2024-2025学年天津一中高三（下）统练数学试卷（四）（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年天津一中高三（下）统练数学试卷（四）一、单选题：本题共9小题，每小题5分，共45分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A={−1,0,1,2,3}，B={x∈N|2x−1∈N}，则A∩B=A.{2,3} B.{1,2,3} C.{−1,1,2,3} D.{−1,0,1,2,3}2.已知向量a=(1,2)，b=(k,−1)，则“k=−12”是“aA.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件3.已知一组数据：70，72，75，76，82，83，84，a，90，其中第70百分位数是84，则该实数a的取值范围是(

)A.(84,90) B.[84,90) C.[84,+∞) D.(84,+∞)4.已知函数f(x)=(x−a)2+ln(A.14 B.12 C.0 5.如图，高度为ℎ的圆锥形玻璃容器中装了水，则下列四个容器中，水的体积最接近容器容积一半的是(

)A. B. C. D.6.已知α是锐角，3sinα+22cosα=A.7711 B.3311 C.7.设等差数列{an}的前n项和为Sn，前n项积是Tn，若S6A.Sn无最大值，Tn无最小值 B.Sn有最大值，Tn无最小值

C.Sn无最大值，Tn有最小值8.如图，在高为16的圆柱形筒中，放置两个半径均为3的小球，两个小球均与筒壁相切，且分别与两底面相切，已知平面α与两个小球也相切，平面α被圆筒所截得到的截面为椭圆，则该椭圆的离心率为(

)A.13 B.12 C.349.已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，M是棱CC1的中点，空间中的动点PA.55 B.3 C.2π 二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。10.i是虚数单位，复数23−i的虚部为______．11.在(1+x)6−(1+x)512.已知圆C：(x−1)2+y2=80，点P在直线l：y=kx+7(k∈R)上.若存在过点P的直线与圆C相交于A，B两点，且|AB|=16，13.某校举行科技文化艺术节活动，学生会准备安排5名同学到甲、乙、丙三个不同社团开展活动，要求每个社团至少安排一人，则不同的安排方案数为______，如果再加上一名同学且要求甲社团安排三人，乙、丙至少安排一人，则不同的安排方案数为______．14.在△ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，BC=3BD，AC=2AE，若AD，BE交于点I，则BIIE=______；当BC=3，AC=4，AB=2时，△ABI的面积为______．15.函数f(x)=x|x−1|−1,x≥0,1x−1,x<0,若函数g(x)=f(1−x)−ax+1(a≠0)恰有两个不同的零点，则实数三、解答题：本题共5小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。16.(本小题15分)

在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知a=3,b=22,△ABC的面积为3．

(Ⅰ)求c的值；

(Ⅱ)求sinB的值；

(Ⅲ)求17.(本小题15分)

如图所示，在几何体ABCDEFG中，四边形ABCD和ABFE均为边长为2的正方形，AD//EG，AE⊥底面ABCD，M，N分别为DG，EF的中点，EG=1．

(Ⅰ)求证MN//平面CFG；

(Ⅱ)求直线AN与平面CFG所成角的正弦值；

(Ⅲ)求平面CDG与平面CFG夹角的余弦值．18.(本小题15分)

已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为32，左，右焦点分别为F1，F2，过点F1的直线与椭圆相交于点A，B，且△F2AB的周长为8．

(Ⅰ)求椭圆的标准方程；

(Ⅱ)椭圆C的左，右顶点分别为A1，A2，上顶点为D，若过A2且斜率为19.(本小题15分)

同余定理是数论中的重要内容.同余的定义为：设a，b∈Z，m∈N+且m>1.若m|(a−b)，则称a与b关于模m同余，记作α≡b(modm)(“|”为整除符号)．

(1)解同余方程：x2+2x≡0(mod3)；

(2)设(1)中方程的所有正根构成数列{an}，其中a1<a2<a3<…<an．

①若bn=a20.(本小题15分)

已知函数f(x)=xlnx−a(x−1)，其中a∈R．

(1)当a=1时，求函数f(x)在点(e,f(e))处的切线方程.(其中e为自然对数的底数)

(2)已知关于x的方程f(x)x+a=ax+ax有两个不相等的正实根x1，x2，且x1<x2．

(ⅰ)求实数a的取值范围；

(ⅱ)设k为大于1的常数，当a变化时，若参考答案1.A

2.C

3.C

4.A

5.D

6.B

7.D

8.D

9.D

10.1511.10

12.(−∞,−313.150

120

14.1

315.(116.解：(Ⅰ)

因为a=3,b=22,△ABC的面积为3．

所以S△ABC=12absinC=32sinC=3，

所以sinC=22，又△ABC是锐角三角形，

可得C=π4，又由余弦定理可得：c2=a2+b2−2abcosC=9+8−2×3×22×22=5，

解得c=5．

(Ⅱ)由正弦定理可得：bsinB=c17.解：(Ⅰ)证明：如图，以A为原点，分别以AB，AD，AE方向为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系A−xyz，

由题意可得A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(2,2,0)，D(0,2,0)，E(0,0,2)，F(2,0,2)，

G(0,1,2)，M(0,32,1)，N(1,0,2)，

则CF=(0,−2,2)，CG=(−2,−1,2)，MN=(1,−32,1)，

设平面CFG的一个法向量为n1=(x1,y1,z1)，

故n1·CF=0n1·CG=0，即−2y1+2z1=0−2x1−y1+2z1=0，

令z1=2，得n1=(1,2,2)，

所以n1⋅MN=(1,2,2)⋅(1,−32,1)=1×1+2×(−32)+2×1=0，

所以MN⊥n1，又MN⊄平面CFG，

所以MN/​/平面CFG．

(Ⅱ)由(Ⅰ)得直线AN的一个方向向量为AN=(1,0,2)，平面CFG的一个法向量为n118.解：(Ⅰ)由题设得4a=8，所以a=2，又离心率为32，解得c=3，b=1，

所以椭圆C的标准方程为x24+y2=1；

(Ⅱ)因为A2(2,0)，所以设直线l的方程为y=k(x−2)，且k<−12，

联立y=k(x−2)x24+y2=1，整理可得：(4k2+1)x2−16k2x+16k2−4=0，

则x0+2=1619.解：(1)由题意x(x+2)≡0(mod3)，所以x=3k或x+2=3k(k∈Z)，

即x=3k或x=3k−2(k∈Z)；

(2)由(1)可得{an}为{1,3,4,6,7,9,10,⋅⋅⋅}，所以an=3n−12(n为奇数)3×n2(n为偶数)．

①因为bn=an+120.解：(1)当a=1时，f(x)=xlnx−(x−1)，∴f′(x)=lnx，

∴f′(e)=lne=1，又f(e)=e−(e−1)=1，

∴函数f(x)在点(e,f(e))处的切线方程为y−1=x−e，即x−y−e+1=0；

(2)(ⅰ)f(x)x+a=ax+ax，即lnx=ax，则有a=lnxx，x>0，

设F(x)=lnxx，x>0，则F′(x)=1−lnxx2，令F′(x)=0，得x=e，

令F′(x)>0，得0<x<e，令F′(x)<0，得x>e，

∴函数F(x)=lnxx在(0,e)上单调递增，在(e,+∞)上单调递减，

又x趋向于0时，F(x)趋向负无穷，x趋向于正无穷大时，F(x)无限趋向0，且F(e)=1e，

所以函数F(x)=lnxx的大致图象如下：

由题意，方程f(x)x+a=ax+ax有两个不相等的正实根，

即方程a=lnxx有两个不相等的正实根，

∴函数F(x)=lnxx的图象与直线y=a有两个交点，

由图知，0<a<1e，故实数a的取值范围为(0,1e)；

(ⅱ)∵F(1)=0，由(ⅰ)得1<x1<e<x2，则a=lnx1x1=lnx2x2，

∴x2x1=lnx2lnx1，设x2x1=t(t>1)，则t=lnt+lnx1lnx1，

即lnx1=lntt−1，lnx2=tlntt−1，

由题意x1kx2有最小值ee，即klnx1+lnx2=(k+t)lntt−1有最小值e，

设g(t)=(k+t)lntt−1，t>1，则g′(t)=−(k+1)lnt+