初中数学一轮复习讲义（中考）

「目录」

第一讲数与式.................................................................................1

第二讲方程与不等式.........................................................................15

第三讲反比例函数和一次函数综合............................................................29

第四讲二次函数基础..........................................................................43

第五讲函数探究..............................................................................61

第六讲代数综合.............................................................................79

第七讲三角形及全等三角形..................................................................99

第八讲平行与四边形基础....................................................................117

第九讲圆的基础............................................................................135

第十讲全等模型.............................................................................152

第十一讲四边形综合........................................................................163

第十二讲圆综合.............................................................................175

第十三讲手拉手模型........................................................................193

第十四讲空翻模型.........................................................................206

第十五讲半角模型...........................................................................215

第十六讲中点模型.........................................................................228

第十七讲对称变换.........................................................................237

1

第一讲数与式

【课前诊断】

1.（2分）使二次根式有意义的x的取值范围是.

2.（12分）计算：

⑴（—2）2+-（2015-573）°-|--|（2）（x+y）2-4（升），）+4

22

(3)3A/2+V3-2A/2—3V3(4)5y[a^—飞4a2(a>0)

3.（2分）计算1—2+3—4+5—6+,••+2015—2016的结果是（

A.-2016B.-1008C.-1D.0

4.（2分）。一1与3—2。是某正数的两个平方根，则实数。的值是（）

4

A.4B.——C.2D.-2

3

5.（2分）2015年元旦期间，北京各大公园接待游客达245000万人次。其中，冰雪乐园吸引了大批游客亲

身感受冰雪带来的快乐，一起为北京申办2022年冬奥会助力加油用科学记数法表示245000是

改错区：

1

【知识梳理】

考点自查表

考点知识难度是否掌握

①实数的相关概念☆□

②实数的运算☆☆□

③整式概念及运算☆☆□

④分式的概念及基本性质☆□

⑤分式运算☆☆□

⑥二次根式☆□

1.实数的相关概念

（1）相反数、倒数、数轴、绝对值、科学记数法、乘方

①相反数：只有符号不同的两个数互为相反数.特别地，0的相反数是.

②倒数：乘积为1的两个数互为倒数.

③数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫数轴.实数和数轴上的点一一对应.

④绝对值：在数轴上表示数〃的点到原点的距离叫数。的绝对值，记作卜一。|表示.正数的

'一（«>0）

绝对值等于一：0的绝对值等于一；女数的绝对值等于；|。卜<一（4=0）

「（4<0）

⑤科学记数法：把一个绝对值大于10（或者小于1）的实数表示成4X10"的形式（其中—《同〈一,〃是整

数），此种记法叫做科学记数法.

⑥乘方：求〃个相同因数的积的运算，叫涉乘方，乘方的结果叫做事.在4”中，一叫做底数，一叫做指数,

当a"看作。的〃次方的结果时，也可读做。的〃次幕.正数的任何次幕都是正数；0的任何正整数次累都

是一;负数的奇次鼎是,负数的偶次晶是.

2

3

（2）平方根、立方根

①平方根：一般地，如果一个数的平方等于。，那么这个数叫做"的平方根或二次方根.也就是说，若丁，

则x就叫做。的.一个非负数々的平方根可用符号表示为.求一个非负数的平方根的运算，

叫做开平方.开平方与平方是互逆运算。一个正数有两个平方根，它们互为相反数；零的平方根是零；负

数没有平方根.

②算术平方根：一般地，如果一个正数x的平方等于a,那么这个正数x叫做a的算术平方根，可用符号表

示为，0的算术平方根是0;

③立方根：一般地，如果一个数的立方等于那么这个数叫做。的立方根或三次方根，也就是说，若

则x就叫做〃的立方根，一个数。的立方艰可用符号表.亚%=.

立方根的有关性质：府=—，（正＞二一。

2.实数的运算

（1）实数加法法则：同号两数相加，取符号，并把绝对值一；异号两数相加，绝对值相等时和_；

绝对值不等时，取符号，并用一的绝对值______绝对值；一个数同0相加，仍得这个数.

（2）实数减法法则：减去一个数，等于.

（3）实数乘法法则：两数相乘，同号得—，异号得一，再把绝对值一；任何数与0相乘，积仍为一.

（4）实数除法法则：除以一个数等于;两数相除，同号得异号得并把绝对值0

除以任何非。的数都得0.

（5）实数的混合运算法则：和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算一、一，再算一,最后算

，有一的要先算，同级运算要按照从一到—的顺序进行.

（6）实数的运算律：

加法交换律：a+b=（a,。为任意实数）

加法结合律：（a+b）+c=（a,btc为任意实数）

乘法交换律：ab=（a,〃为任意实数）

乘法结合律：=。。。）（〃,b为任意实数）

乘法分配律：a（b+c）=（a,Ac表示任意实数）

4

3.整式概念及运算法则

（1）整式概念

①代数式:用运算符号把数或表示数的字母连结而成的式子，叫做代数式.

②单项式:由数字或字母的积组成的代数式叫做单项式.

③多项式:几个单项式的和叫做多项式.在多项式中，每个单项式叫做多项式的项.

④同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项.

（2）整式运算法则

①整式的加减法：（1）去括号；（2）合并同类项。

②整式的乘法：心（机，〃都是正整数）=都是正整数）

（abS1=（〃都是正整数）=a2-b2

(a+b)2=(a-b)2=

③整式的除法：屋+4=（九〃都是正整数,。工0）

注意：（1）单项式乘单项式的结果仍然是.

（2）单项式与多项式相乘，结果是一个多项式，其项数与因式中多项式的项数相同.

（3）计算时要注意符号问题，多项式的每一项都包括它前面的符号，同时要注意单项式的符号.

（4）多项式与多项式相乘的展开式中，有同类项的要。

（5）公式中的字母可以表示数，也可以表示单项式或多项式。

（6）。°=___（awO）;0-P=（awO,p为正整数）

（7）多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加，单项式除

以多项式是不能这么计算的。

④因式分解：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做多项式的因式分解（或者分解因式）.

因式分解的一般步骤：

（1）如果多项式的各项有公因式，那么先提取公因式。

（2）在各项提出公因式以后或各项没有公因式的情况下，观察多项式的项数：二项式可以尝试运用

分解因式；三项式可以尝试运用、分解因式；四项式及四项式以上的可以尝试

__________分解因式.

（3）分解因式必须分解到每一个因式都不能再分解为止。因式分解的方法：

5

i.提公因式法：ma-\-mb+mc=；

ii.运用公式法：a2—b2=?a1±2ab-\-lr=

iii.十字相乘法：xL-\-(a-\-b)x-\-ab=.

iv.分组分解法：ac+ad+be+bd==

4.分式概念及基本性质

AA

①分式定义：用43表示两个整式，A+B可以表示成2■的形式，如果B中含有字母且8工0,式子色•就

BB

叫做分式，其中力叫做这个分式的分子，B叫做这个分式的分母(6。0).

②分式的基本性质：分式的分子与分母乘(或除以)同一个不等于0的整式，分式的值_____。用式子表示

AA.rAA—C

为乙=2-2或乙=一上(CwO),其中A,B,C均为整式。

BBCBB)

5.分式的运算

①约分：把一个分式的分子和分母的公因式约去，叫做分式的约分；约分时，若分子分母还有多项式，应

先进行，然后找去他们的公因式再约分.

②最简分式：分子分母没有公因式的分式叫做最简分式，分式运算结果都要化成最简分式或整式.

③分式通分：

(1)当分母是单项式时，取系数的与各字母的的积为最简公分母，把各分式化成分母相同的

分式.

(2)当分母是多项式时，一般先分解因式，然后再确定.进行分式乘除法时，注意符号法则，两数

相乘，同号得正，异号得负.分式乘除的结果必须化成最简分式，而分式的卖方，把分子、分母各自乘方.

④主要公式：

(1)同分母加减法则：2±£=住(4.0)

aaa

(2)异分母加减法则：2±4=如±也=必主包(axo,cHO)

acacacac

,、——A、上bdbdbebdbd

(3)分式的乘法与除法:----=—;—^―=----=—.

acacaaacac

6.二次根式

①定义：二次根式：形如的式子叫做二次根式，"J-”称为二次根号;

②最简二次根式满足下面条件：

(1)被开放数的因数是整数，因式是整式(被开方数不能存在小数、分数形式)

6

（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式

（3）分母中不含二次根式

③同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数，这几个二次根式

就叫做同类二次根式

④基本性质：

（1）&之。（心°）双重非负性；

（2）（«>0）.

⑶"第

［一4（4T<0）

常见化简：我=2&；V12=273；V18=3^/2；圆=26通=2；V27=3

⑤运算：

（1）加减：化为最简二次根式后，合并同类项；

（2）乘法：4a-4b=4ab（<?>0,Z?>0）

⑶除法：(a>0,b>0)

【典型例题】

【例题1】上的算术平方根为__________.

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【练习1］后的算术平方根是

【例题2】式子有意义的X的范围是.

【练习2.1］若^■有意义,则x的取值范围是

【练习2.2】当x时，J3-2元有意义.

【例题3】化简：|指一G|一13-卡|.

【练习3.1】化简：|百一2k24=

【练习3.2】计算：卜历一，耳一3（、后一五）+/5

7

【例题4】1.已知实数满足,一4|+4二8=0,则以为了的值为两边长的等腰三角形的周长是

【练习4.1】若a、b为实数,且满足kz—Z+Q^nO,则人一。