2024-2025学年人教版数学九年级下册 第28章 锐角三角函数 单元测试卷（含详解）

2024-2025学年人教新版九年级下册数学《第28章锐角三角函数》单元测试卷一．选择题（共10小题，满分30分）1．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝3，则cosB的值为（）A． B． C． D．2．Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2BC，下列结论：①；②；③，其中结论正确的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．33．的值等于（）A．1 B． C． D．4．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＞∠B．下列结论错误的是（）A．sinA＞sinB B．cosA+cosB＞1 C．sin2A+cos2B＝1 D．tanB＜tanA5．在△ABC中，若∠C＝90°，∠B＝20°，AC＝5，则AB的长度为（）A．5sin20° B．5tan20° C． D．6．如图，已知钟摆的摆长OA为m米，当钟摆由OA位置摆动至OB位置时，钟摆摆动的角度为40°，此时摆幅AB的长可以表示为（）米．A．m•sin20° B．m•sin40° C．2m•cos20° D．2m•sin20°7．如图，在坡角为α的斜坡上要栽两棵树，它们之间的水平距离AC为15m，tanα＝，则这两树间的坡面AB的长为（）A．5m B．45m C． D．8．如图，小明从平凉大明塔A出发，以15千米/时的速度向正北方向骑行，2小时后到达同学小刚家B处．小明家C在平凉大明塔A的北偏西36°方向上，在小刚家B的北偏西72°方向上．则小刚家B到小明家C的距离是（）A．15千米 B．20千米 C．30千米 D．35千米9．比较tan52°，cos21°，sin49°的大小关系是（）A．tan52°＜cos21°＜sin49° B．tan52°＜sin49°＜cos21° C．sin49°＜tan52°＜cos21° D．sin49°＜cos21°＜tan52°10．2025年1月7日凌晨，长征三号乙运载火箭在西昌卫星发射中心点火起飞，将实践二十五号卫星成功送入预定轨道，为2025年中国航天宇航发射取得“开门红”．当火箭上升到点A时，位于海平面R处的雷达测得点R到点A的距离为a千米，仰角为θ，则此时火箭距海平面的高度AL为（）A．asinθ千米 B．acosθ千米 C．千米 D．千米二．填空题（共10小题，满分30分）11．已知＜cosA＜sin70°，则锐角A的取值范围是．12．如图，在Rt△ABC中，AC＝4，BC＝3，∠C＝90°，则sinA的值为．13．在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝0.618，则cosB的值为．14．一段拦水坝横断面如图所示，斜面坡比i＝1：3，若BC＝3m，则坡面AB的长度为m．15．如图，一艘轮船位于灯塔P的南偏东60°方向，距离灯塔30海里的A处，它沿正北方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的北偏东45°方向上的B处，此时B处与灯塔P的距离为海里（结果保留根号）．16．某校学生开展综合实践活动，测量建筑物高度，如图，小华在甲楼AB的楼顶A，测得乙楼CD的楼顶C处俯角为45°，测得乙楼底D处俯角为60°，甲、乙两楼垂直于地面BD，两楼之间水平距离为150米，那么乙楼CD高为米．（保留根号）17．太阳能是清洁、安全和可靠的能源．如图是一个太阳能面板及其侧面示意图，点C是AB的中点，AB＝80cm．当太阳光与地面的夹角为53°，已知太阳光与面板垂直时，太阳面板吸收光能的效率最高，则此时支架C端离地面的高度为cm．（结果精确到1cm；参考数据：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33）18．已知△ABC中，AB＝10，，AC＝5，则BC＝．19．在△ABC中，∠C＝90°，若，则sinA＝．20．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若cosA＝，则sinB的值为．三．解答题（共7小题，满分60分）21．（1）解方程：x2﹣4x﹣5＝0；（2）计算：sin60°+tan245°﹣sin30°tan60°．22．已知：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°．（1）求证：sin2A+cos2A＝1；（2）若sinA+cosA＝，求sinA•cosA的值．23．在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，，求sinB的值．24．某校学习小组进一步计划去郊外进行测绘实践活动“测量山坡两侧点N与点M的高度差”，因山坡的遮挡，两点无法用眼睛直接观测到，于是他们先画出如图所示的测绘图纸，在点M，N处分别竖直安置经纬仪PM和QN，且PM＝QN＝2米，用无人机辅助测得PG与水平线的夹角α1＝53°，QG与水平线的夹角α2＝27°，无人机距离水平地面的高度GH＝58米，无人机距离经纬仪顶端Q的距离QG＝90米．请你根据以上数据求：（1）无人机距离经纬仪顶端P的距离；（2）点N与点M的高度差．（参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈1.3，sin27°≈0.5，cos27°≈0.9，tan27°≈0.5）25．佳佳新购买了一款手机支架，其结构平面示意图如图1所示，AB是手机托板，CD是支撑杆，DE是底座，量得AB＝10cm，BC＝4cm，DC＝15cm，DE＝10cm，她调整支架的角度，研究其运动特点，发现∠CDE的度数不变，AB可以绕点C在平面内旋转，当AB与CD重合时停止旋转．（1）如图2，当点A，点B，点E刚好在一条直线上时，已知∠AED＝80°，∠DCB＝40°，求点A到DE的距离（结果精确到0.1cm）；（2）当直线AB与CD所成锐角为60°时，直接写出点B到DE的距离（结果保留根号）．（参考数据：sin80°≈0.98，cos80°≈0.17，tan80°≈5.7，）26．在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，CD是中线，BC＝8，CD＝5．求sin∠ACD，cos∠ACD和tan∠ACD．27．如图，在△ABC中，AB＝AC，⊙O过A，B两点，且与直线AC相切于点A，D为BC中点，连接AD交⊙O于点E．（1）求证：AE＝BE；（2）若AD＝4，cosC＝，求⊙O的半径．

参考答案与试题解析一．选择题（共10小题，满分30分）题号12345678910答案BBACCDCCDA一．选择题（共10小题，满分30分）1．【解答】解：根据勾股定理可得，则cosB＝＝．故选：B．2．【解答】解：∵∠C＝90°，AC＝2BC，由勾股定理，得AB＝＝BC，①sinA＝＝，故①错误；②cosA＝＝，故②错误；③tanA＝＝，故③正确；故选：B．3．【解答】解：∵，∴原式＝×﹣＝﹣＝1．故选：A．4．【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，设∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，∴sinA＝，sinB＝，cosA＝，cosB＝，tanB＝，tanA＝，∵∠A＞∠B，∴a＞b，∵a+b＞c，∴sinA＞sinB，cosA+cosB＝+＝＞1，sin2A+cos2B＝+≠1，tanB＜tanA，∴选项C符合题意．故选：C．5．【解答】解：如图所示，sinB＝，∵∠B＝20°，AC＝5，∴AB＝，故选：C．6．【解答】解：过点O作OD⊥AB于点D．∵OA＝OB，∴，．在Rt△AOD中，，∴AD＝OA•sin∠AOD＝m•sin20°（米）．∴AB＝2AD＝2m•sin20°（米）．故选：D．7．【解答】解：在Rt△ABC中，AC＝15m，tanα＝＝，解得BC＝5，∴AB＝＝（m）．故选：C．8．【解答】解：如图，由题意得，∠CAB＝36°，∠1＝72°，∴∠C＝∠1﹣∠CAB＝36°，∴∠CAB＝∠C，∴BC＝AB，∵AB＝15×2＝30（千米），∴BC＝30千米，答：小刚家B到小明家C的距离是30千米，故选：C．9．【解答】解：∵cos21°＝sin69°＞sin49°，∴cos21°＞sin49°，∵tan52°＞tan45°，tan45°＝1，sin90°＝1∴tan52°＞1，sin69°＜1，∴sin49°＜cos21°＜tan52°，故选：D．10．【解答】解：由题意得：∠ALR＝90°，在Rt△ALR中，AR＝a千米，∠ARL＝θ，∴AL＝AR•sinθ＝asinθ（米），故选：A．二．填空题（共10小题，满分30分）11．【解答】解：∵＜cosA＜sin70°，sin70°＝cos20°，∴cos30°＜cosA＜cos20°，∴20°＜∠A＜30°．故答案为：20°＜∠A＜30°．12．【解答】解：∵AC＝4，BC＝3，∠C＝90°，∴AB＝＝＝5，∴，故答案为：．13．【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，∴∠A+∠B＝90°，∴cosB＝sinA＝0.618，故答案为：0.618．14．【解答】解：∵斜面坡比i＝1：3，∴BC：AC＝1：3，∵BC＝3m，∴AC＝3×3＝9m，∴AB＝＝＝3（m），故答案为：3．15．【解答】解：由题意得：PC⊥AB，∠APC＝30°，∠BPC＝45°，PA＝30海里，在Rt△APC中，∠ACP＝90°，∠APC＝30°，∴AC＝PA＝×30＝15（海里），∴PC＝AC＝×15＝15（海里），在Rt△PCB中，∠BCP＝90°，∠BPC＝45°，∴BC＝PC＝15海里，∴BP＝PC＝×15＝15（海里），故答案为：．16．【解答】解：由题意得四边形BDCE是矩形，如图，过点C作CE⊥AB，∴BD＝150米，∠ACE＝45°，∠ADB＝60°，∴CE＝BD＝150米，CD＝BE，在Rt△ACE中，CE＝150米，∠ACE＝45°，∴AE＝CE＝150米，在Rt△ABD中，∠ADB＝60°，∴（米），∴CD＝BE＝AB﹣AE＝（150﹣150）米，∴乙楼CD高为米．故答案为：．17．【解答】解：过点C作CE⊥BD，垂足为E，∴∠CEB＝90°，由题意得：∠ABD＝180°﹣53°﹣90°＝37°，∴∠BCE＝90°﹣∠CBE＝53°，∵点C是AB的中点，AB＝80cm，∴BC＝AB＝40（cm），在Rt△BCE中，CE＝BC•cos37°≈40×0.6＝24（cm），∴此时支架C端离地面的高度约为24cm，故答案为：24．18．【解答】解：如图所示，作AD⊥BC，交BC于点D，∵AB＝10，，AC＝5，∴AD＝AB•sinB＝10×＝2，∴BD＝＝＝4，当点C在C1的位置时，C1D＝＝＝，∴BC1＝BD﹣C1D＝4﹣＝3；当点C在C2的位置时，C2D＝＝＝，∴BC2＝BD+C1D＝4+＝5；故答案为：3或5．19．【解答】解：由条件可知，设BC＝12k，AC＝5k，其中k＞0，∴，∴，故答案为：．20．【解答】解：Rt△ABC中，根据cosA＝sinB可得：∴，故答案为：．三．解答题（共7小题，满分60分）21．【解答】解：（1）x2﹣4x﹣5＝0，x2﹣4x＝5，x2﹣4x+4＝5+4，即（x﹣2）2＝9，解得x1＝5，x2＝﹣1；（2）sin60°+tan245°﹣sin30°tan60°＝＝1．22．【解答】（1）证明：∵sinA＝，cosA＝，∴sin2A+cos2A＝，∵∠C＝90°，∴根据勾股定理，得BC2+AC2＝AB2，∴sin2A+cos2A＝1．（2）解：∵sinA+cosA＝，∴（sinA+cosA）2＝（）2，即sin2A+cos2A+2sinA•cosA＝，∵sin2A+cos2A＝1，∴1+2sinA•cosA＝，∴sinA•cosA＝．23．【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，，∴，即．∴AB＝6．∴．∴．24．【解答】解：（1）如图，作QB⊥GH，PA⊥GH，∵PM＝2，∴AH＝2，∵GH＝58，∴GA＝GH﹣AH＝56，在Rt△GPA中，sinα1＝，∴sin53°＝，∴GP≈56÷0.8＝70（米），答：无人机距离经纬仪顶端P的距离是70米；（2）在Rt△GQB中，sinα2＝，GQ＝90，∴sin27°＝，∴GB≈0.5×90＝45，∵GA＝56，∴AB＝GA﹣GB＝56﹣45＝11，∵PM＝QN＝2，∴点N与点M的高度差为11米，答：点N与点M的高度差为11米．25．【解答】解：（1）过点C作CG⊥DE于点G，作CF∥DE，过点A作AH⊥CF于点H．如图，由题意可得：∠EDC＝180°﹣∠CED﹣∠DCB＝180°﹣80°﹣40°＝60°．∴C＝10﹣4＝6（cm）．AH＝ACsin80°≈6×0.98＝5.88（cm）．∴在Rt△CDG中，．∴点A到DE的距离＝AH+CG＝5.88+12.99≈18.9（cm）；（2）当直线AB与CD所成锐角为60°时，情况一：如图，当∠BCD＝60°时，过点B作BK⊥CG于点K．，由（1）知：，∴点B到DE的距离：；情况二：当∠ACD＝60°时，∠ACD＝∠CDE，∴AB∥DE，∴点B到DE的距离＝；综上：答案为或．26．【解答】解：如图所示：∵Rt△ABC