山东省济南市历城第一中学2024-2025学年高一下学期第一次阶段性测试（4月）数学试题（原卷版+解析版）

历城一中高64级高一下学期第一次阶段性测试数学试题一、单选题1.已知一组数据的平均数为16，则这组数据的第60百分位数为（）A.17 B.16.5 C.16 D.15.52.若复数是纯虚数，则z的共轭复数（）A.－1 B.－i C.i D.13.如图所示，在中，点是线段上靠近A的三等分点，点是线段的中点，则（）A. B.C. D.4.已知非零向量，满足，，若，则实数（）A. B. C. D.5.已知在△ABC中，，若三角形有两解，则x的取值范围是()A. B.C D.6.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a﹣b＝ccosB﹣ccosA，则△ABC的形状为（）A.等腰三角形 B.等边三角形C.直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形7.嵩岳寺塔位于河南郑州登封市嵩岳寺内，历经1400多年风雨侵蚀，仍巍然屹立，是中国现存最早的砖塔.如图，为测量塔的总高度，选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点与，现测得，，，在点测得塔顶的仰角为，则塔的总高度为（）A. B. C. D.8.中，，，是外接圆圆心，是的最大值为（）A.1 B. C.3 D.5二、多选题9.某高中有学生500人，其中男生300人，女生200人，为获得该校学生的身高（单位：cm）信息，按比例分配的分层随机抽样的方法抽取一个样本量为50的样本.经计算得到样本中男生身高的平均数为170，方差为17；女生身高的平均数力160，方差30.下列说法中正确的是（）A.样本中男生的人数为30B.每个女生入样的概率均为C.样本的平均数为166D.样本的方差为22.210.设，是复数，则下列说法正确的是（）A.若是纯虚数，则 B.若，则C.若，则 D.若，则11.对于△，其外心为，重心为，垂心为，则下列结论正确是（）A.B.C向量与共线D.过点直线分别与、交于、两点，若，，则三、填空题12.将容量为的样本中的数据分成6组，绘制频率分布直方图.若第一组至第六组数据的频率之比为，且后三组数据的频数之和等于66，则__________.13.在中，角所对的边分别为，且.若，则周长的最大值为______.14.在中，，为的中点，，为上一点，且，则______．四、解答题15.在复平面内，复数对应的点的坐标为，且为纯虚数（是的共轭复数）．（1）求m的值；（2）复数在复平面对应的点在第一象限，求实数a的取值范围．16.在2025年八省联考结束后，某学校为了解高三学生的联考情况，随机抽取了100名学生的联考数学成绩作为样本，并按照分数段分组，绘制了如图所示的频率分布直方图.（1）求出图中a的值并估计本次考试及格率（“及格率”指得分为90分及以上的学生所占比例）；（2）估计该校学生联考数学成绩的第80百分位数；（3）估计该校学生联考数学成绩的众数、平均数.17.已知的内角A，B，C所对边分别为a，b，c，的面积为，.（1）求的值；（2）若，求周长.18.如图，在直角梯形中，，，，是的中点.（1）求；（2）连接，交于点，求；（3）若，，，…，为边上的等分点，当时，求的值.19.在中，对应的边分别为.（1）求；（2）奥古斯丁•路易斯･柯西，法国著名数学家.柯西在数学领域有非常高的造诣.很多数学的定理和公式都以他的名字来命名，如柯西不等式､柯西积分公式.其中柯西不等式在解决不等式证明的有关问题中有着广泛的应用.①用向量证明二维柯西不等式：；②已知三维分式型柯西不等式：，当且仅当时等号成立.若是内一点，过作的垂线，垂足分别为，求的最小值.

历城一中高64级高一下学期第一次阶段性测试数学试题一、单选题1.已知一组数据的平均数为16，则这组数据的第60百分位数为（）A.17 B.16.5 C.16 D.15.5【答案】B【解析】【分析】由给定的平均数求出，再由第60百分位数的定义求解即可.【详解】由数据的平均数为16，得，解得，由，得数据的第60百分位数为.故选：B2.若复数是纯虚数，则z的共轭复数（）A.－1 B.－i C.i D.1【答案】C【解析】【分析】由复数的乘、除法运算化简复数z，再由共轭复数的定义即可得出答案.【详解】，因为复数是纯虚数，所以，则，所以.故选：C.3.如图所示，在中，点是线段上靠近A的三等分点，点是线段的中点，则（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】由向量线性运算的几何意义即可计算【详解】.故选：B4.已知非零向量，满足，，若，则实数（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用平面向量数量积公式计算即可.【详解】由题意知，由知.故选：D5.已知在△ABC中，，若三角形有两解，则x的取值范围是()A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】由题意判断出三角形有两解时，满足不等关系求解即可．【详解】因为，要使三角形有两解，就是要使以C为圆心，半径为2的圆与BA有两个交点，所以只需满足，即，解得.故选：C6.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a﹣b＝ccosB﹣ccosA，则△ABC的形状为（）A.等腰三角形 B.等边三角形C.直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形【答案】D【解析】【分析】用正弦定理化边为角，再由诱导公式和两角和的正弦公式化简变形可得．【详解】∵a﹣b＝ccosB﹣ccosA，∴，∴,∴，∴或，∴或，故选：D.【点睛】本题考查正弦定理，考查三角形形状的判断．解题关键是诱导公式的应用．7.嵩岳寺塔位于河南郑州登封市嵩岳寺内，历经1400多年风雨侵蚀，仍巍然屹立，是中国现存最早的砖塔.如图，为测量塔的总高度，选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点与，现测得，，，在点测得塔顶的仰角为，则塔的总高度为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】设，在中，根据正切用表示，中，正弦定理建立与的等量关系，可求解，从而确定选项.【详解】设，则，在中，，在中由正弦定理＝，即，解得.故选：B.8.中，，，是外接圆圆心，是的最大值为（）A.1 B. C.3 D.5【答案】C【解析】【分析】先利用正余弦定理和向量的数量积求得的代数式，进而求得其最大值.【详解】过点作、，垂足分别为、，如图，因为是外接圆圆心，则、分别为、的中点，在中，，所以，即，即，，同理，则，由正弦定理得，当且仅当时取“=”，所以的最大值为.故选：C.二、多选题9.某高中有学生500人，其中男生300人，女生200人，为获得该校学生的身高（单位：cm）信息，按比例分配的分层随机抽样的方法抽取一个样本量为50的样本.经计算得到样本中男生身高的平均数为170，方差为17；女生身高的平均数力160，方差30.下列说法中正确的是（）A.样本中男生的人数为30B.每个女生入样的概率均为C.样本的平均数为166D.样本的方差为22.2【答案】AC【解析】【分析】由分层抽样可判断A；计算女生入样的概率可判断B；计算样本的均值可判断C；计算样本的方差可判断D，进而可得正确选项.【详解】对于A：抽样比为，所以样本中男生有人，故选项A正确；对于B：每个女生入样的概率等于抽样比，故选项B不正确；对于C：由分层抽样知，样本中男生有人，男生有人，所有样本均值为：，故选项C正确；对于D：设男生分别为，，，，平均数，，女生分别为，，，，平均数，，样本的平均数为，方差为，因为，而，所以，同理可得，所以，故选项D不正确；故选：AC10.设，是复数，则下列说法正确的是（）A.若是纯虚数，则 B.若，则C.若，则 D.若，则【答案】ACD【解析】【分析】对于A代入即可判断正误，对于B取特殊值验证即可，对于C设，求得即可判断正误，对于D设，代入验证即可求得.【详解】对于A选项，，则，故A正确；对于B选项，取，，则，但且，所以B错误；对于C选项，设，则，所以，C正确；对于D选项，设，则由得，又，，故成立，D正确．故选：ACD．11.对于△，其外心为，重心为，垂心为，则下列结论正确的是（）A.B.C.向量与共线D.过点直线分别与、交于、两点，若，，则【答案】BCD【解析】【分析】A：由外心的性质，结合向量数量积的几何意义判断；B：根据的几何意义即可判断正误；C：应用向量数量积的运算律及定义化简，再根据判断正误；D：根据平面向量基本定理可得，再由三点共线即可证.【详解】A：为外心，则，仅当时才有，错误；B：由，又，故，正确；C：，即与垂直，又，所以与共线，正确；D：，又三点共线，则，故，正确.故选：BCD【点睛】关键点点睛：综合应用外心、垂心、重心的性质，结合平面向量数量积的运算律、几何含义以及平面向量基本定理判断各选项正误.三、填空题12.将容量为的样本中的数据分成6组，绘制频率分布直方图.若第一组至第六组数据的频率之比为，且后三组数据的频数之和等于66，则__________.【答案】120【解析】【分析】运用频率的概念结合条件列式子即得.【详解】根据题意，频率＝频数比总数，知道频率之比为频数之比，后三组频数之比.频数分别设为，则总数为，则，解得，则.故答案为：120.13.在中，角所对的边分别为，且.若，则周长的最大值为______.【答案】21【解析】【分析】将已知等式利用正弦定理统一成角的形式，化简后求得，由余弦定理结合基本不等式，可求得，即可得出三角形周长最大值.【详解】解：因为，所以由正弦定理得，因为，所以，所以，因为，所以，由余弦定理得，即，因为，所以，得，当且仅当时取等号，所以，所以，当且仅当时取等号，所以，当且仅当时取等号，所以，所以周长的最大值为21.故答案为：21.14.在中，，为的中点，，为上一点，且，则______．【答案】【解析】【分析】取中点，连接，从而可得为中点，，再根据，可得，再由余弦定理及数量积的运算律求解即可.【详解】解：取中点，连接，如图所示：则有，又因为，所以，所以∥，又因为为中点，所以为中点，所以，所以，又因为为的中点，，所以，平方，得，即，解得，在中，由余弦定理可得：，所以，在中，由余弦定理可得：，将两边平方，得，所以.故答案为：四、解答题15.在复平面内，复数对应的点的坐标为，且为纯虚数（是的共轭复数）．（1）求m的值；（2）复数在复平面对应的点在第一象限，求实数a的取值范围．【答案】（1）3（2）【解析】【分析】（1）结合复数的几何意义，再利用复数的乘法化简复数，由已知条件可求得实数m的值.（2）利用复数的除法求，再结合复数的几何意义求解.【小问1详解】复数，且为纯虚数是的共轭复数），则，解得．【小问2详解】，复数在复平面对应的点在第一象限，，解得．实数的取值范围是．16.在2025年八省联考结束后，某学校为了解高三学生的联考情况，随机抽取了100名学生的联考数学成绩作为样本，并按照分数段分组，绘制了如图所示的频率分布直方图.（1）求出图中a的值并估计本次考试及格率（“及格率”指得分为90分及以上的学生所占比例）；（2）估计该校学生联考数学成绩的第80百分位数；（3）估计该校学生联考数学成绩的众数、平均数.【答案】（1），（2）120分（3）众数估计值为100分，平均数估计值为分【解析】【分析】（1）由频率分布直方图的性质列出方程，求得，进而得到及格率；（2）分别求得在110以下和130以下的学生所在比例，结合百分数的计算方法，即可求解；（3）结合频率分布直方图的众数和平均数的计算方法，即可求解.【小问1详解】由频率分布直方图的性质，可得，解得.所以及格率为.【小问2详解】得分在110分以下的学生所占比例为，得分在130分以下的学生所占比例为，所以第80百分位数位于内，由，估计第80百分位数为120分.【小问3详解】由图可得，众数估计值为100分.平均数估计值为（分）.17.已知的内角A，B，C所对边分别为a，b，c，的面积为，.（1）求的值；（2）若，求的周长.【答案】（1）（2）【解析】分析】（1）根据余弦定理角化边得，进而可求；（2）由面积公式可得，由正弦定理角化边得，代入，从而可求，进而可求，从而可求.【小问1详解】根据余弦定理可得，，则，所以；【小问2详解】因为，所以，又的面积为，所以，即，因为，结合正弦定理可得，又，所以，解得，所以，所以，即，所以的周长为.18.如图，在直角梯形中，，，，是的中点.（1）求；（2）连接，交于点，求；（3）若，，，…，为边上的等分点，当时，求的值.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）建立合适的直角坐标系，再求出相关向量，根据向量数量积的坐标公式即可；（2）设，，根据向量坐标运算得到方程组，解出，最后利用向量模坐标公式即可；（3）首先证明，最后转化为求解即可.【小问1详解】因为，所以以为坐标原点，为轴，为轴，建立如图所示平面直角坐标系，则，，所以.【小问2详解】设，，，所以，所以，所以，解得，所以.【小问3详解