE+∠FAB＝90°＝∠DAF+∠FAB＝90°，可知A不正确；由∠EAF＝90°，AE＝AF，可知△AEF是等腰直角三角形，所以EF=2AE，则B不正确；若AF2＝EH•EF成立，可得EH=12EF，即H是EF的中点，而H不一定是EF的中点，故C不正确；由AB∥CD，由平行线分线段成比例可得EB：BC＝EH：HF，故【解析】∵△ADF绕正方形ABCD的顶点A顺时针旋转90°，得到△ABE，∴△ABE≌△ADF，∴∠EAB＝∠DAF，∴∠EAF＝∠BAE+∠FAB＝90°＝∠DAF+∠FAB＝90°，故A不正确；∵∠EAF＝90°，AE＝AF，∴△AEF是等腰直角三角形，∴EF=2AE，∴AE：EF＝1：2，故B不正确；若AF2＝EH•EF成立，∵AE：EF＝1：2，∴EH=22AF∴EH=12EF即H是EF的中点，H不一定是EF的中点，故C不正确；∵AB∥CD，∴EB：BC＝EH：HF，∵BC＝AD，∴EB：AD＝EH：HF，故D正确；故选：D．9．（2020秋•长宁区期末）如图，已知在△ABC中，点D、点E是边BC上的两点，联结AD、AE，且AD＝AE，如果△ABE∽△CBA，那么下列等式错误的是（）A．AB2＝BE•BC B．CD•AB＝AD•AC C．AE2＝CD•BE D．AB•AC＝BE•CD【分析】根据相似三角形的性质，由△ABE∽△CBA得到AB：BC＝BE：AB，则可对A选项进行判断；由△ABE∽△CBA得到∠BAE＝∠C，∠AEB＝∠BAC，则证明△CAD∽△CBA，利用相似三角形的性质得CD：AC＝AD：AB，则可对B选项进行判断；证明△CAD∽△ABE得到AD：BE＝CD：AE，加上AD＝AE，则可对C选项进行判断；利用△CBA∽△ABE得到AB•AC＝AE•CB，由于AE2＝CD•BE，AE≠CB，则可对D选项进行判断．【解析】∵△ABE∽△CBA，∴AB：BC＝BE：AB，∴AB2＝BE•BC，所以A选项的结论正确；∵△ABE∽△CBA，∴∠BAE＝∠C，∠AEB＝∠BAC，∵AD＝AE，∴∠ADE＝∠AED，∠ACD＝∠BCA，∴∠ADE＝∠BAC，∵∠ADC＝∠BAC，∴△CAD∽△CBA，∴CD：AC＝AD：AB，即CD•AB＝AD•AC，所以B选项的结论正确；∵△ABE∽△CBA，△CAD∽△CBA，∴△CAD∽△ABE，∴AD：BE＝CD：AE，即AD•AE＝CD•BE，∵AD＝AE，∴AE2＝CD•BE，所以C选项的结论正确；∵△CBA∽△ABE，∴AC：AE＝CB：AB，∴AB•AC＝AE•CB，∵AE2＝CD•BE，AE≠CB，∴AB•AC≠BE•CD，所以D选项的结论不正确．故选：D．10．（2021•连云港）如图，△ABC中，BD⊥AB，BD、AC相交于点D，AD=47AC，AB＝2，∠ABC＝150°，则△DBCA．3314 B．9314 C．3【分析】过点C作BD的垂线，交BD的延长线于点E，可得△ABD∽△CED，可得ADCD=ABCE=BDDE，由AD=47AC，AB＝2，可求出CE的长，又∠ABC＝150°，∠ABD＝90°，则∠CBD＝60°，解直角△【解析】如图，过点C作BD的垂线，交BD的延长线于点E，则∠E＝90°，∵BD⊥AB，CE⊥BD，∴AB∥CE，∠ABD＝90°，∴△ABD∽△CED，∴ADCD=∵AD=47AC∴ADCD=∴ABCE=2CE=∵∠ABC＝150°，∠ABD＝90°，∴∠CBE＝60°，∴BE=33CE=∴BD=47BE=∴S△BCD=12•BD•CE=故选：A．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上11．（2021•兴化市模拟）已知两个相似三角形的相似比为4：9，那么这两个三角形的周长之比为4：9．【分析】直接利用相似三角形的周长比等于相似比，进而得出答案．【解析】∵两个相似三角形的相似比为4：9，∴它们的周长比等于相似比，即：4：9．故答案为4：9．12．（2019秋•瑞安市期末）已知两个相似三角形△ABC与△DEF的相似比为3．则△ABC与△DEF的面积之比为9．【分析】直接根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方求解．【解析】∵△ABC与△DEF的相似比为3，∴△ABC与△DEF的面积之比为9．故答案为9．13．（2021•鹿城区校级一模）如图，点O为平行四边形ABCD的对角线AC和BD的交点，点E为边BC的中点，连接AE交BD于点F，则OFBD的值为16【分析】连接OE，如图，根据平行四边形的性质得到OA＝OC，OB＝OD，则OE为△CAB的中位线，所以OE∥AB，OE=12AB，证明△OEF∽△BAF，利用相似比得到OFBF=【解析】连接OE，如图，∵四边形ABCD为平行四边形，∴OA＝OC，OB＝OD，∵点E为边BC的中点，∴OE为△CAB的中位线，∴OE∥AB，OE=12AB∵OE∥AB，∴△OEF∽△BAF，∴OFBF=∴OFOB=∴OFBD=故答案为16．14．（2020秋•丽水期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，E是BC边上的动点，连接AE，过点E作EF⊥AE交CD于点F．（1）若BE＝1，则CF的长为1；（2）在点E运动的过程中，CF的最大值为43．【分析】（1）由矩形的性质及EF⊥AE知∠BAE+∠AEB＝90°、∠CEF+∠BEA＝90°，得出∠BAE＝∠CEF，即可证△BAE∽△CEF得ABCE=（2）设BE＝xcm，由相似三角形的性质得比例式，从而得到函数关系式，配方可得最值．【解析】（1）∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝∠C＝90°，∴∠BAE+∠AEB＝90°，∵∠AEF＝90°，∴∠CEF+∠BEA＝90°，∴∠BAE＝∠CEF，∴△BAE∽△CEF，∴ABCE=∵BE＝1，BC＝4，∴CE＝3，∴33=∴CF＝1．故答案为：1．（2）如图所示，设BE＝xcm，由①得△BAE∽△CEF，∴CFBE=∴yx=整理，得：y=−13x2+4根据函数图象可知，抛物线y=−13[（x2﹣4x+4）﹣4]=−13（x﹣2）开口向下，抛物线的顶点坐标是它的最高点、且x＝2在函数的定义域内．所以当BE的长为2时，CF的长最大为43．故答案为：43．15．（2021•南岗区模拟）如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，D为AC上一点，连接BD，∠ABD＝3∠A，若BD＝5，AD＝11，则BC的长为1255【分析】作∠ABE＝∠A交AC于E，作BF⊥AC于F，构造出两个等腰△ABE和△DBE，由勾股定理可得DG＝4，再借助面积法求得BF的长即可．【解析】如图，作∠ABE＝∠A，交AC于E，作BF⊥AC于F，DG⊥BE于G，设∠A＝x，则∠ABE＝x，∵∠ABD＝3∠A，∴∠BEF＝2x，∠EBD＝2x，∴DE＝BD＝5，∴AE＝BE＝11﹣5＝6，∵DG⊥BE，∴BG＝3，在Rt△BDG中，由勾股定理得：DG=52由S△BED=125×BF＝6×4，∴BF=245∴DF=75，EF=∴AF=485∵△AFB∽△BFC，∴BF2＝AF×CF，∴(245∴CF=125在Rt△CFB中，由勾股定理的：BC=(12故答案为：125516．（2021•深圳模拟）如图，在△ABC中，D，E分别是边AC，AB的中点，BD与CE交于点O，连接DE．下列结论：①OEOB=ODOC；②DEBC=12其中，正确的有②④．【分析】由三角形的中位线定理可得DE∥BC，BC＝2DE，可证△DEO∽△BCO，由相似三角形的性质依次判断可求解．【解析】∵D，E分别是边AC，AB的中点，∴DE∥BC，BC＝2DE，∴DEBC=12∵DE∥BC，∴△DEO∽△BCO，∴OEOC=ODOB=DEBC=∴ODDB=∴S△DOES△DBE=故答案为：②④．17．（2020秋•涵江区期末）如图，直角三角形纸片ABC，AC边长为10cm，现从下往上依次裁剪宽为4cm的矩形纸条，若剪得第二张矩形纸条恰好是正方形，那么BC的长度是20cm．【分析】根据矩形的性质，可知：DE∥BC，进而可得出△ADE∽△ACB，根据相似三角形的性质即可求出BC的长度．【解析】在图中标上字母，如图所示．根据矩形的性质，可知：DE∥BC，∴△ADE∽△ACB，∴BCDE=∴BC=ACAD•DE=1010−4−4故答案为：20．18．（2021•宁波模拟）如图，点D，E分别在△ABC的边AB，AC上，且DE∥BC，过点A作AF∥BC，分别交∠AED，∠ACB的平分线于点F，G．若BD＝2AD，CG平分线段BD，则FGBC=43【分析】根据线段中点的定义得到BH＝DH，确定BH=12BD，推出AD=13AB，根据相似三角形的性质得到AEAC=ADAB=13，根据平行线的选择得到∠AED＝∠ACB，根据角平分线的定义得到∠【解析】∵CG平分线段BD，∴BH＝DH，∴BH=12BD∵BD＝2AD，∴AD＝DH＝BH，∴AD=13AB∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴AEAC=∵DE∥BC，∴∠AED＝∠ACB，∵CG是∠ACB的平分线，EF是∠AED的平分线，∴∠AEF=12∠AED，∠ACG=12∴∠AEF＝∠ACG，∴EF∥CG，∴△AEF∽△ACG，∴AFAG=∴FG＝2AF，AG=32FG设AB与CG交于H，∵AG∥BC，∴△AGH∽△BCH，∴AGBC=∴32FG∴FGBC=故答案为43．三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（2021•南京一模）如图，在矩形ABCD中，E是BC的中点，DF⊥AE，垂足为F．（1）求证△ADF∽△EAB；（2）若AB＝12，BC＝10，求DF的长．【分析】（1）由矩形的性质得出AD＝BC，AD∥BC，∠B＝90°，由平行线的性质得出∠DAF＝∠AEB，证出∠AFD＝∠B，即可得出结论；（2）由勾股定理求出AE，由相似三角形的性质得出对应边成比例，即可求出DF的长．【解析】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∠B＝90°，∴∠DAF＝∠AEB，∵DF⊥AE，∴∠AFD＝90°＝∠B，∴△ADF∽△EAB；（2）解：∵BC＝AD＝10，E是BC边的中点，∴BE＝5，∴AE=AB由（1）得：△ADF∽△EAB，∴DFAB=即DF12=解得：DF=1201320．（2021•江干区模拟）如图，在△ABC中，BD⊥AC于点D，DE⊥AB于点E，BD•DE＝BE•CD．（1）求证：△BCD∽△BDE；（2）若BC＝10，AD＝6，求AE的长．【分析】（1）BD•DE＝BE•CD得到BDBE=CDDE，由∠BDC（2）根据相似三角形的性质∠EBD＝∠DBC，根据等腰三角形三线合一的性质可CD＝AD＝6，则有BA＝BC＝10，根据勾股定理求出BD，再利用相似三角形的性质求出BE，于是可求出AE的长．【解析】（1）证明：∵点BD⊥AC于点D，DE⊥AB于点E，∴∠BDC＝∠BED＝90°，∵BD•DE＝BE•CD，∴BDBE=∴△BCD∽△BDE；（2）解：∵△BCD∽△BDE，∴∠EBD＝∠DBC，∵BD⊥AC，∴CD＝AD＝6，BA＝BC＝10，∵BD⊥AC，∴BD=BC∵△BCD∽△BDE，∴BEBD=∴BE8=∴BE=325∴AE＝BA﹣BE＝10−32521．（2021•拱墅区校级四模）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于D，作DE⊥AC于E，F是AB中点，连EF交AD于点G．（1）求证：AD2＝AB•AE；（2）若AB＝5，AE＝4，求DG的值．【分析】（1）证△ADE∽△ACD，得AD：AC＝AE：AD，则AD2＝AC•AE，即可得出结论；（2）连接DF，由（1）得：AD2＝AB•AE，则AD＝25，再证DF是△ABC的中位线，得DF=12AC=52，DF∥AC，然后证△DFG∽△AEG【解析】（1）证明：∵AD⊥BC，DE⊥AC，∴∠ADC＝∠AED＝90°，∵∠DAE＝∠CAD，∴△ADE∽△ACD，∴AD：AC＝AE：AD，∴AD2＝AC•AE，又∵AB＝AC，∴AD2＝AB•AE；（2）解：连接DF，如图所示：由（1）得：AD2＝AB•AE，∴AD2＝AB•AE＝5×4＝20，∴AD＝25，∵AB＝AC，AD⊥BC，∴BD＝CD，∵F是AB的中点，∴DF是△ABC的中位线，∴DF=12AC=52，DF∴△DFG∽△AEG，∴DGAG=∴DGAD=∴DG=513AD=51322．（2021•西湖区二模）如图，在矩形ABCD中，E是CD上一点，AE＝AB，作BF⊥AE．（1）求证：△ADE≌△BFA；（2）连接BE，若△BCE与△ADE相似，求ADAB．【分析】（1）根据矩形的性质得出∠D＝∠DAB＝90°，求出∠DAE+∠FAB＝90°，∠FBA+∠FAB＝90°，求出∠D＝∠AFB，∠DAE＝∠FBA，再根据全等三角形的判定推出即可；（2）根据矩形的性质得出∠C＝∠D＝90°，DC∥AB，根据平行线的性质得出∠CEB＝∠ABE，设∠CEB＝∠ABE＝x°，根据等腰三角形的性质求出∠AEB＝∠EBA＝x°，根据相似三角形的性质得出两种情况：①∠DEA＝∠CEB＝x°，根据∠DEA+∠AEB+∠CEB＝180°得出x+x+x＝180，求出x，再解直角三角形求出AE和AD，再求出答案即可；②∠DEA＝∠EBC，设∠DEA＝∠EBC＝y°，求出∠DEA+∠AEB+∠CEB＝（y+2x）°＝180°，∠EBC+∠CEB＝（y+x）°＝90°，求出x，再得出答案即可．【解析】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠D＝∠DAB＝90°，∴∠DAE+∠FAB＝90°，∵BF⊥AE，∴∠AFB＝90°，∴∠D＝∠AFB，∠FBA+∠FAB＝90°，∴∠DAE＝∠FBA，在△ADE和△BFA中∠DAE=∠FBA∠D=∠∠AFBAE=AB∴△ADE≌△BFA（AAS）；（2）解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠C＝∠D＝90°，DC∥AB，∴∠CEB＝∠ABE，设∠CEB＝∠ABE＝x°，∵AE＝AB，∴∠AEB＝∠EBA＝x°，当△BCE与△ADE相似时，有两种情况：①∠DEA＝∠CEB＝x°，∵∠DEA+∠AEB+∠CEB＝180°，∴x+x+x＝180，解得：x＝60，即∠DEA＝60°，∴∠DAE＝90°﹣60°＝30°，∴AE＝2DE，由勾股定理得：AD=AE2∵AE＝AB，∴ADAB=②∠DEA＝∠EBC，设∠DEA＝∠EBC＝y°，∵∠CEB＝∠EBA＝∠AEB＝x°，则∠DEA+∠AEB+∠CEB＝y°+x°+x°＝（y+2x）°＝180°，在Rt△BCE中，∠EBC+∠CEB＝y°+x°＝（y+x）°＝90°，即y+2x=180y+x=90，解得：x＝90°，即∠CEB＝90°，此时点E和点C重合，△BEC不存在，舍去；所以ADAB=23．（2021•姑苏区一模）定义：如图①，若点P在△ABC的边AB上，且满足∠1＝∠2，则称点P为△ABC的“理想点”．（1）如图②，若点D是△ABC的边AB的中点，AC=2，AB＝2，试判断点D是不是△ABC的“理想点”，并说明理由．（2）如图②，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝4，若点D是△ABC的“理想点”，求CD的长．【分析】（1）由已知可得ACAD=ABAC，从而△ACD∽△ABC，∠ACD＝∠B，可证点D（2）由D是△ABC的“理想点”，分三种情况：